奈奎斯特图和波特图解释
奈奎斯特稳定性判据
时，可应用对数频率特性稳定性判据，判定系统的 稳定性。基于Bode图和基于Nyquist图的两种稳定性 判据是一致的，只是坐标系不同而已。 负反馈闭环系统，位于右半s平面极点的个数为
(3)
二、对数频率特性稳定性判据
式中：P —开环传递函数位于右半s平面极点的个 数；
—N 相 频特性曲线正穿越次数。在 L() 0 对应的频率范围内， 自下(而) 上穿越 (2k线1的)次18数0 ，其中自下而上起 始于或终止于该线的次数，折半计算； N —相频特性曲线负穿越次数。在 L() 0 对应的频率范围内， (自 )上而下穿越 (2k1)线18的0次数，其中自上而下起 始于或终止于该线的次数，折半计算；
【2 开环对数频率曲线(Bode图)的绘制】
1 思路：将复杂的 G(s)H(s)分解为典型环节的串联
G (s) G 1 (s)G 2 (s)G 3 (s).G .k .(s.)..
L ( () ) 2 G l( G 0 g j(j )H ) ( H j(j ) ) G 2 1 l G 0 g G 1 2 2 l G 0 g G 2k 2lG 0 g k
Z —闭环传递函数，位于右半s平面极点的 个数，即特征方程位于右半s平面根的 个数。
一、奈奎斯特稳定性判据
【3 奈奎斯特稳定性判据】
由式（1）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是 (2)
由式（1）还可知：渐近稳定的必要条件是 N ；N 发散不稳定的充分条件是 N 。N 当开环频率特性通过[GH]平面上点时，且当曲线 在点 (1, 左j0)右作微小移动时，会使系统由渐近 稳定变成发散不稳定，或会使系统由发散不稳定 变成渐近稳定，系统称为临界稳定。
三、例题详解
【解答】 首先将各点的坐标改写成
02240机械工程控制基础
02240机械工程控制基础第一章绪论1.1控制理论的发展简史（了解）1.2机械工程控制论的研究对象1）机械工程控制理论主要是研究机械工程技术为对象的控制论问题。
2）当系统已经确定，且输出已知而输入未知时，要求确定系统的输入以使输出并根据输出来分析和研究该控制系统的性能，此类问题称为系统分析°3）最优控制制：当系统已经确定，且输出已知而输入已施加但未知时，要求识别系统的输入以使输出尽可能满足给定的最佳要求。
4）滤波与预测问题当系统已经确定，且输出已知，输入已施加当未知时，要求识别系统的输入（控制）或输入中的有关信5）当输入与输出已知而系统结构参数未知时，要求确定系统的结构与参数，即建立系统的数学模型，此类问题及系统辨识。
6）当输入与输出已知而系统尚未构建时，要求设计系统使系统在该输入条件下尽可能符合给定的最佳要求，此类问题即最优设计。
1.3控制系统的系统的基本概念1）信息传递是指信息在系统及过程中以某种关系动态地传递的过程。
2）系统是指完成一定任务的一些部件的组合。
3）制制系统是指系统的可变输出能按照要求的参考输入或控制输入进行调节的系统。
4）系统分类：按照控制系统的微分方程进行分类分为线性系统、非线性系统。
按照微分方程系数是否随时间变化分为定常系统和时变系统。
按照控制系统传递信号的性质分类分为连续、离散系统。
按照系统中是否存在反馈将系统分为开环控制、闭环控制系统。
5）对控制系统的基本要求有稳定性、快速性、准确性第二章拉普拉斯变换的数学方法2.3典型时间函数的拉式变换（必须牢记）1）单位阶跃函数为，2）单位脉冲函数为，单位脉冲函数具有以下性质3）单位斜坡函数为，L（t）?第三章系统的数学模型....3.1概述1）数学模型概念在控制系统中为研究系统的动态特性而建立的一种模型。
2）建立数学模型的方法有分析法和实验法。
