【精品】2018年高三数学复习一题多解专题十二：求最值常用的基本方法
2018届高三数学文一轮复习课件：8-8-2 最值、范围、证明问题 精品
解析：(1)由题设条件知，点 M 的坐标为23a，13b， 又 kOM＝105，从而2ba＝105。 进而 a＝ 5b，c＝ a2－b2＝2b，故 e＝ac＝25 5。
(2)设点 C 的坐标为(0，－b)，N 为线段 AC 的中点，证明：MN⊥AB。
解析：(2)证明：由 N 是线段 AC 的中点知，点 N 的坐标为2a，－b2，可得N→M ＝a6，56b。
(1)若 y1y2＝－8，求抛物线 C 的方程；
解析：(1)设直线 AM 的方程为 x＝my＋p，代入 y2＝2px 得 y2－2mpy－2p2 ＝0，
则 y1y2＝－2p2＝－8，得 p＝2。 ∴抛物线 C 的方程为 y2＝4x。
(2)若直线 AF 与 x 轴不垂直，直线 AF 交抛物线 C 于另一点 B，直线 BG 交 抛物线 C 于另一点 N。求证：直线 AB 与直线 MN 斜率之比为定值。
又∵AB 的中点不在圆 x2＋y2＝95内， ∴4m9 2＋m92＝5m9 2≥95， 解得 m≤－1 或 m≥1。② 由①②得，－ 3＜m≤－1 或 1≤m＜ 3。 故 m 的取值范围为(－ 3，－1]∪[1， 3)。
[规律方法] 求解范围问题的常见求法 1．利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； 2．利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参 数之间建立等量关系； 3．利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； 4．利用基本不等式求出参数的取值范围； 5．利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围。
所以 a2＝2b2。 又由题意知，M 的右焦点为( 3，0)，故 a2－b2＝3。 因此 a2＝6，b2＝3。 所以 M 的方程为x62＋y32＝1。
2018届高三数学(理)高考总复习：升级增分训练 最值、范围、存在性问题 含解析
升级增分训练 最值、范围、存在性问题1．(2016·贵阳监测考试)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－2．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有⎩⎨⎧ c a ＝63，a －c ＝3－2， 解得a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1，故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1． (2)由已知可得，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1， 得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，则Δ＝12k 2－12＞0，x 1＋x 2＝－4k 3＋k 2，x 1x 2＝13＋k 2． ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k 2， |AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·12k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝12k 2－12＞0，63＋k 2≤12|AB |，解得k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413．故所求斜率的取值范围为(－∞，－413]∪413，＋∞)．2．(2016·西安质检)如图所示，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (2，3)，Q (2，－3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)． ∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上，∴－b ＝－2，解得b ＝2． 又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝4，c ＝23．可得椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵∠APQ ＝∠BPQ ，则PA ，PB 的斜率互为相反数，可设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，直线PA 的方程为：y －3＝k (x －2)，联立⎩⎨⎧ y －3＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝16，消去y ， 得(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－16＝0，∴x 1＋2＝8k (2k －3)1＋4k 2． 同理可得：x 2＋2＝－8k (－2k －3)1＋4k 2＝8k (2k ＋3)1＋4k 2， ∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k 2，x 1－x 2＝－163k 1＋4k 2， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝36．∴直线AB 的斜率为定值36． 3．(2016·贵阳期末)已知椭圆C 的两个焦点是(0，－3)和(0，3)，并且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，抛物线E 的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C 的右顶点F ． (1)求椭圆C 和抛物线E 的标准方程；(2)过点F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交抛物线E 于点A ，B ，l 2交抛物线E 于点G ，H ，求AG ―→·HB ―→的最小值．解：(1)设椭圆C 的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，则由题意得c ＝3，2a ＝34＋(1＋3)2＋34＋(1－3)2＝4， ∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为y 24＋x 2＝1． ∴右顶点F 的坐标为(1,0)．设抛物线E 的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，∴p 2＝1,2p ＝4， ∴抛物线E 的标准方程为y 2＝4x ．(2)设l 1的方程：y ＝k (x －1)，l 2的方程：y ＝－1k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，G (x 3，y 3)，H (x 4，y 4)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x消去y 得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴Δ＝4k 4＋16k 2＋16－4k 4＞0，x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1． 同理x 3＋x 4＝4k 2＋2，x 3x 4＝1，∴AG ―→·HB ―→＝(AF ―→＋FG ―→)·(HF ―→＋FB ―→)＝AF ―→·HF ―→＋AF ―→·FB ―→＋FG ―→·HF ―→＋FG ―→·FB ―→＝|AF |―→·|FB |―→＋|FG ―→|·|HF |―→＝|x 1＋1|·|x 2＋1|＋|x 3＋1|·|x 4＋1|＝(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＋(x 3x 4＋x 3＋x 4＋1)＝8＋4k 2＋4k 2 ≥8＋24k2·4k 2＝16， 当且仅当4k2＝4k 2，即k ＝±1时，AG ―→·HB ―→有最小值16． 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得EA ―→2＋EA ―→·AB ―→为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．解：(1)由e ＝63，得c a ＝63， 即c ＝63a ，① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且该圆与直线2x －2y ＋6＝0相切，所以a ＝|6|22＋(－2)2＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 26＋y 22＝1，y ＝k (x －2)，得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1x 2＝12k 2－61＋3k 2． 根据题意，假设x 轴上存在定点E (m,0)，使得EA ―→2＋EA ―→·AB ―→＝(EA ―→＋AB ―→)·EA ―→＝EA ―→·EB ―→为定值，则EA ―→·EB ―→＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2) ＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2) ＝(3m 2－12m ＋10)k 2＋(m 2－6)1＋3k 2， 要使上式为定值，即与k 无关，只需3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，解得m ＝73， 此时，EA ―→2＋EA ―→·AB ―→＝m 2－6＝－59， 所以在x 轴上存在定点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0使得EA ―→2＋EA ―→·AB ―→为定值，且定值为－59．。
