函数导数综合问题
三角函数与导数综合应用
三角函数与导数综合应用一、引言三角函数和导数是高等数学中的两个重要概念，它们在数学和物理等领域具有广泛的应用。
本文将讨论三角函数与导数的综合应用，并结合实际问题展示其重要性。
二、举例：航空器的爬升角度在航空领域中，航空器的爬升角度是一个关键参数，它直接影响飞机的爬升速率和到达目的地所需的时间。
而通过对三角函数和导数的综合应用，我们可以确定最优的爬升角度，使飞机能够以最高的效率完成任务。
1.问题陈述假设一架飞机位于空中，目标高度为H米，初始高度为h米（h < H），飞机的爬升速率为v m/s。
我们的目标是确定最小的爬升角度θ，使得飞机能够以最短的时间到达目标高度H。
2.解决方法我们可以利用三角函数和导数的综合应用来解决这个问题。
假设飞机当前的高度为y米，它的爬升角度为θ。
根据三角函数的定义，我们可以得到飞机的爬升速率与角度之间的关系：v = y' = dy/dt = sin(θ) * v其中，y'表示高度关于时间的导数，即飞机的爬升速率；dy/dt表示高度关于时间的变化率；sin(θ)表示飞机的爬升角度与爬升速率之间的比例关系；v表示飞机的爬升速率。
我们的目标是求解出角度θ的取值范围，使得飞机以最短时间到达目标高度H。
由于飞机的爬升速率是已知的，我们可以将问题转化为求解y与θ的关系式，并对y求导数。
3.问题求解设总时间为T，根据问题陈述，我们可以得到以下方程：∫[0,H] dy / (sin(θ) * v) = T其中，∫[0,H]表示对y从0到H进行积分，dy表示y的微元变化量。
将方程分解后，我们可以得到：∫[0,H] dy / sin(θ) = v * T再次对方程进行分解，我们可以得到：∫[0,H] sec(θ) dy = v * T利用积分规则，我们可以得到以下结果：[ln|sec(θ) + tan(θ)|] [0,H] = v * T由于θ的取值范围在[0,π/2]之间，我们可以得到以下结论：ln|sec(θ) + tan(θ)| = (v * T) / H根据以上方程，我们可以求解出最优的爬升角度θ，进而确定飞机到达目标高度H所需的最短时间T。
导数的函数乘法与除法的综合问题解析
导数的函数乘法与除法的综合问题解析在微积分中，导数是一个重要的概念，它描述了函数的变化率。
在实际问题中，我们常常会遇到函数的乘法与除法的综合问题。
本文将对导数的函数乘法与除法的综合问题进行详细解析。
1. 函数乘法法则函数乘法法则是导数的基本运算法则之一，它用于计算两个函数的乘积的导数。
设有两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的导数分别表示为 f'(x) 和 g'(x)。
根据函数乘法法则，两个函数的乘积的导数可以表示为：(h(x) = f(x)g(x))，则 h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
2. 函数除法法则函数除法法则也是导数的基本运算法则之一，它用于计算两个函数的商的导数。
设有两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的导数分别表示为 f'(x) 和 g'(x)。
根据函数除法法则，两个函数的商的导数可以表示为：(h(x) = f(x) / g(x))，则 h'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / g^2(x)。
3. 举例说明为了更好地理解函数乘法与除法的综合问题，我们举例说明。
例1：求函数 h(x) = (2x^2 + 3x + 1) / (x^2 + 1) 的导数。
解：首先，我们需要计算函数分子与分母的导数。
对于分子 f(x) = 2x^2 + 3x + 1，其导数 f'(x) = 4x + 3。
对于分母 g(x) = x^2 + 1，其导数 g'(x) = 2x。
根据函数除法法则，我们可以计算 h'(x)：h'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / g^2(x)= ((4x + 3)(x^2 + 1) - (2x)(2x^2 + 3x + 1)) / (x^2 + 1)^2= (4x^3 + 7x^2 + 3x + 3 - 4x^3 - 6x^2 - 2x) / (x^2 + 1)^2= (x^2 + x + 3) / (x^2 + 1)^2因此，函数 h(x) = (2x^2 + 3x + 1) / (x^2 + 1) 的导数为 h'(x) = (x^2 + x + 3) / (x^2 + 1)^2。
70知识讲解_导数的综合应用题(基础)(文)
导数及其应用》全章复习与巩固学习目标】能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问要点梳理】 要点一：有关切线问题 直线与曲线相切，我们要抓住三点： ① 切点在切线上； ② 切点在曲线上；③ 切线斜率等于曲线在切点处的导数值 要点诠释： 通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程要点二：有关函数单调性的问题要点诠释：则 f '(x) 0.2) f '(x) 0或 f'(x) 0恒成立,求参数值的范围的方法： ① 分离参数法： m g(x)或m g(x).1 )如果恒有 f '(x) 0,则函数f(x)在(a, b)内为增函数； 2)如果恒有 f '(x) 0,则函数f(x)在(a, b)内为减函数； 3)如果恒有 f '(x) 0，则函数f (x)在(a, b)内为常数函数.设函数 y f (x) 在区间1. 会利用导数解决曲线的切线的问题2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题组.4. (a, b)内可导,(1)若函数f(x)在区间(a, b)内单调递增，则f'(X) 0，若函数f(x)在(a, b)内单调递减,② 若不能隔离参数，就是求含参函数 f(x,m) 的最小值 f(x,m)min或是求含参函数 f(x,m) 的最大值 f(x,m)max ，使 f ( x, m)max 0) 要点三：函数极值、最值的问题 函数极值的问题求方程 f (x) 0 的根；负右正，则 f(x) 在这个根处取得极小值 .( 最好通过列表法 ) 要点诠释： ① 先求出定义域② 一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点; 变正，则该点为极小值点注意：无定义的点不用在表中列出③ 根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值 函数最值的问题若函数y f (x)在闭区间［a,b ］有定义，在开区间(a,b)内有导数，则求函数y f (x)在［a,b ］上的最 大值和最小值的步骤如下：求在(a,b)内所有使f(X) 0的的点的函数值和 f(x)在闭区间端点处的函数值 f (a)， f (b)；y f (x)在闭区间［a,b ］上的最小值.要点诠释： ①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的 函数值进行比较即可 .使f ( x, m)min 01) 确定函数的定义域； 2) 求导数 f (x) ；4) 检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x) 在这个根处取得极大值；如果左若由负1) 求函数f (x)在(a, b)内的导数f(X)； 2) 求方程f(X)0在(a,b)内的根;4) 比较上面所求的值，其中最大者为函数y f(x)在闭区间［a,b ］上的最大值，最小者为函数② 若f （x ）在开区间（a,b ）内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值 要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可 用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决 有关函数最大值、最小值的实际问题利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤:分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y f （x ）；求函数的导数f '（X ），解方程f '（X ） 0 ； 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大 （小）者为最大（小）值.要点诠释:①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定 函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系 相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路:②得出变量之间的关系 y f （X ）后，必须由实际意义确定自变量 X 的取值范围;③ 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值.④ 在求实际问题的最大（小）值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去. 【典型例题】类型一： 利用导数解决有关切线问题 3X 3X ，过点A （016）作曲线y f （x ）的切线，求此切线方程.(1) .再通过研究f '（X ） 0的情形，如果函数在这点有极大例1.已知函数y【思路点拨】因为点 A 不在曲线上，所以应先设出切点并求出切点. 【解析】曲线方程为 3y X 3X ，点A （016）不在曲线上.3a)点A(016)在切线上，则有16 (X)33x 0)3化简得X o 8，解得X o 2 .