二维肋片稳态导热问题的数值计算
第3章-稳态导热的计算与分析
❖ 由热流密度相等可求出两侧壁温 tw1和tw2：
tw1
tf1
q h1
tw2
层平壁
❖ 工程中经常会遇到由不 同材料构成的多层平壁
❖ 分析方法：理论分析方法
3.1.1 平壁一维稳态导热的数学模型
❖ （1） 工程背景 ❖ ——建筑物房间的采暖设计：墙壁、玻璃 ❖ ——冷库的保冷设计：墙壁 ❖ ——油罐的保温设计：罐壁
❖ （2） 物理模型 ❖ 墙壁、玻璃、罐壁等物体具有相似
的几何特征 ❖ ——某一方向的尺寸远远小于其他
两个方向的尺寸
Adt 2ltw1tw2
dr
lnr2 r1
Ad drt 2lltnw1 r2tw r12
写成温差—热阻的形式为
t tw1 tw2
R
1 ln r2
2l r1
R
1
2l
ln
r2 r1
为长为l的圆筒壁的导热热阻
必须记住！！
通过圆筒壁内任意位置处的热流密度为
q A2rl rltnw1r2tw r12
❖ 3.2.1 圆筒壁一维稳态导热的数学模型 ❖ （1）工程背景 ❖ 由于制造和加工上的便利，圆形通道在工程中的应用
更为广泛，如发电厂中的蒸汽管道、化工厂的各种液 、气输送管道、供暖热水管道 ❖ 石油工程中的输油管道、注水管道、输气管线、油管 、套管等 ❖ 当圆形通道内、外存在温差时，热量以导热的方式通 过管壁
ddr01btrddrt0
通过圆筒壁的热流量为：
tw1 tw2 1 ln r2
2m l r1
m
01btw1
2-稳态热传导3
, (m 1, 2, )
sin( ) 0
这样就得到满足方程和边界条件式的无穷多个解
X m Bm sin( m x)
分离变量法
Y Csh( y) Dch( y)
由边界条件式可得Y(0)＝0，得D＝0。
Y Cm sh( m y)
相应地有
m Cm sin( m x)sh( m y),(m 1, 2, )
Cm sh( m h)
2
0
f1 ( x) sin( m x)dx
即
Cm
2
0
f1 ( x)sin( m x)dx sh( m H )
分离变量法
最后得到原问题的解为
( x, y )
2
m 1
sh(
1 m
sh( H)
m
y ) sin(
m
x) f1 ( x) sin(
2 2 0 2 2 x y y 0, f 0 ( x ) 令 θ＝θ1＋θ2＋θ3＋θ4， y H , f1 ( x ) 由于每个问题中都有3个齐次边界条件， x 0, 0 ( y ) 可以分别按以上介绍的方法求得解析解。x , 1 ( y )
d2X 2 X 0 2 dx
d 2Y 2 Y 0 2 dy
分离变量法
它们各自的通解为
X A cos( x) B sin( x)
Y Csh( y) Dch( y )
注意到x方向的两个边界条件都是齐次的，把式
( x, y) X ( x)Y ( y)
代入边界条件式，同样可分离变量得到
导热系数热阻
0
cosh mH x cosh mH
肋端过余温度随mH增加而降低。
在稳态情况下, 肋片散热量 应该等于从肋根导入的热量，
Ac
d
dx
x0
0
msinh mH cosh mH
x
x0
Am0
sinh mH cosh mH
2-4 通过肋片的稳态导热与通过肋壁的传热
根据牛顿冷却公式： = A h( tw－tf )
增大对流换热量有三条途径：
1. 加装肋片，增加换热面积A ； 2. 加大对流换热表面传热系数h ；
3. 加大换热温差( tw－tf ) 。
几种常见的肋片：
1. 通过等截面直肋的稳态导热
以矩形肋为例:高度为H、厚度为、
宽度为l，与高度方向垂直的横截面积 为Ac , 横截面的周长为P。
假设：
1）肋片材料热导率为常数；
2）肋片根部与肋基接触良好，温度一致；
3）肋片厚度方向的导热热阻/与表面的对流换热热 阻1/h相比很小，可以忽略, 肋片温度只沿高度方向 发生变化, 肋片导热可以近似地认为是一维的；
4）肋片表面各处对流换热系数h都相同； 5）忽略肋片端面的散热量，认为肋端面是绝热的。
3. 通过肋壁的传热过程
tf1 t
Ak tf1 tf 2 Akt
tw1 h2
h1
tw2
1
tf1 tf2
1
Ah1 A Ah2
tf2
0 x
对于两侧表面传热系数相差较
