12+4“80分”标准练4

12＋4“80分”标准练4

1．(2017届山东师大附中模拟)已知集合A＝{x|y＝lg(x＋1)}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B等于() A．(－2,0) B．(0,2)

C．(－1,2) D．(－2，－1)

答案 C

解析由x＋1＞0，得x＞－1，

∴A＝(－1，＋∞)，B＝{x||x|＜2}＝(－2,2)，

∴A∩B＝(－1,2)．故选C.

2．(2017·山东)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3i，z·z＝4，则a等于()

A．1或－1 B.7或－7

C．－ 3 D. 3

答案 A

解析∵z·z＝4，∴|z|2＝4，即|z|＝2.

∵z＝a＋3i，∴|z|＝a2＋3＝2，∴a＝±1.

故选A.

3．(2017届山东省青岛市二模)已知命题p，q，“綈p为假”是“p∨q为真”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案 A

解析若綈p为假，则p为真，则p∨q为真，即充分性成立，当p假q真时，满足p∨q为真，但綈p为真，则必要性不成立，

所以“綈p为假”是“p∨q为真”的充分不必要条件，

故选A.

4．已知x＝ln π

，

1

2

1

3

log,

2

y z-

==π则()

A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x

解析 x ＝ln π＞1，11332

31log log ,232y =<= z ＝π1

2-＝1π∈???

?12，1. ∴x ＞z ＞y .故选D.

5．(2017届山东省济宁市二模)过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆锥的体积为( )

A ．1

B.2π3

C.4π3

D.8π3

答案 D

解析 由三视图可得底面圆的半径为3＋1＝2，圆锥的高为5－1＝2， ∴原圆锥的体积为13π·22·2＝8π3

，故选D. 6．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有( )

A ．240种

B ．192种

C ．96种

D ．48种

答案 B

解析 分三步：先排甲，有1种方法；再排乙、丙，排在甲的左边或右边，各有4种方法；

再排其余4人，有A 44种方法，故共有2×4×A 44＝192(种)． 故选B.

7．今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织的布的尺数为(不作近似计

A.12

B.815

C.1629

D.1631 答案 C

解析 由题意可知，该女每天的织布量成等差数列，首项是5，公差为d ，前30项和为390.

根据等差数列前n 项和公式，有390＝30×5＋30×292d ，解得d ＝1629

. 8．(2017届江西省重点中学联考)元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x ＝0，则一开始输入的x 的值为

( )

A.34

B.78

C.1516

D ．4 答案 B

解析 i ＝1时，x ＝2x －1，

i ＝2时，x ＝2(2x －1)－1＝4x －3，

i ＝3时，x ＝2(4x －3)－1＝8x －7，

i ＝4时，退出循环，此时8x －7＝0，

解得x ＝78

，故选B. 9．已知函数f (x )＝32sin ωx －12cos ωx (ω＞0)，将函数y ＝|f (x )|的图象向左平移π9

个单位长度后

关于y 轴对称，则当ω取最小值时，g (x )＝cos ?

???ωx ＋π4的单调递减区间为( ) A.???

?－π3＋2k π3，π2＋2k π3 (k ∈Z ) B.???

?－π3＋4k π3，π2＋4k π3 (k ∈Z ) C.???

?－π6＋2k π3，π2＋2k π3 (k ∈Z ) D.???

?－π6＋4k π3，π2＋4k π3 (k ∈Z ) 答案 D

解析 函数f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ????ωx －π6 (ω>0)，将函数y ＝|f (x )|的图象向左平移π9

个单位长度后得到函数解析式为????sin ????ω????x ＋π9－π6，又图象关于y 轴对称，所以ωπ9－π6＝π2＋k π2

，k ∈Z ，

则当ω取最小值32

时， g (x )＝cos ????32x ＋π4，由2k π≤32x ＋π4

≤2k π＋π， 解得－π6＋4k π3≤x ≤π2＋4k π3

，k ∈Z ， 所以当ω取最小值时，g (x )＝cos ????ωx ＋π4的单调递减区间为???

?－π6＋4k π3，π2＋4k π3 (k ∈Z )，故选D.

10．(2017届山东省、湖北省部分重点中学模拟)已知实数x ，y 满足不等式组????? y －x ≤2，x ＋y ≥4，

3x －y ≤5，

若

目标函数z ＝y －mx 取得最大值时有唯一的最优解(1,3)，则实数m 的取值范围是( )

A ．m ＜－1

B ．0＜m ＜1

C ．m ＞1

D ．m ≥1 答案 C

解析 作出不等式组对应的平面区域如图，

由z ＝y －mx ，得y ＝mx ＋z ，即直线的截距最大，z 也最大，

若m ＝0，此时y ＝z ，不满足条件；

若m ＞0，目标函数y ＝mx ＋z 的斜率k ＝m ＞0，要使目标函数z ＝y －mx 取得最大值时有唯一的最优解(1,3)，

则直线y ＝mx ＋z 的斜率m ＞1，

若m ＜0，目标函数y ＝mx ＋z 的斜率k ＝m ＜0，不满足题意．

综上，m ＞1.