所以，切点为 M( 2,2)，切线方程为9xA 是否在曲线上，若点 A 不在曲线上，应先设出切点, 然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值举一反三:【变式1】曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 【答案】y 4x1(2,o)且与曲线y -相切的直线方程. X类型二： 利用导数解决有关函数单调性、极值最值的问题 例 2.设函数 f(x) -x 32ax 23a 2x b (a,b3【思路点拨】求导后，求导数为零的根，两根大小的判断是确定分类点的依据Q Q【解析】f (x) X 4ax 3a (x a)(x(1 )当 a o 时，f(X) X 2o , f (X)在(设切点为M (X o, y 0),则点M 的坐标满足y o3 c X o 3x o .2因 f(X o ) 3(X o 1), 故切线的方程为y y 023(X o 1)(x X o ).23(x o 1)(o X o ).【变式2】求过点【答案】设P(xo, y o )为切点，则切线的斜率为 y 1X X o1~2X o•••切线方程为y 1 1 y o —(x X o )，即 yX oX o又已知切线过点 (2,0)，把它代入上述方程，得-V(x X o 1 x o ). X o丄(2 X o ).X o解得X o 1, y o—1，即 X y 2 o. X o【总结升华】此类题的解题思路是，先判断点 R)，求f (x)的单调区间和极值.令 f(X)o 得 X 24ax 3a 2 o 即(x a)(x3a) 0,解得 X a 或 x 3a ,)上单调递减，没有极值;(2)当a o时，由f(X) o得a X 3a，由f (x) o得x a或x 3a ,3a)•••当X a 或X 3a 时，f (x)0 , f (x)单调递减;X 2当a x 3a 时，f(X)0, f(x)单调递增;【总结升华】(1)解决此类题目，关键是解不等式 f '(X) 0或f '(X) 0，若f '(X)中含有参数，须分类讨论.(2)特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域 举一反三:aa0，-r1,XV a X 0 时,4 3--f (X)极小 f (a)— ab , f (X)极大 f (3a) b , ••• f(x)的递减区间为(,a) , (3a, );递增区间为(a,3a);f(X)极小 3 a'f(x)极大b .(3)当a 0时，由f (X) 0 得 3a X a ，由 f (X) 0 得 X 3a 或 x a ,•••当X 3a 或X a 时, f (X) 0 , f(x)单调递减;当3a X a 时,f (X) 0 , f(x)单调递增;••• f(x)极小 f (3a)f (X)极大 f(a) • f(x)的递减区间为3a), (a,递增区间为(3a, a);f (x)极大 4 a'f (x)极小b .【变式1】求函数f (X) X a-(a 0)的单调区间. X【答案】 f '(X) 1令 f'(X)a~2X a 2XX 2a ，(1)J a 或XT a 时,所以, f'(X) 0;(2)1.【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题4】【变式2】 已知函数f(x)=ax 3+x 2+1 , x€ (0 , 1]若f(x)在(0,1)上是增函数，求实数 a 的取值范围;【答案】••• f(x)在(0, 1)上是增函数,••• x€( 0 , 1)时，f’(x)=3ax 2+2x>0 恒成立, 2即a 一对x €( 0, 1 )恒成立, 3x2•-—在(0, 1)上单调增，3x2 2••• x=1时，—取最大值 -3x 32 2— (a —时也符合题意),则a 3 3(2)又 f(1) a 2 27^ 1.27a所以，f'(x) 0• • f (x)的单调增区间是，单调减区间是J a, 0 , 0, j a .(2) 求f(x)在(0，1)上的最大值.(1) (1) f’(x)=3ax 2+2x,①当a ②当a 2-时，f(x)在(0 ,1)上单调增， 32 2一时，令f '(x) 3ax 2x 0,由x 0 ,得x3 2 一时,f '(x) 0;当3a 2 f(x)max f(1) a 2.23a 2 3a 427a 20,【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题1】例3.已知函数f (x) ax 3bx c 在x 2处取得极值为c (1)求a 、b 的值；(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在［•- f(x)在(0,1)上的最大值为4 27a 216,3,3］上的最大值.【高清课堂：导数的应用综合370878 例题1】1 12举一反三:(2) 由( 1) 知 f (X) 3 X 12x c ， f (x)23x 12，令f (X) 0 ，得X 1 2,X 2 2当X (J2)时 f(X) 0， 故f(x)在(，2)上为增函数;当X (2,2) 时 f(X) 0， 故 f(x)在(2,2)上为减函数；当X (2,)时 f(X) 0， 故 f (X)在(2, )上为增函数由此可知f(X)在X j2处取得极大值f( 2)16 c ,其导函数 f(X)，且函数f (X)在X 2处取得极小值，则函数【变式1】设函数f(x)在R 上可导, 【解析】 3(1 )因 f(x) ax bx c 故f (x) 3ax 2b 由于f (x)在点x 2处取得极值故有f (2) 0 f (2) c 1612a b 8a 2b cc 16解得f(X)在X 2 2处取得极小值f(2) c 16,由题设条件知16 c 28得c 12，此时 f( 3) 9 c 21, f (3)3 ， f(2) c 164,因此f(x)上［3,3］的最小值为 f(2) 4.【高清课堂：导数的应用综合370878 例题1】x5x y 80.(1)若a 0，当x 变化时，f(X)的正负如下表:xg 旦3a 3a a3a(a,g )f (x)oaa/ 因此，函数f(x)在x-处取得极小值fa ，且f3^a3 ；【答案】C 【变式2】函数f(X)— 2sin x 的图象大致是( )2首先易判断函数为奇函数，排除 A,求导后解导数大于零可得周期性区间, 从而排除 B 、D,故选C.例4.设函数f(x) x(x 、2a) ( x(I)当 a 1时，求曲线 y f(x)在点(2, f(2))处的切线方程; (n)当 a 0时，求函数f (x)的极大值和极小值. 【解析】 (I)当a 1时,f (x) x(x 1)2 x 3 2x 2 x ，得 f(2)2，且f (x) 3x 24x 1 , f (2)5.所以，曲线yx(x 21)在点(2, 2)处的切线方程是y 25(x 2)，整理得(n) f(x)x(xa)2 2ax 2 (x)3x 2 4 axa 2(3x a)(x a).由于aa或30，以下分两种情况讨论.f (x) 0，解得x函数f(x)在x a 处取得极大值f(a)，且f(a) 0 .(2)若a 0，当x 变化时，f(X)的正负如下表:因此，函数f (x)在x a 处取得极小值f (a)，且f(a) 0 ；aa a 4 Q函数f(x)在x 3处取得极大值f -，且 f- 护-【总结升华】1.导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图像法.举一反三:2. 列表能比较清楚的看清极值点3. 写结论时极值点和极大(小) 值都要交代清楚【高清课堂: 导数的应用综合 370878例题2】1【变式1】设函数f(X)-x In 3x(x 0),则 y f(X)(A. 在区间(一,1),(1,e)内均有零点.eB. 在区间(丄⑴门闾内均无零点e '1C. 在区间(一,1)内有零点，在区间e 1D. 在区间(一,1)内无零点，在区间 (1,e)内无零点. (1,e)内有零点.由题得f'(x)13 1 X 3x 3x，令 f'(X) 0 得 x 3 ； 令 f'(x) 0 得 0 x 3 ； f'(x) 0 得x 3，故知函数 f (x)在区间 (0,3)上为减函数，在区间(3,)为增函数，在点 x 3处有极小值1 ln3 0 ；又 f(1) l,f e3 e1 0, f(1) — 3 e 3e1 0,故选择D.每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为 315万元.【变式2】(1)试确定a,b 的值;(2)讨论函数f(x)的单调区间.又对f(x)求导得x 1时，f(X) 0，此时f(x)为减函数; 1时，f(X)0,此时f (x)为增函数.例5.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量X (吨)与每吨产品的价格 P (元/吨)之间的关系式1 2为：P 24200-X ,且生产X 吨的成本为R 50000 200x (元).问该厂每月生产多少吨产品才能使 5利润L 达到最大？最大利润是多少？(利润=收入一成本)1【解析】：每月生产X 吨时的利润为f(x) (24200 -X 2)x (50000 200x) 5故它就是最大值点，且最大值为:f (200)1(200)3 24000 2005已知函数 f(x) ax 41nx bx 4C (x>0)在 x = 1 处取得极值-3-c , 其中a,b,c 为常数.【答案】(1)由题意知f(1)C ，从而b3f (x) 4ax ln x 41ax g- X4bx 3 x 3(4a l nx由题意f (1) 0 , 因此a 4b 0，解得 a 12,b(2)由(I)知 f(X)348x In X ( x 0)，令 f(X)0，解得x因此 f(x)的单调递减区间为(0,1)，而f(x)的单调递增区间为(1, g ).类型三:利用导数解决优化问题lx 3 24000 X 50000 (x5 0)3 2由 f(X) -X 24000 0解得X 1200, X 2 200(舍去). 因f (x)在［0,)内只有一个点X 200,使f (X) 050000 3150000(元)【总结升华】禾u用导数求实际问题中的最大值或最小值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点举一反三:【变式】某单位用 2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少房•经测算，如果将楼房建为x（ X> 10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48X （单位：元）•为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层?（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用当 X > >15 时，f '（X）0,当 10< X < 15 时，f '（X）因此，当X=15时，f（X）取得最小值f（15）2000 •10层、每层2000平方米的楼购地总费用）建筑总面积【答案】设楼房每平方米的平均综合费用为f（X），则2160 10000 f（X）（560 48X）——2000Xf'（X）48 10800，令f'（X）0 ,X 560 48x 10, X N）•得x=15•为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.。
