八年级数学下册 第17章 勾股定理 17.1 勾股定理(2)教案 (新版)新人教版
(完整word版)第17章勾股定理全章集体备课教案
第十七章勾股定理单元教学计划一、教材分析本章主要研究勾股定理与其逆定理，包括它们的发现、证明和应用。
首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明,从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题.在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念.二、学情分析学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。
部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识,通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。
现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。
三、教学目标1.体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题.2。
会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.通过具体的例子，了解定理的含义；了解逆命题、逆定理的概念；知道原命题成了其逆命题不一定成立。
四、本章知识结构网络图实际问题→勾股（直角三角形边长计算) ←定理↓互逆定理实际问题←勾股定理（判定直角三角形）→的逆定理五、本章的重点:勾股定理及其逆定理的探索与运用.本章的难点：勾股定理的证明，勾股定理及其逆定理的运用。
六、课时安排本章教学时间约需9课时,具体安排如下：17．1 勾股定理（一) 2 课时17．1 勾股定理（二） 2 课时17．2 勾股定理的逆定理 3课时数学活动及小结 2课时县二中集体备课教学设计学科八年级数学教师（主备人)：张振兴集体备课地点：毓林楼204室时间：2014年 3 月 11 日I．导入[活动1]（教材21页) 2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．这就是本届大会的会徽的图案．（1）你见过这个图案吗？你知道它叫什么图？（2）你听说过“勾股定理”吗?教师出示照片及图片．学生观察图片发表见解．你见过这个图案吗?教师作补充说明：这就是著名的“赵爽弦图" ，“赵爽弦图”既标志着中国古代数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎着来自世界各地的数学家们。
人教版八年级数学下册17.1.1勾股定理(教案)
最后，我会继续关注学生的学习反馈，以便在今后的教学中更好地满足他们的需求。通过不断反思和改进，我希望能够帮助学生们在数学学习上取得更好的成绩。
举例：在讲解勾股定理的应用时，可以给出具体例子，如直角三角形中，一边长为3，另一边长为4，求斜边长。强调学生需要将已知信息与勾股定理直接联系起来，得出斜边长为5的结论。
2.教学难点
-难点内容：勾股定理的证明及其在复杂问题中的应用。
-学生可能遇到的难点：
a.理解和掌握勾股定理的证明过程，尤其是割补法等几何证明方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情况？”（如测量墙壁上的画作高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
b.在实际问题中，如何将问题抽象为直角三角形模型并应用勾股定理。
c.对于非整数勾股数或非标准直角三角形的识别和应用。
d.在计算过程中，对平方根的理解和运用。
举例：对于割补法的证明，教师可以通过动态演示或实际操作教具，帮助学生形象地理解证明过程。对于实际问题的应用，可以设计一些综合性的题目，如建筑物的高度测量，要求学生能够将实际问题转化为直角三角形的斜边求解问题。针对非整数勾股数，可以引导学生通过探索发现勾股定理在分数和根号下的应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表述和计算方法这两个重点。对于难点部分，如割补法的证明，我会通过图示和实际操作来帮助大家理解。
17.1勾股定理(第2课时 勾股定理在实际生活中的应用)(课件)-八年级数学下册(人教版)
归纳小结
D
C
从实际问题中构建出直角三角形
用勾股定理求边长解决实际问题
A
B
典例分析
例2 如图，一架 2.6 m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为
2.4 m. 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5 m，那么梯子底端 B 也外移 0.5 m 吗?
A
B
O
典例分析
例2 如图，一架 2.6 m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为
不是也外移 0.5 m，而是外移约 0.77 m.
B
O
D
？
归纳小结
生活中默认垂直的物体包括：柱子、电线杆、楼体、旗杆、
墙壁、地板、门窗玻璃、书架、桌子等。这些物体在设计和
建造时，通常都会确保其部分或整体与地面或另一物体保持
垂直关系，以满足结构稳定性和功能需求。因此，当这些物
体出现在题目中时，默认为已知直角。
答：小鸟至少飞行 10 米.
