2014-2015年福建省泉州市南安一中高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)
福建省南安一中2015届高三上学期期中考试 数学【文】试题及答案
南安一中2014～2015学年度高三上学期期中考文科数学试卷本试卷考试内容为：函数与导数、三角函数、数列、立体几何、直线与圆。
分第I 卷（选择题）和第II 卷，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。
按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =,{}3,4,5B =，下图中阴影部分所表示的集合为 A ．{}3 B ．{}1,2 C ．{}4,5 D ．{}1,2,3,4,52.在复平面上，复数i1i3++=z 对应点所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数()4log 2-+=x x x f 的零点所在的区间是A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．()2,1C ．()3,2D ．()4,34.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表．面积．．等于A ．12πcm 2B ．15πcm 2C ．24πcm 2D ．30πcm 25.“1m =”是“直线20mx y ++=与直线10x my +-=相互平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6.设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ∥β D ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β 7.设0,0a b >>3a与3b的等比中项，则11a b+的最小值为 A ．14B ．1C ．4D ．88.已知函数()log ()a f x x b =+的大致图象如右图，其中b a ,为常数，则函数b a x g x +=)(的大致图象是9.已知向量a , b 均为单位向量，若它们的夹角是60°，则b a 3-等于A ．3B ．2C ．13D ．710.已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是A． BC ．45D ．45-11.设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则123n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅的值为 A ．11n + B ．1n n + C ．1nD ．1 12.定义运算：12122112a a ab a b b b =-，将函数sin 2()cos 2x f x x=的图象向左平移t （0t >）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为 A ．6π B ．512π C ．3πD ．56π第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13.若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 6＝ ．14.已知实数x y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-3102x y x y x ，则y x z 32+=的最小值是 ．15.已知△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若△ABCA B C D3,a =3B π=,则b = ．16.在一次研究性学习中小李同学发现，以下几个式子的值都等于同一个常数M ： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°=M ； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°=M ； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°=M ； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°=M ； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°=M ；请计算出M 值，并将该同学的发现推广为一个三角恒等式. .三、解答题：本大题6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（本小题满分12分）已知三棱柱ADF BCE -中，DF ⊥平面ABCD ，AD DC =，G 是DF 的中点 （Ⅰ）求证：//BF 平面ACG（Ⅱ）求证：平面ACG ⊥平面BDF18.（本小题满分12分）已知直线l 与直线20x y +-=垂直，且过点(2,1) （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l 被该圆所截得的弦长为求圆C 的标准方程.19.（本小题满分12分）已知(cos ,23cos ),(2cos ,sin )a x x b x x ==，且()f x a b =⋅ （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，,,a b c 分别是,,A B C 的对边，若2)cos cos a c B b A +=-（成立，求()f A 的取值范围.20.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，11b =，且2264,b S =33960b S =．(Ⅰ)求n a 与n b ； (Ⅱ)证明：1211134n S S S +++<．21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2BC PD ==，E 为PC 的中点，3CB CG = （Ⅰ）求证：;BC PC ⊥（Ⅱ）求三棱锥C DEG -的体积；（Ⅲ）AD 边上是否存在一点M ，使得//PA 平面MEG .若存在，求AM 的长；若不存在，说明理由.22.（本小题满分14分）已知函数()21)ln f x ax a x b =--+（. （Ⅰ）若()f x 在点(1,(1)f )处的切线方程为y x =，求实数a b 、的值; （Ⅱ）当0a >时，讨论()f x 的单调性;（Ⅲ）当1a =时，()f x 在区间1(,)e e上恰有一个零点，求实数b 的取值范围.南安一中2014～2015学年度高三（上）期中考文科数学试卷答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．13.11 14.9 15 sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34三、解答题：本大题满分74分．17.证明：（Ⅰ）设AC 、BD 相交于点O ，连结OG∵AD DC = ∴ABCD 为菱形 ∴O 为BD 的中点∵G 是FD 的中点∴//OG BF又∵OG ⊂平面AGC BF ⊄平面AGC∴//BF 平面ACG ……………………………6分 （Ⅱ）∵ABCD 为菱形∴AC BD ⊥又∵DF ⊥平面ABCD AC ⊂平面ABCD ∴DF ⊥AC又∵BD DF D = BD DF ⊂、平面BDF∴AC ⊥平面BDF 又∵AC ⊂平面ACG∴平面ACG ⊥平面BDF ……………………………12分 18.解：（Ⅰ）∵l 与20x y +-=垂直 ∴1l k =∵l 过点(2,1) ∴l 的方程1(2)y x -=- 即1y x =- ……………………………4分 （Ⅱ）设圆的标准方程为222()x a y r -+=O2222(1)2a r r ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 解得：3,2a r == …………………………8分 ∴圆的标准方程为22(3)4x y -+= …………………………12分 19.解：（Ⅰ）(cos ),(2cos ,sin )a x x b x x ==2()2cos cos f x x x x ∴=+1)62sin(2++=πx ……………………………3分T π∴= ……………………………4分 单调递增区间为：)222(Z k x k k πππππ-+≤+≤+∈解得：()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴单调递增区间为：()x k k k Z ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈-++∈，……………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得：(sinA+2sinC)cosB=－sinBcosA∴ sin(A+B)= －2sinCcosB ∴ cosB=12-∵B 为三角形的内角 ∴B =23π……………………………8分 ∴()2sin(2A )16f A π=+-+1 又5023666A A ππππ<<∴<+<1s i n (2A )1π∴<+≤ ……………………………10分 故(()0,1f A ⎤⎦∈2，3] ……………………………12分 20.解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则0d >，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=．依题意有23322(93)960(6)64S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩．解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去)． ……………4分 ∴132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+= ……………………………6分(Ⅱ)∵35(21)(2)n S n n n =++++=+， ∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯⨯+11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 1111(1)2212n n =+--++ 31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭． ……………………………10分 ∵n N *∈ ∴1110212n n ⎛⎫+> ⎪++⎝⎭∴12111n S S S +++34< ……………………………12分 21.(Ⅰ)证明：⊥PD 平面ABCD ，BC PD ⊥∴ 又∵ABCD 是正方形 ∴BC CD ⊥ ∵PD CD D =∴BC ⊥平面PCD ……………………………3分 又∵PC ⊂面PBC ∴PC BC ⊥ ……………………………4分 (Ⅱ)解：∵BC ⊥平面PCD ，∴GC 是三棱锥G DEC -的高 ……………………………5分 ∵E 是PC 的中点1)2221(212121=⋅⋅⋅===∴∆∆∆PDC EDC EDC S S S ……………………………6分 921323131=⋅⋅=⋅==∴∆--DEC DEC G DEG C S GC V V ……………………………8分(Ⅲ)连结AC ，取AC 中点O ，连结EO GO ,，延长GO 交AD 于点M ，则PA //平面MEG ……………………………9分下面证明之∵E 为PC 的中点，O 是AC 的中点， ∴EO //PA ， ……………………………10分又MEG PA MEG EO 平面平面⊄⊂, ∴PA //平面MEG……………………………11分在正方形ABCD 中， ∵O 是AC 的中点， OCG ∆∴≌OAM ∆,32==∴CG AM ∴所求AM 的长为.32……………………………12分22.解：（Ⅰ）21(21)'()a ax a f x a x x---=-=……………………………1分 依题意，'(1)11(1)1f a f a b =-=⎧⎨=+=⎩……………………………2分解得： 01a b =⎧⎨=⎩ ……………………………4分 （Ⅱ）()f x 的定义域为0,+∞（）21(21)'()a ax a f x a x x ---=-=(21)[]a a x a x--= ①当102a <≤时，恒有'()0f x > 故()f x 的单调递增区间为0,+∞（） ……………………5分②当12a >时, (21)[]'()a a x a f x x --=,令'()0f x =得，210a x a-=>, ………………………………6分()f x 及'()f x 的值变化情况如下表：………………………………8分故()f x 的单调递减区间为21(0,)a a -，单调递增区间为21(,)a a-+∞ ………………………9分（Ⅲ）当1a =时，()ln f x x x b =-+，由（Ⅱ）知，()f x 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数，∴()f x 的最小值为(1)1f b =+. ………………………………10分11()1f b e e =++，()1f e e b =-+ 111()()1120f f e e e e e e ∴-=+-+=+-<即：1()()f f e e< ………………………………11分()f x 在区间1(,)e e 上恰有一个零点()0(1)01()0f e f f e >⎧⎪∴=⎨≤⎪⎩或 即：1010110e b b b e-+>⎧⎪+=⎨++≤⎪⎩或 ………………………………13分解得：1b =-或11--1-e b e<≤ ………………………………14分。
福建省泉州市南安一中2015_2016学年高二数学上学期期中试题文(含解析)
2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=( )A．45 B．54 C．90 D．1262．如图，两个变量具有相关关系的图是( )A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（2）（3）3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为( )A．11 B．12 C．13 D．144．“m=1”是“函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件5．为了研究一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中底部周长大于100cm 的株树大约中( )A．3000 B．6000 C．7000 D．80006．某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k==16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是( )A．40 B．39 C．38 D．377．下列说法中正确的是( )A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件8．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为( )A．20 B．25 C．22.5 D．22.759．已知a∈{﹣2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，则函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是( )A．B．C．D．10．运行如图框图输出的S是254，则①应为( )A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤811．一只蜜蜂在一个棱长为5的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于2，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A．B．C．D．12．有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为( )A．45 B．55 C．90 D．100二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是__________；14．设a∈R，则“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”的__________条件是“a=1”．15．已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是__________．16．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．18．2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：A．45 B．54 C．90 D．126【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的容量n．【解答】解：A种型号产品所占的比例为=，18，故样本容量n=90．故选：C．【点评】本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．