九年级数学专训2根的判别式的六种常见应用
人教版九年级数学上册作业课件 第二十一章 一元二次方程 专题训练(三) 根的判别式的两种应用
(2)∵AB＝2，∴x＝2 是原方程的一个根，代入原方程得 4－2m＋m2 －14 ＝0， 解得 m＝52 ，代入原方程得 x2－52 x＋1＝0，解得 x1＝2，x2＝12 ，∴AD＝12 ， ∴▱ABCD 的周长是 2×(2＋12 )＝5解得k4应用 2 与几何图形结合
3．已知关于 x 的方程 x2－(2k＋1)x＋4(k－12 )＝0. (1)求证：k 取任意实数，这个方程总有实数根； (2)若等腰三角形 ABC 的一边长 a＝4，另两边 b，c 恰好是这个方程的两个根， 求△ABC 的周长.
解：(1)证明：Δ＝[－(2k＋1)]2－4×4(k－12 )＝4k2－12k＋9＝(2k－3)2≥0， ∴无论 k 取何值，这个方程总有实数根，即 k 取全体实数
(2)当 b＝c 时，Δ＝(2k－3)2＝0，解得 k＝32 ，方程化为 x2－4x＋4＝0，解得
b＝c＝2，而 2＋2＝4，故舍去；当 a＝b＝4 或 a＝c＝4 时，把 x＝4 代入方程得 16 －4(2k＋1)＋4(k－12 )＝0，解得 k＝52 ，方程化为 x2－6x＋8＝0，解得 x1＝4，x2 ＝2，即 a＝b＝4，c＝2 或 a＝c＝4，b＝2，∴△ABC 的周长是 4＋4＋2＝10
4．已知▱ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 x2－mx＋m2 －14 ＝0 的 两个根．
(1)当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若 AB 的长为 2，那么▱ABCD 的周长是多少？
解：(1)当四边形 ABCD 是菱形时，AB＝AD.
浅谈一元二次方程根的判别式的应用
意点,DP 交圆于Q ,DP =x ,EQ =y.求y 关于x 的函数关系式.分析:要想找出EQ 和D P 的关系,只能找边EQ 和DP 所在的图形的关系.由于A B 和AC 是圆的切线,点D ,E 分别是切点,由弦切角定理可找到△DBP 与△EQD 的关系.从而由相似三角形性质可找到y 与x 的关系.解:∵AB ,AC 是圆的切线,∴∠ADE =∠AED =∠DQ E.又∵等边三角形ABC ,∴∠A =60°,∴∠ADE =∠AED =∠DQ E =∠B =60°,且DE =A D =16-10=6.又∵AB 是圆的切线,∴∠BDP =∠QED ,∴△DBP ∽△EQD ,∴EQ 10=6DP.∴y 10=6x ,即y =60x.请同学思考:以上问题中的函数y =60x,自变量x 的取值范围是多少?例7 如图:△ABC 中,AC =43,BC =8,∠C =60°,D 是BC 上一动点,E 是AC 上一动点,且D E ∥AB.设C D 的长为x ,△AD E 的面积为y.(1)求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.(2)满足△ADE 的面积为92的点D 有几个?这些点分别在C B 的何处?解:(1)∵D E ∥AB ,∴43AE =88-x, AE =32(8-x ).∵∠C =60°,过D 作D F ⊥AC 于F ,则 DF =32x.∴y =12×32(8-x )·32x =-38x 2+3x.(0<x <8)(2)有两个点.当y =92时,x 1=2,x 2=6符合题意,即点D 在离C 点的距离为2或6的地方.浅谈一元二次方程根的判别式的应用◆海南省万宁市中学教研室 叶必贵◆ 一元二次方程根的判别式是初中代数的重要内容之一,它在中学数学中有着广泛的应用,成为近几年全国各地中考的热点问题.为了帮助读者更好地掌握好这部分知识内容,现对它在初中数学中的应用进行归纳,以餮读者.应用1:判断一元二次方程(或二元二次方程组)的根的情况;或已知根的情况,求方程(或组)中的待定系数的取值范围.一元二次方程x 2+x +=(≠)的根的判别式为△=,它与这个方程的根有着十分紧密的关系.具体如下:(1)△>0Ζ方程有两个不等的实数根;(2)△=0Ζ方程有两个相等的实数根;(3)△<0Ζ方程没有实数根.例1 (2003年河南省中考题)已知a ,b ,c 是△ABC 三条边的长,那么方程cx 2+(a +b )x +c4=0的根的情况是( ).A.没有实数根B 有两个不相等的正实数根··a b c 0a 0b 2-4ac .02C.有两个不相等的负实数根D.有两个异号实数根分析:因为这是判断一元二次方程的根的情况,故考虑使用△进行判定.解:△=(a+b)2-4×c×c4=(a+b+c)(a+b-c).因为a,b,c是△ABC三条边的长,所以a+b+c>0,a+b-c>0,所以△>0.