C
A
典例分析
二、列勾股定理方程解应用题
例3 我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今有方池一丈，
葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？译：有
一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它
高出水面一尺. 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池
OB2 = AB2 - OA2 =2.62 - 2.42 =1，∴OB = 1.
在 Rt△COD 中，根据勾股定理得
OD2 =CD2 - OC2 =
2.62-(2.4-0.5)2=3.15，
A
0.5m
C
∴OD = 3.15 ≈ 1.77
人教版八下数学17.1 课时1 勾股定理教案+学案
人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时1 勾股定理教案【教学目标】1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．.【教学重点】1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.【教学难点】了解利用拼图验证勾股定理的方法．【教学过程设计】一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究知识点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理例1如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm；(2)S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，∴CD＝AC·BCAB＝6013cm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用例2在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC 的周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理的证明例3探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD的面积之和解答．解：方法1：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE ＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋12(b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；方法2：此图也可以看成Rt △BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴S △ABC ＋S △ACD＝S △ABD ＋S △BCD ，即12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a (b －a )，整理得b 2＋ab ＝c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋ab －a 2，∴a 2＋b 2＝c 2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．知识点二：勾股定理与图形的面积例4 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E 的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．【板书设计】17.1 勾股定理课时1 勾股定理1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．【教学反思】在课堂教学中应注意调动学生学习数学的积极性．让学生满怀激情地投入到数学学习中，提高数学课堂教学效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时1 勾股定理学案【学习目标】1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想；2.会用勾股定理进行简单的计算.【学习重点】掌握用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.【学习难点】能够运用勾股定理进行有关的运算．【自主学习】一、知识回顾网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A、B 的面积吗？你又能想到什么方法算出正方形C的面积呢？AB CCBA方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：左图：S c=__________________________;右图：S c=__________________________.方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：左图：S c=__________________________;右图：S c=__________________________.二、合作探究考点1：勾股定理的认识及验证想一想 1.2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正方形A，B和C面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？2.右图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)4.正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？思考你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么________.活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想.证法利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”＝________，证明：∵S大正方形S小正方形＝________,S大正方形＝___·S三角形＋S小正方形，∴________=________+__________.要点归纳：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 公式变形：222222, ，=+--.a cb bc a c a b知识点2：利用勾股定理进行计算【典例探究】例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=b=5,求c;（2）若a=1,c=2,求b.变式题1 在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.变式题2在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．【跟踪训练】求下列图中未知数x、y的值：三、知识梳理内容勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.注意1.在直角三角形中2.看清哪个角是直角3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.下列说法中,正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c22. 如图，Rt△ABC（∠C=90°）的主要性质：（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：____________________.（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：_________.3.如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么_________.4. 右图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____________.5.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，则c=_______.（2）若c=13，b=12，则a=_______.6.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.7.如图所示，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6，则正方形A，B的面积的和为_______.8.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.9.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．10.如图，将长为10米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为6米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。