大的传热过程，在表面传热系数较小
的一侧壁面上加肋（扩大换热面积）
第2章导热基本定律及稳态导热备份
zdz
z
z z
dz
z
z
t z
dxdy dz
微元平行六面体
2024/8/5
66-13
微元体内热源生成热量： V dxdydz
微元体内能增加量
E c t dxdydz
直角坐标系三维非稳态导热微分方程的一般形式
c t
x
t x
y
t y
z
t z
注意：ρ,c,λ和 Φ 均可以是变量。
（单值性条件）
2024/8/5
66-9
导热微分方程
导热微分方程式的推导 依据：能量守恒+傅里叶定律 假设：
物体由各向同性的连续介质组成； 有内热源（单位时间单位体积内的生成热）单位为W/m3 步骤： 根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的微元体作为研
究对象； 根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式 根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式进行归纳、
热流量
66-35
对于一维稳态导热，傅里叶定律表达式为：
A(t) dt
dx
x2 dx t2 (t)dt
A x1
t1
其中 t2 (t)dt
多层平壁是由多层不同材料叠 在一起组成的复合壁
各层热阻表达式如下:
t1 t2 1
q
1
t2 t3 2
q
2
tn tn1 n
q
n
2024/8/5
66-27
将各层热阻叠加得总热阻为:
t1 tn1 1 2 n n i
q
1 2
n i1 i
n层多层平壁热流密度为: 各层界面间温度为:
1
r2 sin
sin
《传热学讲义—第二章》
第二章稳态导热本章重点：具备利用导热微分方程式建立不同边界条件下稳态导热问题的数学模型的能力第一节 通过平壁的导热1-1第一类边界条件研究的问题：（D 几何条件：设有一单层平■壁，厚度为a,其宽度、高度远大丁其厚度（宽度、高度 是厚度的10倍以上）。
这时可认为沿高度与宽度两个方向的温度变化率很小，温度只沿厚度 方向发生变化。
（届一维导热问题）（2） 物理条件：无内热源，材料的导热系数入为常数。
（3） 边界条件：假设平壁两侧表面分别保持均匀稳定的温度t wi 和t w2 , t wi t w2。
（为第一类边界条件，同时说明过程是稳态的）求：平■壁的温度分布及通过平■壁的热流密度值。
方法1导热微分方程：采用直角坐标系，这是一个常物性、无内热源、一维稳态导热 问题（温度只在x 方向变化）。
导热微分方程式为： 史 0 （2-1） dx 2边界条件为：t x0 t w 1 , t x t w 2（2-2）对式（2-1）连续积分两次，得其通解：t c 1x c 2t w 2 t w 1这里C 1、C 2为常数，由边界条件确定，解得：C1C 2 t w 1最后得单层平壁内的温度分布为：t t w 1 %」曳x由丁 a 、t w 1、t w 2均为定值。
所以温度分布成线性关系，即温度分布曲线的斜率是常数（温度梯度），虫―宜const（2-6）dx0—1I~Dfl ——单屋平惬(2-3)(2-4)(2-5)热流密度为：q 史—(t W l t w2) W /m2(2-7)dx若表面积为A,在此条件下，通过平壁的导热热流量则为：qA A— t W考虑导热系数随温度变化的情况:通过平壁的导热热流密度为:dt dtq 0(1 bt) —dx dx竺一1 ]bt t 0 1 2 b t W1 t W21式中，0 1 2bt W1 t W21 22 m则q —(t W1 t W2)从上式可以看出，如果以平壁的平均温度t m虹上来计算导热系数，则平壁的热流密2度仍可用导热系数为常数时的热流密度计算式:(2-8)对丁导热系数随温度线形变化，即0(1 bt),此时导热微分方程为: d dt °0 dx dx解这个方程，最后得:t2bt2bt 2 Wi W2t W2)t W1(t W it、W 一t W2说明：壁内温度不再是直线规律, 而是按曲线变化。
高等传热学_第二章_稳态导热
2-1 一维稳态导热