函数与导数在解答综合题中的应用
．
删
＝
ｌ － ｆ 一 号 ． ‘
设 ｇ （ ） ＝ｘ－ －２ １ ｎ ｘ＋２ ａ ， 则
ｇ 一 一
删 毒
由厂 （ 一２ ） 一雨 － ２＜ 一— １ 可得 一 １ ＜ｆ ＜３ ．
，
孚，
２
Ｏ
列表 如 下 ：
（ １， ２ ）
ｇ （ ｚ）
３ ／ ． 因为 ｂ ， ｆ ∈Ｎ ， 所以 ｃ 一２ ， ６ —２ ．
（ 一∞ ， ０） 和 （ ２， 十ｏ ｏ）， 早 捌 藏 １ 日 Ｊ 为 （ ０， １） 和 （ １， ２） ．
３
导 数 征 Ｊ 噼 儿 侧 甲 嗣 应 用
（ ２ ）由 已知 得 ２ Ｓ 一ａ 一口 ： ， 当 ≥ ２时 ， ２ Ｓ 一 一
ｎ １ 一ｎ ： 一 】 ， 两式 相 减 得 （ ｎ ＋ｎ 一 １ ） （ ａ 一口 一 １ ＋１ ） 一 ０ ，所 以 口 一一口 一 １ 或口 －ａ １ 一 一１ ．
Ｃ
（ ６ ， ｆ ∈Ｎ ） 有且仅 有 ２个 不动 点 ０ 、 ２ ， 且
／ （ 一２ ） ＜ 一 １
．
（ Ｉ）令 Ｆ（ ） 一ｘ ｆ （ ｚ ） ， 讨 论 Ｆ（ ｚ ） 在（ ０ ， ＋。 。 ） 内 的单调 性 ， 并 求极值 ； （ Ｉ Ｉ ）求 证 ： 当ｚ ＞１时 ， 有ｚ ＞Ｉ ｎ 。 ｚ 一２ ａ ｌ ｎ ＋１ ．
的证 明我们 可 以通 过 构 造 导 函数来 解 决 ；第 二 ： 导函 数 正 负 不 好 判 断 时， 我 们 可 以 继 续 构 造 函 数 解 决
问题 ．
函数 与导 数 一直是 高 考 考 查 的重 点 ， 也 是 学 生 学 习的难 点． 本文 重 点谈谈 函数 与 导 数在 高 中数 学 综 合 问题 当 中的应 用及 如何 引 导学 生分 析 、 解决 问题 ．
专题3.6 以函数、不等式与导数相结合的综合问题为解答题(解析版)
专题三压轴解答题第六关以函数、不等式与导数相结合的综合问题为解答题【名师综述】1.本专题在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出2．本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用类型一用导数研究函数的性质典例1 【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断性考试】已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）若函数的极小值大于，求实数的取值范围．【解析】（1）定义域为单调递增区间为时，由单调递增区间：单调递减区间：单调递减区间为：单调递增区间：故：单调递增区间是单调递增区间是单调递增区间是单调递减区间是单调递增区间为（2）由（1)知:当时，函数的极小值点，此时令时，递增，时递减又要使得则有，又的取值范围为【名师指点】利用导数可以研究函数的单调性、函数图像、极值点、最值、零点等性质，常用的到的方法为：1、利用对于确定函数求单调区间问题，先求定义域，然后解不等式'()0f x >和定义域求交集得单调递增区间；解不等式'()0f x <和定义域求交集得单调递减区间.2、对于含参数的函数求单调区间问题，转化为判断导函数符号，可结合函数图象判断.3、求函数的极值，先求'()0f x =的根0x ，再和函数定义域比较，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，无极值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑0x 两侧导数是否异号，从而判断是否有极值.4、求函数的最值和求极值类似，先求'()0f x =的根0x ，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，利用单调性求最值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑0x 两侧导数是否异号，从而判断函数大致图象，从而求最值.【举一反三】（2020·山东高三期末）已知函数2213()ln 224f x x ax x ax x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中0a e <<.（1）求函数()f x 的单调区间； （2）讨论函数()f x 零点的个数；（3）若()f x 存在两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e <.【答案】（1）增区间为()0,a ，(),e +∞，减区间为(),a e （2）见解析 （3）证明见解析 【解析】（1）函数()f x 的定义域为{}|0x x >,()()()211313ln 2ln 22222f x x a x x ax a x x a x x a a xx⎛⎫'=-+-⋅+-=-+-+- ⎪⎝⎭()()ln ()(ln 1)x a x x a x a x =---=--,令()0f x '=,得x a =或x e =,因为0a e <<,当0x a <<或x e >时,()0f x '>,()f x 单调递增； 当a x e <<时,()0f x '<,()f x 单调递减,所以()f x 的增区间为()0,a ,(),e +∞；减区间为(),a e （2）取{}=min 1,2a δ,则当()0,x δ∈时,102x a -<,ln 0x <,3204a x -> 所以()13ln 2024f x x x a x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 又因为0a e <<,由（1）可知()f x 在(0,)a 上单调递增,因此,当(]0,x a ∈,()0f x >恒成立,即()f x 在(]0,a 上无零点.；下面讨论x a >的情况： ①当04ea <<时,因为()f x 在(,)a e 单调递减,(,)e +∞单调递增,且()0f a >,()1320244e f e e e a e a e e a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()222224*********f e e e a e a e e ⎛⎫⎛⎫=-+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,根据零点存在定理,()f x 有两个不同的零点； ②当4ea =时,由()f x 在(,)a e 单调递减,(,)e +∞单调递增,且()0f e =， 此时()f x 有唯一零点e ；③若4e a e <<,由()f x 在(),a e 单调递减,(),e +∞单调递增,()()04e f x f e e a ⎛⎫≥=-> ⎪⎝⎭,此时()f x 无零点；综上,若04e a <<,()f x 有两个不同的零点；若4e a =,()f x 有唯一零点e ；若4ea e <<,()f x 无零点 （3）证明：由（2）知,04ea <<,且12a x e x <<<,构造函数()()2e F x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,(,)x a e ∈,则()()()()4232ln 1ln 1e e F x x a x a x x x ⎛⎫'=----- ⎪⎝⎭()43243ln 1x ax e ax ex x -+-=-, 令4324()g x x ax e ax e =-+-,(,)x a e ∈,因为当(,)x a e ∈时,220x e ax +->,220x e -<,所以43242222()=()()<0g x x ax e ax e x e ax x e =-+-+--又ln 1ln 10x e -<-=,所以()0F x '>恒成立,即()F x 在(,)a e 单调递增,于是当a x e <<时,()()0F x F e <=,即 ()2e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,因为1(,)x a e ∈,所()211e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,又12()()f x f x =,所以()221e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,因为2x e >,221e e e x e>=,且()f x 在(),e +∞单调递增, 所以由()221e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,可得221e x x <,即212x x e < 类型2 导数、函数与不等式典例2 已知函数()2ln ,f x x ax x a R =+-∈．