又因为x1+x2=-a+b c<0,x1·x2=14>0,所以应选择答案C.例2 已知2m-n>1,试确定关于x,y的方程组y2-4x=ny-2x=m的解的情况.分析:以上是判断二元二次方程组的解的情况问题,我们可以先消去一个未知数,把二元二次方程组转化为一元二次方程,从而把问题转化为判断一元二次方程的根的情况问题.解:由原方程组消去x,得y2-2y+(2m-n)=0.∵2m-n>1,∴△=(-2)2-4×(2m-n)<0.∴这个关于y的方程没有实数根,从而原方程组没有实数解.例3 已知关于x的方程(k-2)2x2+(2k+1)x+ 1=0有两个不相等的实数根,求k的取值.解:因为关于x的方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1 =0有两个不相等的实数根,所以有k-2≠0,且△= (2k+1)2-4(k-2)2×1>0.∴k>34,且k≠2.注意:(1)在利用判别式△确定一元二次方程中待定字母的取值时,如果待定字母出现在二次项的系数中,要注意二次项的系数不能为0这个条件.(2)要认真审题,弄清“有两个不相等的实数根”、“有两个实数根”和“有实数根”这三者之间的区别.对于关于x的方程ax2+bx+c=0而言,在没有指明是一元二次方程的情况下,有:①“有两个不相等的实数根”的条件是:△>0,且a≠0;②有两个实数根的条件是△≥0,且a≠0;③有实数根的条件是△≥0,且a≠0,或a =0且b≠0,或a=0,b=0,c=0.读者不妨通过做下列两道关于例3的变式训练题,看k的取值有什么不同,从中加深体会.1.已知关于x的方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1= 0有两个实数根,求k的取值.2.已知关于x的方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1= 0有实数根,求k的取值.应用判断二次三项式在实数范围内是否能进行因式分解我们知道,若关于x的一元二次方程ax2+b x+c =0有两个实数根为x1,x2时,则二次三项式ax2+b x +c(a≠0)在实数范围内能进行因式分解,且有ax2+b x+c=a(x-x1)(x-x2).反之,若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,则二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内不能进行因式分解.因此,要判断二次三项式ax2 +b x+c(a≠0)在实数范围内能否进行因式分解,只需看相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△的符号即可.具体如下:(1)△>0Ζ二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内可分解为两个一次因式的积;(2)△=0Ζ可按完全平方公式分解得ax2+bx+c =a(x-x1)2(x1为相应方程的两个等根中的一个);(3)△<0Ζ二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内不能分解因式.例4 下列各式在实数范围内能否进行因式分解?若能,请将其分解因式;若不能,请说明理由.(1)3x2-60x+5; (2)x2+2x-1;(3)2x2-3x+2.解:(1)∵△=(60)2-4×3×5=0,∴原式在实数范围内能因式分解.即 3x2-60x+5=(3x-5)2.(2)∵△=22-4×1×(-1)=8>0,∴原式在实数范围内能因式分解. x2+2x-1=(x2+2x+1)-2=(x+1)2-(2)2=(x+1+2)(x+1-2).(3)∵△=(-3)2-4×2×2<0,∴2x2-3x+4在实数范围内不能分解因式.应用三:判断二次函数的图象与x轴有无交点;或已知交点情况,确定待定系数的值.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有无交点,与相应的方程ax2+bx+c(a≠0)的根的判别式△的关系如下:(1)△>0Ζ抛物线与x轴有两个交点;(2)△=0Ζ抛物线与x轴只有1个交点;(3)△<0Ζ抛物线与x轴没有交点.例5 已知抛物线y=x2+(m-1)x+m-3,求证:无论m取任何实数,这条抛物线与x轴总有两个不相同的交点.分析:本题实质上是证明无论m取任何实数,相应方程x2+(m-1)x+m-3=0必有两个不同的实数根,为此,只需证明对任意实数,都有△>即可证明△=()(3)··2: .m0. :m-12-4m-12=m 2-6m +13=(m -3)2+4.