2．如图，两个变量具有相关关系的图是( )A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（2）（3）【考点】变量间的相关关系．【专题】图表型；数形结合；数形结合法；概率与统计．【分析】根据相关关系的定义，分析四个图形中两个变量的关系，可得答案．【解答】解：（1）中两个变量之间是确定的函数关系，（2）中两个变量之间具有相关关系；（3）中两个变量之间具有相关关系；（4）中两个变量之间不具有相关关系；故两个变量具有相关关系的图是（2）（3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是变量间的相关关系，正确理解相关关系的概念是解答的关键．3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为( )A．11 B．12 C．13 D．14【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故：B．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题．4．“m=1”是“函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据二次函数的图象和性质，求出函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数的m的取值，进而根据充要条件的定义，得到答案．【解答】解：若函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数，则3m≥3，解得：m≥1，故“m=1”是“函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的充分不必要条件，故选：B【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．5．为了研究一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中底部周长大于100cm 的株树大约中( )A．3000 B．6000 C．7000 D．8000【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率．底部周长小于100cm的矩形的面积求和乘以样本容量即可．【解答】解：由图可知：底部周长小于100cm段的频率为（0.01+0.02）×10=0.3，则底部周长大于100cm的段的频率为1﹣0.3=0.7那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约10000×0.7=7000人．故选C．【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力．统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题．6．某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k==16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是( )A．40 B．39 C．38 D．37【考点】系统抽样方法．【专题】计算题．【分析】各组被抽到的数，应是第一组的数加上间隔的正整数倍，倍数是组数减一．【解答】解：根据系统抽样的原理：应取的数是：7+16×2=39故选B【点评】本题主要考查系统抽样，系统抽样要注意两点：一是分组的组数是由样本容量决定的，二是随机性是由第一组产生的数来决定的．其他组加上间隔的正整数倍即可．7．下列说法中正确的是( )A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件【考点】互斥事件与对立事件；命题的真假判断与应用．【分析】互斥事件是不可能同时发生的事件，而对立事件是A不发生B就一定发生的事件，他两个的概率之和是1．【解答】解：由互斥事件和对立事件的概念知互斥事件是不可能同时发生的事件对立事件是A不发生B就一定发生的事件，故选D【点评】对立事件包含于互斥事件，是对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件，认识两个事件的关系，是解题的关键．8．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为( )A．20 B．25 C．22.5 D．22.75【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．【解答】解：根据频率分布直方图，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5，0.3+0.08×5=0.7＞0.5；∴中位数应在20～25内，设中位数为x，则0.3+（x﹣20）×0.08=0.5，解得x=22.5；∴这批产品的中位数是22.5．故选：C．【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．9．已知a∈{﹣2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，则函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是( )A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】首先求出所以事件个数就是集合元素个数5，然后求出满足使函数为增函数的元素个数为3，利用公式可得．【解答】解：从集合{﹣2，0，1，3，4}中任选一个数有5种选法，使函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的是a2﹣2＞0解得a＞或者a＜，所以满足此条件的a有﹣2，3，4共有3个，由古典概型公式得函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是；故选：B．【点评】本题考查了古典概型的概率求法；关键是明确所有事件的个数以及满足条件的事件公式，利用公式解答．10．运行如图框图输出的S是254，则①应为( )A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+…+26+27=254，故①中应填n≤7．故选C．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．11．一只蜜蜂在一个棱长为5的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于2，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为大正方体的体积的，故安全飞行的概率为．【解答】解：由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为p=．故选C．【点评】本题考查几何概型概率的求法，解题时要认真审题，注意小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．12．有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为( )A．45 B．55 C．90 D．100【考点】归纳推理．【专题】等差数列与等比数列；推理和证明．【分析】用特殊值法，假设每次分出一个，分别求出每一次的乘积，然后等差数列的性质相加可得答案．【解答】解：假设每次分堆时都是分出1个球，第一次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣1个，则乘积为1×（n﹣1）=n﹣1；第二次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣2个，则乘积为1×（n﹣2）=n﹣2；依此类推最后一次应该是应该一堆是1个球，另一堆1个，则乘积为1×1=1；设乘积的和为T n，则T n=1+2+…+（n﹣1）=n（n﹣1）当n=10时，T10=×10×（10﹣1）=45故选：A【点评】本题主要考查等差数列的求和．属基础题．在解答选择填空题时，特殊值法是常用方法之一．解决本题的关键在于特殊值法的应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是132；【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=10时，不满足条件i≥11，退出循环，输出s的值为132．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=12，s=1满足条件i≥11，s=12，i=11满足条件i≥11，s=132，i=10不满足条件i≥11，退出循环，输出s的值为132．故答案为：132．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．14．设a∈R，则“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”的充分不必要条件是“a=1”．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】方程思想；数形结合法；简易逻辑．【分析】“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”⇔，解出即可判断出结论．【解答】解：“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”⇔⇔a=±1．∴“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”的充分不必要条件是“a=1”．故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是1﹣．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】分别求出对应事件对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵三角形的三边长分别是5，5，6，∴三角形的高AD=4，则三角形ABC的面积S=，则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2，对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为2，则阴影部分的面积为S1=12﹣=12﹣2π，则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为，故答案为：1﹣．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．16．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故答案为：．【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】应用题．【分析】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，（I）A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}，代入古典概率的求解公式可求（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}，代入古典概率的求解公式可求【解答】解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种结果，每种情况等可能出现．（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．事件A由4个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为．（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}．事件B由7个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为．【点评】本题主要考查了等可能事件的概率公式的应用，解题的关键是准确求出每种情况下事件的个数．18．2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：【考点】频率分布直方图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率=，计算出对应的频率，补充完整频率分布直方图，再计算观看此部电影的观众年龄平均数即可；（2）求出年龄在[25，30）和[40，45）内的频率与频数，用列举法求出对应的基本事件数，计算概率即可．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，年龄在[25，30）的频率为1﹣（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.2，∴年龄在[25，30）的小矩形的高为=0.04，补充画完整频率分布直方图如图所示，∴估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为22.5×0.01×5+27.5×0.04×5+32.5×0.07×5+37.5×0.06×5+42.5×0.02×5=33.5；（2）年龄在[25，30）内的频率为0.2，对应的人数为20×0.2=4，记为a、b、c、d；年龄在[40，45）内的频率为0.02×5=0.1，对应的人数为20×0.1=2，记为E、F；现从这6人中随机抽取2人，基本事件是ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，共15种，属于同一年龄组的基本事件是ab、ac、ad、bc、bd、cd、EF，共7种，所以，所求的概率是P=．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．19．某地区2006年至2012年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2006年至2012年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2014年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．．【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据数据求出样本平均数以及对应的系数即可求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）根据条件进行估计预测即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意得=4，==4.3，== 0.5．=4.3﹣0.5×4=2.3即y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）∵线性回归方程为=0.5t+2.3；斜率k=0.5＞0，可知2006年至2012年该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加，平均增加0.5千元，当t=9时，=0.5×9+2.3=6.8；预测该地区2014年农村家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题主要考查线性回归方程的求解以及应用，根据数据求出相应的系数是解决本题的关键．考查学生的运算能力．20．已知全集U=R，非空集合A=，B={x|（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）≤0}（m＞0）（Ⅰ）当m=1时，求（∁U B）∩A；（Ⅱ）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；交、并、补集的混合运算．【专题】转化思想；数学模型法；集合；简易逻辑．【分析】（I）由，解得﹣2≤x≤10，可得A．当m=1时，B==．可得∁U B．即可得出（∁U B）∩A．（II）由m＞0，可得B=．由q是p的必要不充分条件，可得B⊊A．【解答】解：（I）由，解得﹣2≤x≤10，可得A=．当m=1时，B==．∁U B=（﹣∞，0）∪（2，+∞）．∴（∁U B）∩A=．（II）∵m＞0，∴B=．∵q是p的必要不充分条件，∴B⊊A．∴，m＞0，且等号不能同时成立．解得0＜m≤3．【点评】本题查克拉不等式的解法、集合的运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下：（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由；（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．【考点】极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）解法一：求出，答案一：从稳定性角度选甲合适．（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．答案二：通过乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．）