高等数学 第二章 极限与连续

1 n
n
1
e ， lim(1 x)x x0
e ），
第二个重要极限的三种形式也可统一为模型
1
lim (1 (x)) (x)
(x)0
e，
成立的条件是在给定趋势下，两个 (x) 是一模一样的
无穷小量．
第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小的比较
一、无穷小
如果函数 f (x) 当 x x0 （或 x ）时的极
x x0
x x0
左极限和右极限统称为单侧极限．
lim f (x) A 成 立 的 充 分 必 要 条 件 是
x x0
lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
2）自变量趋于无穷大时函数的极限
设函数 f (x) 当 x 大于某一正数时有定义，如
果在 x 的过程中，对应的函数值 f (x) 无限接
也趋于零,即 lim y x0
lim [
x0
f
(x0
x)
f
(x0 )]
0 ，那么
称函数 f (x) 在点 x0 处连续, x0 叫做函数 f (x) 的连
续点．
函数在点 x0 连续必须满足下面三个条件： （1）在点 x0 的某个邻域内有定义； （2）极限 lim f (x) 存在；
x x0
（3）极限
3）单调数列
设数列{yn} ，如果 yn yn1 （ n 1,2,...），那么 称数列{yn} 为单调增加数列．反之，如果 yn yn1 （ n 1,2,...），那么称数列{yn} 为单调减少数列．单 调增加数列和单调减少数列统称为单调数列
4）子列
从数列{yn} 中任意选出部分项（无穷项），保 持原来的次序，从左往右排列为 yn1 , yn2 , … , ynk , … 称此数列为{yn} 的子数列（简称子列），记为{ynk }. 其中 k ( k 1,2, …)表示 ynk 在子列中的第 k 项， nk 表 示在原来数列{yn} 中的第 nk 项．
定理
设
( x)
~
( x),
(x)
~
(x)
且
lim
x x0
(x) (x)
存
在，则
lim
x x0
(x) ( x)
lim
x x0
(x) (x)
．
第五节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性概念 二、函数的间断点
一、函数的连续性概念
1）函数的增量
设 函 数 y f (x) 在 点 x0 的 某 个 邻 域 内 有 定 义，当自变量 x 在这个邻域内从 x0 (初值)变化到 x1 (终值),终值与初值之差 x1 x0 叫做自变量的增 量,记作 x x1 x0 .函数的终值 f (x1 ) 与初值 f (x0 ) 之差 f (x1 ) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ) 叫做函数的增 量,记作 y f (x0 x) f (x0 ) .
性质 2（局部有界性） 如果 lim f (x) 存在， x x0
则函数 f (x) 在 x0 的某一去心邻域内有界． 性质 3（局部保号性） 如果给定函数 f (x) ，
lim
x x0
f
(x)
A且
A
0（或
A
0 ），那么在 x0 的某一
去心邻域内，有 f (x) 0 （或 f (x) 0 ）．
lim(x3 1)
x2
lim(x2 5x 3)
x2
lim x3 lim1
lim
x2
x2
5
x2
lim x
lim
3
x2
x2
x2
(lim x)3 1 x2
(lim x)2 5 2 3
23 1 22 10 3
7 3
x2
二、复合函数的极限运算法则
设函数 y f [g(x)]是由函数 y f (u) 与函数
一、函数极限的概念 二、函数极限的性质
一、函数极限的概念
1）自变量趋于有限值时函数的极限
设函数 f (x) 在点 x0 的去心邻域内有定义，如
果在 x x0 的过程中，对应的函数值 f (x) 无限接
近 于 确 定 的 数 值 A ， 那 么 称 A 是 函 数 f (x) 当
x
x0
时的极限，记作
第二章 极限与连续
第一节 数列的极限 第二节 函数的极限 第三节 函数极限的运算法则 第四节 无穷小与无穷大 第五节 函数的连续性和间断点 第六节 连续函数的性质
第一节 数列的极限
一、数列 二、数列的极限 三、数列极限的性质和运算
一、数列
1）数列的概念
设 yn f (n) 是定义在正整数集上的一个函 数,当自变量 n 依次取 1,2,3,…时,其相应的函数值 所排成的一列数 y1, y2 , y3 , …, yn ，…称为一个无穷 数列,简称数列,也称为整标函数，并记作{yn} 或 { f (n)}.其中数列中的每一个数都称为数列的项, 数列{yn} 的第 n 项 yn 称为数列的一般项或通项.