故选C.

11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( )

A ．2

B.32

C.355

D.52

答案 B

解析 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由AB 的中点为N (12,15)，

得x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30， 由??? x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22

a 2－y 22

b 2＝1，

两式相减得

(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2

，

则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a 2， 由直线AB 的斜率k ＝15－612－3

＝1， ∴4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54

， 双曲线的离心率e ＝c a ＝ 1＋b 2a 2＝32

， ∴双曲线C 的离心率为32

，故选B. 方法二 设A (12＋m,15＋n )，B (12－m,15－n )，

则????? (12＋m )2a 2－(15＋n )2b 2＝1，(12－m )2a 2－(15－n )2

b 2＝1，

两式相减得4m a 2＝5n b

2， 由直线l 的斜率k ＝n m ＝4b 25a

2， 直线AB 的斜率k ＝15－612－3

＝1， ∴4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54， 双曲线的离心率e ＝c a ＝ 1＋b 2a 2＝32

， ∴双曲线C 的离心率为32

，故选B. 12．(2017届安徽省合肥市三模)已知实数a ，b 满足2＜a ＜b ＜3，下列不等关系中一定成立的是( )

A ．a 3＋15b ＞b 3＋15a

B ．a 3＋15b ＜b 3＋15a

C ．b ·2a ＞a ·2b

D ．b ·2a ＜a ·2b

答案 D

解析 设f (x )＝x 3－15x ，

则f ′(x )＝3x 2－15＝3(x ＋5)(x －5)．

当x ∈(2，5)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，

当x ∈(5，3)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．

若2＜a ＜b ＜5，则f (a )＞f (b )，

即a 3＋15b ＞b 3＋15a ； 若5＜a ＜b ＜3，则f (a )＜f (b )，

即a 3＋15b ＜b 3＋15a .

∴A ，B 均不一定成立．

设g (x )＝2x x

， 则g ′(x )＝2x ·x ·ln 2－2x x 2＝2x (x ln 2－1)x 2

. 令g ′(x )＝0，得x ＝log 2e ∈(1,2)．

∴当x ∈(2,3)时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，

∵2＜a ＜b ＜3，2b b >2a a

，即b ·2a ＜a ·2b . 故选D.

13．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________.

答案 5

解析 ∵a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，

∴a －c ＝(3－k ，－6)．

∵(a －c )∥b ，∴1×(－6)＝3×(3－k )，解得k ＝5.

14．(2017届江苏省苏、锡、常、镇四市二模)已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m ＝________.

答案 －1

解析 由圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，

得(x －1)2＋(y －2)2＝5，

∴圆心坐标是C (1,2)，半径是5，

∵直线l ：mx ＋y －2m －1＝0过定点P (2,1)，且在圆内，

∴当l ⊥PC 时，直线l 被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长最短，

∴－m ·2－11－2

＝－1，∴m ＝－1. 15．(2017届山东省聊城市三模)若函数f (x )＝(x 2－ax ＋a ＋1)e x (a ∈N )在区间(1,3)上只有1个极值点，则曲线f (x )在点(0，f (0))处切线的方程为____________．

答案 x －y ＋6＝0

解析 f ′(x )＝e x [x 2＋(2－a )x ＋1]，

若f (x )在(1,3)上只有1个极值点，

则f ′(1)·f ′(3)＜0，

即(a －4)(3a －16)＜0，

解得4＜a ＜163

，a ∈N ， 故a ＝5，

故f (x )＝e x (x 2－5x ＋6)，f ′(x )＝e x (x 2－3x ＋1)，

故f (0)＝6，f ′(0)＝1，

故切线方程是y －6＝x ，即x －y ＋6＝0.

16．(2017·全国Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片

上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，

△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线

剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使

得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________．

答案 415

解析 如图，连接OD ，交BC 于点G ，由题意知，OD ⊥BC ， OG ＝36BC . 设OG ＝x ，x ∈????0，52， 则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，

三棱锥的高h ＝

DG 2－OG 2 ＝

25－10x ＋x 2－x 2 ＝25－10x ，S △ABC ＝12

×23x ×3x ＝33x 2， 则三棱锥的体积

V ＝13

S △ABC ·h ＝3x 2·25－10x ＝3·25x 4－10x 5.

令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈???

?0，52， 则f ′(x )＝100x 3－50x 4.

令f ′(x )＝0，得x ＝2.

当x ∈(0,2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，

当x ∈???

?2，52时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 故当x ＝2时，f (x )取得最大值80，

则V ≤3×80＝415.

所以三棱锥体积的最大值为415 cm 3.