高数中求极限的16种方法
高数 利用定积分定义求极限
（一）定积分的定义其中，分割是任意的分割，想怎么分就怎么分，任意分！分割的目的在于第二步的代替。
代替什么呢？就是“化曲为直”，用直线来近似代替那段曲线，为什么这时候能够用直线来近似代替那段曲线了？就是因为第一步的分割呀！因为你第一步的分割分的让每个子区间足够小，小的让在小区间内随便取一点，代入到被积函数中，它的值都一样！既然都一样了，此时就可以将曲线看成直线了，此时这段小区间的面积就可以近似看作是小矩形的面积，宽就是小区间长度，长就是将这一点代入被积函数后的值。
大家对照着上面的图一，看看上面讲的n等分法，这就是考研里面的特殊分割！你之前是任意分割，现在我就取个特殊，我将这个区间分成n等份，每一份的区间长度都是n分之一。
而近似呢，你之前的定义是说取小区间的任意一点，我这时候就取个特殊点，我取每个小区间的右端点！把这个右端点代入到被积函数中，用它的函数值来近似代替这段曲线上的每一点值，即：你要想明白1/n代表什么？它代表的是矩形面积微元中的那个宽！小 f 这个函数代表什么？它代表的是矩形面积微元中的那个长！（二）利用定积分定义求极限的题目特征在哪些题目需要考虑用定积分的定义？或者说这类题目有什么样的特征？汤老师是这样总结的：用定积分定义求极限的题目具有如下的特征：1、分子齐（都是1次或0次）；2、分母齐（都是2次）；3、分母比分子多一次；这里的“齐”是什么意思呢？举两个例子就明白了：比如说例1这个题：这个题，他的分母都是2次，是齐的，分子都是1次，分母比分子多一次。
又比如例2：这个题，它的分母都是1次，是齐的，分子都是0次（因为都是1，可以看做是0次方），分母比分子多一次。
像上面这两道题，就是典型的利用定积分定义做的。
两道题的求解步骤分别如下所示：。
高数求极限运算法则
高数求极限运算法则极限（Limit）是高等数学中非常重要的数学概念，是对函数在某一特定变量无穷接近某个值的概念，是理解微积分及其它研究的基础。
极限的求取是高数教学的重要内容，它不仅提高了学生的数学思维能力，还有助于培养其创新能力。
因此，高数求极限的运算法则的掌握就显得尤为重要。
一、定义极限又称无穷小，是指分母函数值趋近于无穷小，且分子函数值恒不变时，分母函数不变时其商函数极限，记作：$$lim_{xto a}f(x)=L$$其中$xto a$（x逼近a）表示x不断逼近a，当$xto a$时，$f(x)=L$。
二、极限的计算1、无穷小的消去法即在极限的运算中，若分母中出现无穷小，可让其消去，即$lim_{xto a}f(x)=f(a)$，$f(a)$为极限值。
2、无穷大的消去法即若极限运算中出现无穷大，首先判断一下分子和分母的大小，根据大小将分母合理改写，使无穷大可以化简消去，然后将合理改写后的分母和分子相除，得到极限的值。
3、积分型极限计算法则即若函数形式为$frac{f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+cdots+f(x_n)}{x_0+x_1+x_2+cdots+x_n}$，此时函数的极限可以用随机积分法求出。
4、指数函数极限计算法则即若函数形式为$a^x$,其中a为任意正数，当$xto infty$时极限值为无穷大；当$xto -infty$时极限值为0。
5、三角函数极限计算法则即当函数形式为$sin x$或$cos x$等三角函数的极限时，可以运用三角恒等公式，将它们改写成有限值表达式，求出其极限值。
6、指数型函数极限计算法则即当函数形式为$a^x$,其中a为任意正数，此时函数的极限可以用对数函数法求出，其计算方法是将该函数改写成对数函数形式，再用极限运算法则加以求解。
三、总结1、极限定义：极限是指函数在某一特定变量无穷接近某个值的概念，记作：$$lim_{xto a}f(x)=L$$2、求极限的方法：包括无穷小的消去法、无穷大的消去法、积分型极限计算法则、指数函数极限计算法则、三角函数极限计算法则、指数型函数极限计算法则等，其中各种方法有其特色，使用了正确的方法可以满足不同的求解要求。
高数大一函数的极限知识点
高数大一函数的极限知识点一、极限的定义在数学中，极限是指函数在某一点上逼近特定值的过程。
对于大一学生来说，了解极限的定义对于后续的数学学习至关重要。
根据极限的定义，给定一个函数和一个点，当该函数的自变量无限接近这个点时，函数值趋近于某个确定的值，这个确定的值就是函数在该点的极限。
二、常用的极限运算法则在计算函数极限时，我们可以使用一些常用的运算法则，这些法则可以简化计算过程，提高效率。