专题6-3 最值问题-2018年高考数学备考之系列 含解析 精品
2018届高考数学大题狂练第六篇函数与导数专题03 最值问题1．已知函数，且函数的图象在点处的切线斜率为．（1）求的值，并求函数的最值；（2）当时，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由，可求得b=1,代入函数得，所以分0和0讨论单调性，再求得函数最值。
（2）构造函数，只需证在R上恒成立，显然时，符合，当时，，导函数零点，由单调可知下证，在区间上恒成立。
综上所述，当时，没有最值；当时，的最大值为，无最小值．（2）要证，即证，令，当时，，∴成立；当时，，当时，；当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴．∵，∴，，∴，即成立，故原不等式成立．2．已知a 是实数,函数()()2f x xx a =-（Ⅰ）若()13,f '=求a 的值及曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; （Ⅱ）求()f x 在区间[]0,2上的最小值. 【答案】(1) 0.a = 320.x y --= (2)见解析.【解析】试题分析：（I ）首先根据导数()13f '=求a ，再根据切线方程()()()111y f f x '-=-求切线方程；（Ⅱ）首先求函数的极值点， 1220,3x x a ==，比较23a 与区间端点的大小，从而得到函数的最小值. 试题解析：（Ⅰ） ()232f x x ax '=-因为()1323,f a =-=所以0.a = 当0a =时, ()()11,13,f f '==所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为320.x y --= （Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ()232f x x ax '=-.令()0,f x '=解得1220,.3ax x ==3min24.327a a f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭综上所述,3min0,04{,0 32784,3aaf aa a≤=-<<-≥.3．已知函数(I)当时，求函数的单调递增区间；(Ⅱ)当时，若函数的最大值为，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，，令，得的单调递增区间为（Ⅱ），令，则，由，，故存在，，故当时，；当时，，可得f(x)在增，减，所以存在极大值．故，解得的值为.（Ⅱ）方法1：令则由，故存在，故当时，；当时，故故，解得故的值为.等价于的最大值为.，令，得.故的最大值为，即.4．已知函数()ln xf x x=. （1）求函数()f x 的极值点；（2）设()()2ln2(0)2g x xf x ax a =-+>，若()g x 的最大值大于12a-，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）()0,1得ln 10a a +-<令()ln 1,h a a a =+-，讨论其性质可得a 的取值范围.试题解析：（1）0+∞定义域为（，）()21ln xf x x -'=，令()0f x '=得x e = ()()()0,,0,x e f x f x ∴∈>'单调递增；()()(),,0,x e f x f x ∈+∞'<单调递减 (),f x x e ∴=的极大值点为无极小值点（2）()()2ln2ln 02g x x ax a =-+>， ()21122(0,0)ax g x ax x a x x'-=-=>> 令()0g x '=，得x =()()()()0,,0,,0,x g x g x x g x g x ⎛⎫∈>∈+∞< ⎪⎝⎭''单调递增；单调递减()()max 1ln21ln ln 1222g x g a a a ∴==-⋅+=-+ 由()()max 1ln 1122ag x a =-+>-，得ln 10a a +-< 令()()()1ln 1,10,h a a a h a h a a=+-=+>'单调递增，而()10h =()()00,1h a a ∴<∈时，5．已知函数()()()322111.32f x x x x a x x a R ⎛⎫=-++--∈ ⎪⎝⎭（Ⅰ）若1x =是()f x 的极小值点,求实数a 的取值范围及函数()f x 的极值; （Ⅱ）当1a ≥时,求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值. 【答案】（1）1,a <极小值为()11126f a =-,极大值为()321162f a a a =-+.（2）见解析 【解析】试题分析：（1）根据极小值定义求实数a 的取值范围，根据导函数符号变化规律确定函数极值，（2）根据a 与2大小讨论导函数零点，再列表分析导函数符号变化规律确定函数最大值取法，最后小结结论. 试题解析：解: ()()()()()221111f x x x a x x x a =-++--=--'（Ⅰ）若1x =是()f x 的极小值,则1,a <列表分析如下:所以极小值为()11126f a =-,极大值为()321162f a a a =-+. （Ⅱ）当1a =时,函数()f x 在[]0,2上单调递增,所以最大值为()22;3f = （1）当2a ≥时, ()f x 在[]0,1上单调递增,在[]1,2上单调递减,所以最大值为()111;26f a =-综上所述,当513a ≤<时,最大值为()22;3f =当53a ≥时,最大值为()11126f a =- 6．已知函数()()22x f x e x ax =-+-（a R ∈）.（1）若()0,x ∈+∞时， ()f x 不单调，求a 的取值范围；（2）设()()()()()222,xg x x e b x F x f x g x =++=+，若1a =， 10,4b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0,x ∈+∞时， ()F x 有最小值，求最小值的取值范围. 【答案】（1）2a >；（2）(),1e --. 【解析】试题分析：（1）根据()f x 不单调可得导函数在区间()0,+∞上有解，然后通过分离参数的方法将问题转化为求211211x x x x =++-++在()0,+∞上的取值范围的问题解决，然后利用基本不等式可得所求．（2）由题意可得()()()'122xF x ex b x =-++，利用导数可得()'F x 在()0,+∞上单调递增，又()()'0410'160F b F b =-=，，故可得()'F x 在()0,+∞上存在零点t ，从而可得()()2min 1122t t F x F t e t ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭．然后再利用导数求出函数()()211,0,122t t h t e t t ⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭的值域即可得到所求．又()11201x x ++->+，（当且仅当0x =时等号才成立，故此处无等号） ∴2a >．∴ 实数a 的取值范围为()2,+∞． （2）由题意得()()()222xF x e x b x =-++，∴()()()'122xF x e x b x =-++.设()()()122x x ex b x φ=-++，则()'2x x xe b φ=+，又()0,x ∈+∞， 10,4b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∵()'0x φ>， ∴()'F x 单调递增，又()()'0410'160F b F b =-=，，∴存在()0,1t ∈，使得()()()'1220tF t e t b t =-++=.且当()0,x t ∈时， ()'0F x <， ()F x 单调递减， 当(),x t ∈+∞时， ()'0F x >， ()F x 单调递增，∴()()()()()()()()22min 1222222t tte t F x F t e t b t e t t t -==-++=-++-+21122t t e t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.又()()01,1h h e =-=-， ∴()()min ,1F x e ∈--.故()F x 最小值的取值范围为(),1e --．。
