运用公式法
公式法教案
运用公式法（一）●教学目标（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用平方差公式进行因式分解（直接用公式不出两次）；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式。
●教学过程第一环节 课前练习 填空：（1）（x+6）（x －6） = ； （2）（4x+y ）（4x －y ）= ； （3）（1+2x ）(1－2x)= ； （4）（21m+3n ）（21m －3n ）= ． 根据上面式子填空：（1）x 2－36 = ； （2）16x 2－y 2= ；（3）1－4x 2 = _ ； （4）41m 2－9n 2= ．第二环节 探究新知在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式（即公因式），就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式。
如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？如：x 2－36；当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法。
（一）议一议观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？（分组讨论）结论：如果左边是一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积。
思考：能用平方差公式分解因式的多项式是（ ）。
A 、x 2+y 2B 、x 2+(-y)2C 、-x 2-4 D 、-1+x 2（二）巩固应用，拓展研究自学例1解下列两题（1）25-16x 2（2）9a 2-41b 2解：（直接利用平方差公式分解因式，让学生体会公式中的a ，b 在此例中分别是什么？） 提问：a 2-b 2= (a+b)(a-b) 中a ，b 都表示单项式吗？它们可以是多项式吗？ 自学例2，做一下两题（1）9(m+n)2-(m-n)2（2）2x 3-8x 解：（进一步让学生理解平方差公式中的字母a ，b 不仅可以表示数，而且可以表示其他代数式。
运用公式法
数学微格教学教案科目：数学课题：分解因式——运用公式法执教：袁媛训练技能：设计理念：一、教学内容：北师大版初二下册第二章P54-58页内容。
二、教学目标：1、回固因式分解的概念和复习提公因式法；2、复习平方差公式与完全平方公式，并灵活运用到分解因式中；3、结合提公因式法进行分解因式；4、掌握分解因式与整式乘法的关系。
三、教学重点：本章内容是分解因式，分成了三小节。
前两节分别讲的是因式分解的概念和提公因式法进行分解因式。
本节要讲的是用公式法进行因式分解。
其重点是熟记乘法公式中的平方差公式与完全平方公式，并结合前两节知识进行因式分解。
四、教学难点：难点是用公式法结合前一节内容进行因式分解。
教学过程：训练技能教学课题分解因式——运用公式法执教者袁媛教学时间2012-9-26教学目标1、复习巩固因式分解定义和提公因式法；2、复习平方差公式与完全平方公式，并灵活运用到分解因式中；3、结合提公因式法进行分解因式；4、掌握分解因式与整式乘法的关系。
时间教师的教学行为教学技能要素学生学习行为一、复习巩固——因式分解与提公因式法。
五分钟左右师：前两节课我们学习了分解因式的定义以及用提公因式法来分解因式，那我先问问，你对因式分解是怎么理解的？生：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
师：这位同学说得很好。
请坐！简单地说就是和差化积，是不是！好，那你学过哪些因式分解的方法？生：提公因式法。
师：好的，请坐！那么对于提公因式法你觉得应该注意些什么呢？生1：要正确的寻找公因式。
师：也就是我们要找准谁才是它的公因式,是不是！好的，请坐!还有吗？你觉得还有没有要注意的地方？生2：分解时要彻底。
师：好，分解要彻底，要分解到每个因式不能分解为止是不是。
根据回答问题复习前面所学知识，并回答问题，引出新课，发散学生思维。
学生积极主动参与问题的解答与思考，达到复习效果。
二、引入新课——运用公式法分解因式师：好的！大家看到课本54页，再看到黑板，观察一下下面两个式子：225x-与229x y-前面我们学了提公因式法，那这个能不能提公因式？二十分钟左右生：不能。
公式法复习
运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况：一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1分解因式：（1）x2-9；（2）9x2-6x+1。
二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2分解因式：（1）x5y3-x3y5；（2）4x3y+4x2y2+xy3。