1. 基本极限法则：- 常数函数的极限：若k为常数，则lim(f(x)) = k (x-->a)- 恒等函数的极限：lim(x) = a (x-->a)- 幂函数的极限：lim(x^n) = a^n (x-->a)，其中n为正整数- 指数函数的极限：lim(a^x) = a^a (x-->a)，其中a为正实数2. 四则运算法则：- 和差的极限：lim(f(x)±g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x)) (x-->a)- 积的极限：lim(f(x)g(x)) = lim(f(x)) · lim(g(x)) (x-->a)- 商的极限：lim(f(x)/g(x)) = lim(f(x))/lim(g(x)) (x-->a)，其中g(x) ≠ 03. 复合函数的极限法则：- 复合函数的极限：lim(f(g(x))) = lim(f(u)) (u-->lim(g(x)))三、函数的一致性对于大一函数的极限，函数的一致性也是需要注意的重要概念。
一致性是指当自变量趋于某个特定值时，函数的极限是唯一确定的。
具体来说，对于一个函数f(x)，当x趋于a时，如果极限值是L，在邻域内的所有点都有f(x)趋于L，那么函数f(x)在点a处是连续的。
四、无穷极限除了有限极限之外，函数还可能存在无穷极限。
无穷极限包括正无穷大、负无穷大以及无穷小。
当函数在某一点的极限是正无穷大时，我们可以表示为lim(f(x)) = +∞ (x-->a)；当极限是负无穷大时，我们可以表示为lim(f(x)) = -∞ (x-->a)；当极限是无穷小时，我们可以表示为lim(f(x)) = 0 (x-->a)。
高数极限运算法则讲解
高数极限运算法则讲解极限是数学中最重要的概念，它是用来描述一个函数d（x）在某个点a接近而不是等于某个值L时，对x的变化可以推导出一个结果。
也就是说，当x趋向于a时，d（x）会趋向于L，这时d（x）就称为以a为极限的函数。
实际应用中，很多复杂的数学问题都可以通过极限来解决。
极限也是高等数学的重点。
二、极限的运算法则（1）极限加法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的和也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)+g(x)]=lim_x→a f(x)+lim_x→a g(x)。
（2）极限减法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的差也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)-g(x)]=lim_x→a f(x)-lim_x→a g(x)。
（3）极限乘法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的积也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)*g(x)]=lim_x→a f(x)*lim_x→a g(x)。
（4）极限除法：当函数f (x)和g (x)都有极限，且lim_x→a g(x)非零时，两函数的极限的商也存在，其极限关系式为：lim_x→a [f(x)/g(x)]=lim_x→a f(x)/lim_x→a g(x)。
（5）极限交换法则：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，函数的项可以进行交换，即lim_x→a[f(x)g(x)]=lim_x→a g(x)lim_x→a f(x)。
（6）极限重复法则：当函数f (x)有极限，当x趋向于a时，函数f (x)重复m次，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)^m]=[lim_x →a f(x)]^m。
三、极限的应用（1）冯科普雷定理：当n≥3时，给定f（x）在区间[a,b]上有n次连续可导，且f（a）=f（b），就一定存在某一点c∈(a,b)，使得f′（c）=0。
大一高数知识点总结求极限
大一高数知识点总结求极限大一的高等数学课程对于许多学生来说是一个挑战。
其中，求极限是一个重要的知识点，在解决数学问题和理解数学概念时起到关键的作用。
本文将对大一高数中与求极限相关的知识做一个总结。
一、数列极限在大一高数中，数列极限是一个基础而重要的概念。
数列极限可以通过数学定义和一些常用的极限定理来求解。
1. 数列极限的定义数列极限的定义是：对于一个数列{an}，当n趋近于无穷时，如果存在一个实数A，使得对于任意给定的正数ε（无论多么小），都存在正整数N，使得当n > N时，有|an - A| < ε成立，则称数列的极限为A。