∵无论m 取任何实数,(m -3)2≥0,∴(m -3)2+4>0,即△>0.因此,无论m 取任何实数,抛物线y =x 2+(m -1)x +m -3与x 轴总有两个不相同的交点.例6 若对于任何实数x ,二次函数y =(k +1)x2+2x -1的图象全在x 轴的上方.求k 的取值范围.分析:二次函数的图象全在x 轴的上方,意味着二次函数的二次项系数为正数,且图象与x 轴无交点.解:∵对任何实数x ,二次函数y =(k +1)x 2+2x -1的图象全在x 轴的上方,∴k +1>0,△=22-4×(-1)×(k -1)<0.解得:-1<k <0.因此,若对于任何实数x ,二次函数y =(k +1)x 2+2x -1的图象全在x 轴的上方,则k 的取值范围为:-1<k <0.几种常见配方法及其应用◆海南省文昌市中学教研室 潘正明◆ 把一个代数式变形为一个完全平方式或含有完全平方式的代数式的形式,这种恒等变形的方法常称为配方法,它是一种重要的数学方法.为了让读者对这个问题的各个方面有个完整的了解,在这里作个集中介绍,愿对读者有所启迪.一、几种常见的代数式的配方1.形如a 2±2ab +b 2的三项式的配方:一个代数式经过整理(或经拆项)后,若呈现a 2±2ab +b 2形式,可直接写成(a ±b )2.2.形如a 2±2ab 的二项式的配方:此类型代数式只需加上并减去一次项系数的一半的平方(即b 2),即可配成(a ±b)2-b 2(当a 2的系数不为1时,可先把该系数提到括号外再配方),即a 2±2ab =a 2±2ab +b 2-b 2=(a ±b )2-b 2.3.形如a 2+b 2的二项式的配方:此类型代数式只需加上并减去±2ab ,可配成(a ±b )2�2ab ,即a 2+b 2=a 2+b 2±2ab �2ab =(a ±b)2�2ab.4.形如ax 2+b x +c(a ≠0)的三项式的配方:此类型代数式的配方步骤一般有:(1)把二次项系数a 提到括号外,使二次项的系数化为“1”,即ax 2+bx +c =a(x 2+b a x +ca);(2)在括号内,加上并减去一次项系数的一半的平方,即ax 2+b x +c =a [x 2+b a x +(b2a )2-(b 2a )2+ca];(3)利用完全平方公式把括号内的多项式写成含有完全平方形式的代数式,即ax 2+bx +c =a[(x +)+];()去中括号和整理,得x +b x +c =a (x +b 2a )2+4ac -b24a.在上述四种情形中,我们可以把第1,2,3种情形看作是第4种的特殊情况.二、配方法的应用配方法在分解因式、解方程(组)、解不等式、代数式的化简与求值、证明等式或不等式、求函数的顶点坐标或最值等方面都有着广泛的应用.现枚举如下:1.在因式分解中的应用例1 将下列各式分解因式(1)3x 2+6x -6;(2)(x 4+3x 2+4)-2ax -a 2.解:(1)原式=3(x 2+2x -2)=3[(x 2+2x +1)-3]=3[(x +1)2-3]=3(x +1+3)(x +1-3).(2)原式=(x 4+4x 2+4)-(x 2+2ax +a 2)=(x 2+2)2-(x +a )2=(x 2+x +a +2)(x 2-x -a +2).通过上述2题,读者可以发现:在利用配方法分解因式时,常常是完全平方公式与平方差公式结合在一起来应用.2.在二次根式化简中的应用例2 化简下列根式(1)7+43;()3+333(≥)分析此类二次根式的化简,往往需要将被开方式··b 2a 2-b 24a2c a 4a 22a 2a -1-a -2a -1a 2.:22。
培优专题03根的判别式的五种常见应用-原卷版
）．
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
12．（2018·浙江·九年级期中）已知关于 x 的一元二次方程 (a c)x2 2bx+a c 0 ，其中 a、b、c 分别为
A ABC 三边的下列关于这个方程的解和 A ABC 形状判断的结论错误的是（
）．
A．如果 x 1 是方程的根，则 A ABC 是等腰三角形 B．如果方程有两个相等的实数根，则 A ABC 是直角三角形 C．如果 A ABC 是等边三角形，方程的解是 x 0 或 x 1 D．如果方程无实数解，则 A ABC 是锐角三角形
15．（2021·河南南阳·九年级期中）已知关于 x 的方程 x2 k 2x 2k 0
(1)求证：无论 k 取何值，该方程总有实数根； (2)若等腰 A ABC 的一边长 a 1，另两边 b 、 c 恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．
◎应用四 与不等式结合
2a 1 1
16．（2022·云南昆明·二模）若