新人教版八年级数学下册《十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 17.1.2勾股定理应用 数轴表示根号13》教案_14
勾股定理应用(3)教学目标：1．能用勾股定理证明直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理；2．能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点；3．能运用勾股定理解决直角三角形相关问题。
教学重难点：1．用勾股定理作出长度为无理数的线段；2．运用勾股定理解决直角三角形相关问题。
教学过程:一.自主学习(完成下列问题)1.勾股定理的定义是什么?2.问题1 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．”学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？例1：已知如图，在Rt△ABC 和Rt△A B C 中，∠C=∠C =90°，AB=A B ，AC=A C．求证：△ABC≌△A B C ．二. 勾股定理与三角形全等综合的证明题：如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点．求证：AD 2 +DB 2 =DE 2．三.新知探究:1.例：用圆规与尺子在数轴上作出表示13的点，并补充完整作图方法。
步骤如下：(1)在数轴上找到点A ，使OA ＝ ；(2)作直线l 垂直于OA ，在l 上取一点B ，使AB ＝ ；(3)以原点O 为圆心，以OB 为半径作弧，弧与数轴交于点C ，则点C 即为表示13 的点．2.你能在数轴上画出表示 的点吗？四.课堂练习1. 一张长方形纸片宽AB=8cm ，长BC=10cm.现将纸片折叠，使顶点D 落在BC 边上的点F 处(折痕为AE)，求CF 与EC 的长。
172. 一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．五.知识梳理通过本节课的学习你有那些收获：六.达标训练1、在数轴上画出表示 的点。
2、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 沿着圆柱的侧面爬行到点C 处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是( )A.20cmB.10cmC.14cmD.无法确定3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，S △ABC =30cm 2，求边AB 的长。
人教版数学八年级下册17.1第1课时《 勾股定理》教案
人教版数学八年级下册17.1第1课时《勾股定理》教案一. 教材分析《勾股定理》是中学数学中的一个重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的一种简单而美妙的关系。
人教版八年级下册第17.1节《勾股定理》主要介绍了勾股定理的证明和应用。
通过这一节的学习，学生可以加深对勾股定理的理解，提高解决几何问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质等基础知识。
但勾股定理的证明和应用需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习基础，针对不同学生进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解勾股定理的证明过程，掌握勾股定理的内容。
2.能够运用勾股定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.勾股定理的证明过程。
2.勾股定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引发学生对勾股定理的思考，激发学生的学习兴趣。
2.演示教学法：通过几何画板等软件，直观地展示勾股定理的证明过程。
3.问题驱动法：引导学生通过解决问题，深入理解勾股定理的内涵。
4.小组合作法：鼓励学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作勾股定理的课件，包括证明过程的动画演示。
2.几何画板：用于展示勾股定理的证明过程。
3.练习题：准备一些有关勾股定理的应用题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实例，如篮球架、自行车等，引导学生思考这些实例中是否存在勾股定理的应用。
让学生感受到勾股定理在现实生活中的重要性。
2.呈现（10分钟）利用几何画板，演示勾股定理的证明过程。
首先，展示一个直角三角形，然后通过动态变化，引导学生发现直角三角形三边之间存在的关系。
最后，给出勾股定理的数学表达式。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用勾股定理解决一些实际问题。
人教版初中数学八年级下册精品教学课件 第17章 勾股定理 17.1 勾股定理 第2课时
关闭
10
答案
互动课堂理解
勾股定理的实际应用
【例题】 有一正方体礼盒如图所示,在底部A处有一只壁虎,C'处
有一只蚊子,壁虎急于捕捉到蚊子充饥.
(1)试确定壁虎所爬行的最短路线;
(2)若正方体礼盒的棱长为20 cm,壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子,
第2课时
勾股定理的实际应用
快乐预习感知
1.某城市一区域的示意图如图所示,建立平面直角坐标系后,学校
和体育场的坐标分别是(3,1),(4,-2),下列各地点中,离原点最近的是
(
)
A.超市
B.医院
C.体育场
D.学校
关闭
A
答案
快乐预习感知
2.如图,有两棵树,一棵高为12 m,另一棵高为6 m,两树相距8 m,一
多少厘米?
关闭
解 设CB长为x cm,
则AC为(x+10)cm,即CD=(x+10)cm.
在Rt△BCD中,由勾股定理,
得x2+402=(x+10)2,解得x=75.
因此,荷花入水部分BC长为75 cm.
答案
则梯子顶端距离墙角 (
)
A.0.2 m
B.0.4 m
C.2 m
D.4 m
关闭
C
答案
轻松尝试应用
1
2
3
4
5
6
2.如图,一根长度为17 cm的筷子,斜放在底面半径为3 cm的圆柱形
水杯内,量得露在水杯外面的部分AD的长为7 cm,则水杯的高AC是
(
)
A.10 cm B.8 cm
人教版八年级数学下册第17章 勾股定理：勾股定理在实际生活中的应用
随堂即练
解：如右下图, AC＝36cm,BC＝108÷4＝27(cm)． 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452, ∴AB＝45cm, ∴整个油纸的长为45×4＝180(cm)．
课堂总结
用勾股定理解 决实际问题
勾股定理 解决“HL”判定方法
的应用
D.18cm
3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为___1_0___.