2. 常用的数列极限定理在实际计算中，可以根据一些常用的数列极限定理简化计算过程。
常用的数列极限定理包括：- 夹逼准则：当数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=L，那么lim(n→∞)bn=L。
- 唯一性定理：如果数列{an}与数列{bn}有相同的极限，即lim(n→∞)an=lim(n→∞)bn=L，那么可以推出lim(n→∞)(an ±bn)=2L。
- 四则运算法则：对于两个数列{an}和{bn}，如果它们的极限存在，可以利用四则运算计算它们的极限。
即lim(n→∞)an ± bn = lim(n→∞)an ± lim(n→∞)bn，lim(n→∞)an · bn =lim(n→∞)an · lim(n→∞)bn，lim(n→∞)an / bn = (lim(n→∞)an) / (lim(n→∞)bn)（其中，lim(n→∞)bn ≠ 0）。
二、函数极限在大一高数中，函数极限是求极限的另一个重要方面。
函数极限的计算可以通过代入法、夹逼定理和洛必达法则等方法进行。
1. 函数极限的代入法对于一些常见的函数极限，可以通过代入法进行计算。
例如，对于以下函数极限的计算：lim(x→a)f(x)，当x趋近于某个实数a时，可以通过直接将x代入f(x)的表达式中，计算得到极限值。
高数第一章函数与极限总结
高数第一章函数与极限总结高数作为数学的第四门学科，函数与极限是其中重要的知识点。
本文就高数第一章函数与极限做一个总结。
1、函数函数是一种特殊的数学关系，它将某种输入关系映射到另一种输出关系。
函数可以分为偶函数和奇函数，偶函数是输入与输出之间保持对称关系的函数，而奇函数是输入与输出之间不保持对称关系的函数。
二次函数是函数中的重要概念，其中y=ax2+bx+c将等号两边的关系形式分解为三个特殊情况，其中一种情况是二次函数，即y=ax2+b，另一种情况为一次函数，即y=bx+c。
2、极限极限是高数中的重要概念，它是指在某种情况下，当某个表达式中的变量x趋近某一特定值时，表达式中变量y的值趋近某一特定值。
极限有三种情况：零点极限、无穷大极限和无穷小极限。
零点极限指的是当某个表达式中的变量x趋近某一特定值时，表达式中变量y的值接近零。
无穷大极限指的是当某个表达式中的变量x趋近某一特定值时，表达式中变量y的值接近正无穷大。
无穷小极限指的是当某个表达式中的变量x趋近某一特定值时，表达式中变量y的值接近负无穷小。
极限的计算方法有三种：简单极限法、分步极限法和法则极限法。
简单极限法指的是当某个表达式中的变量x趋近某一特定值时，直接求解出极限值。
分步极限法指的是先进行一些简单的运算，然后再求解极限值。
法则极限法指的是利用数学法则和函数定义求解极限值。
总结本文针对高数第一章的函数与极限概念进行了总结，函数可以分为偶函数与奇函数，其中二次函数是常见的特殊情况。
极限分为零点极限、无穷大极限和无穷小极限，计算极限则有简单极限法、分步极限法和法则极限法。
这些概念在后续学习中均会发挥重要作用，需要我们深入理解并掌握。
例谈函数极限的求法
例谈函数极限的求法陈小燕(海南省海口市琼台师范学院㊀５７１１００)摘㊀要:极限理论及其求法是微积分学的理论基础ꎬ在高等数学中占有重要的地位ꎬ是学好高等数学的关键.高等数学中极限求法很多ꎬ不同类型极限对应不同的求法ꎬ且具有较高的技巧性和灵活性.对于大一的学生来说很难正确掌握ꎬ本文结合例题归纳㊁总结极限的常用求法ꎬ以供初学者参考.关键词:无穷小ꎻ重要极限ꎻ洛必达法则中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０９－０００４－０２收稿日期:２０２０－１２－２５作者简介:陈小燕(１９８２.４－)ꎬ女ꎬ海南省海口人ꎬ本科ꎬ讲师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀一㊁求极限的常用方法１.无穷小量及其性质性质１㊀有限个无穷小的和也是无穷小性质２㊀有界函数与无穷小的乘积是无穷小.性质３㊀常数与无穷小的乘积是无穷小.性质４㊀有限个无穷小的乘积也是无穷小.例１㊀求ｌｉｍｘңɕｓｉｎｘｘ.解㊀ｌｉｍｘңɕｓｉｎｘｘ＝ｌｉｍｘңɕ１ｘ ｓｉｎｘꎬ因为ｘңɕ时ꎬ１ｘ是无穷小量ꎬｓｉｎｘ是有界量ꎬ所以ｌｉｍｘңɕｓｉｎｘｘ＝０.２.利用等价无穷小定理㊀设α~α~ꎬβ~β~ꎬ且ｌｉｍβ~α~存在ꎬ则ｌｉｍβα＝ｌｉｍβ~α~.㊀ｘң０时ꎬｓｉｎｘ~ｘꎬｔａｎｘ~ｘꎬａｒｃｓｉｎｘ~ｘꎬ１－ｃｏｓｘ~１２ｘ２例２㊀求ｌｉｍｘң０ｔａｎ３ｘｓｉｎ５ｘ.解㊀ｌｉｍｘң０ｔａｎ３ｘｓｉｎ５ｘ＝ｌｉｍｘң０３ｘ５ｘ＝３５.３.