13．（2017·江苏·盐城市实验高级中学九年级阶段练习）已知等腰三角形的两腰是关于 x 的一元二次方程
x2﹣kx+4=0 的两根，则 k=__．
14．（2020·四川师范大学附属中学九年级阶段练习）关于 x 的方程 x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三角 形△ABC 一边长为 a＝6，另两边长 b，c 为方程两个根，则△ABC 的周长为_____．
◎应用二 求字母的值或取值范围
根据判别式，确定与 0 的关系，直接代入解不等式即可
6．（2022·山东泰安·八年级期末）若关于 x 的一元二次方程 k 2x2 2kx k 5 有实数根，则 k 的取值范
根的判别式的三种应用
根的判别式的三种应用类型一：判断方程的解的情况类型二、求字母系数的取值范围类型三、证明一元二次方程根的情况根、有两个不相等的实数、有两个相等的实数根、只有一个实数根、没有实数根的根的情况是（）的一元二次方程、关于D C B A ax x x 0112=-+时，求方程的根）当（况时，判断方程的根的情）当（的一元二次方程、已知关于3231.0222-===++m m m x x x 12222-012)1(12≠〈〉〈〈=+--k k D k C k B k A k x x k x 且、、、、的取值范围（），则有两个不相等的实数根的方程、已知关于()()这两个实数根。
相等的实数根，并求出数，使原方程有两个不选取一个合适的非零整对有实数根？取什么值时，原方程没当的方程、已知关于m m m x m x x 2)1(.012222=++-()的值。
出该方程的根；求取当最大整数值时：求）当（的最大整数值）求（有实数根。
的一元二次方程、已知关于11873222109863222+---=+--x x x x a a x x a x 的值。
，求满足条件的整数大于根都是整数，且有一根）如果方程的两个实数（实数根：）求证：方程总有两个（的方程、已知关于m m x m mx x 121).0(03)3(12≠=++-()的值。
是等腰三角形时，求，当的长为实数根，第三边的长是这个方程的两个的两边若相等的实数根；求证：该方程有两个不、已知一元二次方程k ABC BC AC AB ABC k k x k x ∆∆=+++-5,2)1(.0)12(222一元二次方程的解法归类类型一、缺少一次项选直接开平方的策略解下列方程：类型二、缺少常数项选因式分解法的策略解下列方程：类型三、遇到大系数选配方法的策略解下列方程：类型四、遇到字母系数讨论的策略()049312=--x ）（()()251622=-x x x =21）（()()()()22212+=+-x x x ()98562412=-x x ()012622=--x x ()09991632=--x x ()()()是常数的方程、解关于c m x c c x mx x ,.01=-+-()()()()的值成立？若存在，请求出使得是否存在实数是方程的两个实数根，，设的值。
一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式是一个重要的知识点，有极为广泛的应用．下面举例说明判别式的几种常见应用．一、判断方程根的情况例1 方程04322=-+x x 的根的情况是（ ）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）无实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）有一个根为零分析：由041329)4(243422>=+=-⨯⨯-=-ac b 知方程有两个不相等的实数根．二、证明方程根的情况例2 已知关于x 的方程0)12()2(2=+--+m x m x ，求证：无论m 取什么数，这个方程总有两个不相等的实数根．分析：由222224(2)4[(21)]448448(2)40b ac m m m m m m m m -=--⋅-+=-+++=++=++>，所以不论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．三、判断方程中未知系数的取值范围例 3 已知关于x 的一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 分析：由题意得⎩⎨⎧>-⋅---≠-.0)1()1(4)2(,012k k 解得2<k 且1≠k ． 所以k 的取值范围是2<k 且1≠k ．四、确定二次三项式是完全平方式的条件例4 已知关于x 的二次三项式1)1(2+++mx x m 是一个完全平方式，求m 的值．