解法二：求出甲摸底考试成绩不低于90的概率，乙摸底考试成绩不低于90的概率，然后决定选谁合适．（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．列出这5次摸底考试中任意选取2次所有情况．恰有一次摸底考试两人“水平相当”的情况个数然后求出概率．【解答】解：（Ⅰ）解法一：依题意有，答案一：∵∴从稳定性角度选甲合适．（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．答案二：∵乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为；乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为．所以选乙合适．（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况．恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况．∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率．【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．22．如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（1）按大小数列排列得出x值，运用平均数公式求解y，（2）判断甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，列举得出甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，运用古典概率求解．（3）求解甲的平均数，方差，一点平均数，方差，比较方差越小者越稳定，越大，波动性越大．得出结论：甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．【解答】解：（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以x=6，因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以y=3，（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为p=，（3）因为甲的平均数为：=（64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）=75，所以甲的方差S2甲==50.2，又乙的方差S2乙==70.3，因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．【点评】本题考察了茎叶图的运用，求解方差，进行数据的分析解决实际问题，考察了计算能力，准确度．。
2014-2015年福建省泉州市晋江市养正中学高二上学期数学期中试卷及参考答案
2014-2015学年福建省泉州市晋江市养正中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分共60分）1．（5分）命题“任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2+x+1≤0 B．不存在x∈R，都有x2+x+1≤0C．存在x0∈R，使得x02+x0+1＞0 D．存在x0∈R，使得x02+x0+1≤02．（5分）为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔（抽样距）K为（）A．40 B．30 C．20 D．123．（5分）某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，现采用随机模拟的方法估计第三次才能打开门的概率：先由计算器产生1～5之间的整数随机数，1，2表示能打开门，3，4，5表示打不开门，再以每三个数一组，代表三次开门的结果，经随机模拟产生了20组随机数，453，254，341，134，543，523，452，324，534，435，535，314，245，531，351，354，345，413，425，553据此估计，该人第三次才打开门的概率（）A．0.2 B．0.25 C．0.15 D．0.354．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，a5=4a3，则的值为（）A．B．C．2 D．±5．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．3 C．D．8．（5分）某选手参加演讲比赛的一次评委打分如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．86.5，1.5 B．86.5，1.2 C．86，1.5 D．86，1.29．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．﹣3 B．﹣ C．D．210．（5分）若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于（）A．﹣1或+1 B．﹣1 C．+1 D．2﹣12．（5分）判断下列命题真假，真命题个数有（）个①命题“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否命题为“若x=1，则x2+x﹣2≠0”；②设命题p：∃x0∈（0，∞），log2x0＜log3x0，命题q：∀x∈（0，），tanx＞sinx，则p∧q为真命题；③设a，b∈R，那么“ab+1＞a+b”是“a2+b2＜1”的必要不充分条件．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是真命题，则实数a的取值范围为．14．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=．15．（5分）如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且a﹣c=，那么椭圆的方程是．16．（5分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为=﹣20x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为．三、解答题（共70分）17．（10分）若a＞0，设命题p：{x|x2﹣4ax+3a2≥0}，命题q：{x|x2﹣x﹣6≥0，且x2+2x﹣8＜0}（1）如果a=1，且p∧q为真时，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件时，求实数a的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）某校高三年级一次数学考试之后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取n名学生的数学成绩，制成如表所示的频率分布表．（1）求a，b，n的值；（2）若从第三，四，五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．21．（12分）在平面直角坐标系中，点A（1，0）、B（﹣1，0），已知|CA|=2，BC的垂直平分线l交AC于D，当点C动点时，D点的轨迹图形设为E．（1）求E的标准方程；（2）点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|2+|PF|2的最小值．22．（12分）椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），F1，F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1），且离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设椭圆的左、右顶点分别为A、B，直线l的方程为x=4，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交直线l于D、E两点，求证•为一定值，并求出这一定值；（3）是否存在过点Q（1，0）的直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，使⊥，若存在，求出l的斜率，若不存在，请说明理由．2014-2015学年福建省泉州市晋江市养正中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分共60分）1．（5分）命题“任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2+x+1≤0 B．不存在x∈R，都有x2+x+1≤0C．存在x0∈R，使得x02+x0+1＞0 D．存在x0∈R，使得x02+x0+1≤0【解答】解：∵命题为全称命题，∴命题的否定是存在x0∈R，使得x02+x0+1≤0，故选：D．2．（5分）为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔（抽样距）K为（）A．40 B．30 C．20 D．12【解答】解：抽样距==40．故选：A．3．（5分）某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，现采用随机模拟的方法估计第三次才能打开门的概率：先由计算器产生1～5之间的整数随机数，1，2表示能打开门，3，4，5表示打不开门，再以每三个数一组，代表三次开门的结果，经随机模拟产生了20组随机数，453，254，341，134，543，523，452，324，534，435，535，314，245，531，351，354，345，413，425，553据此估计，该人第三次才打开门的概率（）A．0.2 B．0.25 C．0.15 D．0.35【解答】解：该人第三次才打开门，则计算机的模拟数据前两个数字应是3，4，5中的某两个，而第三个数字为1或2，从模拟出现的20个结果看，只有341，452，531，351四种情形，故该人第三次才打开门的概率p==0.2．故选：A．4．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，a5=4a3，则的值为（）A．B．C．2 D．±【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，a5=4a3，∴q2==4，∴q=2，或q=﹣2（舍），∵===．故选：B．5．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，由一条渐近线为y=﹣x，可得=，即b=a，即有e====．故选：A．7．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F 1、F2，点P在椭圆上．若P、F 1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．3 C．D．【解答】解：设椭圆短轴的一个端点为M．由于a=4，b=3，∴c=＜b∴∠F1MF2＜90°，∴只能∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±得y2=9=，∴|y|=．即P到x轴的距离为，故选：D．8．（5分）某选手参加演讲比赛的一次评委打分如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．86.5，1.5 B．86.5，1.2 C．86，1.5 D．86，1.2【解答】解：由已知的茎叶图七位评委打出的分数为：78，85，85，86，86，88，90，去掉一个最高分93和一个最低分78后，所剩数据的平均数==86，方差S2=[（85﹣86）2+（85﹣86）2+（86﹣86）2+（86﹣86）2+（88﹣86）2]=1.2，故选：D．9．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．﹣3 B．﹣ C．D．2【解答】解：由程序框图得：第一次运行S==﹣3，i=2；第二次运行S==﹣，i=3；第三次运行S==，i=4；第四次运行S==2，i=5；第五次运行S==﹣3，i=6，…S的值是成周期变化的，且周期为4，当i=2015时，程序运行了2014次，2014=4×503+2，∴输出S=﹣．故选：B．10．（5分）若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵在区间[0，2]中随机地取一个数，这两个数中较小的数大于的概率为=，故选：C．11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于（）A．﹣1或+1 B．﹣1 C．+1 D．2﹣【解答】解：如图所示，由△F2AB是等边三角形，∴∠AF2F1=30°．在RT△AF1F2中，|AF1|=c，|AF2|=c．∴c+c=2a．可得：=﹣1．故选：B．12．（5分）判断下列命题真假，真命题个数有（）个①命题“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否命题为“若x=1，则x2+x﹣2≠0”；②设命题p：∃x0∈（0，∞），log2x0＜log3x0，命题q：∀x∈（0，），tanx＞sinx，则p∧q为真命题；③设a，b∈R，那么“ab+1＞a+b”是“a2+b2＜1”的必要不充分条件．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【解答】解：①命题“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”；故①错误，②设命题p：∃x0∈（0，∞），log2x0＜log3x0，正确，比如x0=时，不等式成立，命题q：∀x∈（0，），tanx＞sinx等价为＞sinx，即＞1，即0＜cosx＜1，则q为真命题．，则p∧q为真命题；故②正确，③由ab+1＞a+b得ab+1﹣a﹣b＞0，即（a﹣1）（b﹣1）＞0，则a＞1，b＞1或a＜1，b＜1，则a2+b2＜1不一定成立，若a2+b2＜1，则﹣1＜a＜1且﹣1＜b＜1则（a﹣1）（b﹣1）＞0成立，即必要性成立，综上可知：“ab+1＞a+b”是“a2+b2＜1”的必要不充分条件，故③正确，故真命题的个数为2个，故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是真命题，则实数a的取值范围为[﹣2，2] ．【解答】解：因为命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是真命题，所以不等式x2+ax+1≥0在x∈R上恒成立．由函数y=x2+ax+1的图象是一条开口向上的抛物线可知，判别式△≤0即a2﹣4≤0⇒﹣2≤a≤2，所以实数a的取值范围是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．14．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的标准方程为y2﹣=1，虚轴的长是2，实轴长2．由题意知，2=4，∴m=﹣，故答案为﹣．15．（5分）如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且a﹣c=，那么椭圆的方程是．【解答】解：如图，由已知的正三角形，可得，联立，解得，∴椭圆的方程是．故答案为：．16．（5分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为=﹣20x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为．【解答】解：==8.5，==80∵b=﹣20，a=﹣b，∴a=80+20×8.5=250∴回归直线方程=﹣20x+250；数据（8，90），（8.2，84），（8.4，83），（8.6，80），（8.8，75），（9，68）．当x=8时，∵90=﹣20×8+250，∴点（2，20）在回归直线下方；…如图，6个点中有2个点在直线的下侧．则其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，其中这两点恰好在回归直线两侧的共有2种不同的取法，故这点恰好在回归直线下方的概率P==．故答案为：．三、解答题（共70分）17．（10分）若a＞0，设命题p：{x|x2﹣4ax+3a2≥0}，命题q：{x|x2﹣x﹣6≥0，且x2+2x﹣8＜0}（1）如果a=1，且p∧q为真时，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件时，求实数a的取值范围．【解答】解：a＞0，设命题p：x2﹣4ax+3a2≥0，解得a＜x＜3a，设A=（a，3a）．命题q：联立，解得﹣4＜x≤﹣2，设B=（﹣4，2]．（1）如果a=1，A=（1，3），∵p∧q为真，∴，解得1＜x≤2．∴实数x的取值范围是（1，2]．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件时，则q是p的充分不必要条件．∴，解得．∴实数a的取值范围是．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，∵a3=5，S6=36．∴，解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）由（1）可得，∴==．19．（12分）某校高三年级一次数学考试之后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取n名学生的数学成绩，制成如表所示的频率分布表．