（1）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令()()2g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；（3）当(]0,x e ∈时，证明：()2251ln 2e x x x x ->+． 【答案】（1）72a ≤-；（2）存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时()g x 有最小值3；（3）详见解析． 【解析】（1）()212120x ax f x x a x x+-'=+-=≤在[]1,2上恒成立， 令()2 21h x x ax =+-，有()()1020h h ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩得1,72a a ≤-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，得72a ≤-． （2）假设存在实数a ，使()(]()ln 0,g x ax x x e =-∈有最小值3，()11ax g x a x x-'=-=①当0a ≤时，()g x 在(]0,e 上单调递减，()()min 413,g x g e ae a e==-==（舍去）， ②当10e a <<时，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增 ∴()2min 11ln 3,g x g a a e a ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，满足条件． ③当1e a ≥时，()g x 在(]0,e 上单调递减，()()min 413,g x g e ae a e==-==（舍去）， 综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时()g x 有最小值3．【名师指点】证明不等式()()f x g x ≥成立，可以构造函数()()()H x f x g x =-，通过证明函数()H x 的最小值大于等于零即可，可是有时候利用导数求函数()H x 最小值不易，可以通过特例法，即证明()f x 的最小值大于等于()g x 的最大值即可．【举一反三】（2020·山东高三期末）已知函数()ln(2)f x x a =+(0,0)x a >>，曲线()y f x =在点(1,(1))f处的切线在y 轴上的截距为2ln 33-. （1）求a ；（2）讨论函数()()2g x f x x =-(0)x >和2()()21xh x f x x =-+(0)x >的单调性； （3）设12,5a =()1n n a f a +=，求证：1521202n nn a +-<-<(2)n ≥. 【答案】（1）1a = （2）()()2g x f x x =-(0)x >为减函数，2()()12xh x f x x=-+(0)x >为增函数. （3）证明见解析【解析】（1）对()ln(2)f x x a =+求导，得2()2f x x a'=+.因此2(1)2f a'=+.又因为(1)ln(2)f a =+， 所以曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线方程为2ln(2)(1)2y a x a -+=-+， 即22ln(2)22y x a a a=++-++. 由题意，22ln(2)ln 323a a +-=-+. 显然1a =，适合上式. 令2()ln(2)2a a aϕ=+-+(0)a >， 求导得212()02(2)a a a ϕ'=+>++， 因此()a ϕ为增函数：故1a =是唯一解.（2）由（1）可知，()ln(21)2g x x x =+-(0),x >2()ln(21)21xh x x x =+-+(0)x >， 因为24()202121xg x x x '=-=-<++， 所以()()2g x f x x =-(0)x >为减函数. 因为222()21(21)h x x x '=-++240(21)xx =>+， 所以2()()12xh x f x x =-+(0)x >为增函数.（3）证明：由12,5a =()()1ln 21n n n a f a a +==+，易得0n a >.15212225n nn nn a a +-<-⇔< 由（2）可知，()()2g x f x x =-ln(21)2x x =+-在(0,)+∞上为减函数. 因此，当0x >时，()(0)0g x g <=，即()2f x x <. 令1(2)n x a n -=≥，得()112n n f a a --<，即12n n a a -<. 因此，当2n ≥时，21121222n n n n a a a a ---<<<⋅⋅⋅<25n=.所以152122n n na +-<-成立. 下面证明：120na -<. 由（2）可知，2()()21x h x f x x =-+2ln(21)21xx x =+-+在(0,)+∞上为增函数. 因此，当0x >时，()(0)0h x h >=， 即2()021xf x x >>+. 因此111()2f x x <+， 即11122()2f x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭. 令1(2)n x a n -=≥，得()11111222n n f a a --⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，即1111222n n a a -⎛⎫-<- ⎪⎝⎭. 当2n =时，21122n a a -=-()112f a =-1225f =-⎛⎫⎪⎝⎭12ln1.8=-.因为1ln1.8ln 2>>=，所以120ln1.8-<，所以2120a -<.所以，当3n ≥时，22122111111122220222n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-<-<⋅⋅⋅<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，当2n ≥时，120na -<成立. 综上所述，当2n ≥时，1521202n n na +-<-<成立. 类型三、恒成立及求参数范围问题典例3 （2020·山东高三期末）已知函数()()2(,)1xf x ae x a Rg x x =--∈=.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当0a >时，若曲线()1:1C y f x x =++与曲线()2:C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值; (3)当1,0a x =≥时，不等式()()1f x kxln x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）24a e =（3）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【解析】 (1)()1xf x ae '=-，当0a ≤时，()'0f x <恒成立，()f x 在()-∞+∞，上单调递减， 当0a >时，由()'0f x =，解得x lna =-， 由于0a >时，导函数()1xf x ae '=-单调递增，故 ()x lna ∈-∞-，，()()0,f x f x '<单调递减， ()()(),,0,x lna f x f x '∈-+∞>单调递增. 综上，当0a ≤时()f x 在()-∞+∞，上单调递减; 当0a >时， ()f x 在()lna -∞-，上单调递减，在,()lna -+∞上单调递增. . (2)曲线11:x C y ae =与曲线222:C y x =存在唯一公切线，设该公切线与12,C C 分别切于点()()12122,,,x x ae x x ，显然12xx ≠.由于12','2xy ae y x ==，所以11222122x x ae x ae x x x -==-，1222212222222x x x x ae x x x -=-=- ， 2122222x x x x ∴-=由于0a >，故20x >，且21220x x =-> 因此11x >，此时()111214(2 1)1x x x x a x e e -==>， 设()()1 4()1xx F x x e =>-问题等价于直线y a =与曲线()y F x =在1x >时有且只有一个公共点， 又()4(2 )xx F x e -'=，令()'0F x =，解得2x =， 则()F x 在()1,2上单调递增，(2,)+∞上单调递减， 而()()242,10F F e==，当x →+∞时，()0F x → 所以()F x 的值域为240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故24a e=. (3)当1a =时，()1xf x e x =--，问题等价于不等式()11x e x kxln x --≥+，当0x ≥时恒成立.设()()110()xh x e x kxln x x =---+≥，()00h =，又设()()()' 1 11) 0(xx m x h x e k ln x x x ⎡⎤==--++≥⎢⎥+⎣⎦则()()211'11xm x e k x x ⎡⎤=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦而()'012m k =-. (i)当120k -≥时，即12k ≤时， 由于0,1xx e ≥≥，()()2211111112111k x x x x ⎡⎤⎡⎤+≤+≤⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦此时()()'0,m x m x ≥在[0,)+∞上单调递增. 