2020-2021初中数学反比例函数知识点训练附答案(1)

2020-2021初中数学反比例函数知识点训练附答案(1)

一、选择题

1．如图，正方形OABC 的边长为6，D 为AB 中点，OB 交CD 于点Q ，Q 是y ＝k

x

上一点，k 的值是（ ）

A ．4

B ．8

C ．16

D ．24

【答案】C 【解析】 【分析】

延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ =，再过点Q 作垂线，利用相似三角形的性质求出

QF 、OF ，进而确定点Q 的坐标，确定k 的值．

【详解】

解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ，

OABC Q 是正方形，

6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=?=∠，

D Q 是AB 的中点，

1

2

BD AB ∴=，

//BD OC Q ，

OCQ BDQ ∴??∽， ∴

1

2

BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ， OFQ OAB ∴??∽，

∴

22

213

QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ，

2643QF ∴=?

=，2

643

OF =?=， (4,4)Q ∴，

Q 点Q 在反比例函数的图象上，

4416k ∴=?=，

故选：C ． 【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．

2．已知点A （﹣2，y 1），B （a ，y 2），C （3，y 3）都在反比例函数4

y x

=的图象上，且﹣2＜a ＜0，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 3＜y 2＜y 1

C ．y 3＜y 1＜y 2

D ．y 2＜y 1＜y 3

【答案】D 【解析】 【分析】

根据k ＞0，在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，双曲线在第一三象限，逐一分析即可． 【详解】 ∵反比例函数y=

4

x

中的k=4＞0， ∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，双曲线在第一三象限， ∵-2＜a ＜0， ∴0＞y 1＞y 2，

∵C （3，y 3）在第一象限， ∴y 3＞0， ∴213y y y <<， 故选D ． 【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，熟练地应用反比例函数的性质是解题的关键．

3．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数()0k

y x x

=

>在第一象限内图象上一动点，过点A 分别作AB x ⊥轴于点B AC y ⊥、轴于点C ，AB AC 、分别交函数()1

0y x x

=

>的

图象于点E F 、，连接OE OF 、．当点A 的纵坐标逐渐增大时，四边形OFAE 的面积（ ）

A ．不变

B ．逐渐变大

C ．逐渐变小

D ．先变大后变小

【答案】A 【解析】 【分析】

根据反比例函数系数k 的几何意义得出矩形ACOB 的面积为k ，BOE S V COF S =V 1

2

=，则四边形OFAE 的面积为定值1k -． 【详解】 ∵点A 是函数(0k

y x x

=>)在第一象限内图象上，过点A 分别作AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，

∴矩形ACOB 的面积为k ， ∵点E 、F 在函数1

y x

=的图象上， ∴BOE S V COF S =V 12

=

， ∴四边形OFAE 的面积11

122

k k =-

-=-， 故四边形OFAE 的面积为定值1k -，保持不变， 故选：A ． 【点睛】

本题考查了反比例函数中系数k 的几何意义，根据反比例函数系数k 的几何意义可求出四边形和三角形的面积是解题的关键．

4．在同一直角坐标系中，函数y=k(x －1)与y=

(0)k

k x

<的大致图象是

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

解：k<0时，y=

(0)k

k x

<的图象位于二、四象限， y=k(x －1)的图象经过第一、二、四象限， 观察可知B 选项符合题意， 故选B.

5．已知点()11,A y -、()22,B y -都在双曲线32m

y x

+=上，且12y y >，则m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．0m >

C ．32

m >-

D ．32

m <-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据已知得3+2m ＜0，从而得出m 的取值范围． 【详解】

∵点()11,A y -、()22,B y -两点在双曲线32m

y x

+=上，且y 1＞y 2， ∴3+2m ＜0，

∴32

m <-

， 故选：D ． 【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k ＞0时，该函数图象位于第一、三象限，当k ＜0时，函数图象位于第二、四象限．

6．如图，A ，B 是反比例函数y=

4

x

在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB 的面积是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【答案】B 【解析】

【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A ，B 两点的横坐标，求出A （2，2），B （4，1）．再过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC =S △BOD =

1

2

×4=2．根据S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，得出S △AOB =S 梯形ABDC ，利用梯形面积公式求出S 梯形ABDC =12（BD+AC ）?CD=1