3）线性系统最重要的特性是叠加原理,具体内容是系统在几个外加作用下所产生的响应等于各个外加作用单独作用下的响应之和。
奈奎斯特稳定性判据
K 取值范围。
【解答】
三、例题详解
【解答】
三、例题详解
三、例题详解 【例3】 某负反馈控制系统，开环传递函数
试：（1）画出幅相特性曲线；（2）判定稳定性。
三、例题详解
【解答】 (1) 幅相特性曲线
G( j)H ( j)
K(T1 T2 )
(1 )
一、奈奎斯特稳定性判据
【3 奈奎斯特稳定性判据】
式中：P —开环传递函数位于右半s平面极点的个
数； N —半奈式曲线逆时针方向穿越点(1, j0)左
侧实轴的次数。而逆时针起始于或终止 于点 (1, j0)左侧实轴的次数，折半计算 N —半奈式曲线顺时针方向穿越点(1, j0)左 侧实轴的次数。而顺时针起始于或终止 于点(1, j0)左侧实轴的次数，折半计算
j
1 2T1T2
(1 2T12 )(1 2T22 ) (1 2T12 )(1 2T22 )
幅值变化： A(0 ) , A() 0
相角变化： K : 0 0
1 : 90 90
j
1
: 0 45 90
1 jT1
1 : 0 45 90
1 jT2
系统为发散不稳定系统。
三、例题详解
【例8】
某单位负反馈系统，其开环传递函数为 ：
G(s)
2 s2 (s 1)
试：（1）绘制开环频率特性极坐标草图； （2）利用奈奎斯特稳定性判据判定系统的稳定性。
三、例题详解
【解答】 (1) 极坐标草图
1
③ 取 La (0 ) 0 即K / 0 1 0 K
4)ωmin<ω<ωmax： 按转折频率对应的环节绘制
奈奎斯特判据
5.4 频域稳定判据5.4.1 奈奎斯特稳定判据闭环控制系统稳定的充要条件是：闭环特征方程的根均具有负的实部，或者说，全部闭环极点都位于左半s 平面。
第3章中介绍的劳斯稳定判据，是利用闭环特征方程的系数来判断闭环系统的稳定性。
这里要介绍的频域稳定判据则是利用系统的开环频率特性)(ωj G 来判断闭环系统的稳定性。
频域稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，它是频率分析法的重要内容。
利用奈奎斯特稳定判据，不但可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的动态性能以及指出改善系统性能指标的途径。
因此，奈奎斯特稳定判据是一种重要而实用的稳定性判据，工程上应用十分广泛。
1．辅助函数对于图5-33所示的控制系统结构图，其开环传递函数为)()()()()(0s N s M s H s G s G == （5-59）相应的闭环传递函数为 )()()()()(1)()(1)()(000s M s N s G s N s N s G s G s G s +=+=+=Φ （5-60） 式中，为开环传递函数的分子多项式，阶；为开环传递函数的分母多项式，阶，。
由式(5-59)、式(5-60)可见，)(s M m )(s N n m n ≥)()(s M s N +和分别为闭环和开环特征多项式。
现以两者之比构成辅助函数)(s N ()()()1()()M s N s F s G s N s +==+ （5-61） 实际系统传递函数分母阶数n 总是大于或等于分子阶数，因此辅助函数的分子、分母同阶，即其零点数与极点数相等。
设)(s G m 1z −，2z −，…，n z −和1p −，，…，分别为其零、极点，则辅助函数可表示为2p −n p −)(F s )())(()())(()(2121n n p s p s p s z s z s z s s F ++++++=L L（5-62）综上所述可知，辅助函数具有以下特点：)(s F （1）辅助函数是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。