（1）求a，b，n的值；（2）若从第三，四，五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率．【解答】解：（1）依题意，得，解得，n=100，a=35，b=0.2（2）因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取名，名，名．第三组的3名学生记为a1，a2，a3，第四组的2名学生记为b1，b2，第五组的1名学生记为c1，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，c1}，{a2，a3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a2，c1}，{a3，b1}，{a3，b2}，{a3，c1}，{b1，b2}，{b1，c1}，{b2，c 1}．其中第三组的3名学生a1，a2，a3没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{b1，b2}，{b1，c1}，{b2，c1}．故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．【解答】解：（1）由csinA=acosC，结合正弦定理得，==，∴sinC=cosC，即tanC=，∵0＜C＜π，∴C=；（2）由（1）知B=﹣A，∴sinA﹣sin（B+）=sinA﹣cosB=sinA﹣cos（﹣A）=sinA﹣cos cosA﹣sin sinA=sinA+cosA=sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，当A+=时，sinA﹣sin（B+）取得最大值1，此时A=，B=．21．（12分）在平面直角坐标系中，点A（1，0）、B（﹣1，0），已知|CA|=2，BC的垂直平分线l交AC于D，当点C动点时，D点的轨迹图形设为E．（1）求E的标准方程；（2）点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|2+|PF|2的最小值．【解答】解：（1）设（x，y）∵l是BC的垂直平分线，∴|DB|=|DC|∴|DB|+|DA|=|AC|=2 ＞2=|AB|∴D点的轨迹图形E是A，B为焦点的椭圆其中2a=2 ，c=1，∴a=，b2=a2﹣c2=1∴D点的轨迹图形E：（2）设，则PO2=x2+y2，PF2=（x﹣1）2+y2∴|PO|2+|PF|2=2x2﹣2x+2y2+1点P（x，y）满足，∴2y2=2﹣x2∴|PO|2+|PF|2=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2∵x∈[﹣，]，∴当x=1时，|PO|2+|PF|2的最小值为222．（12分）椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），F1，F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1），且离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设椭圆的左、右顶点分别为A、B，直线l的方程为x=4，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交直线l于D、E两点，求证•为一定值，并求出这一定值；（3）是否存在过点Q（1，0）的直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，使⊥，若存在，求出l的斜率，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知，b=1，联立，解得a2=9，c2=8，b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）设P（x0，y0），则直线PA、PB的方程分别为y=（x+3），y=（x ﹣3），将x=4分别代入可求得D，E两点的坐标分别为D（4，），E（4，）．由（1），F1（﹣2，0），F2（2，0），∴•=（4+2，）•（4﹣2，）=8+，又∵点P（x0，y0）在椭圆C上，∴，得，∴•=；（3）设过点Q（1，0）的直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，设m：x=ty+1，再设M（x1，y1），N（x2，y2），F1（，0），联立，得（t2+9）y2+2ty﹣8=0．△=4t2+32（t2+9）＞0，，x1+x2=t（y1+y2）+2，∴=，==x2+y1y2==+x==≠0．∴不存在过点Q（1，0）的直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，使⊥．。
2014-2015年福建省泉州市南安一中高二(下)期中数学试卷(文科)和解析PDF
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤. 17． （12 分）已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{x|x＜4}，C＝{x|x ≥a}． （Ⅰ）求 A∩（∁UB） ； （Ⅱ）若 A⊆C，求 a 的取值范围．
18． （12 分）已知函数 f（x）＝loga（1+x）﹣loga（1﹣x） （a＞0，a≠1） ． （Ⅰ）判断 f（x）奇偶性，并证明； （Ⅱ）当 0＜a＜1 时，解不等式 f（x）＞0．
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19． （12 分）已知奇函数 f（x）＝ （Ⅰ）求 c 的值；
（c∈R） ．
（Ⅱ）当 x∈[2，+∞）时，求 f（x）的最小值． 20． （12 分）已知函数 f（x）＝ x3﹣ x2+cx+d 有极值． （Ⅰ）求 c 的取值范围； （Ⅱ）若 f（x）在 x＝2 处取得极值，且当 x＜0 时，f（x）＜ d2+2d 恒成立，求 d 的取值范围． 21． （12 分）2008 年奥运会在中国举行，某商场预计 2008 年从 1 日起前 x 个月， 顾客对某种奥运商品的需求总量 p（x）件与月份 x 的近似关系是 且 x≤12） ，该商品的进价 q（x）元与月份 x 的近似关系是 q（x）＝150+2x， （x∈N*且 x≤12） ． （1）写出今年第 x 月的需求量 f（x）件与月份 x 的函数关系式； （2）该商品每件的售价为 185 元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求， 则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？ 22． （14 分）已知函数 f（x）＝ax2+lnx（a∈R） ． （1）当 a＝ 时，求 f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值； （2）如果函数 g（x） ，f1（x） ，f2（x） ，在公共定义域 D 上，满足 f1（x）＜g（x） ＜ f2 （ x ） ，那么就称 g （ x ）为 f1 （ x ） ， f2 （ x ）的“活动函数” ．已知函数 +2ax．若在区间（1，+∞） 上，函数 f（x）是 f1（x） ，f2（x）的“活动函数” ，求 a 的取值范围．
福建省南安一中2014—2015学年高二下学期期中考试试卷 数学文 Word版含答案
南安一中2014～2015学年度高二下期中考 数学科试卷（文） 2015.4.29 本试卷考试内容为：满分１５０分，考试时间１２０分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题上 2．考生作答时，请将答案答在答题上，在本试卷上答题无效按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效 3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚 4．保持答题面清洁，不破损考试结束后，将本试卷自行保存，答题交回一、选择题：本大题共1小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．的定义域是 （ ） A． B． C． D． 2．集合，则集合可能是 B． C． D． 3．下列各组表示同一函数的是 A．与 B．与 C． D． ．已知函数，则 A． B． C． D．2．命题“”的否定是 A. B. C. D. 6．若，则下列不等式正确的是 A． B．C．D．．函数的值域是 A． B． C． D．，则有（ ） A．是奇函数， B．是奇函数， C．是偶函数 D．是偶函数， 9. 已知函数的定义域为，函数的图象如图所示，则函数的图象是（ ） 10．若函数的递减区间为（，），则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 11. 若函数则“”是“函数在上单调递减”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．与函数的图象分别交于点，则当达到最小时的值为 （ ） A．1 B． C． D． 二、填空题每小题4分，共分，请将答案填在横线上．的解集为 . 14．函数过定点，则点的坐标为．的图象在点M处的切线方程是,= . 16．已知函数的定义域为，部分对应值如下表, 的导函数的图象如图所示. 下列关于的命题： －1 0 4 5 1 2 2 1 函数的极大值点为，； 函数在上是减函数； 如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4； 当时，函数有个零点； 函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是． 三、解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．，集合，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的取值范围． 18．已知函数．（）判断奇偶性，并；(Ⅱ)当时，解不等式．．．（）的值； （）时，求的最小值．．有极值． （）的取值范围； （）在处取得极值，且当时，恒成立，求的取值范围． 21．该商品每件的进价q(x)元与月份x的近似关系是．（）(Ⅱ)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？ 22．已知函数() ． (Ⅰ)当时，求在区间上的最大值和最小值； (Ⅱ)如果函数在公共定义域上，满足，那么就称为的函数已知函数．若在区间上，函数是的函数求的取值范围 一、选择题：（5×12=60） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A AC D D B B C B D A D 二、填空题：（4×4=16） 13．； 14．； 15．4； 16．①②⑤； 三、解答题：本大题共6小题，共74分。
福建省泉州市南安年高二数学下学期期中试卷文(含解析)
2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．函数的定义域是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞） D．（1，+∞）2．已知集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1} D．R3．下列各组表示同一函数的是（）A．y=与y=（）2B．y=lgx2与y=2lgxC．y=1+与y=1+D．y=x2﹣1（x∈R）与y=x2﹣1（x∈N）4．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=（）A．B．C．﹣D．25．全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是（）A．∀x∈R，x2≤0B．∃x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，x2＜0 D．∃x∈R，x2≤06．若a＞b，则下列不等式正确的是（）A．B．a3＞b3C．a2＞b2D．a＞|b|7．函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣，0] D．[0，]8．设函数，则有（）A．f（x）是奇函数，B．f（x）是奇函数， y=b xC．f（x）是偶函数D．f（x）是偶函数，9．已知函数f（x）的定义域为[a，b]，函数y=f（x）的图象如下图所示，则函数f（|x|）的图象是（）A．B．C．D．10．若函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，），则a的取值范围是（）A．a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜111．若函数则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．二、填空题：每小题4分，共16分，请将答案填在横线上.13．不等式的解为．14．函数f（x）=log a（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为．15．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）= ．16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，B={x|x＜4}，C={x|x≥a}．（Ⅰ）求A∩（∁U B）；（Ⅱ）若A⊆C，求a的取值范围．18．已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．19．已知奇函数f（x）=（c∈R）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．20．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值．（Ⅰ）求c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，求d的取值范围．21．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？22．已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f （x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．函数的定义域是（）A．[0，+∞） B．[1，+∞）C．（0，+∞） D．（1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】根据负数没有平方根得到2x﹣1大于等于0，然后根据指数函数的增减性得到x的范围即可．【解答】解：由题意得：2x﹣1≥0，即2x≥1=20，因为2＞1，所以指数函数y=2x为增函数，则x≥0．所以函数的定义域为[0，+∞）故选A【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域．2．已知集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1} D．R【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】由题意可知B⊆A，然后化简四个选项中的集合，逐一核对后即可得到答案．【解答】解：由A={x|x≥0}，且A∩B=B，所以B⊆A．A、{x|x≥0}={x|x≥0}=A，故本选项正确；B、{x|x≤1，x∈R}=（﹣∞，1]⊊[0，+∞），故本选项错误；C、若B={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}≠B，故本选项错误；D、给出的集合是R，不合题意，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了基本初等函数值域的求法，是基础题．3．下列各组表示同一函数的是（）A．y=与y=（）2B．y=lgx2与y=2lgxC．y=1+与y=1+D．y=x2﹣1（x∈R）与y=x2﹣1（x∈N）【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．【解答】解：A．y=|x|，定义域为R，y=（）2=x，定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不能表示同一函数．B．y=lgx2，的定义域为{x|x≠0}，y=2lgx的定义域为{x|x＞0}，所以两个函数的定义域不同，所以不能表示同一函数．C．两个函数的定义域都为{x|x≠0}，对应法则相同，能表示同一函数．D．两个函数的定义域不同，不能表示同一函数．故选：C．【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．4．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=（）A．B．C．﹣D．2【考点】函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】运用分段函数，可得f（﹣1）=1，再求f（f（﹣1））=f（1）=2．【解答】解：函数f（x）=，则f（﹣1）=（﹣1）2=1，f（f（﹣1））=f（1）=21=2．故选D．