所以()()00m x m ≥=即()'0h x ≥，所以()h x 在[0,)+∞上单调递增 所以()()00h x h ≥=， 即()110xe x kxln x ---+≥，故12k ≤适合题意. (ii)当12k >时，()'00m <，由于()()21111xm x e k x x ⎡⎤'=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦在[0,)+∞上单调递增， 令()20x ln k =>，则()()211'222201ln 21ln 2m ln k k k k k x x ⎡⎤=-+>-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 故在()0,ln 2k 上存在唯一o x ，使()'0o m x =， 因此当()00,x x ∈时，()()'0,m x m x <单调递减， 所以()()00m x m <=，即()()'0,h x h x ≤在()00,x 上单调递减， 故()()00h x h <=，亦即()1 10xe x hxln x ---+<，故12k >时不适合题意，综上，所求k的取值范围为1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦.【名师指点】将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则．常用方法有参变分离法和构造函数法．【举一反三】【湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试】设函数，. （1）讨论函数的单调性，并指出其单调区间；（2）若对恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由，得，.①当时，，，在上单调递减，②当时，，当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增，故当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）原不等式等价于在上恒成立，即在上恒成立，令，只需在上恒成立即可.又因为，所以在处必大于等于0.令，由，可得.当时，.因为，所以，又，故在时恒大于0，所以当时，在上单调递增，所以，故也在上单调递增，所以，即在上恒大于0.综上，.【精选名校模拟】1．（2019·山东师范大学附中高考模拟（文））已知函数()ln xf x e a x =-．（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （2）证明：当0a >时，()()2ln f x a a ≥-． 【答案】（1），没有零点，，存在唯一的零点；（2）证明见解析.【解析】（Ⅰ）()'xaf x e x=-，因为定义域为()0,+∞， ()'0x a f x e x=⇒=有解 即x xe a =有解. 令()x h x xe =，()()'1xh x e x =+， 当()()()0,'0,000x h x h h x >>=∴>所以，当0a ≤时，()'0,f x >无零点； 当0a >时，有唯一零点. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a >时，设()'f x 在()0,+∞上唯一零点为0x ， 当()()0,,'0x x f x ∈+∞>，()f x 在()0,x +∞为增函数； 当()00,x x ∈，()'0,f x < ()f x 在()00,x 为减函数.0000x x ae e x a x =∴= ()()000000000ln ln ln ln 2ln x x a a a af x e a x a a a x ax a a a a a x e x x ∴=-=-=--=+-≥- 2．（2020·山东高三期末）已知函数()()sin ,ln f x x a x g x x m x =-=+. (1)求证:当1a ≤时,对任意()()0,,0x f x ∈+∞>恒成立; (2)求函数()g x 的极值; (3)当12a =时,若存在()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠,满足()()()()1122f x g x f x g x +=+,求证:12249x x m <.【答案】(1)见解析 (2)极小值()ln m m m -+-,无极大值. (3)见解析 【解析】(1)()()sin 1cos f x x a x f x a x '=-∴=-，1cos 1x -≤≤,()11cos 0a f x a x '∴≤=-≥，, ()sin f x x a x =-在()0+∞，上为增函数,所以当()0,x ∈+∞时,恒有()()00f x f >=成立; (2)由()()()ln ,10m x mg x x m x g x x x x+'=+∴=+=> 当()00m g x '≥>，()g x 在()0+∞，上为增函数,无极值 当()()0,00;0m x m g x x m g x ''<<<-<>->，，()g x 在()0m -，上为减函数,在(),m -+∞上为增函数, ()x m x ∴=-，g 有极小值()ln m m m -+-,无极大值,综上知:当()0m g x ≥，无极值,当()0m g x <，有极小值()ln m m m -+-,无极大值. (3)当()11sin 22a f x x x ==-，在()0+∞，上为增函数, 由(2)知,当0m ≥,()g x 在()0+∞，上为增函数, 这时,()()f x g x +在()0+∞，上为增函数, 所以不可能存在()12,0,x x ∈+∞,满足()()()()1122f x g x f x g x +=+且12x x ≠ 所以有0m <现不防设()()()()1211220x x f x g x f x g x <<+=+，得:111222112sin ln 2sin ln 22x x m x x x m x -+=-+()()()2121211ln ln 2sin sin 2m x x x x x x --=---①1122sin sin x x x x -<-()()212111sin sin 22x x x x -->--② 由①②式可得:()()()2121211ln ln 22m x x x x x x -->--- 即()()21213ln ln 02m x x x x -->-> 又1221ln ln ,ln ln 0x x x x <->2121302ln ln x x m x x -∴->⨯>-③ 又要证12249x x m <，即证21294m x x > 120,0m x x <<<即证m ->④ 所以由③式知,只需证明:2121ln ln x x x x ->-2121ln 1x x x x -> 设211x t x =>,只需证1ln t t->即证()ln 01t t >> 令()()ln 1h t t t =-> 由()()()2101h t t h t '=>>，在()1+∞，上为增函数, ()()10h t h∴>=2121ln ln x x x x -∴>-,所以由③知,0m ->>成立, 所以12249x x m <成立. 3．（2018·山东高三期末（理））已知函数()()ln 1af x x x a a R x=+-+-∈ . （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在1x >，使()1xf x x x-+<成立，求整数a 的最小值. 【答案】（1）见解析（2）5. 【解析】（1）由题意可知，0x >，()22211a x x af x x x x-+='-=--， 方程20x x a -+-=对应的14a ∆=-， 当140a ∆=-≤，即14a ≥时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减；当104a <<时，方程20x x a -+-=，且0<<此时，()f x 在上()0f x '>，函数()f x 单调递增，在0⎫+∞⎪⎪⎝⎭（上()0f x '<，函数()f x 单调递减；当0a ≤0<0>，此时当(),0x f x ⎛∈> ⎝'⎭，()f x 单调递增，当12x ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上：当0a ≤时，x ⎛∈ ⎝⎭，()f x 单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时， ()f x 单调递减；当104a <<时，()f x 在122-（，上单调递增，在0⎫+∞⎪⎪⎝⎭（上单调递减；当14a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递减； （2）原式等价于()1ln 21x a x x x ->+-，即存在1x >，使ln 211x x x a x +->-成立．设()ln 211x x x g x x +-=-，1x >，则()()2ln 2'1x x g x x --=-，设()ln 2h x x x =--， 则()1110x h x x x='-=->，∴()h x 在()1,+∞上单调递增． 又()()33ln321ln30,44ln4222ln20h h =--=-=--=-，根据零点存在性定理，可知()h x 在()1,+∞上有唯一零点，设该零点为0x ， 则()03,4x ∈，且()000ln 20h x x x =--=，即002ln x x -=，∴()0000min 0ln 2111x x x g x x x +-==+-由题意可知01a x >+，又()03,4x ∈，a Z ∈，∴a 的最小值为5. 4．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）设函数()212ln 222af x ax x x -=+++，a R ∈. （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）2x =是函数()f x 的极值点，求函数()f x 的单调区间； （3）在（2）的条件下，()217ln 422g x x x x ⎛⎫=-++-⎪⎝⎭，若[)11,x ∀∈+∞，()20,x ∃∈+∞，使不等式()()1122mf xg x x x -≥+恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）30x y -=；（2）在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减；（3）4m ≤ 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，2a =时，()2ln 2f x x x =++，()12f x x x'=+， ()13f '=，()13f =，所以切线方程为()331y x -=-，即30x y -=.