奈奎斯特稳定判据
二、控制系统的频域稳定性判据
3. n阶系统 n阶系统稳定的充要条件是当ω由0→∞时， 特征矢量D(jω)的相角变化量为 Δ Arg[D(jω)]= n² 90 °
奈奎斯特稳定判据
三、奈奎斯特判据（奈氏判据） 1. 0型系统（开环没有串联积分的系统）
⑴开环是稳定的系统
如果已知开环系统是稳定的，那么当ω由0→∞时， 若矢量F(j ω)的相角变化量为0，也就是F(j ω)的轨迹不包 围原点，那么闭环系统的特征方程式DB(s)的根全部在s 左半平面，系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。 这样，系统稳定问题转化为找出ω由0→∞时，矢量 F(j ω)的相角变化量问题。
奈奎斯特稳定判据
四、伯德图上的稳定性判据 奈氏判据除了可以表示在极坐标图上， 还可以表示在伯德图上。
w + w=+ w=0 -1 P=0 w
0
180
-
+
四、伯德图上的稳定性判据
由图可知，幅相曲线不包围（-1，j0）点。 此结果也可以根据ω增加时，幅相曲线自下 向上（幅角减小）和自上向下（幅角增加） 穿越实轴区间（-∞，-1）的次数决定。
如果把自上向下的穿越称为正穿越，正穿越次 数用N+表示。把自下向上的穿越称为负穿越，负 穿越次数用N-表示，则R可以用N+和N-之差确定， 即 R= N+- N-
由图可知， N+=1， N-=1，故R=0。
四、伯德图上的稳定性判据
1.Bode图与Nyquist图的对应关系 a. Nyquist图的单位圆 | G(j )H(j ) | 1 对应 Bode图的横轴 20lg | G(j )H(j ) | 0 b. | G(j )H(j ) | 1 单位圆外 对应 20lg| G(j )H(j ) | 0 横轴以上区域
自动控制原理第五章
•表5-1 RC网络的幅频特性和相频特性数据
A( )
( )
0 1 0
1 0.707
45
2 0.45
5 0.196
0
63.4 78.69 90
图5-2 RC网络的幅频和相频特性
图5-3 RC网络频率特性的幅相曲线
对数频率特性图又称伯德图（Bode图），包 括对数幅频特性和对数相频特性两条曲线， 其中，幅频特性曲线可以表示一个线性系 统或环节对不同频率正弦输入信号的稳态 增益；而相频特性曲线则可以表示一个线 性系统或环节对不同频率正弦输入信号的 相位差。对数频率特性图通常绘制在半对 数坐标纸上，也称单对数坐标纸。
图5-20控制系统结构图
将系统的开环频率特性函数按典型环节划分， 可以分解为： ( j 1) ( ( j ) 2 ( j ) 1) k
m1 m2
G ( j ) H ( j )
k
2 l
2
l l
( j )
0
k 1 n1
( i s 1) ( 2 ( j ) 2 2 j j ( j ) 1) j
图5-19 Ⅱ型三阶系统幅相频率特性图
讨论更一般的情况，对于如图5-20所示的闭 环控制系统结构图，其开环传递函数为 G( s) H ( s) ，可以把系统的开环频率特性写作如 下的极坐标形式或直角坐标形式：
G( j)H ( j) G( j)H ( j) e j () P() jQ()
•图5-6积分环节频率特性的极坐标图
在伯德图上，积分环节的对数频率特性为
L( ) lg A( ) lg G( j ) lg ( ) 2
图5-7积分环节的伯德图
奈奎斯特稳定性判据概要课件
根轨迹法是一种基于时域的稳定性判据，通过分析开环系统的极点变化来判定 系统的稳定性。奈奎斯特判据可以与根轨迹法结合使用，提供更全面的系统稳 定性分析。
