从非标准分析观点看标准实数集的可测性
《教育科学研究方法》题库
教育科学研究方法试题及答案（一）教育科学研究方法试题一、填空题(每空1分，共20分)1.教育(科学)研究的本质特征是创新。
教育科学研究的目的在于探索教育规律，解决重要的教育理论和实际问题。
2.亚里士多德在_形式逻辑__之上建立了科学方法论，并以巴巴拉式__三段论_为科学解释中演绎推理的范例，强调通过演绎建立科学解释，对以后的教育研究产生了深刻影响。
3.教育辞书和百科全书都属于_资料性工具书。
我国第一部教育百科全书是1985年出版的《_____中国大百科全书·教育_》。
4.理论构思所含的基本概念，特别是____核心概念_____，应满足以下要求：一有严格规定的含义，二有好的___概括度______，三有好的清晰度。
5.从观察的系统性来看，观察法可分_____日常观察____和____科学观察_____。
6.教育观察资料的整理和分析主要包括_____审核资料____、_____资料归集____、初步整理资料和进行描述统计等步骤。
7.根据访谈过程是否有严格设计的访谈提纲，可把访谈调查分为_____结构性____访谈调查和_____ 非结构性____访谈调查。
8. ____自变量_____，即变化的措施、条件。
无关变量，也叫__控制变量_______。
9.归纳法的具体方式有____简单枚举法_____、完全归纳法和____科学归纳法_____三种，前者又称不完全归纳法，后者又称因果关系归纳法。
10.根据一个判断与客观事物之间的直接关系程度和是否加入评价性要素，可以把命题分为事实命题(陈述性命题) 和_价值(性)命题(评价性命题)_两大类。
二、单项选择题1.在教育科学研究的基本要素及其活动过程中，形成( B )是教育研究的核心问题。
A.科学结论B.科学理论C.科学思想D.科学观念2.回答"将会怎么样"的问题，主要目的在于分析事物未来发展的前景与趋势的研究是DA.基础研究B.描述研究C.发展性研究D.预测研究3.历史研究法的运用，特别强调研究者应具有( D )A.历史感与正义感B.历史感与责任感C.责任感与现实感D.历史感与现实感4.我国著名的幼儿教育家陈鹤琴以自己的孩子为观察对象研究儿童的一般发展，主要采用的观察记录方法是( B )A.描述记录法B.日记描述法C.轶事记录法D.连续记录法5.用百分制的办法对学生进行学科学习成绩测评属于( C )A.定名测量B.定序测量C.定距测量D.比率测量6.教育调查研究中最基本的研究方法(手段)，也是使用最广泛的一种基本方法(手段)是DA.访谈调查B.测量调查C.表格调查D.问卷调查7.下列陈述错误的是“”( A )A.教育实验是一种自然科学实验活动B.教育实验首先是一种科学实验活动C.教育实验是一种特殊的教育活动D.教育实验是一种特殊的实验活动8.反映实验自变量与因变量的因果关系的真实性，决定实验结果解释的是( A )A.内在效度B.外在效度C.总体效度D.生态效度9.欲表示离散型的数据资料，首选的统计图类型是( A )A.条形图B.圆形图C.线型图D.直方图10.一般来说，教育科研活动的最后一环是( D )A.教育科研成果的表述B.教育科研成果的评奖C.教育科研成果的交流D.教育科研成果的评价三、名词解释(每小题4分，共16分)1.理论构思理论：构思是指以一定科学理论为指导，在已有的客观现实材料及理论研究成果基础上运用科学的思维方式对所要研究问题的现象、过程、本质或原因的一种理论解释。
SPSS软件与应用知到章节答案智慧树2023年潍坊医学院
SPSS软件与应用知到章节测试答案智慧树2023年最新潍坊医学院第一章测试1.下列属于SPSS运行窗口的是（）。
参考答案:脚本窗口;数据窗口;结果窗口2.SPSS处理实际问题的一般步骤包括（）。
参考答案:结果的解释和表达;数据的加工整理;数据的统计分析;数据的准备3.进行数据编码的过程中，需要考虑变量的（）。
参考答案:赋值;个数;名称;类型4.在某调查问卷中，有这样一个问题：“请问您来自哪个省？”从问题类型来看，这个问题属于（）。
一般字符型问题5.在某调查问卷中，有这样一个问题：“在淘宝、拼多多、京东、网易严选中，请问您最经常使用的购物网站是什么？（限选2项）”要对这个问题进行编码，需要设置（）个变量。
参考答案:26.对于量表中反向计分的题目，其赋值最常通过（）完成。
参考答案:变量重新编码7.学习了SPSS软件，就可以不必学习统计学方法了。
（）参考答案:错8.数据视图中，一行代表一个个案，即一个研究对象的全部资料都体现在这一行之中。
（）参考答案:对9.字符型变量也可以进行算术和比较运算。
（）错10.SPSS数据文件的纵向合并就是添加个案的过程。
（）参考答案:对第二章测试1.下列可用于计数资料的描述性分析的是（）。
参考答案:条形图;饼图2.下列属于计量资料离散趋势指标的是（）。
参考答案:方差;标准差;变异系数3.已知某小学二年级共有500名学生，现已完成对其身高的测量。
若要按某个区间标准绘制其分组频数分布表和分组频数分布图，可能需要用到（）主菜单。
参考答案:转换;分析4.要描述对数正态分布资料的集中趋势，应选择（）。
参考答案:几何均数5.对于多项选择题的描述分析，可通过（）完成。
参考答案:多重响应6.在对统计分组后的数据资料进行集中趋势描述时，可使用加权平均数。
（）参考答案:对7.在一组观测值中，众数可能不止一个，也可能不存在。
（）参考答案:对8.“交叉频数分布表”可通过“分析”——“描述统计”——“频率”完成。
非标准解析中超实数体的完备性分析
非标准解析中超实数体的完备性分析在非标准解析中，实数体是一种重要的数学构造，它扩展了传统的实数概念，从而能够更好地描述数学中的各种现象。
本文将对非标准解析中超实数体的完备性进行详细的分析。
非标准解析是由罗宾逊于20世纪60年代提出的一种数学框架，它基于超实数的构造而建立。
超实数体是实数体的扩张，它包含了无穷大和无穷小元素。
这些超实数元素可以用来描述比传统实数更大或更小的数值，从而使我们能够更好地处理一些数学中的极限和连续性问题。
在非标准解析中，超实数体的完备性是一个重要的性质。
完备性是指一个数学结构中是否存在足够多的元素，以满足其中的任何理论或者命题。
对于传统的实数体来说，它是完备的，即任何Cauchy数列都收敛于某个实数。
那么对于超实数体来说，它是否也具有完备性呢？为了回答这个问题，我们可以通过分析超实数体中的Cauchy数列来研究其完备性。
首先，我们需要定义超实数体中的Cauchy数列。
一个Cauchy数列是一个序列，其中任意两个元素的差的绝对值可以任意小。
换句话说，对于给定的ε大于零，存在一个正整数N，使得对于所有的n，m大于等于N，都有|an - am|小于ε。
在传统实数体中，Cauchy 数列必然收敛于某个实数，但在超实数体中情况会有所不同。
事实上，在超实数体中存在一些Cauchy数列，它们并不收敛于超实数体中的任何元素。
这是由于超实数体中包含了无穷大和无穷小的元素，它们可以用来构造一些趋于无穷大或无穷小的Cauchy数列。
这些数列在传统实数体中并没有对应的元素，因此不能收敛于任何实数。
举一个具体的例子来说明这一点。
考虑超实数体中的数列{an}，其中an = n，即自然数序列。
显然，这是一个Cauchy数列，因为对于任意的ε大于零，只要取N为大于等于ε的整数，则当m、n大于等于N 时，|an - am| = |n - m|小于ε。
然而，这个Cauchy数列并不收敛于超实数体中的任何元素，因为超实数体中并不存在对应于自然数序列的实数。
测度数的原理
测度数的原理测度是数学中的一个重要概念，用于衡量集合的大小或度量曲线、曲面的长度、面积等。
测度理论是现代数学的一个分支，广泛应用于实分析、概率论、几何等领域。
测度数的原理包括可测性、非负性、可加性和正则性等。
1. 可测性：测度的第一个原理是可测性。
一个集合的测度必须是可测的，也就是说我们可以准确地定义它。
在实分析中，测度通常通过引入σ-代数来进行定义，σ-代数是满足一定条件的集合的集合。
如果一个集合属于σ-代数，那么我们可以通过测度来确定其大小。
2. 非负性：测度的第二个原理是非负性。
任何一个集合的测度都必须是非负的，也就是说它不可能是负数。
这个原理的直觉是很明显的，因为测度被用来度量集合的大小，而大小不可能是负数。
3. 可加性：测度的第三个原理是可加性。
也就是说，对于任意两个不相交的集合来说，它们的测度之和等于它们的并集的测度。
如果集合A和B是不相交的，那么根据可加性原理，测度(A ∪B) = 测度(A) + 测度(B)。
这个原理描述了测度的可加性，也是测度理论的基础。
4. 正则性：测度的第四个原理是正则性。
正则性要求测度函数在某些条件下与闭集和开集之间有特定的关系。
具体来说，一个集合可以通过闭集和开集逼近，即任意一个集合可以由内部的开集和外部的闭集围住。
正则性保证了测度函数在这种逼近关系下的连续性和一致性。
测度的原理是测度理论中的基本概念，它们为测度函数的具体定义提供了指导和限制。
根据这些原理，我们可以构造出不同形式的测度函数，如长度测度、体积测度、面积测度等。
具体的测度函数通常根据不同的问题和需求而定，例如在实数轴上的测度函数可以用于测量线段的长度，平面上的测度函数可以用于测量平面图形的面积。
总结来说，测度数的原理是可测性、非负性、可加性和正则性。
这些原理为测度理论提供了基础，帮助我们定义和比较集合的大小，度量曲线、曲面的长度、面积等。
测度理论在数学和其他学科中有广泛应用，为解决实际问题提供了有效的工具和方法。
(完整版)1.5可测集与可测函数(讲义)
1.5 可测集与可测函数1.5.1 可测集与可测函数定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且E X E ∈=U R， 则称(,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集(measurable set)。
特别地，当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集；当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集.注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。
定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ⊂，f 是定义在E 上的有限实函数。
若对一切实数c ，集(){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。
特别地，当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数；当1(,)(,)X =R R B 时，称f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。
定理1.5.1 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ⊂上的有限实函数。
则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数,c d ，集()E c f d ≤<是可测集。
证 设f 是可测函数，由于()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，而()E c f ≤和()E d f ≤都是可测集，所以()E c f d ≤<是可测集。
非标准解析中超实数理论的发展与应用
非标准解析中超实数理论的发展与应用超实数理论是数学领域中的一门重要理论，该理论得以发展的基础是非标准解析。
本文将从超实数理论的起源与发展，以及其在数学和其他领域的应用方面进行探讨。
一、超实数理论的起源与发展超实数理论最早由罗宾逊于1960年提出，其目的是推广实数系以及实数分析的技巧，以便更好地处理一些数学问题。
超实数理论的出现填补了传统数学中一些理论空缺，拓展了数学的应用范围。
超实数理论的主要思想是引入“无穷小”和“无穷大”这两种新的数；无穷小是指接近于0但不为0的数，无穷大则是指趋近于无穷大的数。
通过这种方式，超实数理论能够处理实数范围外的更广阔的数学问题。
二、超实数理论的数学应用1. 非标准分析领域超实数理论在非标准分析领域的应用是其最重要的领域之一。
非标准分析是一种处理实数计算中的微积分问题的新方法，通过引入超实数，可以更好地解决微积分的一些难题。
在非标准分析中，超实数理论提供了一种更为一般化的数学框架，使得我们能够更自然地推广实函数的微积分理论。
它使得微积分的理论更加强大和一般化，为数学研究提供了更广阔的工具。
2. 算术学领域超实数理论在算术学领域的应用也非常重要。
传统的实数领域无法处理除法的封闭性问题，而超实数理论能够弥补这一不足。
在超实数理论中，我们可以定义超实数之间的除法运算，从而得到一个封闭的数系。
这一特点使得超实数理论能够应用于算术学中一些特殊的问题，如分数域的扩张和封闭性等。
三、超实数理论的其他应用领域除了在数学领域的应用，超实数理论还在其他领域展示出了其广泛的应用价值。
在物理学中，超实数理论可以应用于相对论中的时空测量，解决一些涉及极小尺度和极大尺度的问题。
在计算机科学中，超实数理论可以应用于算法设计和计算模型的改进，提供更高效和更精确的计算方法。
在经济学中，超实数理论可以应用于经济预测模型的构建和分析，提供更准确的经济预测结果。
综上所述，超实数理论在数学以及其他学科中都有广泛的应用价值。
非标准解析中超实数系统的构造方法与性质
非标准解析中超实数系统的构造方法与性质超实数是在超有限序列的基础上扩展实数集合得到的一种数学结构。
它的构造方法及性质在非标准解析中起着重要作用。
本文将介绍超实数的构造方法，讨论其性质，并探讨其在数学领域的应用。
一、超实数的构造方法超实数的构造方法是通过超有限序列来扩展实数集合。
超有限序列由实数序列和超级无穷小序列构成。
其中，超级无穷小序列是指一列无穷趋近于零的实数。
超实数的基本单位是超实数序列，它由超有限序列构成。
超实数序列的加法和乘法运算相对复杂，但可以通过一定的规则来定义。
在超实数序列中，加法运算是对对应位置的实数和无穷小进行相加，乘法运算是对实数序列与无穷小进行点乘。
二、超实数的性质1. 超实数满足实数的所有运算法则和性质，包括交换律、结合律、分配律等。
这是因为超实数是实数的扩展，保留了实数的基本性质。
2. 超实数可以表示实数和超级无穷小之间的关系。
通过超实数的构造方法，我们可以将实数和无穷小看作是超实数序列的特例。
这使得我们能够更好地研究实数和无穷小的性质。
3. 超实数的序关系可以由超实数序列的收敛性来定义。
即一个超实数序列收敛到另一个超实数序列，当且仅当它们的实数序列收敛，并且超级无穷小序列之差也收敛到零。
4. 超实数的结构具有良好的连续性和完备性。
超实数的连续性是指，在超实数序列中，任意两个超实数之间都存在无限多个超实数。
超实数的完备性是指，超实数序列中的柯西序列必然收敛到一个超实数。
三、超实数的应用超实数的构造方法和性质为数学领域的研究提供了工具和理论基础。
1. 超实数在分析学中的应用。
超实数的连续性和完备性使其在分析学中有着广泛的应用。
超实数可以帮助我们更深入地研究实数的性质，推导更精确的数学定理。
2. 超实数在几何学中的应用。
超实数可以用来描述点、线、面等几何对象的位置和运动。
通过超实数，我们可以更准确地描述几何对象的性质和变换规律，推导出更精确的几何定理。
3. 超实数在数值计算中的应用。
实数集的完备性介绍
实数集的完备性介绍1. 引言实数集是数学中一个重要的概念，它包含了所有的有理数和无理数。
在实数集中，完备性是一个重要的性质，它描述了实数集中没有任何缺失的情况。
本文将介绍实数集的完备性，并探讨其在数学分析和其他领域中的应用。
2. 实数集的定义实数集是由有理数和无理数组成的集合。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，而无理数则不能用有限小数或分数表示。
实数集包含了所有的有理数和无理数，形成了一个连续的数轴。
3. 完备性的概念在实数集中，完备性是指实数集中没有任何缺失的性质。
换句话说，对于任意一个实数序列，如果它是收敛的，那么它的极限也必然属于实数集。
具体来说，对于一个实数序列 {a_n}，如果存在一个实数 L，使得对于任意给定的正实数ε，存在一个正整数 N，当 n>N 时，有|a_n - L| < ε 成立，则称该序列收敛于 L。
如果对于任意一个收敛序列 {a_n}，其极限 L 都属于实数集，那么实数集就是完备的。
为了证明实数集的完备性，我们需要使用到实数的确界性质。
实数的确界性质指出，对于一个有上界的非空实数集合，必然存在一个最小的上界，称为上确界；对于一个有下界的非空实数集合，必然存在一个最大的下界，称为下确界。
通过使用实数的确界性质，我们可以证明实数集的完备性。
假设存在一个收敛序列 {a_n}，其极限 L 不属于实数集。
根据实数的定义，我们可以找到一个无理数 x，使得 a_n < x < L。
由于 {a_n} 收敛于L，根据极限的定义，我们可以找到一个正整数 N，当 n>N 时，有|a_n - L| < (x-L)/2 成立。
考虑序列{a_1, a_2, …, a_N} 中的最大值 M 和最小值 m。
由于 {a_n} 收敛于 L，所以存在一个正整数 K，当 n>K 时，有 |a_n - L| < (x-L)/2 成立。
因此，在序列{a_1, a_2, …, a_N,a_{N+1}, …, a_K} 中，所有的元素都位于区间 (L-(x-L)/2, L+(x-L)/2) 内。
11、可测集合及其测度(1)
2、 L可测集的（运算）性质
结论：——可测集的有限并（交）、可数并（交）、
余、差、上（下）极限集、极限集等仍为可测集
定理 设集合S1、S2均可测，则S1 ∪ S2也可测
n ∗ ∗ ∗ C ∀ T ⊂ R 有 m T = m T ∩ S ∪ S + m T ∩ S ∪ S 分析：要证： , ( ( )) ( ( ) ) 1 2 1 2
m T ≤ m (T ∩ E ) + m (T ∩ E )
C
∗
∗
∗
(1)
又
T∩E
C
⊂T
T ∩ E ⊂ E, 0 ≤ m∗ (T ∩ E) ≤ m∗E = 0
∗ 所以 mT ≥ m∗(T ∩EC ) +0 = m∗(T ∩EC ) + m∗(T ∩E) (2)
综合（1）（2），由集合可测的定义知，E可测
j =1 j =1 ∞ ∞
m∗ (T ∩ E ) + m∗ (T ∩ E c ) ≤ m ((∪ I j ) ∩ E ) + m ((∪ I j ) ∩ E c )
∗ ∗ j =1 j =1 ∞ ∞
= m∗ (∪ ( I j ∩ E )) + m∗ (∪ ( I j ∩ E c ))
j =1
∗
∞
∞
j =1
C S 1 ∪ S 1C 是 全 集 m ∗ (T ∩ ( S 1 ∪ S 2 )) + m ∗ (T ∩ （ S 1 ∪ S 2） )
小结
• 集合E是勒贝格(L)可测的定义
• 有理数集、可数集、康托集等均可测 • 可测集的有限并（交）、可数并（交）、 余、差、上（下）极限集、极限集等 仍为可测集 • L测度满足L外测度的所有性质，且 满足完全可加性
非标准解析中超实数空间度量结构构建
非标准解析中超实数空间度量结构构建非标准解析是一种数学方法，它为我们提供了一种新的视角来观察和理解数学对象。
其中，超实数空间是非标准解析的一个重要研究领域。
在本文中，我们将讨论超实数空间的度量结构构建。
一、超实数空间的概念超实数空间是基于超实数的集合，并且在该集合上具有一定的运算规则和结构。
超实数可以看作是实数的推广，它包括了无限大和无穷小元素。
在非标准解析中，超实数的定义和性质可以通过超实数环的方法来描述。
二、超实数空间的度量结构度量结构是指集合上的一个度量，它描述了集合中元素之间的距离。
超实数空间的度量结构可以通过度量函数来定义。
对于超实数空间中的任意两个元素x和y，度量函数d(x, y)满足以下条件：1. 非负性：对于任意的x和y，d(x, y) ≥ 0；2. 同一性：对于任意的x和y，当且仅当x = y时，d(x, y) = 0；3. 对称性：对于任意的x和y，d(x, y) = d(y, x)；4. 三角不等式：对于任意的x、y和z，d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)。
三、构建超实数空间的度量结构在构建超实数空间的度量结构时，我们需要选取一个合适的度量函数。
常用的度量函数有超实数间的绝对值函数和标准格式函数。
下面以超实数间的绝对值函数为例来说明度量结构的构建过程。
超实数间的绝对值函数定义为：|x-y|=sd({n∈N:｜xn-yn｜≥ε})，其中x和y是超实数，｜xn-yn｜表示实数序列xn和yn的差值绝对值，ε是一个无穷小元素，且s是满足0≤s＜1/2的实数。
超实数间的绝对值函数满足度量函数的要求，可以作为超实数空间的度量结构。
四、非标准解析中超实数空间度量结构的应用超实数空间的度量结构在非标准解析中具有广泛的应用。
例如，在数学分析中，我们可以利用超实数空间的度量结构来定义极限、连续性和收敛性等概念。
通过引入无限大和无穷小元素，超实数空间提供了一种更加精确和一致的数学描述方法。
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http://www.paper.edu.cn 从非标准分析观点看标准实数集的可测性 陈必红 深圳大学理学院数学系(518060) email:math@peoplemail.com.cn
摘 要：传统实数理论不承认无穷大和无穷小这样的非标准实数的存在，因而在可测集理论上产生结论，认为存在着不可测实数集. 其证明方法是通过构造无穷个如测度存在必相同的集合，它们的并集为有界且覆盖另一可测区间，因而如测度存在必大于0且有限，但由无穷个大于0的相同的数相加必为无穷大的结论来导出矛盾. 但从非标准分析的观点看，如果引进非标准数，则可以做出标准实数集全部可测的假设. 这样将使与测度论有关的结论更加合理. 这样在概率论中，不存在没有概率的事件集. 概率不仅对所有实数集有可列可加性，更有不可列可加性. 这只要定义一些无穷小数即可做到. 而且概率为0的事件就是不可能事件，可能事件的概率可以是无穷小，但并不会是0. 本文只是提出观点和建议，并没有进行具体的公理化结构的重塑工作.关键词：非标准分析；测度论；概率论
引言
文献[1]给出了一元静态观测过程的结构模型，在文中为了描写在整个实数轴上均匀分布的随机变量，定义了一个非标准无穷大数δ为整个实数轴的长度，用学究一些的话说就是整个实数轴的测度，定义其倒数为ε，为一个无穷小数. 在文献[2]研究了观测主体中熵的变化问题，并统一了离散和连续两种随机变量的熵的定义，这新的定义可以描写任意类型的随机变量的熵，并指出离散的和连续的两种随机变量的熵差一个无穷大数. 文献[3]则利用C++语言实现超实数类的一阶模型，可以精确算出一个函数的导数值. 本文将建议采用非标准分析的办法来重新研究测度论，在引入非标准的无穷大数和无穷小数的情况下，可以得出比较简单的结论. 当然，这种做法势必招致各数学工作者的批评，希望能够通过学术争论来得出更合理的结论. 本文沿用文献[1]到[3]的所有记号和定义.
1．传统测度论中的不可测集 用一个通俗的比喻来说明传统的测度论. 假设将整个标准实数轴看作是一维的地皮，向许多房地产商出售，当然，由于位置不同有可能地价不同. 房地产商购买一些地皮也就是购买一些实数集合. 对于有一些实数集合，如开区间或者闭区间，或者半开半闭区间，只要能够计算区间的长度，也就能够给出价格. 而一些复杂的集合，也可以存在着测度或者说长度，当然也可以开出价格. 但传统实数理论的麻烦在于，存在着不可测集. 也就是说，如果购买者专门要某一些集合，则出售者无法计算出此集合对应的长度，当然也就无法给出价格. 不可测集给标准实数理论带来的麻烦相当大，因为它的存在，以至于数学家要给出一系列相当深奥的定理. 而现代的积分理论要求被积函数最起码是可测函数，如果函数不可测，当然也就不可积. 这么一来为证明哪些函数可积，哪些函数不可积又投入了大量的人力来证明各种定理. 概率论也是建立在测度论的基础上. 因此不可测集给概率论带来的麻烦也是相当大的. 本来概率论的公理化描述者希望能够这么描述概率测度：“首先有一个集合叫做样本空间Ω，
- 1 -http://www.paper.edu.cn 其所有子集构成事件集F =2Ω，在此事件集上定义映射或者集函数P(A):F → R，使得每给一个集合A∈F ，有一个唯一的非负实数P(A)与之对应，满足可列可加性、P(Ω)=1的性质. ”这对于其它学科的要应用概率论的研究者使用起来是方便的. 如果样本空间就是整个实数轴，那也就是说，从观念上讲，非数学专业的人希望或者认为对于实数轴上的任何集合A，都能够有一个确定的概率与之对应，通过反复试验，按大数定律的原则，可以统计实验结果落在A上的概率. 但令工科学者们吃惊的是，数学家宣布不是所有的集合都可测，也就是说，存在着这样的集合，即使反复试验，也无法统计出落在这样的集合上的概率. 这就逼得概率论的公理化体系描写成这样：“对于样本空间，有一个事件集F = P(Ω)，满足在其上的对可数个并交补运算封闭，在此事件集上定义映射或者集函数P(A):F → R，使得每给一个集合A∈F ，有一个唯一的非负实数P(A)与之对应，满足可列可加性、P(Ω)=1的性质. ”这在概率论的教学中是最经常令学生们困惑的了. 没有学过实变函数理论的学生搞不懂为什么不能够对所有的子集定义概率. 在各个实变函数教材中这不可测集是这样定义的，首先将[0,1]区间中的所有实数进行分类，凡是两个实数相差一个有理数，就是一类，这样的类集有无限多个，而且相互之间并不重合，且覆盖了[0,1]区间所有的数. 根据选择公理，每一个这样的非空集必然可以取出一个元素作为这个集合的代表，所有的代表都来参加一个代表大会，这个代表大会组成的集合，就是我们将要证明其为不可测的集合，称其为F. 为证明这一点，先将区间[−1,1]中的所有有理数排成一列为{r1,r2,r3,…}，因为有理数是可数集，这总是可以做到的，而如果将代表大会
F中的所有元素统统加上r1后构成一个新的集合F1，也就是将原来代表各个类的所有代表统
统开除后用比各个代表多r1的数，即新的代表来代替，当然这新的代表有可能超出1或者小于0，但决无可能超过2或小于−1，当超出1或者小于0时，也还是可以做为被它平移的原来的类的代表. 这F1当然和F不相交，用同样的办法针对每一个有理数ri构造相应的集合Fi，
则所有这些集列F1,F2,…相互之间不相交，它们的并将覆盖[0,1]区间，但被[−1,2]区间所包含，
因此，它们的并如果有测度，其测度一定是不小于1且不大于3的值，这些集合都由同样的集合平移后构成，其测度也就都一样，而无穷个同样的数相加之后既不是无穷大也不是0在标准分析看来是不可能的，因此只能得出结论，F不可测.
2. 非标准分析的叙述 因为非标准分析已经扩大了标准实数域到超实数域，即承认有小于任何正的标准实数但大于0的数以及大于任何正的标准实数的数存在，在文献[1]到[3]定义了整个实数轴的测度为δ，而所有自然数的个数为实数轴长度的一半δ/2，这是因为，大于零的实数轴的长度为
整个实数轴的长度的一半，当然就是δ/2，而将正实数轴划分成(0,1],(1,2],(2,3],…，将其称为第一区间，第二区间，等等，这样总共的区间数就是自然数的个数，这些区间的长度都是1，因此总长度也就是自然数的个数，即自然数的个数为δ/2. 本文令∆=δ/2，则Δ为全体
自然数的个数. 因此，非标准分析并不用“可数个”或者“不可数个”来简单地规定无限集的势. 所谓集合的势即为集合的个数，那么，既然自然数的个数为Δ，整数的个数为2Δ,
正偶数的个数和正奇数的个数均为Δ/2，所有5的倍数的全体的个数为Δ/5，等等. 还有，自然数对的个数为Δ2，而正有理数的个数要比自然数对的个数少一些，因为要去掉能通约的数对，则为Δ2-g，g是比Δ低阶的正无穷大数.
现在来看标准实数的个数. 首先来看[0,1]区间中有限位小数的个数. 先统一将小数表示
- 2 -http://www.paper.edu.cn 为二进制，则[0,1]区间的n位小数的个数就是2的n次方个. 而从非标准分析的观点看，[0,1]区间的实数是Δ位的小数，则共有2的Δ次方个即2∆个，而整个实数轴共有2Δ=δ个单位区间，因此共有2Δ×2∆个标准实数. 正如[0,1]区间中的n位小数无法和整个实数轴上的n位小数一一对应一样，[0,1]区间中的标准实数也无法和整个实数轴上的标准实数一一对应，即将n位小数的性质延拓到整个标准实数轴. 这一点和原来的实变函数理论并不一样. 当然，既然已经规定实数的小数位用二进制表示总共有Δ位，那么用十进制表示就有Δlog
102位，整
个实数轴上的标准实数个数仍保持不变，就是说，标准实数的个数是一硬性规定. 现在来解决测度问题就简单了，因为单个的标准实数也有测度，而我们知道[0,1]区间的测度为1，其中包括的实数的个数为2∆个，因此每个标准实数的测度也就是1/2∆. 这和原来
标准分析中的结论也不一样，在标准分析中单个点的测度为0，而在非标准分析中则认为是一个大于0的无穷小数，我们用θ来代表这个数，因此θ=1/2
∆.
这么一来，所有的标准实数集都是可测集，在标准实数轴上的任何地皮买卖都可以正常进行，随便买者要求什么样的标准实数集合，都可以给出相应的测度，满足任何可加性，不仅可数可加性，甚至不可数可加性. 无穷个同样测度的不相交的集合相并之后的测度完全可以是一个通常的即非0又非无穷大的正实数，无非是每个集合的测度是无穷小而已. 当然，如果将非标准数都算在内，我也不能够保证其可测性. 这是因为，如果将被测集合记为A，测量数集合记为B，则通常B的个数应当大于A的个数，否则测度就可能难以进行. 拿有限集合为例，考虑集合{0,1,2,3,4}，总共有5个元素，如果每个元素的测度是1，则总测度为5，而，而以往的传统实数理论之所以会遇到不可测集，也是因为
试图用标准实数来测标准实数. 而非标准分析则用非标准实数来测标准实数，当然就不存在不可测集问题了.
}4,3,2,1,0{5∉
3. 新体系的好处 上一节我规定了一个新体系，相信会引起所有从事多年实数理论的数学家们的反感，为什么要另给一套说法呢？这是因为，新说法在实际应用中有许多好处. 在实际应用中，计算机担任越来越重要的角色，几乎所有算法都是在计算机中实现的. 但计算机只能表示有限位数或者有限精度的小数，并不能表示无限不循环小数. 在各个物理量中，按量子力学的观点，也不承认有无限，所有的量，包括能量，质量，位移，都是量子化的，一份一份的，只不过当量化很小时，从宏观看来，才是连续的. 实际的物理世界中也不存在着无穷大，宇宙的尺寸、能量和质量都是有限的，当然也不存在无穷小. 宇宙的时间现在看来也是有起点有终点的，从大爆炸开始，到热寂结束. 比如电流的积分是电荷，而电荷在微观世界来看也是一个一个的电子. 一个物体的长度实际上是它的所有的原子排列的长度，一到非常小的时候性质就变了，更不用说无穷小了. 但是无穷的概念，极限的概念对于解决科学问题和工程问题也还是非常有用的抽象，这抽象实际上是将非常小抽象成无穷小，将非常大抽象成无穷大. 经过这样的抽象后得到的一些数学模型有简洁的形式. 那么，采用非标准分析的好处就是将有限的性质延拓到了无限. 比如说，对有限位小数的映射，[0,1]区间的所有n位小数无法和整个实数轴中的所有n位小数一一对应，我们就规定这个性质在无穷位数的标准实数时仍然成立，这样在分析的最后结果总是要用有限位小数的计算机实现时，所有性质依然保存. 单点的测度不为0而为无穷小数θ对于许多事情的解释也非常简洁. 从非标准分析的观