【点评】本题考查分段函数和运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．5．全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是（）A．∀x∈R，x2≤0B．∃x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，x2＜0 D．∃x∈R，x2≤0【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题：∀x∈R，x2＞0的否定是：∃x∈R，x2≤0．故选D．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．6．若a＞b，则下列不等式正确的是（）A．B．a3＞b3C．a2＞b2D．a＞|b|【考点】不等关系与不等式．【专题】证明题．【分析】用特殊值法，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得即可得答案．【解答】解：∵a＞b，令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：=﹣1， =﹣，显然A不正确．a3=﹣1，b3=﹣6，显然 B正确．a2 =1，b2=4，显然C不正确．a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．故选 B．【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．7．函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣，0] D．[0，]【考点】对数函数的值域与最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的解析式，分析出函数的单调性，进而分析出函数的最值，可得函数的值域．【解答】解：∵函数y=lnx在（0，+∞）上为增函数，故函数y=﹣lnx在（0，+∞）上为减函数，当1≤x≤e2时，若x=1，函数取最大值0，x=e2，函数取最小值﹣2，故函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是[﹣2，0]，故选：B【点评】本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．8．设函数，则有（）A．f（x）是奇函数，B．f（x）是奇函数， y=b xC．f（x）是偶函数D．f（x）是偶函数，【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】先用定义判断函数的奇偶性，再求f（），找出其与f（x）的关系即可得到答案．【解答】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．又f（﹣x）===f（x），所以f（x）为偶函数．而f（）===﹣=﹣f（x），故选C．【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．9．已知函数f（x）的定义域为[a，b]，函数y=f（x）的图象如下图所示，则函数f（|x|）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】作图题；压轴题；数形结合；运动思想．【分析】由函数y=f（x）的图象和函数f（|x|）的图象之间的关系，y=f（|x|）的图象是由y=f（x）把x＞0的图象保留，x＜0部分的图象关于y轴对称而得到的．【解答】解：∵y=f（|x|）是偶函数，∴y=f（|x|）的图象是由y=f（x）把x＞0的图象保留，x＜0部分的图象关于y轴对称而得到的．故选B．【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力，注意区别函数y=f（x）的图象和函数f（|x|）的图象之间的关系，函数y=f（x）的图象和函数|f（x）|的图象之间的关系；体现了数形结合和运动变化的思想，属基础题．10．若函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，），则a的取值范围是（）A．a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜1【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】由“函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，）”，则有“f′（x）≤0，x∈（，）恒成立”求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，）∴f′（x）≤0，x∈（，）恒成立即：﹣a（1﹣3x2）≤0，，x∈（，）恒成立∵1﹣3x2≥0成立∴a＞0故选A【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．11．若函数则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】若a=1时，y=﹣x+a单调递减，且h（x）＜h（0）=1，符合函数y=f（x）在R上单调递减；若函数y=f（x）在R上单调递减，则g（0）≤h（0）可求a的范围【解答】解：设g（x）=，h（x）=﹣x+a，则g（x），h（x）都是单调递减∵y=在（﹣∞，0]上单调递减且h（x）≥h（0）=1若a=1时，y=﹣x+a单调递减，且h（x）＜h（0）=1∴，即函数y=f（x）在R上单调递减若函数y=f（x）在R上单调递减，则g（0）≤h（0）∴a≤1则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的充分不必要条件故选A【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了分段函数的单调性的判断，解题中要注意分段函数的端点处的函数值的处理12．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．二、填空题：每小题4分，共16分，请将答案填在横线上.13．不等式的解为{x|x＞1或x＜0} ．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】通过移项、通分；利用两个数的商小于0等价于它们的积小于0；转化为二次不等式，通过解二次不等式求出解集．【解答】解：即即x（x﹣1）＞0解得x＞1或x＜0故答案为{x|x＞1或x＜0}【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出14．函数f（x）=log a（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为（2，2）．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由log a1=0得x﹣1=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标．【解答】解：∵log a1=0，∴当x﹣1=1，即x=2时，y=2，则函数y=log a（x﹣1）+2的图象恒过定点（2，2）．故答案为：（2，2）．【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a1=0，属于基础题．15．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）= 4 ．【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】由导数的几何意义知，函数y=f（x）的图象在x=a处的切线斜率是f′（a）；并且点P（a，f （a））是切点，该点既在函数y=f（x）的图象上，又在切线上，f（a）是当x=a时的函数值，依此问题易于解决．【解答】解：由题意得f′（1）=3，且f（1）=3×1﹣2=1所以f（1）+f′（1）=3+1=4．故答案为4．【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f（a）与f′（a）．16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是①②⑤．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用．【分析】由导数图象可知，函数的单调性，从而可得函数的极值，故可得①，②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f （x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，即可求得结论．【解答】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，B={x|x＜4}，C={x|x≥a}．（Ⅰ）求A∩（∁U B）；（Ⅱ）若A⊆C，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】（Ⅰ）求出A中不等式的解集确定出A，由全集U=R，及B求出B的补集，求出A与B补集的交集即可；（Ⅱ）根据A，C，以及A为C的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵全集U=R，B={x|x＜4}，∴∁U B={x|x≥4}，又∵A={x|x2﹣4x﹣5≤0}={x|﹣1≤x≤5}，∴A∩（∁U B）={x|4≤x≤5}；（Ⅱ）∵A={x|﹣1≤x≤5}，C={x|x≥a}，且A⊆C，∴a的范围为a≤﹣1．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．【考点】函数奇偶性的判断；其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）求函数的定义域，根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）奇偶性；（Ⅱ）当0＜a＜1时，根据对数函数的单调性即可解不等式f（x）＞0．【解答】解：（Ⅰ）由，得，即﹣1＜x＜1，即定义域为（﹣1，1），则f（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=﹣[log a（1+x）﹣log a（1﹣x）]=﹣f（x），则f（x）为奇函数．（Ⅱ）当0＜a＜1时，由f（x）＞0，即log a（1+x）﹣log a（1﹣x）＞0，即log a（1+x）＞log a（1﹣x），则1+x＜1﹣x，解得﹣1＜x＜0，则不等式解集为：（﹣1，0）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解，利用定义法以及对数函数的单调性是解决本题的关键．19．已知奇函数f（x）=（c∈R）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据函数的奇偶性，得到=﹣=，比较系数求出c的值即可；（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴=﹣=，比较系数得：c=﹣c，∴c=0，∴f（x）==x+；（Ⅱ）∵f（x）=x+，∴f′（x）=1﹣，当x∈[2，+∞）时，1﹣＞0，∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（2）=．【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．20．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值．（Ⅰ）求c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，求d的取值范围．【考点】函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（I）由已知中函数解析式f（x）=x3﹣x2+cx+d，我们易求出导函数f′（x）的解析式，然后根据函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值，方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，则f′（2）=0，求出满足条件的c值后，可以分析出函数f（x）=x3﹣x2+cx+d的单调性，进而分析出当x＜0时，函数的最大值，又由当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，可以构造出一个关于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范围．【解答】解（Ⅰ）∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，从而△=1﹣4c＞0，∴c＜．（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，∴f′（2）=4﹣2+c=0，∴c=﹣2．∴f（x）=x3﹣x2﹣2x+d，∵f′（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），∴当x∈（﹣∞，﹣1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（﹣1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．∴x＜0时，f（x）在x=﹣1处取得最大值，∵x＜0时，f（x）＜恒成立，∴＜，即（d+7）（d﹣1）＞0，∴d＜﹣7或d＞1，即d的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．21．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题．【分析】（1）由题意可得，第x个月的需求量等于第x个月的需求总量减去第x﹣1个月的需求总量，故当x=1时，f（1）=p（1），当2≤x≤12时，f（x）=p（x）﹣P（x﹣1）；（2）根据月利润=该商品每件的利润×月销售量，列出关系式，再利用导数求最值求解即可．【解答】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37．（2分）当2≤x≤12时，且x≤12）（5分）验证x=1符合f（x）=﹣3x2+40x，∴f（x）=﹣3x2+40x（x∈N*且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），令h（x）=6x3﹣185x2+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x2﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得（舍去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0．∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．综上，5月份的月利润最大是3125元．（14分）【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．22．已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f （x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）由题意得，＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，即可求出函数的最值．（2）由题意得：令＜0，对x ∈（1，+∞）恒成立，且h （x ）=f 1（x ）﹣f （x ）=＜0对x ∈（1，+∞）恒成立，分类讨论当或时两种情况求函数的最大值，可得到a 的范围．又因为h′（x ）=﹣x+2a ﹣=＜0，h （x ）在（1，+∞）上为减函数，可得到a 的另一个范围，综合可得a 的范围．【解答】解：（1）当时，，；对于x ∈[1，e]，有f'（x ）＞0，∴f（x ）在区间[1，e]上为增函数，∴，．（2）在区间（1，+∞）上，函数f （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的“活动函数”，则f 1（x ）＜f （x ）＜f 2（x ）令＜0，对x ∈（1，+∞）恒成立，且h （x ）=f 1（x ）﹣f （x ）=＜0对x ∈（1，+∞）恒成立，∵1）若，令p′（x ）=0，得极值点x 1=1，，当x 2＞x 1=1，即时，在（x 2，+∞）上有p′（x ）＞0，此时p （x ）在区间（x 2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p （x ）∈（p （x 2），+∞），不合题意；当x 2＜x 1=1，即a≥1时，同理可知，p （x ）在区间（1，+∞）上，有p （x ）∈（p （1），+∞），也不合题意；2）若，则有2a ﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x ）＜0，从而p （x ）在区间（1，+∞）上是减函数；要使p （x ）＜0在此区间上恒成立，只须满足，所以≤a≤．又因为h′（x ）=﹣x+2a ﹣=＜0，h （x ）在（1，+∞）上为减函数，h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤综合可知a的范围是[，]．【点评】本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用最值解决恒成立问题，二对于新定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可，结合着我们已学的知识解决问题，这是高考考查的热点之一．。