2

×（1+2）×2=3，从而得出S △AOB =3．

【详解】∵A ，B 是反比例函数y=4

x

在第一象限内的图象上的两点， 且A ，B 两点的横坐标分别是2和4， ∴当x=2时，y=2，即A （2，2）， 当x=4时，y=1，即B （4，1），

如图，过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，

则S △AOC =S △BOD =

1

2

×4=2， ∵S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ， ∴S △AOB =S 梯形ABDC ，

∵S 梯形ABDC =

12（BD+AC ）?CD=1

2

×（1+2）×2=3， ∴S △AOB =3， 故选B ．

【点睛】本题考查了反比例函数()0k

y k x

=

≠中k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴

作垂线所围成的直角三角形面积S与k的关系为S=1

2

|k|是解题的关键．

7．如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线

k

y

x

=过点F，交

AB于点E，连接EF．若BF2

OA3

=，S△BEF＝4，则k的值为（）

A．6 B．8 C．12 D．16【答案】A

【解析】

【分析】

由于

2

3

BF

OA

=，可以设F（m，n）则OA=3m，BF=2m，由于S△BEF=4，则BE=4

m

，然后即可

求出E（3m，n-4

m

），依据mn=3m（n-

4

m

）可求mn=6，即求出k的值．

【详解】

如图，过F作FC⊥OA于C，

∵

2

3 BF

OA

=，

∴OA=3OC，BF=2OC ∴若设F（m，n）则OA=3m，BF=2m ∵S△BEF=4

∴BE=4 m

则E（3m，n-4

m

）

∵E在双曲线y=k

x

上

∴mn=3m（n-4

m

）

∴mn=6

即k=6．

故选A．

【点睛】

此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出E点坐标是解题关键．

8．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与

函数

1

y

x

=-、

2

y

x

=的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（）

A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D

【解析】

【分析】

如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BE OE

OF AF

=；设B为（a，

1

a

-），A为

（b，2

b

），得到OE=-a，EB=

1

a

-，OF=b，AF=2

b

，进而得到222

a b=，此为解决问题的关

键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠2

为定值，即可解决问题．

【详解】

解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△OFA，

∴BE OE OF AF

=，

设点B 为（a ，1a

-），A 为（b ，2

b ），

则OE=-a

，EB=1a

-

，OF=b ，AF=2

b ，

可代入比例式求得222a b =，即2

2

2

a b =

， 根据勾股定理可得：OB=22221OE EB a a +=+

，OA=222

2

4OF AF b b +=+， ∴tan ∠OAB=22

2

2

222

2

1

224

4b a OB a b OA b b b

b

++==++=

222214()24b b b b ++=22 ∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变. 故选D

【点睛】

该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．

9．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB 垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1=1

k x

（x>0）的图象上，顶点B 在函数y 2= 2k x （x>0）的图象

上，∠ABO=30°，则

2

1

k k =（ ）

A．-3 B．3

C．

1

3

D．-

1

3

【答案】A

【解析】

【分析】

根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线段，从而得到点A、B的坐标，表示出k1、k2，进而得出k2与k1的比值．

【详解】

如图，设AB交x轴于点C，又设AC=a.

∵AB⊥x轴∴∠ACO=90°

在Rt△AOC中，OC=AC·tan∠OAB=a·tan60°3

∴点A3a，a）

同理可得点B3，-3a）

∴k1332， k23a×（-3a）3a

∴2

133

3 3

k a

k a

==-.

故选A.

【点睛】

考查直角三角形的边角关系，反比例函数图象上点的坐标特征，设适合的常数，用常数表示出k，是解决问题的方法．

10．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O顺时针旋转

90°，得到△OA′B′，若反比例函数y=k

x

的图象经过点A的对应点A′，则k的值为（）

A．6 B．﹣3 C．3 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用旋转的性质得出A′点坐标，再利用反比例函数的性质得出答案．