分析：因关于x 的二次三项式1)1(2-++mx x m 是一个完全平方式，故关于x 的方程01)1(2=-++mx x m 有两个相等的实数根，所以0)1(4422=++=-m m ac b ，解得2-=m ．五、讨论两函数图象的交点情况例5 直线2-=x y 与双曲线x y 6=有没有交点？若有，求出交点坐标；若没有，请说明理由．分析：要判断直线与双曲线有没有交点，只要看它们的解析式组成的方程组有没有实数根，即看消去y 的方程0622=--x x 有无实数解，易知=-⨯--=-)6(4)2(422ac b 28>0,故直线与双曲线有交点．一元二次方程根的判别式还有其它方面的应用,这里不在一一举例,但同学们学习时要注意根的判别式与其它知识之间的联系和区别,掌握将所研究的问题转化为一元二次方程问题的方法，通过对知识的归纳、整理进一步提高分析问题解决问题的能力．。
一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式的应用作者：胡军武来源：《理科爱好者·教育教学版》2010年第01期摘要:一元二次方程根的判别式是初中代数的一个重要知识点,在初中数学的教材中,利用一元二次方程根的判别式的性质进行解题,大部分学生认为根的判别式仅用于判断一元二次方程根的情况,或用来求一元二次方程的字母系数的取值范围,其实不然,它可以解决很多方面的问题,不仅可直接应用在一元二次方程中,也可以扩展到很多与二次三项式有关的题目。
以下结合实例来说明它在各个方面的应用。
关键词:一元二次方程方程根判别式【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C【文章编号】1671-8437(2010)01-0045-01一在一元二次方程中的应用(一)、判断一元二次方程根的情况。
利用根的判别式的性质,可以在不解方程的情况下,较快地判断一元二次方程根的情况。
例1、不解方程,判断方程6x2-x-1=0根的情况。
解:∵△=(-1)2-4×6×(-1)=25>0∴方程有两个不相等的实数根。
例2、若关于x的方程①mx2-nx-m+3=0(m≠0)有实数根,则方程②x2++4mx-n2+12=0(m≠0)也有实数根。
证明:∵方程①有实数根∴△1 =(-n)2-4m(-m+3)=n2+4m2-12m≥0在方程②中,△2=(4m)2-4×1×(-n2+12)=16m2+4n2-48=4(n2+4m2-12m)∵△1=n2+4m2-12m≥0∴△2=4△1≥0∴方程②有实数根。
(二)、求一元二次方程的字母系数的取值。
利用根的判别式,可以用它来求一元二次方程的字母系数的取值。
也可用来解决某些可化为一元二次方程形式的方程或方程组中字母的取值。
例3、已知方程x2-2x+1-m=0有两个不相等的实数根,求M的取值范围。
解:∵方程x2-2x+1-m=0有两个不相等的实数根∴△=(-2)2-4(1-m)=-4+4m>0即m>1∴当m>1时,方程x2-2x+1-m=0有两个不相等的实数根。
运用根的判别式解题
运用根的判别式解题根的判别式是指对于一次方程 ax^2+bx+c=0 来说，其判别式Δ=b^2-4ac能够反映出方程的根的性质。
根据判别式，我们可以分为以下三种情况进行解题：1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。
3.当Δ<0时，方程没有实数根，而有两个共轭的复数根。
下面我们将通过实例来具体说明如何运用根的判别式进行解题。
实例1：求解方程x^2-5x+6=0的根。
首先，我们需要计算出判别式Δ=b^2-4ac=5^2-4(1)(6)=1由于Δ=1>0，所以该方程有两个不相等的实数根。
然后，我们利用一元二次方程求根公式 x = [-b±√(b^2-4ac)] / (2a) 进行计算。
带入方程的系数a=1，b=-5，c=6，即可得到：x1=[5+√(5^2-4(1)(6))]/(2(1))=(5+√1)/2=3x2=[5-√(5^2-4(1)(6))]/(2(1))=(5-√1)/2=2因此，方程x^2-5x+6=0的两个根分别为x1=3和x2=2实例2：求解方程2x^2-4x+3=0的根。
首先，我们需要计算出判别式Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(3)=-8由于Δ=-8<0，所以该方程没有实数根，而有两个共轭的复数根。
然后，我们需要将方程转换为复数形式进行求解。
利用一元二次方程求根公式 x = [-b±√(b^2-4ac)] / (2a)，带入方程的系数 a=2，b=-4，c=3，即可得到：x1=[-(-4)+√((-4)^2-4(2)(3))]/(2(2))=(4+√(-8))/4=(4+2i)/4=1/2+i/2x2=[-(-4)-√((-4)^2-4(2)(3))]/(2(2))=(4-√(-8))/4=(4-2i)/4=1/2-i/2因此，方程2x^2-4x+3=0的两个根分别为x1=1/2+i/2和x2=1/2-i/2实例3：求解方程x^2+4x+5=0的根。
根判别式的三大别类运用
根判别式的三大别类运用一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的判别式△=b^2-4ac的作用除了用于判别一元二次方程根的情况外，还有其他别类的运用，主要有如下三大别用：一、解多元二次方程例1 已知实数x，y满足2x^2-4xy+4y^2-6x+9=0，求x，y的值。
分析：把方程整理为关于x的一元二次方程形式，然后从根的判别式为非负数入手确定y的值。
解：已知等式化为2x^2-(4y+6)x+4y^2+9=0┄┄┄（*）因为x，y为实数，所以△=(4y+6)^2-4·2(4y^2+9)≥0，化简，整理，得4y^2-12y+9≤0，即(2y-3)^2≤0，又(2y-3)^2≥0，所以(2y-3)^2=0，所以y=3/2；把y=3/2代入方程（*），得2x^2-12x+18=0，整理，得x^2-6x+9=0，所以(x-3)^2=0，x=3，所以x=3，y=3/2.注：本题若用配方法更简便。
二、证明相等例2已知实数a，b，c满足a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac，求证：a=b=c.分析：把已知等式整理为关于c的一元二次方程，再根据a，b，c为实数，根的判别式为非负数建立a，b的关系式。
证明：由已知，得c^2-(a+b)c+ a^2+b^2-ab=0，因为a，b，c为实数，所以△=(a+b)^2-4(a^2+b^2-ab)≥0，整理，得a^2-2ab+b^2≤0，即(a-b)^2≤0，又(a-b)^2≥0，所以(a-b)^2=0，所以a=b，同理，b=c，所以a=b=c。
三、求最值例3设x>0，求函数y=(x^2+1)/(x+1)的最小值。
分析：把函数整理为关于x的一元二次方程，再由根的判别式为非负数求解。
解：将函数解析式整理化为x^2-yx-y+1=0，依题意，得△=y^2-4(-y+1)≥0，即y^2+4y≥4，所以(y+2)^2≥8，因为x>0，所以y>0,所以y+2≥2√2，所以y的最小值为2√2.。
九年级数学上册132判别式、根与系数的关系专题训练 试题
判别式、根与系数的关系专题训练〔3〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、根底知识：1、 一元二次方程的判别式与解的关系：ac b 42-=∆1〕当b 2－4ac 0时，方程有两个不相等的实数根，反之也成立。
2〕当b 2－4ac 0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立。
3〕当b 2－4ac 0时，方程有实数根，反之也成立。
4〕当b 2－4ac 0时，方程没有实数根，反之也成立2、 一元二次方)0(02≠=++a c bx ax ，设方程的两个根分别为2,1x x ，那么有：1〕_______21=+x x ， 2〕______21=•x x3〕,__________2221=+x x 4〕_________,2112=+x x x x 5〕,__________2221=-x x 6〕 ______________||21x x - ，7〕______________21x x -，二、才能训练1、一元二次方程0132=-+x x ，判断方程有 个根。
2、方程022=+-mx x 有两个不相等实数根，那么x 的取值范围 。
3、一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，那么221212x x x x +的值是〔 〕Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．13 Ｄ．13- 4、正比例函数(1)y a x =+的图象经过第二、四象限，假设a 同时满足方程22(12)0x a x a +-+=，那么此方程的根的情况是〔 〕Ａ．有两个不相等的实数根Ｂ．有两个相等的实数根 Ｃ．没有实数根 Ｄ．不能确定5、假设一元二次方01)12(22=+-+x k x k ，有两个不相等的实数根，是否存在k 是方程的两个根互为相反数，假设存在求出k 的值，不存在，说明理由。
6、一元二次方程0)2(222=+--m x m x ，是否存在实数m,是方程的两个根的平方和为56，存在求出m 的值，不存在说明理由。
典中点一元二次方程专训3 根的判别式的的六种常见应用