福建省泉州市南安一中高二(下)期中数学试卷(理科)
2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在内的学生人数为（）A．20 B．25 C．30 D．352．二项式的展开式中x的系数为（）A．5 B．10 C．20 D．403．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（）A．100 B．110 C．120 D．1804．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（）A．B． C． D．5．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.156．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元） 4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 54根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元7．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．8．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，若μ=4，σ=1，则P（5＜X＜6）=（）A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.27189．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（）A．9 B．10 C．18 D．2010．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．4011．某校数学学科中有4门选修课程，3名学生选课，若每个学生必须选其中2门，则每门课程都有学生选的不同的选课方法数为（）A．84 B．88 C．114 D．11812．已知O点为△ABC所在平面内一点，且满足+2+3=，现将一粒质点随机撒在△ABC 内，若质点落在△AOC的概率为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=．14．将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有种．15．若（x2+1）（x﹣2）9=a0+a1x+a2x2+…+a11x11，则a1+a2+a3…+a11的值为．16．一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望E（X）=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数．（Ⅰ）可以组成多少个不同的四位数？（Ⅱ）若四位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则这样的四位数有多少个？（Ⅲ）将（I）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？18．随机变量X的分布列为X ﹣1 0 1 2 3P 0.16 a20.3（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求E（X）；（Ⅲ）若Y=2X﹣3，求E（Y）．19．甲、乙两名同学在5次英语口语测试中的成绩统计如图的茎叶图所示．（1）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从两同学的平均成绩和方差分析，派谁参加更合适；（2）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．（注：样本数据x1，x2，...，x n的方差s2= hslx3y3h++ (120)130120，130120，130++…+0，1hslx3y3h上对x积分由微积分基本定理，得所以2016年8月2日。
2017-2018年福建省泉州市南安一中高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2017-2018学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）：1．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=5，a7=8，则S10=（）A．65 B．66 C．67 D．682．（5分）若集合A={x||2x﹣1|＞3}，B={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，则A∩B是（）A．B．{x|2＜x＜3}C． D．3．（5分）已知a＜0，b＜﹣1，则下列不等式成立的是（）A．a＞＞B．＞＞a C．＞＞a D．＞a＞4．（5分）“b＞a”是“”成立的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件5．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x6．（5分）在△ABC中，=分别为角A，B，C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形7．（5分）下列选项中说法正确的是（）A．若am2≥bm2，则a≥bB．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件C．若向量满足，则与的夹角为钝角D．“∀x∈R，x2﹣x≥0”的否定是“”8．（5分）已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+4by（a＞0，b＞0）在该约束条件下的最小值为2，则的最小值为（）A．25 B．26 C．27 D．不存在9．（5分）已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，1+）10．（5分）数列{a n}满足a n+1==（）A．B．C．D．11．（5分）已知对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，则（）A．a的最小值为﹣3 B．a的最小值为﹣4C．a的最大值为2 D．a的最大值为412．（5分）已知数列{a n}、{b n}满足a1=b1=1，a n+1=a n+2b n，b n+1=a n+b n，则下列结论正确的是（）A．只有有限个正整数n使得a n＜b nB．只有有限个正整数n使得a n＞b nC．数列{|a n﹣b n|}是递增数列D．数列{|﹣|}是递减数列二.填空题（共4小题，每小题5分，请把答案写在答题卡上）：13．（5分）“若a∉M∩P，则a∉M或a∉P”的逆否命题是．14．（5分）已知数列{a n}前n项和S n=﹣2n2+3n+1，则a n=．15．（5分）已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥．若△PF1F2的面积为8，则b=．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣8x 的最小值为．三.解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤）：17．（10分）已知命题p：函数f（x）=|x﹣a|+x在[a2﹣2，+∞）上单调递增；命题q：∃x∈R，使得等式x2﹣4x+8a=0成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在△ABC中a，b，c，分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC ﹣1）=1．（I）求B的大小；（II）若D为AC的中点，且BD=1，求△ABC面积最大值．19．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=．（I）证明数列是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）求证：．20．（12分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n，满足4S n=a﹣4n﹣1，且a1=1，公比大于1的等比数列{b n}满足b2=3，b1+b3=10．（1）求证数列{a n}是等差数列，并求其通项公式；（2）若c n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，若c n≤t2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值．22．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2的直线l1与椭圆相交于A，B两点．（Ⅰ）设直线AF1，BF1的斜率分别是k1，k2，当时，求直线l1的方程；（Ⅱ）过右焦点F2作与直线l1垂直的直线l2，直线l2与椭圆相交于D，E两点，求四边形ADBE的面积S的取值范围．2017-2018学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）：1．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=5，a7=8，则S10=（）A．65 B．66 C．67 D．68【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a10=a4+a7=5+8=13，则S10==5×13=65．故选：A．2．（5分）若集合A={x||2x﹣1|＞3}，B={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，则A∩B是（）A．B．{x|2＜x＜3}C． D．【解答】解：集合A={x||2x﹣1|＞3}={x|x＞2或x＜﹣1}，B={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}={x|﹣＜x＜3}，则A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．3．（5分）已知a＜0，b＜﹣1，则下列不等式成立的是（）A．a＞＞B．＞＞a C．＞＞a D．＞a＞【解答】解：因为a＜0，b＜﹣1，所以，，又因为b2＞1，所以．故选：C．4．（5分）“b＞a”是“”成立的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件【解答】解：⇔a2+b2＞2ab，可得：“b＞a”⇒“”，反之不成立，可能a＞b．∴“b＞a”是“”成立的充分不必要条件．故选：D．5．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【解答】解：由题意可得e==，即为c2=a2，由c2=a2+b2，可得b2=a2，即a=2b，双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故选：D．6．（5分）在△ABC中，=分别为角A，B，C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【解答】解：∵，整理可得：cosA=，∴由余弦定理可得：=，∴可得a2+b2=c2，∴三角形是直角三角形．故选：C．7．（5分）下列选项中说法正确的是（）A．若am2≥bm2，则a≥bB．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件C．若向量满足，则与的夹角为钝角D．“∀x∈R，x2﹣x≥0”的否定是“”【解答】解：若am2≥bm2，m=0，则a≥b不一定成立，故A错误；命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，故B正确；若向量满足，则与的夹角为钝角或平角，故C错误；“∀x∈R，x2﹣x≥0”的否定是“”，故D错误；故选：B．8．（5分）已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+4by（a＞0，b＞0）在该约束条件下的最小值为2，则的最小值为（）A．25 B．26 C．27 D．不存在【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=ax+4by（a＞0，b＞0）为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2a+4b=2，则a+2b=1．∴=（）（a+2b）=1+16+≥17+=25．当且仅当b2=4a2时上式“=”成立．∴的最小值为25．故选：A．9．（5分）已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，1+）【解答】解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|∵|AF|==，|EF|=a+c∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2∵双曲线的离心率e＞1∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选：B．10．（5分）数列{a n}满足a n+1==（）A．B．C．D．=，【解答】解：根据题意，数列{a n}满足a n+1又由a1=＞，则a2=2a1﹣1=，a2=＜，则a3=2a2=，a3=＜，则a4=2a3=，a4=＞，则a5=2a4﹣1=，则有a5=a2，a6=a3，…；a n+3=a n，则a2017=a1+672×3=a1=，故选：B．11．（5分）已知对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，则（）A．a的最小值为﹣3 B．a的最小值为﹣4C．a的最大值为2 D．a的最大值为4【解答】解：对于任意的x ∈（1，+∞）恒成立，化为：a 2+2a +2≤+x=f （x ）的最小值．f′（x ）=+1=，可得x=3时，函数f （x ）取得极小值即最小值． f （3）=5．∴a 2+2a +2≤5，化为：a 2+2a ﹣3≤0，即（a +3）（a ﹣1）≤0，解得﹣3≤a ≤1． 因此a 的最小值为﹣3． 故选：A ．12．（5分）已知数列{a n }、{b n }满足a 1=b 1=1，a n +1=a n +2b n ，b n +1=a n +b n ，则下列结论正确的是（ ）A ．只有有限个正整数n 使得a n ＜b nB ．只有有限个正整数n 使得a n ＞b nC ．数列{|a n ﹣b n |}是递增数列D ．数列{|﹣|}是递减数列【解答】解：根据题意可设数列{a n ﹣b n }，∴a n +1﹣b n +1=a n +2b n ﹣a n ﹣b n =（1﹣）a n ﹣（1﹣）b n =（1﹣）（a n ﹣b n ），∵a 1=b 1=1， ∴a 1﹣b 1=1﹣∴{a n ﹣b n }是以1﹣为首项，以1﹣为公比的等比数列，∴a n ﹣b n =（1﹣）n ，∴A ，B 不正确， 又公比q=1﹣，|q |=﹣1＜1，∴{|a n ﹣b n |}递减，故C 排除， |﹣|=•|a n ﹣b n |，易知{a n }，{b n }为正数且递增，故{}递减，{|a n﹣b n|}递减，、故D正确．故选：D．二.填空题（共4小题，每小题5分，请把答案写在答题卡上）：13．（5分）“若a∉M∩P，则a∉M或a∉P”的逆否命题是若a∈M且a∈P，则a ∈M∩P．【解答】解：“若a∉M∩P，则a∉M或a∉P”的逆否命题是“若a∈M且a∈P，则a∈M∩P”．故答案为：“若a∈M且a∈P，则a∈M∩P”．14．（5分）已知数列{a n}前n项和S n=﹣2n2+3n+1，则a n=．【解答】解：a1=S1=﹣2+3+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣2n2+3n+1）﹣[﹣2（n﹣1）2+3（n﹣1）+1]=﹣4n+5，当n=1时，﹣4n+5=1≠a1，∴a n=．故答案为：a n=．15．（5分）已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥．若△PF1F2的面积为8，则b=．【解答】解：根据题意，设|PF1|=m，|PF2|=n，P为椭圆C上一点，则有m+n=2a，变形可得m2+n2+2mn=4a2，①又由⊥，则有m2+n2=4c2，②①﹣②可得：2mn=4a2﹣4c2=4b2，③又由△PF1F2的面积为8，即mn=8，④联立③④可得：b2=8，则b=2，故答案为：2．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣8x的最小值为．【解答】解：由（）（+y）≥1，∵y+＞y+|y|≥0，∴﹣x≥=，∵函数f（x）=﹣x=是减函数，∴x≤y，∴原不等式组化为．该不等式组表示的平面区域如下图：由，解得A（，）．∵x2+y2﹣8x=（x﹣4）2+y2﹣16．由点到直线的距离公式可得，P（4，0）区域中A（，）的距离最小，所以x2+y2﹣8x的最小值为：．