通过长圆筒壁（图2-2）的导热由傅里叶定律直接积分的方法。 若已知圆筒壁的内外壁面温度分别为t1和t2。注意到，圆筒壁的导
热面积在径向上是变化的，但单位长度上的总热流量ql（单位为 W/m）仍应是常量（不随r变化）。由傅里叶定律可得
分离变量并积分
ql
dt 2 r dr
x 0, x ,
并整理得到
t 0 t 0
（2-1-20）
代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数，
qV t x( x) 2
（2-1-21）
2-1 一维稳态导热
如果给定两个表面的温度分别为t1和t2，即
t t1 x , t t 2 代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数， 并整理得到
2-1 一维稳态导热
图2-1通过大平壁的导热
2-1 一维稳态导热
2-1-1 无内热源的一维导热 求解导热问题的一般思路是首先从导热微分方程和相应的定解条
件出发，解得温度场。 对于如图2-1所示的大平壁的稳态导热，已知两表面的温度分别为 t1和t2。导热微分方程简化为
其通解为
d 2t 0 2 dx
t
qv 2 r C1 ln r C2 4
（2-1-25）
2-1 一维稳态导热
r＝0处温度应该有界，即 t
r 0
，可以作为一个边界条件，
由此可得C1＝0。如果给定另一个边界条件是第一类边界条件， 即r＝R，t＝t1。代入通解可得
t t1
qv 2 2 (R r ) 4
种换热设备中，常在换热表面上增添一些肋， 以增大换热表面，达到减小换热热阻的目的。
二维稳态导热实验报告
ral=30oC,//t=10.33W/m2-°C
fx2=10°C,/i2=3.93W/m2-°C
砖墙的导热系数2 = 0.53W/m• °C
2、内外壁分布均匀地维持在0°C及30°C；
图1-1
二、数学描述
该结构的导热问题可以作为二维问题处理，并且其截面如图1-1所示，曲于对称性，仅研 究其1A部分即可。
砖墙的导热系数A = 0.53VV/nr°C
图2-1
三：方程的离散
如上图2J所示，用一系列与坐标轴平行的网络线把求解区域划分成许多子区域，以网格 线的交点作为需要确定温度值的空间位置，即节点，节点的位置已该点在两个方向上的标号m、n来表示。每一个节点都可以看成是以它为中心的小区域的代表，如上（m, n）：对于（m, n）
10037005过程装备与控制工程化工学院装备01二维导热物体温度场的数值模拟一物理描述有一个用砖砌成的长方形截面的冷空气通道其截面尺寸和示意图如图11所示假设在内外表面均为第三类边界条件il己知
传热学
二维导热物体温度场的数值模拟
作者：
陈振兴学号：10037005
学院（系）：
化工学院
专业：
过程装备与控制工程
其网络节点划分如图2J：
上述问题为二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题，对于这样的物理问题， 我们知道，描写其的微分方程即控制方程，就是导热微分方程：
d2t d2t
dx~ dy~
第三类边界条件：内外表面均为第三类边界条件，且已知：
/xi=3O°C,/?I=10.33W/m2oC
tx2=10°C,/?2=3.93W/nr-°C
班级:
装备01
指导教师：
传热学-第二章 导热基本定律及稳态导热第三讲-动力工程
对于一维导热问题，也可以不 通过求解微分方程而直接应用傅里 叶定律得出导热热流量的计算式， 而且对于变导热系数和变截面的情 形更为有效。
二、示例
x2
x1
x
耐温塞子的直径随 x 变化，D ax
求解三维、二维问题较复杂；将问题进行简化：
（1） 大、 <<H，认为温度沿厚度变化很小； （2）宽度 l >>，认为肋片温度只沿高度方向变化
简化为一维温度场
方法1：根据导热微分方程
三维、非稳态、变物性、有内热源的导热微 分方程：
c T
( T ) (
x x y
T ) (
y z
T z
)
qv
T0
T
c、更换套管材料16W/(mK)；
l
d、若气流与套管之间的对流
换热系数10W/(m2K) ；
Tf
Tj
e、若在安装套管的壁面处包以热绝缘层以减小热量的导出，
此时套管根部温度=600℃。