专题16 导数法妙解极值、最值问题-备战2018年高考高三
考纲要求:1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超 过三次).2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)． 基础知识回顾: 1、求函数的极值（1）设函数)(x f y =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的值都大（小），则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极大（小）值。
（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域D ,再求导，再解方程1()0f x =（注意和D 求交集），最后列表确定极值。
一般地，函数在()f x 点0x 连续时，如果0x 附近左侧1()f x >0，右侧1()f x <0，那么)(0x f 是极大值。
一般地，函数在()f x 点0x 连续时，如果0x 附近左侧1()f x <0，右侧1()f x >0，那么)(0x f 是极小值。
（3）极值是一个局部概念。
由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
（5）一般地，连续函数()f x 在点0x 处有极值是'0()f x =0的充分非必要条件。
（6）求函数的极值一定要列表。
2、用导数求函数的最值（1）设)(x f y =是定义在闭区间[],a b 上的函数，)(x f y =在(),a b 内有导数，可以这样求最值：①求出函数在(),a b 内的可能极值点（即方程0)(/=x f 在(),a b 内的根n x x x ,,,21 ）；②比较函数值)(a f ，)(b f 与)(,),(),(21n x f x f x f ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间(,)a b ，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。
2018届高三数学二轮复第四篇考前冲刺巧用12个解题技法文
巧用12个解题技法技法一特例法在解决选择题和填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特值法.特值法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,省去了推理论证、烦琐演算的过程,提高了解题的速度.例1 (1)数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+ln,则a n=( )A.2+ln nB.2+(n-1)ln nC.2+nln nD.1+n+ln n(2)已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数,如果f(x)与g(x)仅当x=0时的函数值为0,且f(x)≥g(x),那么下列情形不可能出现的是( )A.0是f(x)的极大值,也是g(x)的极大值B.0是f(x)的极小值,也是g(x)的极小值C.0是f(x)的极大值,不是g(x)的极值D.0是f(x)的极小值,不是g(x)的极值(3)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a、b、c成等差数列,则= .答案(1)A (2)C (3)解析(1)不妨取n=1,则有a2=a1+ln 2=2+ln 2.选项A,a2=2+ln 2,合题意,但不能就此下结论,认定这个是答案;选项B,a2=2+ln 2,也合题意;选项C,a2=2+2ln 2,不合题意,排除;选项D,a2=3+ln2,不合题意,排除.再取n=2,则有a3=a2+ln=2+ln 3,选项B,a3=2+2ln 3,不合题意,排除B,故选A.(2)取f(x)=-x2与g(x)=-2x2,适合条件,且0是f(x)与g(x)的极大值,故A可能出现,排除A;取f(x)=2x2与g(x)=x2,适合条件,则0是f(x)与g(x)的极小值,故B可能出现,排除B;取f(x)=2|x|与g(x)=x满足题意,且0是f(x)的极小值,但不是g(x)的极值,故D可以出现,排除D,所以选C.(3)令a=3,b=4,c=5,则△ABC为直角三角形,cos A=,cos C=0,从而所求值为.▲方法点睛(1)应用特例法的关键在于确定选项的差异性,利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应,从而排除干扰选项.(2)填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值是适用此法的前提条件.跟踪集训1.(1)函数f(x)=cos x·log2|x|的图象大致为( )(2)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有( )A.[-x]=-[x]B.=[x]C.[2x]=2[x]D.[x]+=[2x](3)如图,点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E 两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2=( )A.1B.2C.D.(4)AD,BE分别是△ABC的中线,若||=||=1,且与的夹角为120°,则·= . 技法二估算法估算法就是不需要计算出代数式的准确数值,通过估算其大致取值范围从而解决相应问题的方法.该种方法主要适用于比较大小的有关问题,尤其是在选择题或填空题中,解答不需要详细的过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算而获得,从而减少运算量.例2 (1)若a=20.5,b=logπ3,c=log2sin,则( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a(2)已知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的二面角都是60°,底面三角形三边长分别是7、8、9,则此三棱锥的侧面积为( )A.12B.24C.6D.18(3)若M为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a 扫过M中的那部分区域的面积为( )A. B.1 C. D.2答案(1)A (2)B (3)C解析(1)由指数函数的性质可知y=2x在R上单调递增,而0<0.5<1,所以a=20.5∈(1,2).由对数函数的性质可知y=logπx,y=log2x均在(0,+∞)上单调递增,而1<3<π,所以b=logπ3∈(0,1);因为sin∈(0,1),所以c=log2sin<0,故a>b>c.(2)若底面三角形的边长都是8,则底面积为×82=16,这个面积当然比原来大了一点点,再用射影面积公式求出侧面积为32,四个选项只有B选项的24与之最接近,选B.(3)动直线x+y=a扫过M中的那部分区域如图中阴影部分所示.阴影部分的面积比1大,比S△OAB=×2×2=2小,故选C.▲方法点睛估算法可以省去很多推导过程和比较复杂的计算,节省时间,是发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法.但要注意估算也要有依据,如本例(1)是根据指数函数与对数函数的单调性估计,从而比较三者的大小,其实质就是找一个中间值进行比较.本例(2)可以先求三角形ABC的面积为12,再利用射影面积公式求出侧面面积为24;你也可以先求出三角形的面积为12,之后求出P在底面的射影到各侧面的距离,都是三棱锥P-ABC的高的一半,再利用等体积法求得结果.跟踪集训2.(1)已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球的表面积是( )A.πB.πC.4πD.π(2)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π.若f(x)>1对于任意的x∈恒成立,则φ的取值范围是( )A. B.C.D.技法三图解法(数形结合法)数形结合法是一个将数学问题中数与形两个方面相互联系的一种思想方法.