【详解】

如图所示：

∵将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O顺时针旋转90°，得到△OA′B′，反比例函数

y=k

x

的图象经过点A的对应点A′，

∴A′（3，1），

则把A′代入y=k

x

，

解得：k=3．

故选C．

【点睛】

此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出A′点坐标是解题关键．

11．如图，直线y＝k和双曲线y＝k

x

相交于点P，过点P作PA0垂直于x轴，垂足为A0，x

轴上的点A 0，A 1，A 2，…A n 的横坐标是连续整数，过点A 1，A 2，…A n ：分别作x 轴的垂线，

与双曲线y ＝k

x

（k ＞0）及直线y ＝k 分别交于点B 1，B 2，…B n 和点C 1，C 2，…C n ，则

n n n n A B C B 的值为（ ）

A ．

1

1

n + B ．

11

n - C ．

1n

D ．11n

-

【答案】C 【解析】 【分析】

由x 轴上的点A 0，A 1，A 2，…，A n 的横坐标是连续整数，则得到点An （n +1，0），再分别表示出?n （n +1，k ），B n （n +1，

k n 1+），根据坐标与图形性质计算出A n B n ＝k n 1

+，B n ?n

＝k ﹣k

n 1

+，然后计算n n n n A B B C ．

【详解】

∵x 轴上的点A 0，A 1，A 2，…，A n 的横坐标是连续整数， ∴An （n +1，0）， ∵?n A n ⊥x 轴，

∴?n （n +1，k ），B n （n +1，k

n 1

+）， ∴A n B n ＝

k n 1+，B n ?n ＝k ﹣k n 1

+， ∴n n

n n A B B C ＝

11

k n k k n +-

+＝1n ． 故选：C ． 【点睛】

考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是抓住了反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．

12．已知1122(,),,)A x y B

x y （均在反比例函数2

y x

=的图像上，若120x x <<，则12,y y 的大小关系是（ ）

A ．120y y <<

B ．210y y <<

C ．120y y <<

D ．210y y <<

【答案】D 【解析】 【分析】

先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可作出判断． 【详解】

解：∵反比例函数2

y x

=

中k=2＞0， ∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵0＜x l ＜x 2，

∴点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）均在第一象限， ∴0＜y 2＜y l ． 故选：D ． 【点睛】

此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的增减性是解题的关键．

13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y k

x

=（x ＞0）的图象经过A ，B 两点，若菱形ABCD 的面积为25，则k 的值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

【答案】C 【解析】 【分析】

过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，根据A ，B 两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得AE ，BE 的长，根据菱形的面积为5，求得AE 的长，在Rt △AEB 中，即可得出k 的值． 【详解】

过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，

∵A ，B 两点在反比例函数y k

x

=（x ＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2， ∴

A （

4

k

，4），B （2k ，2），

∴AE ＝2，BE 12=k 14

-k 1

4=k ，

∵菱形ABCD 的面积为25， ∴BC×AE ＝25，即BC 5=，

∴AB ＝BC 5=

，

在Rt △AEB 中，BE 22AB AE =

-=1

∴

1

4

k ＝1， ∴k ＝4． 故选：C ． 【点睛】

本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．

14．如图，若点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分别交函数

1

(0)k y x x =

>和2(0)k y x x =>的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．则下列结论正确的是（ ）

A ．∠POQ 不可能等于90°

B ．

1

2

PM QM k k =

C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称

D ．△POQ 的面积是

()121

2

k k + 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】

解：根据反比例函数的性质逐一作出判断：

A ．∵当PM=MO=MQ 时，∠POQ=90°，故此选项错误；

B ．根据反比例函数的性质，由图形可得：1k ＞0，2k ＜0，而PM ，QM 为线段一定为正值，故

1

2

PM QM k k =，故此选项错误； C ．根据1k ，2k 的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x 轴对称，故此选项错误；

D ．∵|1k |=PM?MO ，|2k |=MQ?MO ， ∴△POQ 的面积=12MO?PQ=12MO （PM+MQ ）=12MO?PM+12MO?MQ=()121

2

k k +． 故此选项正确． 故选D ．

15．若A （-3，y 1）、B （-1，y 2）、C （1，y 3）三点都在反比例函数y=k

x

（k ＞0）的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ． y 1＞y 2＞y 3 B ． y 3＞y 1＞y 2

C ． y 3＞y 2＞y 1

D ． y 2＞y 1＞y 3

【答案】B 【解析】 【分析】 反比例函数y=

k

x

（k ＞0）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质，在每个象限内y 随x 的增大而减小，而A （-3，y 1）、B （-1，y 2）在第三象限双曲线上的点，可得y 2＜y 1＜0，C （1，y 3）在第一象限双曲线上的点y 3＞0，于是对y 1、y 2、y 3的大小关系做出判断． 【详解】 ∵反比例函数y=

k

x

（k ＞0）的图象在一、三象限， ∴在每个象限内y 随x 的增大而减小，

∵A （-3，y 1）、B （-1，y 2）在第三象限双曲线上， ∴y 2＜y 1＜0，

∵C （1，y 3）在第一象限双曲线上， ∴y 3＞0，

∴y 3＞y 1＞y 2， 故选：B ． 【点睛】

此题考查反比例函数的图象和性质，解题关键在于当k ＞0，时，在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，y 随x 的增大而增大，注意“在每个象限内”的意义，这种类型题目用图象法比较直观得出答案．