三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3分解因式：(1)4x2-25y2; (2)4x2-12xy2+9y4.四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4分解因式:(1)x4-81y4; (2)16x4-72x2y2+81y4.五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
例5分解因式：（1）-x2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y).六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。
例6 分解因式：(x-y)2-4(x-y-1).七、连续用公式:当一次利用公式分解后，还能利用公式再继续分解时，则需要用公式法再进行分解，到每个因式都不能再分解为止。
例7、分解因式：(x2+4)2-16x2.作业 姓名 学号1、多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是（ ） (A)2(2)x y - (B)2(2)x y -- (C)2(2)x y -- (D)2()x y + 2、下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ）(A)22x y +(B)222x xy y -+ (C)222x xy y +- (D)22x xy y ++ 3、 41x -的结果为（ ）Ａ．22(1)(1)x x -+Ｂ．22(1)(1)x x +- Ｃ．2(1)(1)(1)x x x -++ Ｄ．3(1)(1)x x -+ 4、代数式42281969x x x x ---+，，的公因式为（ ）Ａ．3x -Ｂ．2(3)x + Ｃ．3x + Ｄ．29x + 5、222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 之值为（ ）Ａ．40Ｂ．40± Ｃ．20 Ｄ．20± 6、填空： 22()m mn ++= ．7、利用因式分解计算2100991981=++ ． 8、 分解因式：241x -= ．分解因式：24a -= ．9、（1）运用公式法计算：222218161301181--． （2）用简便方法计算：228001600798798-+×．10、 分解因式：（1）221664a x ax ++（2）216(23)a b -+11、把下列各式分解因式．（1）249x -； （2）224169x y -； （3）2125a -+； （4）220.01625m n -．12、把下列各式分解因式．（1）2816a a ++；（2）2(2)6(2)9a b a b ++++；（3）221222x xy y ++； （4）2244mn m n ---．13、已知1128a b ab -==，，求22332a b ab a b -++的值．14、把下列各式分解因式．（1）269x x ++；（2）242025x x -+； （3）222816a b abc c -+；（4）221424a ab b ++；（5）2()4()4a b a b +-++．15、把下列各式分解因式．（1）20032005)(16)(n m n m ---；（2）22222()4x y x y +-．16、把(1)(3)1x x --+分解因式．。
3.运用公式法(一)教学设计
第二章分解因式3．运用公式法（一）学生知识状况分析学生的技能基础：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础。
学生活动经验基础：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验。
教学任务分析学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
教学目标：知识与技能：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式。
过程与方法：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对平方差公式的运用能力。
情感与态度：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法。
教学过程分析第一环节练一练活动内容：填空：（1）（x+3）（x–3） = ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= 。
根据上面式子填空：（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x2–9= ；（4）1–4x2= 。
活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力。
注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系。
第二环节 想一想活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征。
初二下册因式分解公式法、十字相乘法