在解答选择题的过程中,可以先根据题意作出草图,然后参照图形的形状、位置、性质,综合所有的特征得出结论.例3 (1)已知定义在R上的函数f(x),当x∈[0,2]时, f(x)=8(1-|x-1|),且对于任意的实数x∈[2n-2,2n+1-2](n∈N*,且n≥2),都有f(x)=f,若函数g(x)=f(x)-log a x有且只有三个零点,则a的取值范围为( )A.[2,10]B.[,]C.(2,10)D.(,)(2)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=,(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值等于( )A.B.C. D.1(3)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.答案(1)D (2)A (3)解析(1)f(x)的图象如图所示,易得a>1,依题意得∴<a<.(2)如图建系,设点C的坐标为(x,y).a==,b==,c==(x,y).则(a-c)·(b-c)=·=0.化简得+y2=,其图形即圆M.当点C达到点D时,|c|取得最大值,|c|max=||=||+||=||+||=+.选A.(3)函数y=|x-a|-1的图象如图所示,因为直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,故2a=-1,解得a=-.▲方法点睛图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决选择题或填空题中的应用,利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论,这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系,利用几何图形中的相关结论求出结果.跟踪集训3.(1)函数y=|lo x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度b-a的最小值是( )A.2B.C.3D.(2)如果不等式>(a-1)x的解集为A,且A⊆{x|0<x<2},那么实数a的取值范围是.(3)设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数k,使对任意x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数f(x)为D上的“k型增函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在x>0时, f(x)=|x-a|-2a,若f(x)为R上的“2 015型增函数”,则实数a的取值范围是.技法四换元法换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.例4 (1)函数f(x)=cos2x-2cos2的一个单调递增区间是( )A. B.C. D.(2)已知实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则+的值为.答案(1)A (2)解析(1)采用换元法.f(x)=cos2x-2cos2=cos2x-cos x-1,令t=cos x,t∈[-1,1],原函数可以看作g(t)=t2-t-1,t∈[-1,1].其图象的对称轴为t=,对于g(t)=t2-t-1,当t∈时,g(t)为减函数,当t∈时,g(t)为增函数,当x∈时,t=cos x为减函数,且t∈,∴原函数在上单调递增,故选A.(2)由S=x2+y2联想到cos2α+sin2α=1,于是进行三角换元,设将其代入4x2-5xy+4y2=5中得4S-5Ssin αcos α=5,解得S=.∵-1≤sin 2α≤1,∴3≤8-5sin 2α≤13,∴≤≤,∴+=+==.▲方法点睛换元法的实质就是利用变量的替换将其转化为基本初等函数在给定区间上的最值、范围等问题.换元要注意“元”取值范围的限制,保持换元之后函数取值的等价性;若已知条件中有定义域的限制,要利用三角函数的性质确定“元”的取值范围,不要一见sin x就有-1≤sin x≤1,要根据x的范围确定.跟踪集训4.(1)函数f(x)=(0≤x≤2π)的值域是( )A. B.C. D.(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,其中b>a,且对任意x∈R都有f(x)≥0,则M=的最小值为( )A. B.C. D.(3)在平面直角坐标系xOy中,点P(x,y)是椭圆+y2=1上的一个动点,则S=x+y的最大值为.技法五构造法构造法是指利用数学的基本思想,经过认真的观察,深入的思考,构造出解题的数学模型,从而使问题得以解决.构造法的内涵十分丰富,没有完全固定的模式可以套用,它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体问题的特点采取相应的解决办法,其基本的方法是借用一类问题的性质来研究另一类问题的相关性质.常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等.例5 (1)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f '(x),满足f '(x)<f(x),且f(x+2)为偶函数, f(4)=1,则不等式f(x)<e x的解集为( )A.(-2,+∞)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(4,+∞)(2)已知m,n∈(2,e),且-<ln,则( )A.m>nB.m<nC.m>2+D.m,n 的大小关系不确定 答案 (1)B (2)A解析 (1)因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)的图象关于直线x=0对称,所以f(x)的图象关于直线x=2对称.所以f(0)=f(4)=1.设g(x)=(x∈R),则g'(x)==.又f '(x)<f(x),所以g'(x)<0(x∈R), 所以函数g(x)在定义域上单调递减.因为f(x)<e x⇔<1,而g(0)==1,所以f(x)<e x⇔g(x)<g(0),所以x>0.故选B.(2)由不等式可得-<ln m-ln n,即+ln n<+ln m.设f(x)=+ln x(x∈(2,e)),则f '(x)=-+=.因为x∈(2,e),所以f '(x)>0, 故函数f(x)在(2,e)上单调递增. 因为f(n)<f(m),所以n<m.故选A.▲方法点睛 构造法的实质是转化,通过构造函数、方程或图形等将问题转化为对应问题解决.利用构造法解题时要敢于打破常规,注重知识的前后联系与迁移、新旧知识的类比与转化.跟踪集训5.(1)a=ln -,b=ln-,c=ln-,则a,b,c 的大小关系为 .(2)已知三棱锥P-ABC,PA=BC=2,PB=AC=10,PC=AB=2,则三棱锥P-ABC 的体积为 .(3)函数y=+的最小值为.技法六待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫做待定系数法,其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等.使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程(组)来解决.待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式,例如数列求和、求函数表达式、求复数、求解析几何中的曲线方程等.例6 (1)已知椭圆C的焦点在x轴上,其离心率为,且过点A,则椭圆C的标准方程为;(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中|PQ|=2.则f(x)的解析式为.答案(1)+y2=1 (2)f(x)=2sin解析(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).由于e==,所以=,即a=2b.故椭圆的方程为+=1.又A在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)由题图可知A=2,P(x1,-2),Q(x2,2),所以|PQ|===2.整理得|x1-x2|=2,所以其最小正周期T=2|x1-x2|=4,即=4,解得ω=.又函数图象过点(0,-),所以2sin φ=-,即sin φ=-.又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin.▲方法点睛待定系数法主要用来解决已经定性的问题,关键是依据已知条件正确列出等式或方程(组).跟踪集训6.(1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S3=21,S5=65,则S n= .(2)已知函数y=的最大值为7,最小值为-1,则此函数的解析式为.