（2）()()22221222ax a x a f x ax x x+-+-'=++=， 2x =是函数的极值点，()8422204a a f +-+'==，可得1a =-，所以()2232(0)2x x f x x x-++'=>，令()0f x '>，即22320x x --<，解得1,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，结合定义域可知()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减. （3）令()()()2ln ln 26h x f x g x x x x x =-=+++，[)11,x ∀∈+∞，[)20,x ∃∈+∞， 使得()()1122m f x g x x x -≥+恒成立，等价于()()2min 21mh x x x x ≥+≥⎡⎤⎣⎦， ()12ln 2h x x x x x'=++-，因为1x ≥，所以2ln 0x x ≥，12x x+≥，即()'0h x ≥， 所以()h x 在[)1,+∞上单调递增，()()14h x h ≥=， 即()20,x ∃∈+∞使得函数4mx x+≤，即转化为240x x m -+≤在()0,∞+有解， ()22424x x m x m -+=--+，所以40m -+≤，4m ≤.5．（2019·山东省实验中学高考模拟（文））设2()x f x xe ax =-，2()ln 1eg x x x x a=+-+-. (1)求()g x 的单调区间；(2)当0a >时，设()()()0h x f x ag x =-≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()g x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞；（2）0a e <≤. 【解析】 (1).()()()211112x x g x x x x-+-=+-='，当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 递增， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减。
函数与导数例高考题汇编(含答案)
4k 2 1 1 1 1 ≤ ⇒− ≤k <0 [− ,0) f ( x) ≤ ∀ x ∈ ( 0 + ∞ ) e 2 e 时， k 的取值范围为 2 即 e 。 ，故对 ， 都有
89.（北京文 18）已知函数 （II）求
f ( x ) = ( x − k ) ex
， （I）求
f ( x)
的单调区间；
′ 【解析】 代入验证，当 m = 1, n = 2 ， f ( x) = axg(1− x) = n ( x − 2 x + x) ，则 f ( x) = a (3 x − 4 x +1) ，由
2 3 2 2
1 1 1 1 0, ,1 x1 = , x2 = 1 x= f ′( x ) = a (3x − 4 x +1) = 0 可知， 3 3 ， 结合图像可知函数应在 3 递增， 在 3 递减， 即在
2x，
x＞0
x＋1，x≤0
，若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的值等于
A．－3 B．－1 C．1 D． 3 【答案】A 12.（福建文 10）若 a＞0，b＞0，且函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2 在 x＝1 处有极值，则 ab 的最大值等于 A．2 B．3 C．6 D． 9 【答案】D 13.（广东理 4）设函数 f ( x ) 和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A． f ( x ) +|g(x)|是偶函数 C．| f ( x) | +g(x)是偶函数 【答案】A B． f ( x ) -|g(x)|是奇函数 D．| f ( x) |- g(x)是奇函数
7.（福建理 5） A．1 【答案】C
∫ 0 (e
导数求导题目练习题
导数求导题目练习题导数是微积分中的重要概念，在实际问题中有广泛的应用。
本文将提供一些导数求导的练习题，帮助读者巩固和加深对导数的理解。
1. 求函数f(x) = 3x² + 2x的导数f'(x)。
解答：首先，我们需要知道求导的基本规则。
对于多项式函数，求导对每一项进行操作即可。
根据求导的基本规则，我们可以得到f'(x) = 6x + 2。
2. 求函数g(x) = ln(x)的导数g'(x)。
解答：对于自然对数函数ln(x)，其导数的规则是g'(x) = 1/x。
因此，g'(x) = 1/x。
3. 求函数h(x) = sin(x)的导数h'(x)。
解答：对于三角函数中的正弦函数sin(x)，其导数的规则是h'(x) = cos(x)。
因此，h'(x) = cos(x)。
4. 求函数i(x) = e^x的导数i'(x)。
解答：对于指数函数e^x，其导数的规则是i'(x) = e^x。
因此，i'(x)= e^x。
5. 求函数j(x) = 2x³ + 5x² - 4x + 1的导数j'(x)。
解答：根据多项式函数的求导规则，我们可以得到j'(x) = 6x² + 10x- 4。
通过以上练习题，我们可以看到不同类型的函数在求导后的结果。
求导是一个基本的技巧，通过不断练习和掌握求导的规则，我们可以更好地理解函数的变化趋势和性质。
在实际应用中，导数有着广泛的应用，例如在物理学中，速度和加速度可以通过导数来描述；在经济学中，边际成本和边际收益可以通过导数来分析。
因此，掌握求导的方法对理解和解决实际问题非常重要。
总结起来，求导是微积分中的重要概念，通过练习题可以加深对导数的理解和运用能力。
在学习过程中，需要熟悉导数的基本规则，并通过不断的实践来巩固和掌握求导的能力。
通过深入理解导数的概念和应用，我们可以更好地应对实际问题，提高数学和科学领域的应用能力。
导数典型例题(含答案)
导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点.一、与导数概念有关的问题【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002C.200D.100！ 解法一 f ＇(0)=xf x f x ∆-∆+→∆)0()0(lim= xx x x x ∆--∆-∆-∆∆→∆0)100()2)(1(lim=lim 0→∆x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D.解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D.点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.【例2】 已知函数f (x )=nn n k k n n n n x c nx c k x c x c c 1121221++++++ ，n ∈N *，则 x x f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim= .解 ∵ xx f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim=2xf x f x ∆-∆+→∆2)2()22(lim+[]xf x f x ∆--∆-+→∆-)2()(2lim=2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)，又∵f ＇(x )=1121--+++++n n n k k n n n x c x c x c c ，∴f ＇(2)=21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n-1]= 21(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如xm x f x m x f x ∆--∆-→∆-)()(000lim，且其定义形式可以是xm x f x m x f x ∆--∆-→∆)()(000lim，也可以是00)()(limx x x f x f x --→∆（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖.【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .解 ∵S =πR 2，而R =R (t )，t R '=2 cm/s ，∴t S '=t R )π(2'=2πR ·t R '=4πR ，∴t S '/R =10=4πR/R =10=40π cm 2/s.点评 R 是t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的（R 是中间变量），此题易出现“∵S =πR 2，S ＇=2πR ，S ＇/R =10=20π cm 2/s ”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分.