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.【知识要点】1．运用公式法：如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。
思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、 分解因式：（1）x 2-9 （2）9x 2-6x+1二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5 （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2 (2)4x 2-12xy 2+9y 4四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4 (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
2.3 运用公式法
重点、难点
考点及考试要求
教学内容
学习 过程 预 习 导 （3） （1+2x） （1–2x）= 学 学 习 研 讨 1、分解因式：7x2-21x 2、填空： （1） （x+3） （x–3） =
学习内容
； （2） （4x+y） （4x–y）= ； （4） （3m+2n） （3m–2n）=
； ．
活动一 阅读课本 54 页上面部分内容并回答问题： 1、 观察式子 a2-b2,x2-25,9x2-y2 (1) 他们有没有相同的因式？他们能不能分解因式？ (2) 小组讨论，它们有什么共同特征？ (3) 你能按照（2）的特征再举几个例子吗？ 2、结合预习导学 2，完成下列填空 （1）9m2–4n2= （3）x2–9= ； （2）16x2–y2= ； （4）1–4x2= ． ；
（4）(m－a)2－(n＋b)2 （5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
2、 如图， 在一块边长为 a 的正方形纸片的四角， 各 形．用 a 与 b 表示剩余部分的面积，并求当
剪去一个边长为 b 的正方 a=3.6，b=0.8 时的面积．
a b
延 伸 拓 展 总结 反思 作业 1.解： （1）a2－81=（a+9） （a－9）; 2 （2）36－x =（6+x） （6－x）; 2 （3）1－16b =1－（4b）2=（1+4b） （1－4b）; 2 2 （4）m －9n =（m +3n） （m－3n）; 2 2 （5）0.25q －121p =（0.5q+11p） （0.5q－11p）; 2 （6）169x －4y2=（13x+2y） （13x－2y）; 2 2 2 2 （7）9a p －b q =（3ap+bq） （3ap－bq）; （8） 已知 a、b 为正整数，且 a2-b2=45，求符合要求的 a、b 的值。
公式法的一般步骤
公式法的一般步骤一、引言公式是数学中常用的表达方式，它通过符号和字母的组合来描述数学关系。
公式法作为一种解题方法，被广泛应用于数学、物理、化学等领域。
本文将以公式法的一般步骤为标题，详细介绍如何使用公式法解决问题。
二、明确问题在使用公式法解题前，首先需要明确问题。
明确问题有助于我们理解要解决的具体内容和目标，从而更好地选择适用的公式和方法。
三、查找公式在明确问题后，我们需要查找相关的公式。
公式可以通过数学教材、参考书籍、学术论文等途径获取。
在查找公式时，可以使用关键词进行搜索，以便更快地找到相关的公式。
四、理解公式找到公式后，我们需要对其进行理解。
公式通常由符号和字母组成，每个符号和字母都代表特定的意义。
理解公式的含义有助于我们正确应用公式解决问题，并避免产生错误的结果。
五、应用公式在理解公式后，我们可以开始应用公式解决问题。
首先，需要明确公式中各个变量的含义，并确定已知条件和未知量。
然后，将已知条件代入公式，计算出未知量的值。
六、检查结果在得到计算结果后，我们需要对结果进行检查。
检查结果是为了确保计算过程正确无误，并验证计算结果是否符合实际情况。
如果结果与实际情况不符，可能是公式应用错误或者存在其他问题，需要重新检查。
七、总结使用公式法解题可以帮助我们更系统、更准确地解决问题。
通过明确问题、查找公式、理解公式、应用公式和检查结果等步骤，我们可以有效地应用公式解决各种数学和科学问题。
同时，使用公式法也需要我们具备良好的数学基础和逻辑思维能力。
八、应用举例为了更好地理解公式法的应用，下面以一个具体的问题为例进行说明。
假设有一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了3小时后，计算汽车行驶的总路程。
首先，明确问题是计算汽车的总路程；然后，查找相关的公式，可以使用速度和时间的公式：路程= 速度× 时间；接下来，理解公式中的各个变量：路程代表汽车的总路程，速度代表汽车的每小时速度，时间代表汽车行驶的时间；然后，应用公式，代入已知条件，计算出汽车的总路程：路程= 60公里/小时× 3小时 = 180公里；最后，检查结果，180公里符合实际情况，因此计算结果是正确的。
第二章第3节运用公式法课件(1)
能力提高：
1.已知248-1能被60-70之间的两个 数整除，则这两个数是 .
2、求证：257-512能被120整除.