技法七分离参数法分离参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法,通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解,从而避免对参数进行分类讨论的烦琐过程.该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题.但要注意该种方法仅适用于分离参数后能够求解相应函数的最值或范围的情况.例7 已知函数f(x)=(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若∀x∈[1,+∞),不等式f(x)>-1恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)由已知,得f '(x)=,当a≤-时,x2-2x-2a≥0,故f '(x)≥0,∴函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,∴当a≤-时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间. 当a>-时,令x2-2x-2a=0⇒x1=1-,x2=1+,列表:),1+),+∞)由表可知,当a>-时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1-)和(1+,+∞),单调递减区间为(1-,1+).(2)∵f(x)>-1⇔>-1⇔2a>x2-e x,∴由条件知,2a>x2-e x∀x≥1恒成立.令g(x)=x2-e x,h(x)=g'(x)=2x-e x,则h'(x)=2-e x,当x∈[1,+∞)时,h'(x)=2-e x≤2-e<0,∴h(x)=g'(x)=2x-e x在[1,+∞)上单调递减,∴h(x)=2x-e x≤2-e<0,即g'(x)<0,∴g(x)=x2-e x在[1,+∞)上单调递减,∴g(x)=x2-e x≤g(1)=1-e,故f(x)>-1在[1,+∞)上恒成立,只需2a>g(x)max=1-e,∴a>,即实数a的取值范围是.▲方法点睛应用分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题,关键在于准确分离参数,然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系.分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化,如果参数的系数符号为负号,则分离参数时应注意不等号的变化,否则就会导致错解.跟踪集训7.已知函数f(x)=ln x+x2-(a+1)x.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-2,求f(x)的单调区间;(2)当x>0时,<恒成立,求实数a的取值范围.技法八整体代入法整体代入法是根据式子的结构特征,在求值过程中,直接将两数或多个数之和的表达式当成一个整体来处理,从而建立已知和所求的关系或方程进行求解的方法.利用该种方法求值时,可以避免烦琐的求解过程,减少计算量.该种方法适用于等差、等比数列中求连续几项和的有关计算.例8 等比数列{a n}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为( )A.1B.2C.3D.5答案 C解析解法一:设等比数列{a n}的公比为q,则a5=a1q4,a7=a3q4,所以q4===.又a9+a11=a1q8+a3q8=(a1+a3)q8=8×=2,a13+a15=a1q12+a3q12=(a1+a3)q12=8×=1,所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.解法二:因为{a n}为等比数列,所以a5+a7是a1+a3与a9+a11的等比中项,所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),故a9+a11===2.同理,a9+a11是a5+a7与a13+a15的等比中项,所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15===1.所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.▲方法点睛整体代入法求值的关键是准确把握代数式的结构特征,确定已知和所求之间的关系.跟踪集训8.(1)若等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=30,则a5=( )A.54B.27C.81D.48(2)已知各项均为正数的等比数列{a n}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( )A.5B.7C.6D.4技法九割补法割补法主要是针对平面图形或空间图形所采用的一种几何方法,其主要思想是把不规则图形(几何体)转化为规则图形(几何体),这种方法常常用来求不规则平面图形的面积或不规则空间几何体的体积.例9 (1)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.6B.8C.10D.12(2)已知0<k<4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的k值为.答案(1)D (2)解析(1)根据题中所给的三视图,可以还原几何体,如图,该几何体可以将凸出的部分补到凹进去的地方成为一个长方体,其中长方体的长、宽、高分别是3、2、2,所以该几何体的体积为3×2×2=12,故选D.(2)直线l1的方程可以化为k(x-2)-2y+8=0,该直线过定点M(2,4),与两坐标轴的交点坐标分别是A,B(0,4-k);直线l2的方程可以化为(2x-4)+k2(y-4)=0,该直线过定点M(2,4),与两坐标轴的交点坐标分别是C(2k2+2,0),D.结合0<k<4,可以知道这个四边形是OBMC,如图所示,连接OM,则四边形OBMC的面积是△OBM,△OCM的面积之和,故四边形OBMC的面积是×(4-k)×2+(2k2+2)×4=4k2-k+8,故当k=时两直线所围成的四边形面积最小.故填.▲方法点睛对于一些不规则的几何体(图形),不能直接利用体积(面积)公式,此时必须对几何体(图形)进行相应的割补,将其转化为规则几何体(面积)以便于计算其体积(面积).跟踪集训9.(1)某个长方体被一个平面所截,得到几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )A.4B.2C. D.8(2)已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,∠BCD=∠BCE=,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2,则五面体EGBADC的体积为.(3)如图,已知球O的面上有四点A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=,则球O的体积等于.技法十等体积转化法等体积转化法就是通过变换几何体的底面,利用几何体(主要是三棱锥)体积的不同表达形式构造关于点到面的距离的方程来求解相关问题的方法.其主要用于立体几何中求解点到面的距离.例10 如图,已知三棱锥P-ABC,底面ABC是边长为2的正三角形,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB=,D为BC的中点.(1)求证:AB⊥PC;(2)求三棱锥B-PAD的体积.解析(1)证明:如图所示,取AB的中点E,连接PE,CE.因为PB=PA,所以AB⊥PE.因为AC=BC,所以AB⊥CE.又PE∩CE=E,所以AB⊥平面PEC.又PC⊂平面PEC,所以AB⊥PC.(2)V三棱锥B-PAD=V三棱锥P-ABD.因为平面PAB⊥平面ABC,PE⊂平面PAB,平面PAB∩平面ABC=AB,且PE⊥AB,所以PE⊥平面ABC.因为D是正三角形ABC边BC的中点,所以AD⊥BC.所以V三棱锥P-ABD=PE·S△ABD=×1××1×=,所以V三棱锥B-PAD=.▲方法点睛等体积法的基本原则是“一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的”, 这种变换原则多用解决有关锥体的体积问题,特别是三棱锥的体积.跟踪集训10.如图①,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且2AB=2AD=CD=4.现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF,然后沿边AD将矩形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直.如图②.(1)求证:BC⊥平面BDE;(2)若点D到平面BEC的距离为,求三棱锥F-BDE的体积.技法十一反证法反证法是指从命题正面论证比较困难,通过假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立的证明方法.