16．如图，点A ，B 在反比例函数1

(0)y x x

=

>的图象上，点C ，D 在反比例函数(0)k

y k x

=

>的图象上，AC//BD//y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为

3

2

，则k 的值为（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．

32

【答案】B 【解析】 【分析】

首先根据A,B 两点的横坐标，求出A,B 两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D 两点的坐标，从而得出AC,BD 的长，根据三角形的面积公式表示出S △OAC ,S △ABD 的面积，再根据△OAC 与△ABD 的面积之和为3

2

，列出方程，求解得出答案. 【详解】 把x=1代入1

y x

=

得：y=1, ∴A(1,1),把x=2代入1y x =得：y=12

, ∴B(2,

1

2

), ∵AC//BD// y 轴, ∴C(1,K),D(2,

k 2

)

∴AC=k-1,BD=k 2-12

， ∴S △OAC =1

2

（k-1）×1, S △ABD =

12 (k 2-12

)×1, 又∵△OAC 与△ABD 的面积之和为32

， ∴

12（k-1）×1＋12 (k 2-12)×1=3

2，解得：k=3; 故答案为B. 【点睛】

:此题考查了反比例函数系数k 的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k 的几何意义是解本题的关键.

17．如图，平行于x 轴的直线与函数11k y (k 0x 0)x =

>>，，22k

y (k 0x 0)x

=>>，的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若ABC V 的面积为4，则12k k -的值为( )

A ．8

B ．8-

C ．4

D ．4-

【答案】A 【解析】

【分析】设()A a,h ，()B b,h ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出1ah k =，

2bh k .=根据三角形的面积公式得到

()()()ABC A 121111

S AB y a b h ah bh k k 42222

=

?=-=-=-=V ，即可求出12k k 8-=． 【详解】AB//x Q 轴，

A ∴，

B 两点纵坐标相同，

设()A a,h ，()B b,h ，则1ah k =，2bh k =，

()()()ABC A 121111

S AB y a b h ah bh k k 42222

=

?=-=-=-=V Q ， 12k k 8∴-=，

故选A ．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.

18．在函数()0k

y k x

=<的图象上有()11,A y ，()21,B y -，()32,B y -三个点，则下列各式中正确的是（ ）

A ．123y y y <<

B ．132y y y <<

C ．321y y y <<

D ．231y y y <<

【答案】B 【解析】 【分析】

根据反比例函数图象上点的坐标特征得到11y k ?=，21y k -?=，32y k -?=，然后计算出1y 、2y 、3y 的值再比较大小即可． 【详解】

解：(0)k

y k x =

11y k ∴?=，21y k -?=，32y k -?=，

1y k ∴=，2y k =-，31

2

y k =-，

而k 0<， 132y y y ∴<<．

故选：B ． 【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k

y x

=

（k 为常数，且0k ≠）的图象是双曲线，图象上的点(),x y 的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．

19．反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b （k≠0）的图象的图象大致是

（ ）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先由反比例函数的图象得到k，b同号，然后分析各选项一次函数的图象即可.

【详解】

∵y=的图象经过第一、三象限，

∴kb＞0，

∴k，b同号，

选项A图象过二、四象限，则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；

选项B图象过二、四象限，则k＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意；

选项C图象过一、三象限，则k＞0，图象经过y轴负半轴，则b＜0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；

选项D图象过一、三象限，

则k＞0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b同号，故此选项符合题意；

故选D．

考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．

20．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（）

A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2

【答案】C

【解析】

分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．

详解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BA=BC，AC⊥BD，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵点A（1，1），

∴OA=，

∴BO=，

∵直线AC的解析式为y=x，

∴直线BD的解析式为y=-x，

∵OB=，

∴点B的坐标为（?，），

∵点B在反比例函数y=的图象上，

∴，

解得，k=-3，

故选C．

点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．