故答案为：．三.解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤）：17．（10分）已知命题p：函数f（x）=|x﹣a|+x在[a2﹣2，+∞）上单调递增；命题q：∃x∈R，使得等式x2﹣4x+8a=0成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：函数f（x）=|x﹣a|+x=，在[a2﹣2，+∞）上单调递增；∴a≤a2﹣2，解得a≤﹣1，或a≥2．命题q：∃x∈R，使得等式x2﹣4x+8a=0，则△=16﹣4×8a≥0，解得a≤．∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p与q必然一真一假．∴，或，解得a≥2，或．∴实数a的取值范围是∪[2，+∞）．18．（12分）在△ABC中a，b，c，分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC ﹣1）=1．（I）求B的大小；（II）若D为AC的中点，且BD=1，求△ABC面积最大值．【解答】解：（I）由2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1，得，∴2（sinAsinC﹣cosAcosC）=1，∴，∴，又0＜B＜π，∴．（II）在△ABD中，由余弦定理得．…①在△CBD中，由余弦定理得，…②①②相加得，整理得a2+c2=4﹣ac，∵a2+c2≥2ac，∴，所以△ABC的面积，当且仅当时“=”成立．∴△ABC的面积的最大值为．19．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=．（I）证明数列是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）求证：．【解答】证明：（I）由题设数列{a n}中，a1=1，a n+1=，知，∴数列是首项为1，公比为1的等比数列，∴=1，即a n=2n﹣1，n∈N*；（II）∵=（﹣），∴++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=﹣＜．20．（12分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k 所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意21．（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n，满足4S n=a﹣4n﹣1，且a1=1，公比大于1的等比数列{b n}满足b2=3，b1+b3=10．（1）求证数列{a n}是等差数列，并求其通项公式；（2）若c n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，若c n≤t2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值．【解答】（1）证明：（1）当n≥2时，，=，=，所以a n＞0，=a n+2．解得：a n+1因为当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列，a1=1，a2﹣a1=3﹣1=2，则{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列，所以数列的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由题意得，；则前n项和+…+①；+…+②，则①﹣②得：=+…+]﹣；解得：（3）对一切正整数n恒成立，﹣c n=﹣=≤0，由c n+1可得数列{c n}单调递减，即有最大值为，则解得t≥1或．即实数t的取值范围为．22．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F2，过右焦点F2的直线l1与椭圆相交于A，B两点．（Ⅰ）设直线AF1，BF1的斜率分别是k1，k2，当时，求直线l1的方程；（Ⅱ）过右焦点F2作与直线l1垂直的直线l2，直线l2与椭圆相交于D，E两点，求四边形ADBE的面积S的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l1的斜率不存在时，可得A（1，），B（1，﹣），此时k1=k2=﹣，不合题意．…（1分）当直线l1的斜率存在时，设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x﹣1），把y=k（x﹣1）代入椭圆方程中消去y，整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，则有．…（3分）则k1k2====，…（5分）由，得k=，故直线l1的方程为y=．…（6分）（Ⅱ）当直线l1的斜率不存在时，可得A（1，），B（1，﹣），此时|AB|=3，|DE|=4．则S=|AB|×|DE|=6．…（7分）当直线l1的斜率存在，且不为零时，设直线l1的斜率为k．由（Ⅰ）知|AB|=x1﹣x2|==．…（8分）又直线l2的斜率为﹣，则|DE|=．…（9分）从而S=|AB|×|DE|==，设k2+1=t＞1，则有S==，…（10分）∵，∴则，综合有．所以四边形ADBE的面积S的取值范围为[]．…（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2014-2015年福建省泉州市南安一中高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
三、解答题：本大题共 5 小题，其中第 21 题第 22 题 14 分，其他每题 13 分， 共 80 分． 16． （12 分）已知等比数列{an}的公比 q＞1，a1，a2 是方程 x2﹣3x+2=0 的两根． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{2n•an}的前 n 项和 Sn． 17． （12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AC⊥BD 于 O，E 为 线段 PC 上一点，且 AC⊥BE， （1）求证：PA∥平面 BED； （2）若 BC∥AD，BC= 正弦值． ，AD=2 ，PA=3 且 AB=CD，求 PB 与面 PCD 所成角的
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13． （4 分）设实数 x，y 满足 ∥ ，则实数 m 的最大值为 14． （4 分）若 的系数和为 ．
，向量 =（2x﹣y，m） ， =（﹣1，1） ．若 ． ，则 （1﹣2x）n 的所有项
15． （4 分）函数 f（a）=（3m﹣2）a+b﹣2m，当 m∈[0，1]时，0≤f（a）≤1 恒成立，则 的最大值与最小值之和为 ．
2014-2015 学年福建省泉州市南安一中高三（上）期末数学试卷 （理科）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个正确答 案. 1． （5 分）设集合 P={3，log2a}，Q={a，b}，若 P∩Q={0}，则 P∪Q=（ A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} ）
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）时，顶点 P，Q，
恰好同时落在曲线 y= （x＞0）上（如图所示） ，求实数 k 的值．
19． （12 分）已知抛物线 F 的顶点为坐标原点，焦点为 F（0，1） ． （1）求抛物线 F 的方程； （2）若点 P 为抛物线 F 的准线上的任意一点，过点 P 作抛物线 F 的切线 PA 与 PB，切点分别为 A，B．求证：直线 AB 恒过某一定点； （3）分析（2）的条件和结论，反思其解题过程，再对命题（2）进行变式和推 广，请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出 的命题的正确性和一般性酌情给分） 20． （12 分）已知函数 f（x）=exsinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣ 对数的底数． （1）判断函数 y=f（x）在（0， （2）∀ x1∈[0， ]，∃ x2∈[0， ）内的零点的个数，并说明理由； ]，使得 f（x1）+g（x2）≥m 成立，试求实 ex，其中 e 是自然
2014-2015学年福建省泉州市安溪八中高二上学期数学期中试卷带解析(理科)
2014-2015学年福建省泉州市安溪八中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）下面的语句是命题的是（）A．指数函数是增函数吗？B．空集是任何集合的子集C．x＞2 D．画一个圆2．（5分）在等差数列3，7，11 …中，第5项为（）A．15 B．18 C．19 D．233．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+），那么a4的值为（）A．4 B．8 C．15 D．314．（5分）已知x＞1，则y=x的最小值为（）A．1 B．2 C．2 D．35．（5分）下列命题正确的是（）A．若a＞b，则B．若a•c2＞b•c2，则a＞bC．若a＞b，则a•c2＞b•c2D．若a＞b＞0，c＞d，则a•c＞b•d6．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥07．（5分）已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．128．（5分）正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若S3=3，S9=39，则S6为（）A．21 B．18 C．15 D．129．（5分）已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．10．（5分）已知数列A：a1，a2，…，a n（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③若数列A具有性质P，则a1=0；④若数列a 1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性质P，则a1+a3=2a2，其中真命题有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在题中横线上．11．（4分）1和4的等差中项为．12．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，已知a2+b2﹣c2=ab，则∠C=．13．（4分）在等差数列{a n}中，a3+a9=27﹣a6，S n表示数列{a n}的前n项和，则S11=．14．（4分）在△ABC中，a=2，b=2，C=45°，则A=．15．（4分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b ＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．17．（13分）三角形ABC中，BC=7，AB=3，且．（Ⅰ）求AC；（Ⅱ）求∠A．18．（13分）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile．货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：（Ⅰ）A处与D处之间的距离；（Ⅱ）灯塔C与D处之间的距离．19．（13分）已知p：x∈A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，q：x∈B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[1，3]，求实数m的值；（2）若p是¬q的充分条件，求实数m的取值范围．20．（14分）△ABC的三个内角A、B、C的对边的长分别为a、b、c，有下列两个条件：（1）a、b、c成等差数列；（2）a、b、c成等比数列，现给出三个结论：（1）；（2）；（3）．请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之．（I）组建的命题为：已知求证：①②（II）证明：21．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足（q是常数且q＞0，q≠1，）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当时，试证明a1+a2+…+a n＜；（3）设函数f（x）=log q x，b n=f（a1）+f（a2）+…+f（a n），是否存在正整数m，使对任意n∈N*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．2014-2015学年福建省泉州市安溪八中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）下面的语句是命题的是（）A．指数函数是增函数吗？B．空集是任何集合的子集C．x＞2 D．画一个圆【解答】解：能够判断真假的陈述句是命题．选项A不是陈述句，所以A不是命题；选项B，是陈述句也能够判断真假，所以B是命题．选项C，不能判断真假，不是命题；选项D，不是陈述句，不是命题．故选：B．2．（5分）在等差数列3，7，11 …中，第5项为（）A．15 B．18 C．19 D．23【解答】解：因为等差数列3，7，11 …，公差为4，所以数列的第5项：a5=a1+（5﹣1）×4=3+16=19．故选：C．3．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+），那么a4的值为（）A．4 B．8 C．15 D．31【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+），∴a2=2a1+1=2+1=3，a3=2a2+1=6+1=7，a4=2a3+1=14+1=15．故选：C．4．（5分）已知x＞1，则y=x的最小值为（）A．1 B．2 C．2 D．3【解答】解：∵x＞1，∴=．当且仅当，即x=2时取等号故选：D．5．（5分）下列命题正确的是（）A．若a＞b，则B．若a•c2＞b•c2，则a＞bC．若a＞b，则a•c2＞b•c2D．若a＞b＞0，c＞d，则a•c＞b•d【解答】解：A．取a＞0＞b，则不成立，不正确；B．∵a•c2＞b•c2，∴a＞b，正确；C．若c=0时，虽然a＞b，但是a•c2=b•c2=0，故C不正确；D．若5＞2＞0，﹣1＞﹣2，但是5×（﹣1）＜2×（﹣2），故D不一定成立．故选：B．6．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故A为真命题；“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故B为真命题；若p∧q为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故C为假命题；命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则非p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故D为真命题；故选：C．7．（5分）已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．12【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选：B．8．（5分）正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若S3=3，S9=39，则S6为（）A．21 B．18 C．15 D．12【解答】解：正项等比数列{a n}中，设S6=x，∵S3=3，S9=39，∴（x﹣3）2=3×（39﹣x），解得x=12，或x=﹣9（舍）．故S6为12．故选：D．9．（5分）已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．【解答】解：由题得，又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=﹣3∴b2（a2﹣a1）=﹣8．故选：B．10．（5分）已知数列A：a1，a2，…，a n（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③若数列A具有性质P，则a1=0；④若数列a1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性质P，则a1+a3=2a2，其中真命题有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵对任意i，j（1≤i≤j≤n），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是该数列中的项，①数列0，1，3中，a2+a3=1+3=4和a3﹣a2=3﹣1=2都不是该数列中的数，故①不正确；②数列0，2，4，6，a j+a i与a j﹣a i（1≤i≤j≤3）两数中都是该数列中的项，并且a4﹣a3=2是该数列中的项，故②正确；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n﹣a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④∵数列a1，a2，a3具有性质P，0≤a1＜a2＜a3∴a1+a3与a3﹣a1至少有一个是该数列中的一项，且a1=0，1°若a1+a3是该数列中的一项，则a1+a3=a3，∴a1=0，易知a2+a3不是该数列的项∴a3﹣a2=a2，∴a1+a3=2a22°若a3﹣a1是该数列中的一项，则a3﹣a1=a1或a2或a3①若a3﹣a1=a3同1°，②若a3﹣a1=a2，则a3=a2，与a2＜a3矛盾，③a 3﹣a1=a1，则a3=2a1综上a1+a3=2a2，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在题中横线上．