概率论与数理统计总结之第六章

第六章 样本及抽样分布 总体与个体：
我们将试验的全部可能的观察值称为总体，这些值不一定都不相同，数目上也不一定是有限的，每一个可能观察值称为个体 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量 容量为有限的称为有限总体 容量为无限的称为无限总体
设X 是具有分布函数F 的随机变量，若,,21X X …n X ,是具有同一分布函数F 的、相互独立的随机变量，则称,,21X X …n X ,为从分布函数F （或总体F 、或总体X ）得到的容量为n 的简单随机样本，简称样本，它们的观察值,,21x x …n x ,称为样本值，又称为X 的n 个独立的观察值
由定义得：若,,21X X …n X ,为F 的一个样本，则,,21X X …n X ,相互独立，且它们的分布函数都是F ，所以（,,21X X …n X ,）的分布函数为
,,(21*
x x F …)(),1
∏==n
i i n x F x
又若X 具有概率密度f ，则（,,21X X …n X ,）的概率密度为
,,(21*
x x f …).(),1
∏==n
i i n x f x
设,,21X X …n X ,是来自总体X 的一个样本，g(,,21X X …n X ,)是,,21X X …n X ,的函数，若g 中不含未知参数，则称g(,,21X X …n X ,)是一统计量
设,,21X X …n X ,是来自总体X 的一个样本，n x x x ,^,,21是这一样本的观察值，定义：
样本平均值
∑==n
i i X n X 1
1
样本方差
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=--=∑∑==n i i n i i X n X n X X n S 122212
11)(11
样本标准差
∑=--==n
i i X X n S S 1
22
)(11 样本k 阶（原点）矩
,2,1,11
==∑=k X n A n i k
i k …
样本k 阶中心矩
,3,2,)(11
=-=∑=k X X n B k n
i i k …
经验分布函数
设,,21X X …n X ,是总体F 的一个样本，用∞<<-∞x x S ),(表示,,21X X …n X ,中不大于x 的随机变量的个数。

定义经验分布函数)(x F n 为∞<<-∞=
x x S n
x F n ),(1
)( 一般，设,,21x x …n x ,是总体F 的一个容量为n 的样本值，先将,,21x x …n x ,按自小到大的次序排列，并重新编号，设为()()≤≤21x x …()n x ≤， 则经验分布函数)(x F n 的观察值为 0，若(),1x x < =)(x F n k/n,若()(),1+<≤k k x x x 1，若().n x x ≥
统计量的分布称为抽样分布
几个常用的统计量的分布： 1.2χ分布
设,,21X X ...n X ,是来自总体N （0-1）的样本，则称统计量++=22212X X χ (2)
n
X +服从自由度为n 的2χ分布，记为2χ～)(2n χ，自由度是指上式右端包含的独立变量的个数
)(2n χ分布的概率密度为
=)(y f
,0,)
2/(212
/12/2
/>Γ--y e y n y n n 0，其它
若,,21X X …n X ,相互独立，且i X 服从参数为,2,1(,=i i βα…),n 的Γ分布，则
++21X X …n X +服从参数为βα,1∑=n
i i 的Γ分布，这一性质称为Γ分布的可加性
2χ分布的性质：
1）2χ分布的可加性
设21χ～2212),(χχn ～),(22n χ并且21χ22,χ独立，则有2
221χχ+～).(212n n +χ
2）2χ分布的数学期望和方差
若2χ～)(2n χ，则有.2)(,)(22n D n E ==χχ 证明：事实上，因i X ～N(0,1)，故 ,1)()(2==i i X D X E
[]
n i X E X E X D i i i ,^,2,1,213)()()(2
242==-=-= 于是
.
2)()(,
)()(1
21221
2122
n X D X D D n X E X E E n i i n i i n
i i n i i ==⎪⎭⎫
⎝⎛===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑====χχ
3）2χ分布的分位点
对于给定的正数ɑ，0<ɑ<1,称满足条件
⎰∞
==>)
(2
22
)()}({n dy y f n P αχααχχ的点)(2
n α
χ为)(2n χ分布的上ɑ分位点
2.t 分布
设X ～N(0,1),Y ～)(2n χ,且X,Y 独立，则称随机变量n
Y X
t /=
，
服从自由度为n 的t 分布，记为t ～t(n) t 分布又称学生氏分布
t(n)分布的概率密度函数为
[]∞<<-∞⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+Γ+Γ=+-t n t n n n t h n ,1)2/(2/)1()(2
/)1(2π
利用Γ函数的性质可得，2
/221)(lim t n e t h -∞
→=
π
故当n 足够大时t 分布近似于N （0,1）分布，但相对于较小的n,t 分布于N(0，1)分布相差较大
t 分布的分位点
对于给定的ɑ，0<ɑ<1,称满足条件⎰∞==>)
()()}({n t dt t h n t t P ααα的点)(n t α为)
(n t 分布的上ɑ分位点。