随堂即练
4.如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵2米,两棵对 相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢, 问小鸟至少飞行多少？ B
C
A
解：如图,过点A作AC⊥BC于点C. 由题意,得AC=8米,BC=8-2=6(米),
数学来源于生活,勾股定理的应用在生活中无处不在, 观看下面视频,你们能理解曾小贤和胡一菲的做法吗？
新课讲解
1 勾股定理的简单实际应用
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门
的情况,并结合曾小贤和胡一菲的做法,对于长竹竿进 门之类的问题你有什么启发？
新课讲解
2m
例1 一个门框的尺寸如图所示,一块长3m,宽2.2m的 长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
新课讲解
练一练
如图,是一个边长为1的正方体硬纸盒,现在A处有一
只蚂蚁,想沿着正方体的外表面到达B处吃食物,求蚂
蚁爬行的最短距离是多少.
B
B
1
A
A
2
解：由题意,得AC =2,BC=1.
C
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB²= AC²+ BC²=2²+1²=5,
∴AB= 5 ,即最短路程为 .5
青海省西宁市七一中学人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理(教案)
4.勾股数：了解勾股数的定义，能够找出常见的勾股数，并学会判断一个三元组是否为勾股数。
本节教学内容注重勾股定理的原理、应用与证明方法，使学生在理解定理的基础上，掌握解题方法和技巧。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力：通过勾股定理的探索与证明过程，使学生掌握逻辑推理方法，提高数学思维能力；
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形边长的情况？”（如测量屋顶的斜边长度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
（3）学会找出勾股数，并能判断一个三元组是否为勾股数。
举例说明：
（1）通过实际例题，让学生学会将勾股定理应用于直角三角形中，求解未知边长；
（2）以具体图形为例，引导学生理解并掌握勾股定理的证明方法；
（3）提供一些三元组，让学生练习判断哪些是勾股数，哪些不是。
2.教学难点
（1）理解并掌握勾股定理的证明过程，尤其是面积法和相似三角形法的运用；
（2）在实际问题中，能够灵活运用勾股定理进行问题分析及解决。
举例说明：
（1）针对面积法和相似三角形法的证明过程，设计梯度性问题，帮助学生逐步理解难点；
（2）通过设置实际情境，让学生学会将勾股定理应用于问题解决，如计算直角三角形的斜边长度等。
本节课的教学难点与重点旨在让学生深入理解勾股定理的原理和应用，培养他们解决实际问题的能力。在教学过程中，教师需针对重点内容进行详细讲解，针对难点内容设计梯度性问题，引导学生逐步突破难点。
新人教版八年级数学下册《十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 17.1.2勾股定理应用 数轴表示根号13》课件_24
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
通过本节课的学习你有那些收获：
1．能用勾股定理证明直角三角形全等 的“斜边、直角边”判定定理；
2．能应用勾股定理在数轴上画出表示 无理数的点；
3．能运用勾股定理解决直角三角形相 关问题。
1、在数轴上画出表示 20的点。
2、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点
数轴交于C点l ，则点C即为表示 13 的点。
B
∴点C即为表示 13 的点
0 1 2 A3 C 4
你能在数轴上画出表示 17 的点吗？
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为 1, 2 , 3, 4 , 5 的线段.