二、与曲线的切线有关的问题【例4】 以正弦曲线y =sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3 B. []π,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π3,4π D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π3,2π 解 设过曲线y =sin x 上点P 的切线斜率角为α，由题意知，tan α=y ＇=cos x . ∵cos x ∈[-1，1]， ∴tan α∈[-1，1]，又α∈[)π,0，∴α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3.故选A.点评 函数y =f (x )在点x 0处的导数f ＇(x 0)表示曲线，y =f (x )在点（x 0，f (x 0)）处的切线斜率，即k =tan α(α为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.【例5】 曲线y =x 3-ax 2的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数a 的值.解 ∵点（0，1）不在曲线上，∴可设切点为（m ,m 3-am 2）.而y ＇=3x 2-2ax ， ∴k 切=3m 3-2am ，则切线方程为y =(3m 3-2am )x -2m 3-am 2. ∵切线过（0，1），∴2m 3-am 2+1=0.(*)设（*）式左边为f (m )，∴f (m )=0，由过（0，1）点的切线有2条，可知f (m )=0有两个实数解，其等价于“f (m )有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a ≠0”.由f (m )=2m 3-am 2+1，得f ＇(m )= 6m 3-am 2=2m (3m -a )，令f ＇(m )=0，得m =0，m =3a， ∴a ≠0，f (0)·f (3a )=0，即a ≠0，-271a 3+1=0，∴a =3.点评 本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题【例6】以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A.①、②B.①、③C.③、④D.①、④解由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是③、④，故选C.点评f＇(x)>0（或<0）只是函数f＇(x)在该区间单递增（或递减）的充分条件，可导函数f＇(x)在(a，b)上单调递增（或递减）的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f＇(x)≥0(或≤0)且f＇(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题.本题考查函数的单调性可谓新颖别致.【例7】函数y=f(x)定义在区间（-3，7）上，其导函数如图所示，则函数y=f(x)在区间（-3，7）上极小值的个数是个.解如图，A、O、B、C、E这5个点是函数的极值点，观察这5个极值点左、右导数的正、负，可知O点、C点是极小值点，故在区间（-3，7）上函数y=f(x)的极小值个数是2个.点评导数f＇(x)=0的点不一定是函数y=f(x)的极值点，如使f＇(x)=0的点的左、右的导数值异号，则是极值点，其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点.本题考查函数的极值可以称得上是匠心独运.【例8】设函数f(x)与数列{a n}满足关系：①a1>α，其中α是方程f(x)=x的实数根；②a n+1=f(a n)，n∈N*；③f(x)的导数f＇(x)∈（0，1）.（1）证明：a n>α，n∈N*；（2）判断a n与a n+1的大小，并证明你的结论.（1）证明：（数学归纳法）当n=1时，由题意知a1>α，∴原式成立.假设当n=k时，a k>α，成立.∵f＇(x)>0，∴f(x)是单调递增函数.∴a k+1= f (a k )> f (α)=α，（∵α是方程f (x )= x 的实数根） 即当n =k +1时，原式成立.故对于任意自然数N *，原式均成立.（2）解：g (x )=x -f (x ),x ≥α，∴g ＇(x )=1-f ＇(x )，又∵0< f ＇(x )<1，∴g ＇(x )>0. ∴g ＇(x )在[)+∞,α上是单调递增函数.而g ＇(α)=α-f (α)=0，∴g ＇(x )>g (α) (x >α)，即x >f (x ). 又由（1）知，a n >α，∴a n >f (a n )=a n+1.点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新.四、与不等式有关的问题【例9】 设x ≥0，比较A =xe -x，B =lg(1+x )，C =xx +1的大小.解 令f (x )=C -B=xx +1-lg(1+x )，则f ＇(x )=xx x ++-+1)1(2)11(2>0，∴f (x )为[)+∞,0上的增函数，∴f (x )≥f (0)=0，∴C ≥B .令g (x )=B -A =lg(1+x )-xe -x，则当x ≥0时，g ＇(x )=xx e x +---1)1(12≥0，∴g (x )为[)+∞,0上的增函数，∴g (x )≥g (0)=0，∴B ≥A .因此，C ≥B ≥A （x =0时等号成立）.点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f (a )=φ(a )，要证明当x >a 时，有f (a )=φ(a )，则只要设辅助函数F (x )= f (a )-φ(a )，然后证明F (x )在x >a 单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004年全国卷Ⅱ的压轴题就考查了此知识点.五、与实际应用问题有关的问题【例10】 某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与(a -x )和x 2的乘积成正比；②当2a x =时，y =a 3.并且技术改造投入比率：)(2x a x-∈(]t ,0,其中t 为常数，且t ∈(]2,0.（1）求y =f (x )的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值. 解：（1）由已知，设y =f (x )=k (a -x )x 2，∵当2a x =时，y = a 3，即a 3=k ·2a ·42a ，∴k =8，则f (x )=8-(a -x )x 2.∵0<)(2x a x-≤t ，解得0<x ≤122+t at .∴函数f (x )的定义域为0<x ≤122+t at .（2）∵f ＇(x )= -24x 2+16ax =x (-24x +16a )，令f ＇(x )=0，则x =0（舍去），32ax =， 当0<x <32a 时，f ＇(x )>0，此时f (x )在（0，32a）上单调递增； 当x >32a 时，f ＇(x )<0，此时f (x )是单调递减.∴当122+t at ≥32a 时，即1≤t ≤2时，y max =f (32a )=32732a ；当122+t at <32a 时，即0<t <1时，y max =f (122+t at )=323)12(32+t t a . 综上，当1≤t ≤2时，投入32a 万元，最大增加值是32732a ，当0<t <1时，投入122+t at万元，最大增加值是323)12(32+t t a . 点评 f ＇(x 0)=0，只是函数f (x )在x 0处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数f (x )确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时f (x )在定义区间内部又只有一个使f ＇(x 0)=0的点x 0，那么就不必判断x 0是否为极值点，取什么极值，可断定f (x 0)就是所求的最大或最小值.。
导数与三角函数的综合的解题技巧
导数与三角函数的综合的解题技巧
导数与三角函数的综合问题在高中数学中是比较常见的，掌握相关的解题技巧可以提高解题效率。
以下是一些解题技巧：
1. 对于导数问题，首先要掌握导数的定义和求导法则，特别是常见函数的导数。
2. 对于三角函数问题，需要了解各种三角函数的定义、性质和公式，以及它们与圆的关系。
3. 对于综合问题，需要根据题目中的信息建立函数关系式，并利用已知条件求解未知量。
4. 注意变量的定义域和值域，避免出现无解或多解的情况。
5. 利用图像、几何等方法辅助解题，特别是对于三角函数问题，画出对应的三角函数图像可以更好地理解和解决问题。
6. 注意符号的使用，特别是导数的正负号和三角函数的周期性等特点。
综合运用上述技巧，可以较为高效地解决导数与三角函数的综合问题。
但需要注意的是，这些技巧只是解题中的辅助手段，关键还是要理解数学概念和方法，熟练掌握解题技巧才能更好地应对各种高中数学考试题目。
- 1 -。
高中数学一轮复习重难点 导数的综合应用
当x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,
所以g(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,则g(x)min=g(2)=4e2-28,
则4a≤4e2-28,即a≤e2-7,
故a的取值范围为(-∞,e2-7].
二、利用导数证明不等式 利用导数证明不等式的常用方法 1.作差构造函数法:证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)-g(x)>0(或f(x)-g(x)<0),直接构 造函数h(x)=f(x)-g(x),只需证明h(x)min>0(或h(x)max<0). 2.先放缩后构造法:首先根据已知条件(或常用结论,如:ex≥x+1)适当放缩;然后构造函数,转化为求 函数最值问题;有时也会利用上一问的结论进行放缩. 3.先变形后构造法:首先对原不等式等价变形,然后根据变形后的不等式构造函数,转化为求函数 最值问题,或者是将不等式进行分拆,构造引入中间函数,即要证f(x)≥g(x),可证f(x)≥h(x)且h(x)≥ g(x).
例2 (2023河北张家口期末,21)已知函数f(x)=-xeax. (1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)证明:ln x+ax-1≥ f 1(x) .
解析 (1)f '(x)=-eax-axeax=-eax(1+ax).
①当a=0时, f(x)=-x,在R上单调递减;
②当a>0时,令f '(x)=0,得x=- 1a ,
(1)求a;
(2)证明:ln x>e-x- e2x ;
(3)已知m是正整数,证明:
1
1 2m(m
1)
m1
1
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函数导数综合问题（一） 【例1】已知函数222ln,.fxxxhxxxa （Ⅰ）求函数xf的极值； （Ⅱ）设函数,xhxfxk若函数xk在31,上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围.
【例2】已知函数1ln2ln22fxtxx，且4fxf恒成立。 （1）求t的值； （2）求x为何值时，fx在3,7上取最大值； （3）设ln1Fxaxfx，若Fx是单调递增函数，求a的取值范围。
【例3】 设函数()|1|,()ln.fxxxmgxx （1）当1m时，求函数()yfx在[0,]m上的最大值； （2）记函数()()()pxfxgx，若函数()px有零点，求m的取值范围.
函数导数综合问题（一）参考答案： 【例1】解: （Ⅰ）xxxf22)('，令'()0,01fxxx
所以)(xf的极小值为1,无极大值. （Ⅱ）12)(ln2)()()('xxkaxxxhxfxk,若2,0)('xxk则 当1,2x时，'0fx；当2,3x时，'0fx． 故kx在1,2x上递减，在2,3x上递增． (1)0,1,(2)0,22ln2,22ln232ln3.(3)0,32ln3,kakaaka
x )1,0(
1 ),1(
)('xf _ 0 +
)(xf 减 1 增 所以实数 a的取值范围是22ln2,32ln3. 【例2】解：（I）)4()()],2ln()2ln([21)(fxfxxtxf且恒成立， )()4(),,2()(xffxf是且的定义域为的最小值
又.3.0)4(].212[21)(tfxxtxf解得 （II）由上问知.44]2123[21)(2xxxxxf )4,2()(.0)(,4;0)(,42在时当时当xfxfxxfx上是减函数，
在（4，+∞）是增函数。)(xf在[3，7]上的最大值应在端点处取得。
).7()3(,0]729ln625[ln21]5ln9ln3[21]1ln5ln3[21)7()3(ffff
即当)(,7xfx时取得在[3，7]上的最大值。 （III）0)(,)(xFxF是单调递增函数恒成立
.0)4)(1(,),2()(.)4)(1()1(45)1(441)(2222恒成立上的定义域显然在又xxxfxxaxxaxxxaxF
),2(0)1(45)1(2在axxa恒成立。
.),2(085)1(45)1(,01.),2(0)1(45)1(,01,),2(0)1(45)1(222上恒成立在时当上恒成立在显然不可能有时当的解的情况上恒成立时在下面分情况讨论xaxxaaaxxaaaaxxa
:,01又有两种情况时当a①0)1)(1(1652aa；
②.0)1(4252)1(2)1(252aaa且 由①得09162a，无解；由②得.1,01.41aaa 综上所述各种情况，当),2(0)1(45)1(,12在时axxaa上恒成立。
.,1的取值范围为所求的a 【例3】解：（1）当[0,1]x时，()(1)fxxxm＝2211()24xxmxm ∴当12x时，max1()4fxm ------------------------------------2分 当(1,]xm时，()(1)fxxxm＝2211()24xxmxm ∵函数()yfx在(1,]m上单调递增 ∴2max()()fxfmm--------------4分
由214mm得2104mm又1m122m ∴当122m时，2max()fxm，当1212m时，max1()4fxm.----6分 （2）函数()px有零点即方程()()|1|ln0fxgxxxxm有解 即ln|1|mxxx有解-----------------------------------------------7分 令()ln|1|hxxxx 当(0,1]x时2()lnhxxxx ∵1'()212210hxxx----------------------------------------9分 ∴函数()hx在(0,1]上是增函数，∴()(1)0hxh------------------------10分 当(1,)x时，2()lnhxxxx
∵1'()21hxxx221(1)(21)xxxxxx0-----------------12分 ∴函数()hx在(1,)上是减函数，∴()(1)0hxh-----------------------13分 ∴方程ln|1|mxxx有解时0m, 即函数()px有零点时0m---------------------------------------------14分 函数导数综合问题（二） 【例1】已知函数2()lnfxxaxbx（0x，实数a，b为常数）.（Ⅰ）若1,1ab，求函数()fx的极值；（Ⅱ）若2ab，讨论函数()fx的单调性． 【例2】已知函数2()(33)xfxxxe定义域为t,2(2t),设ntfmf)(,)2(. (Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数)(xf在t,2上为单调函数； (Ⅱ)求证:nm；
(Ⅲ)求证:对于任意的2t,总存在),2(0tx,满足020()2(1)3xfxte,并确定这样的
0x的个数.
【例3】在直角坐标平面内，已知三点A、B、C共线，函数fx满足： [2'1]ln10OAfxfOBxOC
（1）求函数fx的表达式；（2）若0x，求证：22xfxx； （3）若不等式2221232xfxmbm对任意1,1x及任意1,1b都成立，求实数m的取值范围。
函数导数综合问题（二）参考答案： 【例1】解：（Ⅰ）函数2()lnfxxxx，则1()21fxxx， 令()0fx，得1x（舍去），12x. 当102x时，()0fx，函数单调递减； 当12x时，()0fx，函数单调递增； ∴()fx在12x处取得极小值3ln24. （Ⅱ）由于2ab，则2ab，从而2()(2)lnfxxbxbx，则 (2)(1)()2(2)bxbxfxxbxx
令()0fx，得12bx，21x. 当02b，即0b时，函数()fx的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)；…8分 ① 当012b，即02b时，列表如下： x (0,)
2b (,1)2
b (1,)
()fx
()fx 所以，函数()fx的单调递增区间为(0,)2b，(1,)，单调递减区间为(,1)2b； 当12b，即2b时，函数()fx的单调递增区间为(0,)； ② 当12b，即2b时，列表如下： x (0,1)
(1,)2b (,)2b
()fx
()fx 所以函数()fx的单调递增区间为(0,1)，(,)2b，单调递减区间为(1,)2b； 综上：当0b时，函数()fx的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)； 当02b时，函数()fx的单调递增区间为(0,)2b，(1,)，单调递减区间为(,1)2b； 当2b时，函数()fx的单调递增区间为(0,)； 当2b时，函数()fx的单调递增区间为(0,1)，(,)2b，单调递减区间为(1,)2b. 【例2】解： (Ⅰ)因为2()(33)(23)(1)xxxfxxxexexxe 由()010fxxx或；由()001fxx,所以()fx在(,0),(1,)上递增,在(0,1)上递减 欲)(xf在t,2上为单调函数,则20t 证: (Ⅱ)因为()fx在(,0),(1,)上递增,在(0,1)上递减,所以()fx在1x处取得极
小值e， 又213(2)fee,所以()fx在2,上的最小值为(2)f 从而当2t时,(2)()fft,即mn. (Ⅲ)证:因为0'2000()xfxxxe,所以0'20()2(1)3xfxte即为22002(1)3xxt, 令222()(1)3gxxxt,从而问题转化为证明方程222()(1)3gxxxt=0 在(2,)t上有解,并讨论解的个数. 因为222(2)6(1)(2)(4)33gttt,