极限的运算法则如果ｌｉｍｆ(ｘ)＝Ａꎬꎬｌｉｍｇ(ｘ)＝Ｂꎬ那么(１)ｌｉｍ[ｆ(ｘ)ʃｇ(ｘ)]＝ｌｉｍｆ(ｘ)ʃｌｉｍｇ(ｘ)＝ＡʃＢꎻ(２)ｌｉｍ[ｆ(ｘ) ｇ(ｘ)]＝ｌｉｍｆ(ｘ) ｌｉｍｇ(ｘ)＝Ａ Ｂꎻ(３)ｌｉｍｆ(ｘ)ｇ(ｘ)＝ｌｉｍｆ(ｘ)ｌｉｍｇ(ｘ)＝ＡＢ(Ｂʂ０).说明:只有两个函数都有极限时才能用运算法则ꎬ特别是用商的法则时分母的极限不能是零.例３㊀求ｌｉｍｘң１ｘ２－１ｘ２＋２ｘ－３.解㊀ｘң１时ꎬ分子㊁分母的极限都是零ꎬ不能直接用法则.但分子和分母有公因子ｘ－１ꎬ先约去为零的因子ｘ－１ꎬ然后再求极限.ｌｉｍｘң１ｘ２－１ｘ２＋２ｘ－３＝ｌｉｍｘң１(ｘ＋１)(ｘ－１)(ｘ＋３)(ｘ－１)＝ｌｉｍｘң１ｘ＋１ｘ＋３＝１２.４.利用夹逼准则准则:如果(１)当ｘɪＵʎ(ｘ０ꎬｒ)(或ｘ>Ｍ)时ꎬｇ(ｘ)ɤｆ(ｘ)ɤｈ(ｘ)ꎻ㊀(２)ｌｉｍｘңｘ(ｘңɕ)ｇ(ｘ)＝Ａꎬｌｉｍｘңｘ(ｘңɕ)ｈ(ｘ)＝Ａꎬ那么ｌｉｍｘңｘ(ｘңɕ)ｆ(ｘ)存在ꎬ且等于Ａ.例４㊀求ｌｉｍｎңɕ(１ｎ２＋１＋１ｎ２＋２＋ ＋１ｎ２＋ｎ)解㊀ȵｎｎ２＋ｎ<１ｎ２＋１＋ ＋１ｎ２＋ｎ<ｎｎ２＋１ꎬ又ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋ｎ＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ＝１ꎬ４ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋１＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ２＝１由夹逼准则得ꎬｌｉｍｎңɕ(１ｎ２＋１＋１ｎ２＋２＋ ＋１ｎ２＋ｎ)＝１.说明:此方法的关键是找出前后两个函数ꎬ且这两个函数的极限相同.５.利用重要极限(１)ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ＝１(２)ｌｉｍｘңɕ(１＋１ｘ)ｘ＝ｅ例５㊀计算ｌｉｍｘңɕ２ｘｓｉｎｈ２ｘ(ｈ为不等于零的常数)解㊀ｌｉｍｘңɕ２ｘｓｉｎｈ２ｘ＝ｌｉｍｘңɕｓｉｎｈ２ｘｈ２ｘｈ＝ｈ例６㊀求ｌｉｍｘңɕ(ｘ＋２ｘ＋１)２ｘ.解㊀ｌｉｍｘңɕ(ｘ＋２ｘ＋１)２ｘ＝ｌｉｍｘңɕ[(１＋１ｘ＋１)ｘ＋１]２(１＋１ｘ＋１)－２＝ｅ２.说明㊀在求极限过程中ꎬ要对函数进行适当变形ꎬ使其变成重要极限的形式ꎬ再用重要极限求解.６.洛必达法则定理㊀设(１)当ｘңａ时ꎬ函数ｆ(ｘ)及Ｆ(ｘ)都趋于零ꎻ(２)在点ａ的某邻域内(点ａ可以除外)ｆᶄ(ｘ)ꎬＦᶄ(ｘ)都存在且Ｆᶄ(ｘ)ʂ０ｌｉｍｘңａｆᶄ(ｘ)Ｆᶄ(ｘ)存在(或为无穷大)那么ｌｉｍｘңａｆ(ｘ)Ｆ(ｘ)＝ｌｉｍｘңａｆᶄ(ｘ)Ｆᶄ(ｘ).例７㊀求ｌｉｍｘң＋ɕπ２－ａｒｃｔａｎｘ１ｘ解㊀ｌｉｍｘң＋ɕπ２－ａｒｃｔａｎｘ１ｘ(００)＝ｌｉｍｘң＋ɕ－１１＋ｘ２－１ｘ２＝ｌｉｍｘң＋ɕｘ２１＋ｘ２＝１说明㊀(１)把定理中的ｘңａ换成ｘңɕꎬ把(２)换成当ｘ>Ｎ时ꎬｆ(ｘ)ꎬＦ(ｘ)都可导且Ｆᶄ(ｘ)ʂ０ꎬ结论仍然成立.(２)洛必达法则是求未定式的一种有效方法ꎬ但最好能与其他求极限的方法结合使用.例如要求的极限函数是幂指函数的形式ｕ(ｘ)ｖ(ｘ)(ｕ(ｘ)>０ꎬｕ(ｘ)ʂ１时ꎬ通常先把函数转化成指数函数ｕ(ｘ)ｖ(ｘ)＝ｅｌｎｕ(ｘ)＝ｅｖ(ｘ)ｌｎｕ(ｘ)ꎬ再求极限.例８㊀求ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎｘ.解㊀这是未定式００ꎬ设ｙ＝ｘｓｉｎｘꎬ取对数得ｌｎｙ＝ｓｉｎｘｌｎｘꎬ又ｌｉｍｘң０ｌｎｙ＝ｌｉｍｘң０(ｓｉｎｘｌｎｘ)＝０因为ｙ＝ｅｌｎｙꎬ而ｌｉｍｙ＝ｌｉｍｅｌｎｙ＝ｅｌｉｍｌｎｙ(ｘң０＋)ꎬ故ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎｘ＝ｌｉｍｘң０ｙ＝ｅ０＝１.(３)本节定理给出的是求未定式的一种方法.当定理条件满足时,所求的极限当然存在(或为ɕ),但定理条件不满足时,所求极限却不一定不存在.例９㊀求ｌｉｍｘң＋ɕｘ＋ｓｉｎｘｘ因为极限ｌｉｍｘң＋ɕｘ＋ｓｉｎｘｘ＝ｌｉｍｘң＋ɕ(ｘ＋ｓｉｎｘ)ᶄ(ｘ)ᶄ＝ｌｉｍｘң＋ɕ(１＋ｃｏｓｘ)不存在ꎬ所以不能用洛必达法则ꎬ但其极限是存在的:ｌｉｍｘң＋ɕｘ＋ｓｉｎｘｘ＝ｌｉｍｘң＋ɕ(１＋ｓｉｎｘｘ)＝１.㊀㊀二㊁结论函数极限的求法是多样的ꎬ除了本文的这几种方法ꎬ还有其他的求解方法ꎬ因此在解题过程中要根据函数本身的特点来选择合适的方法ꎬ以简便计算.㊀㊀参考文献:[１]同济大学数学系.高等数学[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１４.[２]华东师范大学.数学分析[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００１.[３]苏丽.函数极限的几种特殊求法[Ｊ].赤峰学院学报(自然科学版)ꎬ２０１６(０７):８－９.[４]舒孝珍.高等数学中函数极限的求法技巧解析[Ｊ].赤峰学院学报(自然科学版)ꎬ２０１９(０２):１１－１３.[５]郭俊梅.高职高数一元函数极限求法探讨[Ｊ].数理化研究ꎬ２０１７(０３):３１３.[责任编辑:李㊀璟]５Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
大一高数极限知识点笔记
大一高数极限知识点笔记一、基本概念：在数学中，极限是描述一个数列或者函数在逼近某一数值时的行为的概念。
在大一高数中，我们将会学习一些基本的极限知识点，让我们一起来看一看吧！1. 数列的极限数列的极限是指当n趋近于无穷大时，数列的项趋于某个常数L。
即当n趋近于无穷大时，数列的项与L的差趋近于零。
2. 函数的极限函数的极限是指当自变量x趋近于某个数a时，函数的值趋于某个常数L。
即当x趋近于a时，函数f(x)与L的差趋近于零。
二、常见的极限计算方法：在计算极限时，我们常常使用以下几种方法：1. 代入法对于一些简单的函数，在计算极限时我们可以直接将自变量的值代入函数中，得到极限的结果。
2. 分式的化简当函数为分式形式时，我们可以通过化简分式的形式，将其化为更简单的形式来计算极限。
3. 极限的性质极限具有一些基本的运算性质，比如极限的和、差、积、商的性质，我们可以利用这些性质来计算复杂函数的极限。
4. 夹逼定理夹逼定理是一种常用的极限计算方法，它的核心思想是通过找到两个函数夹住待求函数，并且这两个函数的极限相同，从而得到待求函数的极限。
三、常见的极限公式：在计算极限时，我们还可以利用一些常见的极限公式来简化计算，以下是一些常见的极限公式：1. 基本的极限公式- lim(x→0) sin(x)/x = 1- lim(x→∞) (1+1/x)^x = e2. 无穷小与无穷大的极限- lim(x→0) a^x - 1/x = ln(a)- lim(x→0) (1+x)^(1/x) = e3. 三角函数的极限- lim(x→0) (1-cos(x))/x^2 = 1/2- lim(x→0) (sin(x))/x = 1四、总结：通过学习大一高数的极限知识点，我们可以更好地理解数列和函数的极限行为，从而为后续的数学学习打下坚实的基础。
通过掌握极限的基本概念、常见的计算方法以及公式，我们可以更加高效地求解各种复杂的极限题目。
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假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根， 函数就是他的皮。树没有跟，活不
下去，没有皮，只能枯萎， 可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？ 各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，所
以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面
首先 对 极限的总结 如下
极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致
1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是一
般极限的一种）
2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）
1 等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但
是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等价于
Ax 等等 。 全部熟记
（x趋近无穷的时候还原成无穷小）
2落笔他 法则 （大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法）
首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！
必须是 X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情
况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件
（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）
必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导， 直接
用无疑于找死！！）
必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！
当然还要注意分母不能为0
落笔他 法则分为3中情况
1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用
2 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都
写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了
3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方
对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移
下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （ 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端
都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于
0）
3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注
意 ！！！！）
E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开
对题目简化有很好帮助
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！！！！！！
看上去复杂处理很简单 ！！！！！！！！！！
5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方
法。
面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！
6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。
7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存
在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化
10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 ！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x
比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式
（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 ）（当底数是1 的时候要特别注意可能是
用地2 个重要极限）
11 还有个方法 ，非常方便的方法
就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！
x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数
（画图也能看出速率的快慢） !!!!!!
当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了
12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中
13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的
14还有对付数列极限的一种方法，
就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从
0到1的形式 。
15单调有界的性质
对付递推数列时候使用 证明单调性！！！！！！
16直接使用求导数的定义来求极限 ，
（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式， 看见了
有特别注意）
（当题目中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定
义！！！！）