lim
x x0
f
(x)
A或
f
(x)
A( x
x0 ) ．
从定义中可以看出,函数 f (x) 在点 x0 处是否
存在极限与 f (x) 在点 x0 处是否有定义无关．
如果当 x x0（或 x x0 ）时， f (x) 无限接近 于确定的数值 A ，那么称 A 是函数 f (x) 在 x0 处的
左（或右）极限，记作 lim f (x) A（或 lim f (x) A ）．
函数 f (x) 在这两种极限过程下的极限分别
记作 lim f (x) A， lim f (x) A．
x
x
lim f (x) A的充要条件是 lim f (x) lim f (x) A
x
x
x
二、函数极限的性质
性质 1 (函数极限的唯一性) 如果 lim f (x) 存 x x0
在,那么它的极限是唯一的.
一、函数极限的运算法则
设 lim xx0
f (x)
A
和
lim
xx0
g(x)
B
，则
（1）
lim
x x0
f
( x)
g(x)
lim
xx0
f (x) lim g(x) x x0
A B ；
lim f (x)g(x) lim f (x) lim g(x) AB
（2） xx0
xx0
xx0
lim
f (x)
近 于 确 定 的 数 值 A ， 那 么 A 叫 做 函 数 f (x) 当 x 时 的 极 限 ． 记 作 lim f (x) A 或
x
f (x) A(x ) ．
如果把 x 取正值且无限增大，称为 x 趋于正无
穷大，记作 x ，而把 x 取负值且 x 无限增
大，称为 x 趋于负无穷大，记作 x ．
性质 4 (子列的收敛性) 数列{yn} 收敛于 a 的充分必要条件是数列{yn} 的任一子数列{ynk }收
敛于 a ．
性质 5 (夹逼准则)如果数列{xn},{yn},{zn} 满 足 下 列 条 件 ： (1) xn yn zn , (n 1,2,3,...) ；
(2)
lim
n
xn
lim
lim
x x0
f (x)
A
（3） xx0 g (x)
lim g(x)
x x0
B
(B 0)
lim Cf (x) C lim
xx0
xx0
f (x) CA ，
n
lim
x x0
f (x)
n
lim
x x0
f (x)
An
x3 1
例
求 lim x2
x2 5x 3 ．
解
lim
x2
x2
x3 1 5x 3
yn
AB;
(3)
lim xn n yn
lim
n
xn
lim
n
yn
A Bຫໍສະໝຸດ Baidu
(B
0)
．
数列极限的四则运算可以推广到有限多个
收敛数列的情形.由积的运算可以得到下面两个
结论:
(1)
lim
n
Cxn
C
lim
n
xn
CA(C 为常数)；
(2)
lim (
n
xn
)
m
(lim n
xn
)
m
Am (m 为正整数)
第二节 函数的极限
如果函数 f (x) 当 x x0（或 x ）时，对应 的函数值的绝对值 f (x) 无限增大，就称函数 f (x) 当 x x（0 或 x ）时的无穷大量，简称无穷大．
定理 在自变量的同一变化过程中，如果 f (x) 为无穷大，则 1 为无穷小，反之，如果 f (x)
f (x)
为无穷小，且 f (x) 0 ，则 1 为无穷大．
二、数列的极限
对于数列 {yn} ,如果当自变量 n 无限增大
时, yn 趋于某个确定的常数 A ,那么 A 叫做数列
{yn} 的极限,记作
lim
n
yn
A
或
yn A(n ) .
此时,也称数列{yn} 收敛于 A.如果数列{yn}
的极限不存在,就说数列{yn} 是发散的.
三、数列极限的性质和运算
u g(x) 复合而成, f [g(x)]在点 x0 的某去心邻域
内有定义,若
lim
x x0
g(x)
u0 ， lim uu0
f
(u)
A ，则
lim f [g(x)] lim f (u) A．
xx0
uu0
三、两个重要极限
lim
x0
sin x
x
1，
lim
x
1
1 x x
e （或 lim 1
n
2）有界数列
对数列{yn} ，如果存在两个实数 m, M ，使得 m yn M （ n 1,2, …），那么称{yn} 为有界数列， 其中 m, M 分别称为数列{yn} 的下界与上界．否则， 称{yn} 为无界数列．
等价定义： 如果存在 M 0 ，使得 yn M (n 1,2, …)，那 么称{yn} 为有界数列， M 称为数列{yn} 的界．
性质 4（夹逼准则) 如果函数 g(x), f (x),h(x) 在点 x0 的某个去心邻域内，满足 下列条件：
(1) g(x) f (x) h(x)
(2)
lim
xx0
g(x)
lim
xx0
h(x)
A
则函数
f
(x)
的极限存在,且
lim
x x0
f
(x)
A.
第三节 函数极限的运算法则
一、函数极限的运算法则 二、复合函数的极限运算法则 三、两个重要极限
限为零，那么称函数为当 x x0（或 x ）时
的无穷小量，简称无穷小． 注意 无穷小是一个变量（或函数），而不是
一个定数，所以不能把无穷小和很小的数（例如 百万分之一）混为一谈，只有零是可以作为无穷 小的唯一的常数，因为在任何极限过程中，均有
lim 0 0, lim 0 0 成立．
xx0
x
几何解释：函数的增量表示当自变量从 x0 变 化到 x0 x 时,曲线上对应点的纵坐标的增量.
2）函数的连续性
设函数 y f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定
义，如果当自变量 x 在 x0 处的增量 x 趋于零时,
函数 y f (x) 相应的增量 y f (x0 x) f (x0 )
xx0 (x)
穷小，特别地，当 k 1 时，称 (x) 与(x) 等价 无穷小，记作 (x) ~ (x), (x x0 ) ．
常用的等价无穷小如下：当 x 0 时 ，
sin x ~ x ， tan x ~ x ，
1
c os x
~
1 2
x2
， ln(1
x)
~
x
，
ex 1 ~ x ，n 1 x 1~ 1 x． n
lim
x x0
f
(x) 的值等于该点的函数值
f
(x0 )
如果
lim
xx
0
f (x)
f (x0 )
（或 lim
xx
0
f (x)
f (x0 )
性质 1 (极限的唯一性) 如果数列{yn} 有极 限(或收敛),那么它的极限是唯一的.
性质 2 （收敛数列的有界性） 如果数列{yn} 有极限，那么数列{yn} 一定有界．
性质 3（收敛数列的保号性）如果给定数列
{
y
n
}
，且
lim
n
yn
a ，a
0（或 a
0) 那么从某一项
起，都有 yn 0 （或 yn 0 ）．
性质 1 有限个无穷小的代数和仍为无穷小． 性质 2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小． 推论 1 常数与无穷小的乘积仍是无穷小． 推论 2 有限个无穷小的乘积仍是无穷小
定理 lim f (x) A的充分必要条件是 f (x) A ， x x0
其中 为当 x x0 时的无穷小．
二、无穷大
f (x)
三、无穷小的比较
设 (x), (x) 都 是 x x0 时 的 无 穷 小 ， 且 (x) 0 ，则
如果 lim (x) 0 ，则称 (x) 是比 (x) 高阶无
xx0 (x)
穷小，也称(x) 是比 (x) 低阶无穷小； 如果 lim (x) k 0 ，则称 (x) 与 (x) 同阶无
n
z
n
a ，则数列{yn} 的极限存在，
且
lim
n
yn
a.
性质 6 单调有界数列必有极限.
设 数 列 {xn},{yn} 的 极 限 都 存 在 , 且
lim
n
xn
A , lim n
yn
B ,则
(1)
lim (
n
xn
yn )
lim
n
xn
lim
n
yn
A B;
(2)
lim
n
xn
yn
lim
n
xn
lim n