由t 分布上ɑ分位点的定义及h(t)图形的对称性知，)()(1n t n t αα-=-
3.F 分布
设U ～V n ),(12χ～),(22n χ且V U ,独立，则称2
1
//n V n U F =服从自由度为),(21n n 的F 分布，记为F ～),(21n n F
),(21n n F 分布的概率密度为
ϕ [][],0,)/(1)2/()2/()(2/)(2
/)(21211
)2/(2/21212111>+ΓΓ++Γ+-y n y n n n y n n n n n n n n ,0其它
F 分布的分位点
对于给定的ɑ。

0<ɑ<1,称满足条件⎰
∞==>)
,(2121)()},({n n F dy y n n F F P ααϕα的点
),(21n n F α为),(21n n F 分布的上ɑ分位点
F 分布的上ɑ分位点有如下重要性质：)
,(1
),(12211n n F n n F αα=-
设总体X （不管服从什么分布，只要均值和方差存在）的均值为μ，方差为2σ，
,,21X X …n X ,是来自X 的一个样本，2,S X 是样本均值和样本方差，则总有
./)(,)(2n X D X E σμ==
而⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑==n i i n i i X nE X E n X n X n E S E 1221222
)()(1111)( ,)/()(112
12222σμσμσ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=∑=n i n n n 即.)(22σ=S E
进而，设X ～N ),(2
σμ，则∑==n
i i X n X 1
1也服从正态分布，于是得到下面的定理：
定理一：
设,,21X X …n X ,是来自正态总体N ),(2σμ的样本，X 是样本均值，则有
X ～)/,(2n N σμ
对于正态总体N ),(2σμ的样本均值X 和样本方差2S ，有以下两个重要定理 定理二：
设,,21X X …n X ,是总体N ),(2σμ的样本，X ，2S 分别是样本均值和样本方差，则有 1.
2
2
)1(σ
S n -～);1(2-n χ
2.X 与2S 独立 定理三：
设,,21X X …n X ,是总体N ),(2σμ的样本，X ，2S 分别是样本均值和样本方差，则有
n
S X /μ
-～)1(-n t 定理四：
设,,21X X …1n X 与,,21Y Y …2,n Y 分别是来自正态总体),(211σμN 和),(2
22σμN 的样
本，且这两个样本相互独立。

设∑∑===
=2
11
2
111,1n i i n i i Y n Y X n X 分别是这两个样本的样
本均值；21
22
22112
1
)(11,)(1121Y Y n S X X n S n i i n i i --=--=∑∑==分别是这两个样本的样本方差，则有
1.22
212
2
21//σσS S ～);1,1(21--n n F 2.当,22
221σσσ==
()()2
121
11n n S Y X +---ω
μμ
～),2(21-+n n t
其中2
212
222112
,2
)1()1(ω
ωωS S n n S n S n S =-+-+-=
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