近世代数经典题与答案

1．设 为整数加群, ,求 ?]:[HZ
解 在 Z中的陪集有:
, , ,
, , 所以, 5]:[HZ.
2、找出
3

S
的所有子群。

解：S3显然有以下子群：本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}；（（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），
（1）}；（（123））={（123），（132），（1）}
若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=
（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。
这个子群也必然是S3。
用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然
是S3。
7．试求高斯整环 的单位。

解 设 () 为 的单位, 则存在 , 使得 , 于是

因为 , 所以 . 从而 , , 或 . 因此可能的单位只有
显然它们都是 的单位. 所以 恰有四个单位:
5． 在
12

Z
中, 解下列线性方程组:

解: 9111632511311612531yx 即 , .
12. 试求 的所有理想.
解 设 为 的任意理想, 则 为 的子环， 则 , , 且 .
对任意的 , , 有 ,
从而由理想的定义知, 为 的理想. 由此知, 的全部理想为且 .
13、数域F上的多项式环Fx的理想
253
(1,1)xxx

是怎样的一个主理想。

解 由于

5332111xxxx，所以253
11,1xxx
，于是得



253
1,11[]xxxFx
。

14、在 中, 求 的全部根. 解 共有16个元素: , , , , 将它们分别代入 ,可知
共有下列4个元素, , , 为 的根.
20.设R为偶数环.证明： .4RRrrN问：4N是否成立？N是由哪个偶数生成的主理想？
解： RmnNmn,,4,4： RmnNmnmn,)(444
故,)44(Nmn另外RrNrRn,4,

,,)(4)4()4()4(,)(4)4(RrnRnNrnrnrnrnRrnNrnnr
故.)4(),4(Nnrrn总之有.4RRrrN另方面，由于



,,16,8,0,8,16,4RrrN

且.4N而且实际上N是偶数环中由8生成的主理想，即

ZnnZnRrnrRrrN8,8884
，但是




,8,4,0,4,8,4,444ZnnZnRrnr

因此，4N.实际上是.48N
22、设{(1),(12)}H,求
3

S
关于H的所有左陪集以及右陪集.

解
3

{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S
, H的所有左陪集为:(1)(12){(1),(12)}HHH;

(13)(123){(13),(123)}HH;(23)(132){(23),(132)}HH
．

H
的所有右陪集为:(1)(12){(1),(12)}HH;

13(132){(13),(132)}HH（）;(23)(123){(23),(123)}HH
.

1．在群 中, 对任意 , 方程 与 都有唯一解.
证明 令 , 那么 , 故 为方程 的解。 又如 为 的任一解, 即
,则 .
这就证明了唯一性. 同理可证另一方程也有唯一解.

5． 设 是所有 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群. 是所有行列式等于1的 阶矩阵所组成的
集合. 则 是 的子群.
证明 首先, 单位矩阵 的行列式为 1, 所以 非空. 又对任一 阶方阵 , 如果 , 则 ,
所以 可逆, 故 是 的子集. 又对任意的 , 有 , 所以
.
这说明 . 从而由定理知, 是 的子群.
7． 设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同.证明 设 , 分别表示 在 中的左、

右陪集所组成的集合. 令
, .
则 是 到 的双射. 事实上
(1) 如果 , 那么 , 故 , 所以, . 于是, 为 到 的映射.
(2) 任给 , 有 , 因此, 为满射.
(3) 如果 , 那么 , 因此 , 从而得 为双射.即在 中左陪集的个数与右
陪集的个数相同.
3．群 的任何两个正规子群的交还是 的正规子群.
证明 设 与 为 的两个正规子群, , 则 为 的子群. 又任给 , , 则因为 与
都是 的正规子群, 所以 所以, . 故 .
24、设群G的每个元素x都适合方程x2= e，这里e是G的单位元，求证：G是交换群。
证明：任意x、y∈G，由x2= e，y2= e有x-1= x，y-1= y。又由(xy)2= e有(xy)-1= xy。从而yx= y-1 x-1= (xy)-1= xy．即
G是交换群．

39、证明：2Zi是主理想环。
证明 令N是2Zi的任意一个理想，a是N中绝对值最小的一个非零元素，下证Na。
任取N，显然

/[],,QiabiabQ

令/(,).rsirsQ选取分别最接近,rs的整数,mn，即
11
0,0.22rmsn
（1）

令[].mniZi并由（1）得
22
111
/()()1.442rmsn
（2）

现在令.显然0.N于是由（2）得 /
但是N中绝对值最小的非零元，故0.从而().，因此()N。

21. 令123456654321， 465132654321，







453126

654321

，计算1,.

21. 解：123456546213，1123456312645.
22. 设)}132(),123(),1{(H是3次对称群3S的子群，求H的所有左陪集和右陪集，并说明H是否是3S的正规子群.
解：H的所有左陪集为 )}132(),123(),1{(H， 12{(12),(13),(23)}H；
H
的所有右陪集为 )}132(),123(),1{(H，12{(12),(13),(23)}H.

对3S，有HH，即H是正规子群.