在控制系统设计中的应用
控制参数优化
奈奎斯特判据可以用于优化控制系统的参数，如PID控制器的比例、积分和微分 系数，以提高系统的稳定性。通过调整控制参数，使得闭环系统的频率响应满足 奈奎斯特稳定条件，从而提高系统的稳定性和性能。
重要性
奈奎斯特稳定性判据是工程领域中常用的稳定性分析方法之 一，尤其在通信、控制系统等领域具有广泛的应用。它能够 提供一种简便、准确的方法来判断系统的稳定性，从而为系 统的设计、优化和调试提供重要的依据。
判据的原理
原理概述
奈奎斯特稳定性判据是通过分析系统的开环频率响应来判断闭环系统的稳定性的。具体来 说，它根据频率响应的极点和零点的位置，利用开环系统的幅频特性和相频特性，推导出 闭环系统稳定的条件。
离散系统的动态特性与连续系统有所不同，因此需要采用适合离散系统的稳定性分析方法来准确判断 系统的稳定性。
CHAPTER 06
奈奎斯特稳定性判据的发展趋势与 展望
与其他稳定性判据的结合
波波夫判据
奈奎斯特判据与波波夫判据都是基于频率域的稳定性判据，两者可以相互补充。 波波夫判据适用于开环传递函数的极点、零点分布情况，而奈奎斯特判据则更 适用于系统的闭环频率响应特性。
系统的相角在$-frac{pi}{2}$和$frac{pi}{2}$之间变化，则系统是稳定的。
CHAPTER 05
奈奎斯特稳定性判据的局限性
对非线性系统的适用性
奈奎斯特稳定性判据主要适用于线性 时不变系统，对于非线性系统的稳定 性分析则需要采用其他方法，如描述 函数法、相平面法等。
奈奎斯特稳定判据
N=F(s)的右半零点数－F(s)的右半极点数 =闭环系统右半极点数－开环系统右半极点数
当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。
这里需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是 满足柯西辐角条件的？
⒋ 围线CS包围Z个零点和P个极点 由上述讨论显然可知，当变点s沿CS顺时针绕行一周时，CF应顺 时针包围原点Z－P次。亦即CF顺时针包围原点次数N=Z－P。
这就是所谓辐角原理。
A H
G
2
F
1.5
s平面
1
B
C
0.5
E
2 1 D
0 -0.5
HG A
D
E
-1
C
F
CS顺时针
-1.5
-2
B
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
二、奈奎斯特稳定判据：
奈奎斯特当年就是巧妙地应用了辐角原理得到了奈奎斯特 稳定判据。设系统结构图如图所示
G k(s)G (s)H(s)
R(s)
(s) G(s) 1G(s)H(s)
令： G(s)M1(s),H(s)M2(s)
N1(s)
N2(s)
则开环传递函数为：Gk(s)M N11((ss))M N22((ss)) 闭环传递函数为：(s) M1N2
) (s1pj
j1
)
s1pj ej(s1pj)
s1 pj
j1
j1
向量的幅值为
m
K s1 zi
F ( s1 )
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奈奎斯特图
奈奎斯特图是对于一个连续时间的线性非时变系统，将其频率响应的增益及相位以极坐标的方式绘出，常在控制系统或信号处理中使用，可以用来判断一个有回授的系统是否稳定，奈奎斯特图的命名是来自贝尔实验室的电子工程师哈里·奈奎斯特。
奈奎斯特图上每一点都是对应一特定频率下的频率响应，该点相对于原点的角度表示相位，而和原点之间的距离表示增益，因此奈奎斯特图将振幅及相位的波德图综合在一张图中。
一般的系统有低通滤波器的特性，高频时的频率响应会衰减，增益降低，因此在奈奎斯特图中会出现在较靠近原点的区域。