利用反证法证明问题一般分为三步:(1)反设,即否定结论;(2)归谬,即推导矛盾;(3)得结论,即说明原命题成立.例11 如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则( )A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形答案 D解析由条件知△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,且△A2B2C2不是直角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形,则由题意可得解得所以A2+B2+C2=++,即π=-π,显然该等式不成立,所以假设不成立.则△A2B2C2是钝角三角形.故选D.▲方法点睛反证法证明全称命题以及“至少”“至多”类型的问题比较方便.其关键是根据假设导出矛盾——与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾.跟踪集训11已知x∈R,a=x2+ ,b=1-3x,c=x2+x+1.则下列说法正确的是( )A.a,b,c至少有一个不小于1B.a,b,c至多有一个不小于1C.a,b,c都小于1D.a,b,c都大于1技法十二补集法补集法就是已知问题涉及的类别较多,或直接求解比较麻烦时,可以通过求解该问题的对立事件,求出问题的结果,则所求解问题的结果就可以利用补集的思想求得.该方法在概率、函数等问题中应用较多.例12 (1)若抛物线y=x2上的所有弦都不能被直线y=k(x-3)垂直平分,则k的取值范围是( )A. B.C. D.(2)已知函数f(x)=ax2-x+ln x在区间(1,2)上不单调,则实数a的取值范围为.答案(1)D (2)解析(1)设抛物线y=x2上两点A(x1,),B(x2,)关于直线y=k(x-3)对称,AB的中点为P(x0,y0),则x0=,y0=.由题设知=-,所以=-.又AB的中点P(x0,y0)在直线y=k(x-3)上,所以=k=-,所以中点P.由于点P在y>x2的区域内,则->,整理得(2k+1)(6k2-2k+1)<0,解得k<-.因此当k<-时,抛物线y=x2上存在两点关于直线y=k(x-3)对称,于是当k≥-时,抛物线y=x2上不存在两点关于直线y=k(x-3)对称.所以实数k的取值范围为.故选D.(2)f '(x)=2ax-1+.①若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,则f '(x)≥0在(1,2)上恒成立,所以2ax-1+≥0,得a≥.(*)令t=,因为x∈(1,2),所以t=∈.设h(t)=(t-t2)=-+,t∈,显然函数y=h(t)在区间上单调递减,所以h(1)<h(t)<h,即0<h(t)<.由(*)可知,a≥.②若函数f(x)在区间(1,2)上单调递减,则f '(x)≤0在(1,2)上恒成立,所以2ax-1+≤0,得a≤.结合①可知,a≤0.综上,若函数f(x)在区间(1,2)上单调,则实数a的取值范围为(-∞,0]∪.所以若函数f(x)在区间(1,2)上不单调,则实数a的取值范围为.▲方法点睛利用补集法解题时,一定要准确找出所求问题的对立事件.跟踪集训12.(1)某学校为了研究高中三个年级的数学学习情况,从高一、高二、高三年级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查,若再从中任意抽取两个班级进行测试,则两个班级不来自同一年级的概率为.(2)将半径为2的圆分成相等的四段弧,再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内,现在往该圆内任投一点,此点落在星形内的概率为.答案全解全析技法一特例法跟踪集训1.(1)B 函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f=cos log2=-cos,f=cos·log2=-cos,所以f=f,排除A,D;又f=-cos<0,故排除C.综上,选B.(2)D 当x=时,可排除A,B,C.(3)A 不妨取点P,则可计算S1=×(5-4)=,易求得PD=2,PE=,所以S2=×2×=,所以S1∶S2=1.(4)答案解析若△ABC为等边三角形,则||=,∴·=||||cos 60°=.技法二估算法跟踪集训2.(1)D 球的半径R大于△ABC的外接圆半径r=,则S球=4πR2>4πr2=π.(2)A 因为函数f(x)的最小值为-2+1=-1,由函数f(x)的图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π可得,该函数的最小正周期为T=π,所以=π,解得ω=2.故f(x)=2sin(2x+φ)+1.由f(x)>1,可得sin(2x+φ)>0.又x∈,所以2x∈.对于选项B,D,若取φ=,则2x+∈,在上,sin(2x+φ)<0,不合题意;对于选项C,若取φ=,则2x+∈,在上,sin(2x+φ)<0,不合题意.选A.技法三图解法(数形结合法)跟踪集训3.(1)D 作出函数y=|lo x|的图象,如图所示,由y=0,解得x=1,由y=2,解得x=4或x=.所以区间[a,b]的长度b-a的最小值为1-=.(2)答案[2,+∞)解析根据题意作函数y=和函数y=(a-1)x的图象(如图所示),从图上容易得出实数a 的取值范围是a∈[2,+∞).(3)答案解析由题意得,当x>0时, f(x)=①当a≥0时,函数f(x)的图象如图(1)所示,考虑极大值f(-a)=2a,令x-3a=2a,得x=5a.所以只需满足5a-(-a)=6a<2 015,即0≤a<.②当a<0时,函数f(x)的图象如图(2)所示,且f(x)为增函数,因为x+2 015>x,所以满足f(x+2 015)>f(x).综上可知,实数a的取值范围是.技法四换元法跟踪集训4.(1)C 令=t(1≤t≤3),则sin2x=.当0≤x≤π时,sin x==,==≤=,当且仅当t=时取等号,即当0≤x≤π时, f(x)≤;同理可得当π<x≤2π时, f(x)≥-.综上,可知f(x)的值域为,故选C.(2)D 由题意得a>0,b2-4ac≤0,即c≥,因为b>a,所以M=≥=.令=t,则t>1,于是M≥==(t-1)+·+≥+, 当且仅当t-1=,即b=(1+)a,c==a时等号成立.所以M=的最小值为.故选D.(3)答案 2解析+y2=1⇔+y2=1,利用三角换元解决.令=cos θ,y=sin θ,则x=cos θ,故可设动点P的坐标为(cos θ,sin θ),其中0≤θ≤2π.因此S=x+y=cos θ+sin θ=2=2sin,所以当θ=时,S取得最大值,为2.技法五构造法跟踪集训5.(1)答案a>b>c解析令f(x)=ln x-x,则f '(x)=-1=.当0<x<1时, f '(x)>0,即函数f(x)在(0,1)上是增函数.∵1>>>>0,∴a>b>c.(2)答案160解析如图所示,把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG-FPDC,易知三棱锥P-ABC的各棱分别是长方体的面对角线,不妨令PE=x,EB=y,EA=z,由已知可得解得x=6,y=8,z=10. 从而V三棱锥P-ABC=V长方体AEBG-FPDC-V三棱锥P-AEB-V三棱锥C-ABG-V三棱锥B-PDC-V三棱锥A-FPC=V长方体AEBG-FPDC-4V三棱锥P-AEB=6×8×10-4××6×8×10=160.故所求三棱锥P-ABC的体积为160.(3)答案解析将函数变形为y=+,则问题可以转化为在x轴上找一点,使它到A(1,1),B(3,2)两点的距离之和最小的几何模型问题.设点A(1,1)关于x轴的对称点为A',则A'(1,-1),连接A'B交x轴于点P,则线段A'B的长就是所求的最小值,即为|A'B|==.技法六待定系数法跟踪集训6.(1)答案3n2-2n解析设等差数列{a n}的前n项和为S n=An2+Bn.由已知可得化简得解得故S n=3n2-2n.(2)答案y=或y=解析将函数y=变形为(y-m)x2-4x+y-n=0.因为x∈R,则y-m≠0,Δ=(-4)2-4(y-m)(y-n)≥0,即y2-(m+n)y+mn-12≤0.(*)又由函数y=的最大值为7,最小值为-1,可设(y+1)(y-7)≤0,即y2-6y-7≤0.(**)比较两个一元二次不等式(*)(**)的系数,可得解得或于是所求函数的解析式为y=或y=.技法七分离参数法跟踪集训7.解析(1)由已知得f '(x)=+ax-(a+1),则f '(1)=0.而f(1)=ln 1+-(a+1)=--1,∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=--1.∴- -1=-2,解得a=2.∴f(x)=ln x+x2-3x, f '(x)=+2x-3.由f '(x)=+2x-3=>0,得0<x<或x>1,由f '(x)=+2x-3<0,得<x<1,∴f(x)的单调递增区间为和(1,+∞), f(x)的单调递减区间为.