1
12
34 5
数学海螺图：
（三）、利用勾股定理解决有关的折叠问题
例3、一张长方形纸片宽AB=8cm，长
B C′ B′
证明“HL”
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，∠C= ∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：
A
∵ AB=A′B′，
AC=A′C′，
∴ BC=B′C′．
∴ △ABC≌△A′B′C′
（SSS）． C
A′ B C′ B′
（一）、勾股定理与三角形全等综合的证明题：
C
B
练习1：
如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∠ACB =∠ECD =90°，D为AB边上一点．求证：AD2 + DB2 =DE2．
证明：∴ ∠B =∠CAE=45°，
∠DAE =∠CAE+∠BAC =45°+45°=90°．
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桑水
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
17.1 勾股定理
课题 17.1 勾股定理（2） 授课类型 新授课
课标依据
教学
目标
知识与
技能
能熟练运用勾股定理解决一些实际问题。
过程与
方法
通过对勾股定理的应用，树立学生对知识的应用意识。
情感态
度与价值观 经历解决问题的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣。
教学
重点
难点
教学
重点
将实际问题转化为直角三角形模型。
教学
难点
如何用解直角三角形的知识和勾股定理解决实际问题。
教学媒体选择分析表
知识点 学习目标 媒体类型 教学 作用 使用 方式 所得结论 占用 时间 媒体来源
介绍 知识目标 PPT A G 拓展知识 3分钟 自制
讲解 过程与方法 PPT D G 建立表象 10分钟 自制
观看 过程与方法 PPT D B 帮助理解 15分钟 自制
桑水
①媒体在教学中的作用分为：A.提供事实，建立经验；B.创设情境，引发动机；C.举例验
证，建立概念；D.提供示范，正确操作；E.呈现过程，形成表象；F.演绎原理，启发思维；
G.设难置疑，引起思辨；H.展示事例，开阔视野；I.欣赏审美，陶冶情操；J.归纳总结，复
习巩固；K.其它。
②媒体的使用方式包括：A.设疑—播放—讲解；B.设疑—播放—讨论；C.讲解—播放—概
括；D.讲解—播放—举例；E.播放—提问—讲解；F.播放—讨论—总结；G.边播放、边讲解；
H.设疑_播放_概括.I讨论_交流_总结J.其他
教学过程师生活动 设计意图
桑水
设计 一、复习旧知 1、什么是勾股定理？ 2、求出下列直角三角形中未知的边．求出下列直角三角形中未知的边。 二、讲授新课 问题1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？ 生：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过． 生：在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否通过． 师生共析： 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理 AC2=AB2+BC2=12+22=52． 因此AC≈5≈2.236． 因为AC>木板的宽，所以木板可以从门框内通过。 变式训练1 一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面直径为5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面露出5㎝，问吸管要做多长？
复习旧知识，
为学习新知识
做好准备。
进一步体会勾
股定理在现实
生活中的广泛
应用，提高解
决实际问题的
能力。
桑水
变式训练2
做一个长、宽、高分别为50厘米、40厘米、30厘米的木
箱，一根长为70厘米的木棒能否放入,为什么？试用今天学过
的知识说明。
问题2：如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO
上，这时AO的距离为2.5m， 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，
那么梯子底端B也外移0.5m吗？
生：梯子底端B随着梯子顶端A沿墙下滑而外移到D，即
BD的长度就是梯子外移的距离。
可以看到BD=OD-OB，求BD可以先求出OB，OD．
师：OB，OD如何求呢？
生：根据勾股定理，在Rt△OAB中，AB=3m，OA=2.5m，
所以OB2=AB2-OA2=32-2.52=2.752．
OB≈1.658m（精确到0.001m）
进一步熟悉如
何将实际问题
转化成数学模
型，并能用勾
股定理解决简
单的实际问
题，发展学生
的应用意识和
应用能力。
桑水
在Rt△OCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，
所以OD2=CD2-OC2=32-22=5．
归纳：让学生回顾两道例题的解题思路与方法，然后总结
出利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:
(1)将实际问题转化为数学问题,建立数学模型。
(2)运用勾股定理解决数学问题。
三、巩固练习：
1、台风袭击中，一棵大树在离地面9米处断裂，树的顶部
落在离树根底部12米处。这棵树原来有多高？
2、有一个圆柱,它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米,
在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁，它想从点A爬到点B ， 蚂
蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3)
3、在长30cm、宽50 cm、高40 cm的木箱中，如果在箱内
的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？
4、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别
为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有
一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B
培养学生的概
括归纳能力，
进一步体会转
化的数学思想
和建模的数学
思想。
及时的巩固练
习，进一步提
高学生应用勾
股定理解决问
题的能力。提
高学生学习数
学的兴趣。
桑水
点的最短路程是多少？
五、课堂小结：今天大家有什么收获？
六、课后作业：习题17.1 2、4、5
3
2
20
B
A
桑水