一维稳态有内热源的导热微分方程：
d dx
(
dT dx
) qv
0
d 2T dx 2
qv
0
是否可以构造一个内热源？
微元体：截面积A， 周长P，换热面积
Pdx
qv
C dV
h(T Tf )Pdx Adx
h(T Tf )P A
d 2T dx2
hP (T
A
T ) 0
方法2：根据能量守恒
Tf1 Tf 2
1 1
h1 h2
整个肋表面的温度与基础面温度相等，即肋 片效率等于1。
工程传热学(华中科大)02稳态导热
，单位为 体积的生成热）记作 Φ
W/m3。 参考图 2-4 所示的微元平行 六面体，能量守恒可以表示为：
dΦin + dQ = dΦout + dU
(2-12)
其中 dΦin 为导入微元体的总热流量；dQ 为微元体内热源的生成热；dΦout 为 导出微元体的总热流量；dU 为微元体热力学能(即内能)的增量。 导入微元体的热量为：
dΦin = dΦ x + dΦ y + dΦ z
导出微元体的热量：
(2-13)
dΦout = dΦ x + dx + dΦ y + dy + dΦ z + dz
由傅里叶定律，导入微元体的热流量可表示为：
(2-14)
∂t dydz ∂x ∂t dΦy = q y dxdz = −λ dxdz ∂y ∂t dΦz = qz dxdy = −λ dxdy ∂z dΦx = qx dydz = −λ
q = −λ grad t = −λ
∂t n ∂x
(2-7)
式(2-5)又称导热基本定律，或傅里叶定律的数学表达式，它可进一步表示为：
⎛ ∂t ∂t ∂t ⎞ q = − λ ∇t = − λ ⎜ i + j + k⎟ ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎠ ⎝
这样热流密度在 x, y, z 方向的投影的大小分别为：
(2-8)
q x = −λ
∂t ; ∂x
q y = −λ
∂t ; ∂y
q z = −λ
∂t ∂z
(2-9)
由于热流密度方向与等温线的法线方向总是处在同一条直线上，故热流线 和等温线是相互正交的。应该指出，如上形式的傅里叶定律只适用于各向同性 材料，这时，不同方向上的导热系数是相同的。而对各向异性材料，导热系数 随选定的方向不同而不同。各向异性材料中的傅里叶定律可参考文献[1]。 3 导热系数 导热系数（即热导率）是出现在傅里叶定律中的比例常数，它表示物质导 热能力的大小，是重要的热物性参数。由式(2-7)，导热系数的定义式为：
2.5.1通过肋片的导热
数 λ，表面传热系数 h（综合计入对流和辐射传热
的影响），肋片顶端绝热。
求解：温度场t 和散热热流量Φ
（1）物理模型
简化成一维：
三维、稳态、
长度 L >> 高度 l，假定肋片长度方向温度
常物性、无内热源
均匀分布；厚度方向的导热热阻δ/ λ <<
表面传热热阻1/h，厚度方向温度均匀；
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
（2） 数学描述
肋片横截面积 AL=L
肋片截面周长 U=2（L+）
分析思路
导热微分方程 能量守恒+傅立叶定律
教材
一维的稳态导热问题只需要给定高度方向
x＝0，x＝l 的边界条件。可以将厚度方向
的表面对流换热处理为负的内热源。
THANKS
b) 增大h1、h2，但提高h1、h2并非任意的
c) 增大换热面积 A 也能增加传热依附于基础表面上的扩展表面 特点：热流量沿肋高方向处处变化（稳态导热）
（2）分类
等截面 变截面
（3）主要研究问题
a. 通过肋片散热的热流量 b. 肋片上的温度分布
2. 等截面直肋的导热
AL
ch( x) e x e x 2
th ( x)
ex ex
ex ex
两点说明：
a. 推导过程基于肋片末端绝热边界条件，适用于高而薄的肋片；
如果必须考虑末端的散热，则可近似为 l’＝l+δ/2 代入。
b. 当（δ/λ）/(1/h)≤0.05时，误差小于1%。对于短而厚的肋片， 二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面上表面传热系 数h不是均匀一致的，可以采用数值计算。
