二阶线性微分方程解的结构

附录A 线性常微分方程

本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系,因此在本附录里,我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构与求解方法做一些回顾与总结。

把包含未知函数与它的j 阶导数()j y

(的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式

()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L (A 、1) 其中n 称为方程的阶数,()j p x 与()f x 就是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程(A 、1),则称其为常微分方程(A 、1)在 I 上的一个解。,()f x 称为方程(A 、1)的自由项,当自由项()0f x ≡时方程(A 、1)称为就是齐次方程,否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解就是不唯一的,我们将方程的全部解构成的集合称为解集合,解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解,而某个给定的解称为方程的特解。

在本附录里,我们重点介绍一阶与二阶常微分方程的相关知识。

A 、1 一阶线性常微分方程

一阶线性常微分方程表示为

'()()y p x y f x x I +=∈，、 (A 、

2)

当()0f x ≡,方程退化为

'()0y p x y +=, (A 、3) 假设()y x 不恒等于零,则上式等价于

'()y p x y

=-

而()'ln 'y y y

=,从而(A 、3)的通解为 ()d ()p x x y x Ce -⎰= ( A 、4)

对于非齐次一阶线性常微分方程(A 、2),在其两端同乘以函数()d p x x e ⎰

()d ()d ()d '()()p x x p x x p x x e y p x e y e f x ⎰⎰⎰+=

注意到上面等式的左端

()d ()d ()d ''()p x x p x x p x x e y p x e y e y ⎛⎫⎰⎰⎰+= ⎪⎝⎭

‘ 因此有

()d ()d '()p x x p x x e y e f x ⎛⎫⎰⎰= ⎪⎝⎭

‘ 两端积分

()d ()d ()d p x x p x x e y C e f x x ⎰⎰=+⎰‘

其中C 就是任意常数。进一步有

()d ()d ()d p x x p x x y e C e f x x -⎛⎫⎰

⎰=+ ⎪⎝⎭

⎰‘ 综上有如下结论 定理A 、1 假设()()p x f x I 和在上连续,则一阶线性非齐次常微分方程(A 、

1)的通解具有如下形式

()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --⎰⎰⎰=+⎰‘ (A 、5)

其中C 就是任意常数。

观察(A 、4)式与(A 、5)式,我们发现一阶线性非齐次常微分方程(A 、1)的解

等于一阶线性齐次常微分方程(A 、2)的通解()d p x x Ce -⎰加上函数

()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -⎰⎰=⎰

。容易验证,*()y x 就是方程(A 、1)的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。

例1 求解一阶常微分方程

'21y y -=

解 此时()2()1p x f x =-=，,由(A 、5)式,解为

2222()1d 12x x x x y x Ce e e x

Ce -=+⋅=-⎰‘

其中C 就是任意常数。

A 、2 二阶线性常微分方程

将具有以下形式的方程

"()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，, (A 、6) 称为二阶线性常微分方程,其中(),(),()p x q x f x 都就是变量x 的已知连续函数。称

"()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， (A 、7) 为与(A 、6)相伴的齐次方程、

A.2.1 二阶线性微分方程解的结构

首先讨论齐次方程(A 、7)解的结构。

定理A 、2 如果函数12()()y x y x 与就是线性齐次方程(A 、7)的两个解,则函数1122()()y c y x c y x =+仍为该方程的解,其中12,c c 就是任意的常数。

定理 1 说明齐次线性常微分方程(A 、7)的解如果存在的话,一定有无穷多个。为了说明齐次线性常微分方程(A 、7)通解的结构,首先给出函数线性无关的定义。

定义A 、1设函数12(),(),,()n y x y x y x L 就是定义在区间I 上的n 个函数,如果存在n 个不全为零的常数12,,n k k k L ，,使得1122()()()0n n k y x k y x k y x ++=L 在区间I 上恒成立,则称函数12(),(),,()n y x y x y x L 在区间上线性相关,否则称为线性无关。

例如函数221cos ,sin x x ，在整个数轴上就是线性相关的,而函数x x e e

-和在

任何区间(,)a b 内就是线性无关的。

特别的,对于两个函数的情形,它们线性相关与否,只需要瞧它们的比值就是否为常数即可,比值为常数,那么它们线性相关,否则线性无关。

有了函数线性无关的概念,就有如下二阶线性齐次微分方程(A 、7)通解结构的定理。

定理A 、3假设线性齐次方程(A 、7)中,函数()()p x q x 与在区间I 上连续,则方程(A 、7)一定存在两个线性无关的解。

类似于代数学中齐次线性方程组,二阶线性齐次常微分方程的解集合也存在基础解系。

定理A 、4 若12()()y x y x 与就是二阶线性齐次常微分方程(A 、7)的两个线性无关的特解,则1122()()y c y x c y x =+就是该方程的通解,其中12,c c 就是任意的常数。

从定理A 、4可以瞧出二阶线性齐次常微分方程(A 、7)的任何两个线性无关的特解构成其基础解系。

关于二阶线性非齐次常微分方程(A 、6)的通解,有如下结论

定理A 、5 若函*()y x 就是方程(A 、6)的一个特解,()Y x 就是方程(A 、6)相伴的齐次方程的通解,则()()*()y x y x Y x =+就是二阶线性非齐次常微分方程(A 、6)的通解。

从定理A 、4,A 、5可以得到求解二阶线性非齐次常微分方程(A 、6)的通解的一般步骤: