向量共线、定比分点公式及数量积(补课)

向量共线、定比分点公式及数量积

一、 平面向量共线定理、定比分点 1. 平面向量共线定理

设),(11y x a =，),(22y x b =（ b

0），则b a //⇔01221=-y x y x

注：不能写成b a //⇔2

2

11x y x y =

，因21x x 、为有可能为0. 2.定必分点公式

已知),(111y x P ，),(222y x P ，),(y x P ，若21PP P P λ= 则OP =

λ+111OP +λ

+λ

12OP 坐标公式⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ

+λ+=1121

21y y y x x x ，（λ≠－1），即,1(21

λ+λ+=x x P )121λ+λ+y y 注意：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ ＞0时，P

为内分点；λ ＜0时，P 为外分点.

二、平面向量的数量积

1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量 |a ||b |cos

叫a 与b 的数量积，记作a b ，即

a b = |a ||b |cos

，(0)θπ≤≤并规定0与任

何向量的数量积为0

2．平面向量的数量积的几何意义：数量积a

b 等

于a 的长度与b 在a 方向上投影 |b |c os 的乘积.

b 在a 方向上的投影：OP a

b

a b ⋅=

θ=cos 3．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量 （1）-|a ||b |≤|a

b | ≤ |a ||b |，当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当

a 与

b 反向时，a

b = -|a ||b |；

（2）a

b a b = 0（两向量垂直的判定）；

y

P 2 P P 1

a

b θ

θ

a

b

o

P

o

（3）cos

=

|

|||b a b

a ⋅，|a |cos =

|

|b b

a ⋅，|

b |cos =

|

|a b

a ⋅（投影式）. 4.平面向量数量积的运算律 （1）交换律：a

b =b a （2） 数乘结合律：(λa )b =λ(a b ) =

a (λ

b )

（3）分配律：(b a + )c = a c + b c

5.平面向量数量积的坐标表示

（1）已知两个向量),(11y x a =，),(22y x b =,则a b 2121y y x x +=.

（2）设),(y x a =，则22||y x a +=

.

（3）平面内两点间的距离公式

如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ， 那么221221)()(||y y x x a -+-=.

（4）向量垂直的判定 ：两个非零向量),(11y x a =),(22y x b =

b a ⊥⇔02121=+y y x x .

（5）两向量夹角的余弦 cos

=

|

|||b a b

a ⋅⋅2

2

222

1

2

12121y x y x y y x x +++=

（πθ≤≤0） 平面向量共线定理、定比分点

1、 a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )

A ．3a ＋b

B ．3a －b

C ．－a ＋3b

D ．a ＋3

2、下列各组向量可以作为该平面一组基底的是( )

A ．)2,1(=a 与)1,2(=b

B ．)2,1(-=a 与=b 0

C ．)2,1(=a 与)4,2(--=b

D ．)1,0(=a 与)1,0(-=b 3、已知)3,2(-A ,)2,3(-=AB ,则点B 和线段AB 的中点M 坐标分别为( )

A ．)5,5(-

B ,)0,0(M B ．)5,5(-B ,⎪⎭

⎫ ⎝⎛-4,2

7M

C ．()1,1B ,)0,0(M

D ．()1,1B ,⎪⎭

⎫ ⎝⎛-4,2

7M

4、已知向量 a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4 b －2 a 平行，则实数x 的值是

( )

A ．－2

B ．0

C ．1

D ．2

5、在ABC ∆中，=AB b ,=AC c ,若点D 满足DC BD 2=,则=AD ( ) A ．c b 3132+ B ．b c 3235- C ．c b 3132- D ．c b 3231+

6、已知向量a 与向量b 不共线，实数y x,满足)2(y x -a +4b =5a +()y x 2-b ， 则=+y x ________ ；

7、已知ABC ∆三顶点)4,5(),3,2(),2,1(C B A -，则其重心坐标为_____________； 8、如右图所示，在ABC ∆中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD 上一点，且AG ＝GD 2，则点C 的坐标为____________.

9、已知)2,3(),2,1(-==b a ，当k 为何值时，k b a +与b a 3-平行，此时它们方向如何

10、(1) 已知点)4,3(),2,1(--B A ,点P 在直线AB 上，且BP AP 3

1

=

,求点P 的坐标； (2)已知点)8,6(),4,2(--B A ,点P 在直线AB 上，且PB AP 3

1=,求点P 的坐标.

平面向量的数量积

1、已知等边ABC ∆的边长为6，则BC AB ⋅与()

CA BC AB ⋅+的值分别为( )

A ．18-和36

B ．18-和36-

C ．18和36-

D ．18-和36 2、已知2=b ，6-=⋅b a ，则a 在向量b 方向上的投影为( )