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传热学：第四章 导热问题的数值求解 1 例题4-5 二维肋片稳态导热问题的数值计算 （1）自主编程，编程语言自定，最后提交源程序 （2）提交电子报告（word格式），包括： （a）给出空间离散示意图（网格划分） （b）节点离散方程 （c） 图示温度等值线（可以利用origin或matlab） 解：（a）空间离散示意图(由origin的graph作图)
（b）节点离散方程 由上图所示得各节点的节点离散方程 结点1：T(m,n)=0.25*(T(m+1,n)+T(m-1,n)+T(m,n+1)T(m,n-1)) 结点2：T(M,n)= 1/(4+2*Bi)*(T(M,n-1)+T(M,n+1)+2*T(M-1,n)) 结点3：T(m,N)=1/(4+2*Bi)*(T(m-1,N)+T(m+1,N)+2*T(m,N-1)) 结点4：T(M,N)= 1/(2+2*Bi)*(T(M-1,1)+T(M,2)) 结点5：T(m,1)=0.25*(T(m-1,1)+T(m+1,1)+2*T(m,2)) 结点6：T(M,1)= 1/(2+2*Bi)*(T(M,N-1)+T(M,2)) （c） 温度等值线 传热学：第四章 导热问题的数值求解 2 等温线图，工况1（Bi=0.01）η= 0.9670 温度与y轴分布图（工况1） 传热学：第四章 导热问题的数值求解
3 工况2（Bi=1）η=0.1910 温度与y轴分布图（工况2） 传热学：第四章 导热问题的数值求解
4 图像分析：四幅图的显示来看，结果是可信的。要是网格划分过松，就会发现，在肋板顶端的绝热边界上温度的分布是有问题的，温度的最高值并不是在半肋板顶端边界n=1处，而是在n>1的不远处的离散点上，这是和我们的预期是相违背的，但是当网格划分到达一定的密度，就可以避免这个问题，虽然在图像上看不出来了，但是这个问题还是存在的，不过由于足够小的网格，是它可以忽略。
(D)用matlab编程，源程序 function example T0=input('T0='); Tf=input('Tf='); h=input('h='); k=input('k='); x=input('x='); H=input('H='); M=input('M='); st=H/(M-1); N=floor(x/st)+1; Bi=h*st/k; p=1; for m=1:(M) for n=1:(N) T(m,n)=0; end end for n=1:N T(1,n)=T0-Tf; end while p==1; p=0; for m=1:M;n=1:N; c(m,n)=T(m,n); end for m=2:M for n=1:N if (m>=2&&m=2&&n T(m,n)=0.25*(T(m+1,n)+T(m-1,n)+T(m,n+1)+T(m,n-1)); elseif (m==M&&n>=2&&n T(M,n)=1/(4+2*Bi)*(T(M,n-1)+T(M,n+1)+2*T(M-1,n)); elseif (m==M&&n==N) 传热学：第四章 导热问题的数值求解 5 T(M,N)=1/(2+2*Bi)*(T(M,N-1)+T(M-1,N)); elseif (m>=2&&m T(m,N)=1/(4+2*Bi)*(T(m-1,N)+T(m+1,N)+2*T(m,N-1)); elseif (m>=2&&m T(m,1)=0.25*(T(m-1,1)+T(m+1,1)+2*T(m,2)); elseif (m==M&&n==1); T(M,1)= 1/(2+2*Bi)*(T(M-1,N)+T(M,2)); end end end for m=1:M;n=1:N; if abs(c(m,n)-T(m,n))>=1E-6; p=1; end end end T1=0; T2=0; for m=2:1:M T1=T1+T(m,N); end for n=2:1:(N-1) T2=T2+T(M,n); end Q=(0.5*(T(1,N)+T(M,1))+T1+T2)/(((M-1)+(N-1))*80); T=rot90(T+20); disp(Q) disp(Bi) disp(N) disp(T) contour(T) end