波特图的定义
基本概念
波特图是线性非时变系统的传递函数对频率的半对数坐标图，其横轴频率以对数尺度（log scale）表示，利用波特图可以看出系统的频率响应。
波特图一般是由二张图组合而成，一张幅频图表示频率响应增益的分贝值对频率的变化，另一张相频图则是频率响应的相位对频率的变化。
波特图可以用电脑软件（如MATLAB）或仪器绘制，也可以自行绘制。
利用波特图可以看出在不同频率下，系统增益的大小及相位，也可以看出大小及相位随频率变化的趋势。
波特图的图形和系统的增益，极点、零点的个数及位置有关，只要知道相关的资料，配合简单的计算就可以画出近似的波特图，这是使用波特图的好处。
图形简述
波特图又称幅频响应和相频响应曲线图，一般是旋转机械基频上的幅值和相位相对转子转速的直角坐标
波特图
图。
做图时采用折线近似的方法画出的对数频率特性。
波特图的画法一般画法
画波特图时，分三个频段进行，先画幅频特性，顺序是中频段、低频段和高频段。
将三个频段的频率特性(或称频率响应)合起来就是全频段的幅频特性，然后再根据幅频特性画出相应的相频特性来。
归一化画法
电压放大倍数表达式采用归一化方法表示，即求下面的比值
与一般画法相比较，所不同的是在第一步只需计算fL及fH两个要素就行了，无需计算中频电压放大倍AuSM。
此时，中频段的幅频特性就是一条与横坐标(0dB)相重合的水平线。
相当于把一般画法中的中频段特性向下平移了AuSM倍(或20lgAuSMdB)。
在相频特性中，纵坐标必须用附加相移ΔΦ表示。
所谓附加相移就是指除晶体管反相(–180°)作用以外的相移。
波特图的分析
开关电源的波特图(4张)波特图表明了一个电路网络对不同频率信号的放大能力。
但是在电子电路中，这种图有可能比较麻烦，一方面，要表示一个网络在低频和高频下的所有情况，那么横轴（频率轴会很长）。
此外，一般放大电路的放大倍数可能达到几百，使得纵轴也很长。
第三，这样画出的图形往往是很不规则的曲线。
波特（Bode）图是根据上述三点作了改进：
1.横坐标的频率改成指数增长，而不是以前的线性增长，比如频率刻度为。
10、100、1000、10^4、等，每一小格代表不同的频率跨度。
使一条横轴能表示如1hz到10^8hz这么大的频
率范围。
一个更为有用的原因是这样做符合人耳对声音的敏感程度（对数效应）。
2.纵坐标表示放大倍数的自然对数的20倍，这是根据分贝的定义做的。
这样纵坐标的值大概0到60就足够了。
这样在图中一眼就能看出放大的分贝数。
相频特性也可以相应的画。
3.把曲线做直线化处理。
画图所依据的式子中会得到fL fH的数值。
得出的波特图也应该在fL和fH处出现拐角（此点所在的频率称为截断频率），不过这样处理会产生一定的误差。
理论计算可知：在截断频率处真实值与估计值有3dB的误差。
在斜率不为0的直线处要标明斜率。
标明出每十倍频程放大倍数的变化情况。
经过这三种简化，波特图的曲线就是由一条折线组成看起来非常舒服。
虽然经过处理造成了误差，但已经成为一种标准。
编辑本段波特图的应用
在研究放大电路的频率响应时，由于信号的频率范围很宽（从几赫到几百兆赫以上），放大电路的放大倍数也很大（可达百万倍），为压缩坐标，扩大视野，在画频率特性曲线时，频率坐标采用对数刻度，而幅值（以dB为单位）或相角采用线性刻度。
在这种半对数坐标中画出的幅频特性和相频曲线称为对数频率特性或波特图。
波特图的数据中包含了新（蓝色）数据和旧（绿色）数据图中可以看出传统系统中的“采样噪声”。
高等院校在模拟电子技术课程中对于负反馈放大电路稳定性进行分析时，一般采用波特图的分析方法。
以最基础的阻容耦合放大器为例，将“波特图”用于表达放大器的频响问题剖析、纳、析的方法简单明了化。