典中点一元二次方程专训3 根的判别式的的六种常见应用◐名师点金◑对于一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0),式子ac b 42-的值决定了一元二次方程的根的情况,利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况。
反过来,利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围。
应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1.已知方程022=--m x x 没有实数根,其中m 是实数,试判断方程0)1(22=+++m m mx x 有无实 数根。
2.已知关于x 的方程01222=-+-m mx x 。
(1)不解方程,判断方程根的情况。
(2)若方程有一个根为3,求m 的值。
应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3.已知关于x 的一元二次方程02)2(2=++-x m mx .(1)证明:不论m 为何值,方程总有实数根;(2)m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?应用3：利用根的判别式求代数式的值4. 已知关于x 的方程04)12(2=+-+x m x 有两个相等的实数根,求m m m 2)12(12+--的值。
应用4：利用根的判别式解与函数综合问题 5.11+-=x k y 是关于x 的一次函数,则关于x 的一元二次方程0122=++x kx 的根的情况为（ ）A.没有实数根B.有一个实数根C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根应用5：利用根的判别式确定三角形的形状6.已知a,b,c 是三角形的三边长,且关于x 的一元二次方程04)(2=-+++c a bx x c a 有两个相等的实数根， 试判断此三角形的形状。
应用6：利用根的判别式探求菱形条件7.已知□ABCD 的两边AB,AD 的长是关于x 的方程04122=-+-m mx x 的两个根。
(1)m 为何值时,□ABCD 是菱形?并求出菱形的边长。
(2)若AB 的长为2,求口ABCD 的周长是多少?。
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2020-2021学年
专训2 根的判别式的六种常见应用
名师点金：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的
根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以
确定方程中待定系数的值或取值范围．
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无
实数根．
2．(2020·泰州)已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.
(1)不解方程，判别方程根的情况；
(2)若方程有一个根为3，求m的值．
利用根的判别式求字母的值或取值范围
3．【2020· 咸宁】已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
利用根的判别式求代数式的值
4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求的值．
利用根的判别式解与函数综合问题
5．【2020·黔南州】y＝x＋1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情况
为( )
A．没有实数根
B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
利用根的判别式确定三角形的形状
6．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的
实数根，试判断此三角形的形状．
利用根的判别式探求菱形条件
7．(中考·淄博】已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个根．
(1)m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出菱形的边长．
(2)若AB的长为2，求▱ABCD的周长是多少？
答案
1．解：∵x2－2x－m＝0没有实数根，
∴”1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.