总结：在编本题程序时，η值总是比书上的参考值小一半左右，但是反复核对和查找错误都没有确定症结所在，最终从对数据和图像的分析来看，我断定程序的主体是没有问题的，从而把计算η值的公式作为重点核对对象，终于发现是分子上的一个括号放错了位置，从而导致这个巨大的偏差，可见程序的完全正确和公式的正确需要非常仔细的核对，当然在结果的数据和图表的分析上，可以帮助锁定程序的错误发生的范围，从而更好的完善程序。 传热学：第四章 导热问题的数值求解 6 例题4-6 无限大平板的一维非稳态导热问题数值计算 （1）自主编程，编程语言自定，最后提交源程序 （2）提交电子报告（word格式），包括： （a）给出空间离散示意图（网格划分） （b）节点离散方程（显示、隐式皆可） （c） 图示温度分布（可以利用origin或matlab） （d） 分析空间步长和时间步长对计算结果的影响 解：（a）空间离散示意图
（b）节点离散方程 t(m)=Fo*(t(m+1)+t(m-1))+(1-2*Fo)*t(m) t(1)=2*Fo*t(2)+(1-2*Fo)*t(1) t(M)=t(M)*(1-2*Fo*Bi-2*Fo)+2*Fo*t(M-1)+2*Fo*Bi*tf （c） 温度分布 传热学：第四章 导热问题的数值求解
7 平板中温度的瞬态分布Δτ=0.18，M=40 平板中温度的瞬态分布Δτ=0.18，M=10 传热学：第四章 导热问题的数值求解
8 平板中温度的瞬态分布Δτ=0.018，M=40 平板中温度的瞬态分布Δτ=0.018，M=10 传热学：第四章 导热问题的数值求解
9 平板中温度的瞬态分布Δτ=1.8的图由于Fo已经大于0.5，无法满足程序要求，故没有给出图像。
（d） 分析空间步长和时间步长对计算结果的影响 从两张图的比较看来，Δτ=0.018时的温度变化更大，猜想空间步长和时间步长的作用是一样的，空间步长大使温度变化不明显，时间步长大的话也使温度变化不明显。故若使结果精确就要使空间步长和时间步长都要足够的小，才能保证精度。
(E)用matlab编程，源程序 function example46 step2=0.18; h=1163; k=50; a=1.39e-5; x1=0.1; tf=300; t0=80; M=40; step1=x1/(M-1); x=1; min=30; while min>0 T=min*60/step2; Bi=h*step1/k; Fo=a*step2/step1^2; if Fo<=0.5 for m=1:M t(m)=t0; end for n=1:T for m=2:(M-1) t(m)=Fo*(t(m+1)+t(m-1))+(1-2*Fo)*t(m); end t(1)=2*Fo*t(2)+(1-2*Fo)*t(1); t(M)=t(M)*(1-2*Fo*Bi-2*Fo)+2*Fo*t(M-1)+2*Fo*Bi*tf; end for m=1:M G(x,m)=t(m); end 传热学：第四章 导热问题的数值求解 10 x=x+1; min=min-3; else return end disp(G) z=1:M; plot(z,G(1,z),z,G(2,z),z,G(3,z),z,G(4,z),z,G(5,z),z,G(6,z),z,G(7,z),z,G(8,z),z,G(9,z),z,G(10,z)) end
这个程序编写相对第一个，容易不少，但是还是有些问题，就是时间步长和空间步长的关系没有明确，没有体会到以空间步长为x轴，以时间步长为y轴这一点，但是结果还是正确的，但是在通过老师的讲解和自己看书后，觉得这个思想是比较重要的，需要好好理解。自己编的程序对于这个思想体现的不够明显，有一定问题，但是从生成的图像来看，结果没有问题。
总结：由于之前未接触过MATLAB，故程序做的比较粗糙，结果和书上的有一定距离，但是经过这两道题的程序编写，让我了解了MATLAB的基本操作，之前还以为编程学习比较难，但是从这次经验来看，编程软件的学习还是从例子着手比较好，这样效率比较高，而且贴近实际。