课堂小结：
1．本节课我们经历了从整式乘法的平方差公 式得出分解因式的平方差公式的过程，并运用 平方差公式分解因式； 2．平方差公式a2-b2=（a+b）(a-b)中的字母 a,b不仅可以表示数，而且可以表示其他代数 式；
2 2 4
36a ( 6a )
2
2
0.49b ( ) 0.7b
2 2
牛刀小试
81a 9a （ ）
6 2
3
9 2 3 2 c c （ ） 4 16 2 2 2 64 x y 8 xy （ ） 100 p q 10 p q ） （
4 2 2
2
2
3(m n) (m n)3(m n) (m n) (4m 2n)(2m 4n) 4(2m n)(m 2n)
平方差公式里的a,b不仅可以是单项式， 还可以是多项式。
(2) 2x3-8x =2x(x2-4) =2x(x+2)(x-2)
当多项式的各项含有公因式时，通常先 提出这个公因式，然后在进一步分解因式。
3．当多项式的各项含有公因式时，通常先提 出这个公因式，然后在进一步分解因式。
练习2：把下列各式分解因式：
(1) a2-36
(2) 25m2-49n2
4 2 2 (3) x y 9
完成P56
1 2 b (4) 0.36a 25
2
知识技能
运用公式法
学习目标
1、了解用公式法分解因式的 意义 2、掌握用平方差公式分解因 式
自学指导
认真看课本P54-P55内容，理 内容， 认真看课本 内容 解掌握平方差公式的逆用， 平方差公式的逆用 解掌握平方差公式的逆用，看懂 例题解题格式和方法。 例题解题格式和方法。 5分钟后能完成仿做题目。看哪个 分钟后能完成仿做题目。 分钟后能完成仿做题目 同学做得又快又对！ 同学做得又快又对！
(
)(
)
练习：如图，在一 块边长为acm的正方形
纸片的四角，各剪去 一个边长为bcm的正 方形，求剩余部分的 面积。
如果，a=3.6,b=0.8, 计算剩余部分面积.
解：
S阴影 = a − 4b
2 2
=(a+2b)(a-2b) 当a=3.6,b=0.8时 原式=（3.6+2×0.8）×（3.6-2×0.8） 2 =10.4 cm
a
a
b
在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的 小正方形（a>b），把余下的部分剪拼成 一个矩形，通过计算两个图形的面积，可 以得到一个怎样的等式？
a
b
a b
长方形的面积=(a+b) (a-b) 长方形的面积Leabharlann aaba
2
b
2
长方形的面积=(a+b)(a长方形的面积=(a+b)(a-b) =(a+b)(a
通过做第(2)小题你总结出 什么经验来了吗?
当多项式的各项含有公因 式时,通常先提出这个公因 式,然后再进一步分解因式.
学习检测
判断下列分解因式是否正确： 判断下列分解因式是否正确：
(1) x + y = ( x + y )( x − y )
运用公式法(2)
a、b指整式
你从完全平方公式逆运算可发现什幺？
利用完全平方公式可对相关的多项式进行分解因式
例１、利用公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2把下列多项式分解因式。
⑴、25－10x+x2
⑵、9a2+6ab+b2
解：原式=52－10x+x2
=（5-x）2
解：原式=(3a)2+6ab+b2
=（3a+b）2
运用公式法(2)
运用公式法分解因式第2课时一、复习引导：
1、把下列各式分解因式。
⑴、4x2-9
⑵、25－16x2
⑶、（m－n）2－9（n－1）2
解：原式=（2x）2－32
=（2x+3）（2x-3）
解：原式=（5+4x）（5－4x）
解：原式=（m－n）2－[3（n－1）]2
=[（m－n）+3（n－1）]［（m－n）－3（n－1）］
=（m－n+3n-3）（m－n-3n+3）
=（m+2n-3）（m－4n+3）
２、下列整式乘法运算你会吗？
⑴、（n+m）2=——————；
⑵、（x-y）2＝——————；
⑶、（x+b）2=——————。
以上的运算可直接用乘法公式：——————————。
我们把完全平方公式反过来，得
（a±b）2=a2±2ab+b2n2+2mn+m2x2-2xy+y2X2+2bx+b2a2±2ab+b2＝
课后练习
★课本的54页的习题２。5
第１、2、3题；
★选做55页相关题目，力争每题都能顺利完成。完毕李井勇