(2)因为<,所以+x-(a+1)<+-,即-<在区间(0,+∞)上恒成立.设h(x)=-,则h'(x)=+=,由h'(x)>0,得0<x<,因而h(x)在(0,)上单调递增,由h'(x)<0,得x>,因而h(x)在(,+∞)上单调递减,∴h(x)的最大值为h()=,∴>,故a>2-1.从而实数a的取值范围为{a|a>2-1}.技法八整体代入法跟踪集训8.(1)C 设等比数列的公比为q,则q==3,故a1+a3=a1(1+q2)=10a1=10,解得a1=1.所以a5=a1q4=1×34=81.故选C.(2)A a1a2a3=5⇒=5,a7a8a9=10⇒=10,又=a2a8,所以==50,因为数列{a n}的各项均为正数,所以a4a5a6==5.故选A.技法九割补法跟踪集训9.(1)D 由三视图可知,该几何体如图所示,它是一个长方体被切割后的几何体,其中长方体的底面为正方形,正方形的边长为2,HD=3,AE=2,BF=1.将相同的两个几何体放在一起,构成一个高为4的长方体,于是该几何体的体积V=×2×2×4=8.故选D.(2) 答案解析如图所示,连接DG,BD.由平面ABCD⊥平面BCEG,平面ABCD∩平面BCEG=BC,∠BCD=∠BCE=,可知CD⊥平面BCEG,EC⊥平面ABCD,又CE∥GB,所以GB⊥平面ABCD.又BC=CD=CE=2,AD=BG=1,所以V五面体EGBADC=V D-BCEG+V G-ABD=S梯形BCEG·DC+S△ABD·BG=××2×2+××1×2×1=.(3)答案π解析如图,以DA,AB,BC为棱构造正方体,设正方体的外接球球O的半径为R,则正方体的体对角线长即为球O的直径,所以CD==2R,所以R=,故球O的体积V==π.技法十等体积转化法10.解析(1)证明:在矩形ADEF中,ED⊥AD,因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以ED⊥平面ABCD,因为BC⊂平面ABCD,所以ED⊥BC.在直角梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4,可求得BD=2,BC=2.在△BCD中,BC=BD=2,CD=4,所以BD2+BC2=CD2,所以BC⊥BD,又ED∩BD=D,所以BC⊥平面BDE.(2)因为BC⊥平面BDE,所以BC⊥BE.设DE=x,则BE==,则V三棱锥D-BEC=S△BEC×=××2××=V三棱锥E-BDC,又V三棱锥E-BDC=××2×2x,所以x=,所以V三棱锥F-BDE=V三棱锥B-FDE=××2××2=.技法十一反证法跟踪集训11.A 假设a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3,而a+b+c=2x2-2x+=2+3≥3.显然两者矛盾,所以假设不成立.故a,b,c至少有一个不小于1.技法十二补集法跟踪集训12. (1)答案解析记从高一年级中抽取的班级为a1,高二年级中抽取的班级为b1,b2,高三年级中抽取的班级为c1,c2,c3.从6个班级中任意抽取两个班级的所有可能结果为(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a1,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3) ,(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共15种.设“抽取的两个班级不来自同一年级”为事件A,则事件为抽取的两个班级来自同一年级.由题意知,两个班级来自同一年级的结果为(b1,b2),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共4种.所以P()=,故P(A)=1-P()=1-=.所以两个班级不来自同一年级的概率为.(2)答案-1解析所求的概率等于星形面积与圆面积的比.因为圆的半径为2,所以圆的面积为4π.过星形与圆的交点作圆的切线,得到一个正方形,如图所示:根据对称性可知星形的面积就是正方形的面积与圆的面积之差,即16-4π,故所求概率为=-1.。
2018届高考数学(文)大一轮复习检测第二章第12讲导数与函数的极值、最值 Word版含答案
第讲导数与函数的极值、最值,[学生用书])．函数的极值函数＝()在点＝的函数值()比它在点＝附近其他点的函数值都小，′()＝；而且在点＝附，′()＜近的左侧右侧，，则点叫做函数＝()的极小值点()叫做函数＝()的极小值．′()＞函数＝()在点＝的函数值()比它在点＝附近其他点的函数值都大，′()＝；而且在点＝附，′()＞近的左侧′()＜右侧，()叫做函数＝()的极大值．则点叫做函数＝()的极大值点，极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．．函数的最值()在闭区间[，]上连续的函数()在[，]上必有最大值与最小值．，]上单调递增()若函数()在[则，，()，()为函数的最大值；若函数()在[为函数的最小值则，()]上单调递减()为函数的最小值．，为函数的最大值．辨明两个易误点()求函数极值时，误把导数为的点作为极值点；()易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．．明确两个条件一是′()>在(，)上成立是()在(，)上单调递增的充分不必要条件．二是对于可导函数()，′()＝是函数()在＝处有极值的必要不充分条件．函数()的定义域为，导函数′()的图象如图所示，则函数()( )．无极大值点、有四个极小值点．有三个极大值点、一个极小值点．有两个极大值点、两个极小值点．有四个极大值点、无极小值点[解析] 设′()的图象与轴的个交点从左至右依次为、、、.当<时，′()>，()为增函数，当<<时，′()<，()为减函数，则＝为极大值点，同理，＝为极大值点，＝，＝为极小值点，故选.()＝－( )．有极大值－．有极大值，极小值－．有极小值．有极小值－，无极大值[解析] ′()＝－，′()＝时，＝±.′()>时，<－或>.′()<时，－<<，所以()在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在(－，)上是减函数．所以()极大值＝(－)＝.()极小值＝()＝－.故选.函数()＝－＋在[，]上的最大值为，则的值为( )．．．．[解析] ′()＝－，∈[，]，′()＝时，＝，′()<时，≤<，′()>时，<≤.所以()在[，)上是减函数，在(，]上是增函数．又()＝，()＝－＋.所以在[，]上，()＝()＝，所以＝，故选.．已知＝是函数()＝＋－的一个极值点，则实数＝．[解析] ′()＝＋－，由′()＝＋－＝，得＝，经检验满足条件．[答案]．函数()＝＋在(，]上的最大值为．[解析] ′()＝＋>，∈(，]．所以()在(，]上是增函数．所以()＝()＝.[答案]函数的极值问题(高频考点)[学生用书]函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，三种题型都有．高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度：()由图判断函数极值的情况；()已知函数解析式求极值；()已知函数极值求参数值或范围．[典例引领]()设函数()在定义域上可导，其导函数为′()，若函数＝(－)′()的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )．函数()有极大值()和极小值()．函数()有极大值(－)和极小值()．函数()有极大值()和极小值(－)．函数()有极大值(－)和极小值()()(·高考山东卷)设()＝－＋(－)，∈.①令()＝′()，求()的单调区间；②已知()在＝处取得极大值，求实数的取值范围．【解】()选.由题图可知，当<－时，′()>；当＝－时，′()＝；当－<<时，′()<；当<<时，′()<；当＝时，′()＝；当>时，′()>.由此可得函数()在＝－处取得极大值，在＝处取得极小值．故选.()①由′()＝－＋，可得()＝－＋，∈(，＋∞)．则′()＝－＝.当≤时，∈(，＋∞)时，′()>，函数()单调递增；当>时，∈时，′()>，函数()单调递增，∈时，函数()单调递减．所以当≤时，()的单调增区间为(，＋∞)；当>时，()的单调增区间为，单调减区间为.②由①知，′()＝.。
提分专题十二 利用“两点之间,线段最短”求最值中考复习课件
的中点，则 + 的最小值为____．
第2题图
（2）线段差最大问题
模型
展示
续表
问题：两定点 ， 位于直线 同侧，在直 问题：两定点 ，
线 上找一点 ，使 − 的值最大.
位于直线 异侧，在Fra bibliotek解决：根据三角形任意两边之差小于第三
直线 上找一点 ，
分析 之差小于第三边
针对训练
3.如图，在矩形 中， = 3 ， = 4 ，连接
， 是 的中点， 是 上一点，且 = 1 ，
是 上一动点，则 − 的最大值为(
A. 10 −
5
2
B.
85
2
5
C.
2
)
D.
√
13
2
第3题图
4.如图，已知 △ 为等腰直角三角形，
知， + 的最小值即为线段
的长，连接 交直线 于点
点 ，使得 + 的值最
小.