11．（4分）1和4的等差中项为．【解答】解：1和4的等差中项为：=．故答案为：．12．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，已知a2+b2﹣c2=ab，则∠C=45°．【解答】解：∵a2+b2﹣c2=ab∴根据余弦定理得：cosC===，又C为三角形的内角，则∠C=45°．故答案为：45°13．（4分）在等差数列{a n}中，a3+a9=27﹣a6，S n表示数列{a n}的前n项和，则S11=99．【解答】解：由题意得，a3+a9=27﹣a6，根据等差数列的性质得，2a6=27﹣a6，解得a6=9，所以S11==11a6=99，故答案为：99．14．（4分）在△ABC中，a=2，b=2，C=45°，则A=45°．【解答】解：∵在△ABC中，，∴由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcosC=4+8﹣2×2×2×cos45°=4，可得c=2由此可得cosA===∵A是三角形的内角，∴A=45°故答案为：45°15．（4分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b ＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为4．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（1，4），由图易得目标函数在（1，4）取最大值8，即8=ab+4，∴ab=4，∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故答案为：4三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．【解答】解：（1）∵{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0，∴，解得a1=﹣10，d=2，∴a n=﹣10+（n﹣1）×2=2n﹣12．（2）∵等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3=﹣10﹣8﹣6=﹣24，∴q===﹣3，∴{b n}的前n项和公式：S n==2﹣2（﹣3）n．17．（13分）三角形ABC中，BC=7，AB=3，且．（Ⅰ）求AC；（Ⅱ）求∠A．【解答】解：（Ⅰ）由AB=3，根据正弦定理得：（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：，所以∠A=120°．（12分）18．（13分）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile．货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：（Ⅰ）A处与D处之间的距离；（Ⅱ）灯塔C与D处之间的距离．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°由正弦定理得（Ⅱ）在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=．所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．19．（13分）已知p：x∈A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，q：x∈B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[1，3]，求实数m的值；（2）若p是¬q的充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣3≤x≤m+3}．（1）∵A∩B=[1，3]∴∴，∴m=4；（2）∵p是¬q的充分条件，∴A⊆∁R B，而C R B={x|x＜m﹣3，或x＞m+3}∴m﹣3＞3，或m+3＜﹣1，∴m＞6，或m＜﹣4．20．（14分）△ABC的三个内角A、B、C的对边的长分别为a、b、c，有下列两个条件：（1）a、b、c成等差数列；（2）a、b、c成等比数列，现给出三个结论：（1）；（2）；（3）．请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之．（I）组建的命题为：已知a、b、c成等差数列求证：①0＜B≤②；（II）证明：【解答】解：（I）可以组建命题：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：①0＜B≤②；（II）①∵a、b、c成等差数列∴2b=a+c，∴b=≥且B∈（0，π），∴0＜B≤②==故答案为：a、b、c成等差数列，0＜B≤，．21．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足（q是常数且q＞0，q≠1，）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当时，试证明a1+a2+…+a n＜；（3）设函数f（x）=log q x，b n=f（a1）+f（a2）+…+f（a n），是否存在正整数m，使对任意n∈N*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣1﹣1）（2分）⇒（2分）又由S1=a1=（a1﹣1）得a1=q（3分）∴数列a n是首项a1=q、公比为q的等比数列，∴a n=q•q n﹣1=q n（5分）（2）（7分）=（9分）（3）b n=log q a1+log q a2+log q a n=log q（a1a2a n）=（9分）∴=（11分）∴，即∵n=1时，∴m≤3（14分）∵m是正整数，∴m的值为1，2，3．（16分）。
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第1页（共22页） 2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（ ） A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣1 C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1 2．（5分）已知点A（﹣3，1，﹣4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ） A．（﹣3，﹣1，4） B．（﹣3，﹣1，﹣4） C．（3，1，4） D．（3，﹣1，﹣4） 3．（5分）若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），则这个椭圆的离心率等于（ ） A． B． C． D． 4．（5分）“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N为棱AB与AD的中点，则异面直线MN与BD1所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D．
6．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点M、N．若△MNF1为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（ ） 第2页（共22页）
A． B． C． D． 8．（5分）已知p：关于x的不等式x2+2ax﹣a＞0的解集是R，q：﹣1＜a＜0，则p是q的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 9．（5分）已知抛物线C的方程为x2=y，过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） 10．（5分）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（ ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 11．（5分）“x≠2或y≠﹣2”是“xy≠﹣4”的（ ） A．必要而不充分条件 B．充分而不要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 12．（5分）过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作一条斜率不为0的直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则等于（ ）
A． B． C．2a D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分 13．（4分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x= ．
14．（4分）若m＞0，点P（m，）在双曲线﹣=1上，则点P到该双曲 第3页（共22页）
线左焦点的距离为 ． 15．（4分）“x＞1”是“x2＞x”的 条件． 16．（4分）已知抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1x2=﹣，那么m的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC （1）证明：A1C⊥平面BED； （2）求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．
18．（12分）已知椭圆过点，且离心率e=． （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围． 19．（12分）如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= （Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD； （Ⅱ）求点E到平面ACD的距离． 第4页（共22页）
20．（12分）已知一动圆M，恒过点F（1，0），且总与直线l：x=﹣1相切． （1）求动圆圆心M的轨迹C的方程； （2）探究在曲线C上，是否存在异于原点的A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当y1y2=﹣16时，直线AB恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由． 21．（12分）如图，已知点H在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线B1D1上，∠HDA=60°． （Ⅰ）求DH与CC1所成角的大小； （Ⅱ）求DH与平面A1BD所成角的正弦值．
22．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值． 第5页（共22页）
2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（ ） A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣1 C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1 【解答】解：命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是 “若a≤b，则a﹣1≤b﹣1”． 故选：C．
2．（5分）已知点A（﹣3，1，﹣4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ） A．（﹣3，﹣1，4） B．（﹣3，﹣1，﹣4） C．（3，1，4） D．（3，﹣1，﹣4） 【解答】解：∵在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数， ∵点A（﹣3，1，﹣4）， ∴关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣1，4）， 故选：A．
3．（5分）若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），则这个椭圆的离心率等于（ ） A． B． C． D．
【解答】解：∵椭圆焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴设椭圆方程为（a2﹣4＞0） 第6页（共22页）
又∵椭圆经过点P（2，3），∴ 解得，a2=16或a2=1， ∵a2﹣4＞0，∴a2=16∴a=4， ∵焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴c=2 ∴e== 故选：C．
4．（5分）“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解答】解：“p或q为假命题”表示p和q都是假命题， 而非P是真命题表示P是一个假命题， 前者可以推出后者，后者不一定能推出前者， ∴前者是后者的充分不必要条件， 故选：A．
5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N为棱AB与AD的中点，则异面直线MN与BD1所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：连接BD，∵MN∥BD， ∴异面直线MN与BD1所成的角即为直线BD与BD1所成的角：∠D1BD ∵在Rt△D1DB中，设D1D=1，则DB=，D1B= ∴cos∠D1BD=
∴异面直线MN与BD1所成的角的余弦值为 故选：D． 第7页（共22页）
6．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点M、N．若△MNF1为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知，M，N关于x轴对称， ∴|NF2|=，|F1F2|=2c， ∵△MNF1为正三角形， 结合双曲线的定义，得到MF1=MF2+2a， ∴（×2）×=2c， ∴（c2+a2）=4ac， 两边同除以a2，得到，解得e=或e=＜1（舍去）； 故选：B．
7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（ ） 第8页（共22页）
A． B． C． D． 【解答】解：连接A1C1交B1D1于点O，连接BO 由AB=BC=2，可得A1B1C1D1为正方形即CO1⊥B1D1
由长方体的性质可知BB1⊥面A1B1C1D1，从而有OC1⊥BB1，且BB1∩B1D1=B1
∴OC1⊥平面BB1D1D
则∠C1BO为则BC1与平面BB1D1D所成角 在Rt△BOC1中，
∴ 故选：C．
8．（5分）已知p：关于x的不等式x2+2ax﹣a＞0的解集是R，q：﹣1＜a＜0，则p是q的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【解答】解：依题意得△=4a2+4a＜0，解得﹣1＜a＜0， 即p：﹣1＜a＜0， 又因为q：﹣1＜a＜0， 第9页（共22页）
所以p是q的充分必要条件． 故选：C．
9．（5分）已知抛物线C的方程为x2=y，过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） 【解答】解：如图，设过A的直线方程为y=kx﹣1，与抛物线方程联立得x2﹣kx+=0，
△=k2﹣2=0，k=±2，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点为（±，3）， 则当过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点， 实数t的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）， 故选：D．
10．（5分）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（ ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【解答】解：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直； 即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题； 但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直， 即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题； 故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件 故选：C．