2020版新设计一轮复习数学(理)第三章 第一节 导数的概念及运算、定积分

第一节导数的概念及运算、定积分 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0 ΔyΔx＝

limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx❶为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx. 函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． ❷曲线y＝fx在点Px0，y0处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′x0的切线，是唯一的一条切线.

(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数． (4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝1x

3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 5．定积分的概念 在∫baf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． 6．定积分的性质 (1)∫bakf(x)dx＝k∫baf(x)dx(k为常数)； (2)∫ba[f1(x)±f2(x)]dx＝∫baf1(x)dx±∫baf2(x)dx； (3)∫baf(x)dx＝∫caf(x)dx＋∫bcf(x)dx(其中a＜c＜b)．❸ ❸求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质3进行计算. 7．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作F(x)|ba，即∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)． 8．定积分的几何意义❹ 定积分∫baf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S. ①S＝∫baf(x)dx；②S＝－∫baf(x)dx；③S＝∫caf(x)dx－∫bcf(x)dx； ④S＝∫baf(x)dx－∫bag(x)dx＝∫ba[f(x)－g(x)]dx.

❹1定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负. 2当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零. [熟记常用结论]

1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：(1)1x′＝－1x2；(2)(ln|x|)′＝1x；

(3)1fx′＝－f′x[fx]2(f(x)≠0)； (4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)． 3．常见被积函数的原函数

(1)∫bacdx＝cx|ba；(2)∫baxndx＝xn＋1n＋1|ba(n≠－1)； (3)∫basin xdx＝－cos x|ba；(4)∫bacos xdx＝sin x|ba； (5)∫ba1xdx＝ln|x||ba；(6)∫baexdx＝ex|ba. [小题查验基础] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )

(2)因为(ln x)′＝1x，所以1x′＝ln x．( ) (3)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则∫baf(x)dx＝∫baf(t)dt.( ) (4)定积分一定是曲边梯形的面积．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× 二、选填题 1．下列求导运算正确的是( )

A.x＋1x′＝1＋1x2 B．(log2x)′＝1xln 2 C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x 解析：选B x＋1x′＝x′＋1x′＝1－1x2；(3x)′＝3xln 3；x2cos x′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x．故选B. 2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( ) 解析：选D 由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A、C. 又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 3．已知t是常数，若0t(2x－2)dx＝8，则t＝( )

A．1 B．－2 C．－2或4 D．4 解析：选D 由0t(2x－2)dx＝8，得(x2－2x)|t0＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．

4．若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝________. 解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e. 答案：2e 5．曲线y＝1－2x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为______________________． 解析：∵y′＝2x＋22，∴y′|x＝－1＝2. 故所求切线方程为2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0

考点一导数的运算[基础自学过关] [题组练透]

1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于( ) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e

解析：选B f′(x)＝2 018＋ln x＋x×1x＝2 019＋ln x，故由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，则ln x0＝0，解得x0＝1. 2．(2019·宜昌联考)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝( )

A.12－8ln 21－2ln 2 B.21－2ln 2 C.41－2ln 2 D．－2 解析：选C 因为f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得f′(1)＝21－2ln 2，所以f′(x)＝21－2ln 2·2xln 2＋2x，所以f′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2.

3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________. 解析：f′(x)＝4ax3＋2bx， ∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2， ∴f′(－1)＝－2. 答案：－2 4．求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x；

(2)y＝ln x＋1x； (3)y＝cos xex； (4)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2. 解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′ ＝2xsin x＋x2cos x.

(2)y′＝ln x＋1x′＝(ln x)′＋1x′＝1x－1x2.

(3)y′＝cos xex′＝cos x′ex－cos xex′ex2＝－sin x＋cos xex.(4)∵y＝xsin

2x＋

π

2

cos2x＋π2 ＝12xsin(4x＋π) ＝－12xsin 4x， ∴y′＝－12sin 4x－12x·4cos 4x ＝－12sin 4x－2xcos 4x. [名师微点] 1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导． 2．常见形式及具体求导6种方法 连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 对数形式 先化为和、差形式，再求导 复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元

[提醒] 对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为