解决：将同侧点转化为异侧
即可解决
模型 对于“两定一动”线段和最小问题，利用两点之间，线段最短即可解
分析 决
针对训练
1.如图， △ 的面积为12， = ， = 4 ， 的
续表
要使 △ 的周长最小，即 + + 的值最小.根据两点之
间，线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可.分别作点 关
模型
于 ， 的对称点 ′ ， ″ ，连接 ′″ ，分别交 ， 于
分析
点 ， ，点 ， 即为所求， △ 周长的最小值即为线段
是 ∠ 内一点，在 上找一点 ， 上找一点 ，
2018届高三数学文一轮复习课件：2-2 函数的单调性与最值 精品
【微练 2】(1)函数 f(x)＝|x－2|x 的单调减区间是( )
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞)
(2)函数 f(x)＝(3－x2)ex 的单调递增区间是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－3,1)
D．(－∞，－3)和(1，＋∞)
x2－2x，x≥2， 解析：(1)由于 f(x)＝|x－2|x＝－x2＋2x，x＜2。 结合图象可知函数的单 调递减区间是[1,2]，故选 A。 (2)f′(x)＝－2x·ex＋ex(3－x2)＝ex(－x2－2x＋3)＝ex[－(x＋3)(x－1)]。当－3 ＜x＜1 时，f′(x)＞0，所以函数 y＝(3－x2)ex 的单调递增区间是(－3,1)，故选 C。 答案：(1)A (2)C
设∀x1，x 2∈D(x1≠x 2)，则 (1)fxx11－ －fx2x2>0(或x1－x2fx1－fx2>0⇔f(x)在 D 上单调递增； (2)fxx11－ －fx2x2<0(或x1－x2fx1－fx2<0⇔f(x)在 D 上单调递减。
微知识❺ 对勾函数的单调性 对勾函数 y＝x＋ax(a>0)的递增区间为(－∞，－ a]和[ a，＋∞)；递 减区间为[－ a，0)和(0， a]，且对勾函数为奇函数。
微知识❷ 单调性与单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x) 在这一区间具有(严格的) 单调性 ，区间 D 叫做 y＝f(x)的 单调区间 。
微知识❸ 函数的最大值与最小值
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： (1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M ；存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M ， 那么，我们称 M 是函数 y＝f(x)的最大值。 (2)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≥M ；存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M ， 那么我们称 M 是函数 y＝f(x)的最小值。 微知识❹ 函数单调性的两个等价结论
[荐]高考高中数学-与解三角形有关的最值问题-详解
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高考高中数学-与解三角形有关的最值问题-详解与三角形有关的最值问题主要涉及求三角函数值最值、边长的最值、面积、向量的最值．解决这类问题的方法有：
1.将所给条件转化为三角函数，利用三角函数求解最值；
2.将所给条件转化为边，利用基本不等式或者函数求解最值；
3.建立坐标系，求出动点的轨迹方程，利用几何意义求解最值；
4.多元问题可消元后再用上述方法求解，如2018年上海卷T14就是与解三角形有关的最值问题。
典例分析
考向1 转化为角的三角函数
解后反思
1. 注意到a2＋b2＋2c2＝8中a，b是对称的，因此将三角形的面积表示为S＝1/2absinC，利用余弦定理将ab表示为C的形式，进而转化为三角函数来求它的最值．
2. 将c看作定值，这样满足条件的三角形就有无数个，从而来研究点C所满足的条件，为此建立直角坐标系，从而根据条件a2＋b2＋2c2＝8得到点C 的轨迹方程，进而来求出边AB上的高所满足的条件．
3. 解法1是从将面积表示为角C的形式来加以思考的，而解法2则是将面积表示为边c的形式来加以思考的．这两种解法都基于一点，即等式a2＋b2＋2c2＝8中的a，b是对称关系．解法2则是从运动变化的角度来加以思考的，这体现了三角函数与解析几何之间的千丝万缕的关系．解法1是一种常规的想法，是必须要认真体会的，而解法2就需要学生能充分地认识知识与知识之间的联系．本题对学生的知识的应用要求、思考问题、分析问题、解决问题的能力要求都比较高．
跟踪训练
考向2 转化为边，利用基本不等式或函数求解
跟踪训练
考向3 平几问题解几化，化为轨迹问题
跟踪训练。
专题12-2 算法与程序框图-2018年高三数学文一轮总复习
1．【2017山东，文6】执行右侧的程序框图,当输入的x 值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为A.3x >B.4x >C.4x ≤D.5x ≤ 【答案】B【考点】程序框图【名师点睛】程序框图试题主要有求程序框图执行的结果和完善程序框图两种形式,求程序框图执行的结果,要先找出控制循环的变量的初值（计数变量与累加变量的初始值）、步长、终值(或控制循环的条件),然后看循环体,循环体是反复执行的步骤,循环次数比较少时,可依次列出,循环次数较多时,可先循环几次,找出规律,最后要特别注意循环结束的条件,不要出现多一次或少一次循环的错误；完善程序框图的试题多为判断框内内容的填写,这类问题常涉及到,,,≥>≤<的选择,解答时要根据循环结构的类型,正确地进行选择,注意直到型循环是“先循环,后判断,条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断,后循环,条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的,它们恰好相反.另外还要注意判断框内的条件不是唯一的,如a>b,也可写为a≤b;5i >,也可写成6i ≥. 2．【2017江苏，4】右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116,则输出的y 的值是 ▲ .【答案】2-【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.3．【2017天津，文4】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（A）0 （B）1（C）2（D）3【答案】C【考点】循环结构程序框图【名师点睛】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.程序框图主要考查循环结构框图输出结果或补全程序框图，在算法的三种逻辑结构中，重点是循环结构，因为在循环结构中一定涉及顺序结构和条件结构，基本算法语句主要考查赋值语句和条件语句.算法本身就是为了解决实际问题而产生的一门学科，与统计、函数结合起来考查是常见的形式之一。
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【精品】2018年高三数学复习
一题多解专题十二：求最值常用的基本方法
例：已知1yx，求22yx的最小值。
分析1 虽然所求函数的结构式具有两个字母yx、，但已知条件恰有yx、的关系式，
可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。
解法1 .1,1xyyx
设22yxz，则.122)1(222xxxxz
二次项系数为,02故z有最小值。
当21222x时，.212421242＝）－（－＝最小值z
22yx的最小值为.21
分析2 已知的一次式1yx两边平方后与所求的二次式22yx有密切关联，于是
所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。
解法2 ,1)(,12yxyx即.2122xyyx
).(1,2222222yxyxyxxy
即 ,2122yx当且仅当21yx时取等号。
22yx的最小值为.21
分析3 配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方
后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。
解法3 设.22yxz
.2121)21()21(1,12222yxyxyxzyx
当21yx时，.21＝最小z即22yx的最小值为.21
分析4 因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方
程的特点，故可得到用解析法求解的启发。
解法4 如图4－2－2，1yx表示直线,l22yx
),(yxP
1
1
O
x
y
l
图4－2－
2
表示原点到直线l上的点),(yxP的距离的平方。
显然其中以原点到直线l的距离最短。
此时，,222|100|d即.22)(22＝最小yx
所以22yx的最小值为.21
注 如果设,22zyx则问题还可转化为直线1yx与圆zyx22有交点时，
半径z的最小值。
简评 几种解法都有特点和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都紧紧地抓住题设条
件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法4，形象直观，值
得效仿。