第二章随机过程2

(2) 若 cov(X(s),Y(t))=E[(X(s)-mX(s))(Y(t)-mY(t)) 存在,则称 cov(X(s),Y(t))=CXY(s,t) 为该二维S.P.的互协方差函数
显然有 CXY(s,t)=RXY(s,t)-mX(s)mY(t)
定义 设{X(t), t∈T}, {Y(t), t∈T}是二个 S.P.若 CXY(s,t)=0 或 RX,Y(s,t)= mX(s)mY(t) s,t∈T, 则称S.P.{X(t), t∈T}与S.P.{Y(t), t∈T} 不相关.
E[ X k X l e j ( l k ) ]e j0 ( t s )
k 1 l 1
e
j0 ( t s )

k 1
n
2 k
例：设g (t )满足g (t T ) g (t ), 又随机变量X 在（0，T）上服从均匀分布， 1 T 记Y (t ) g (t - X ), 试证：EY (t )Y (t ) g (t ) g (t )dt T 0
k 1 n
固定正整数, X1, X 2 ,, X n , 1, 2 ,, n 是相互独立
2 的实随机变量,且 EXk 0, DX k k , Φk～U[0,2π],
k=1,2,…,n.
求S.P.{Z(t),t∈R}的均值函数和相关函数.
解 mZ (t ) E[ X k e
cos (t s) s, t
2
四.两维随机过程
在实际问题中,有时需要同时考虑两个或者 两个以上的随机过程.例如: 一个线性系统的输入信号和输入噪声两者可能 同为随机过程.
同时考虑一个线性系统的随机输入和随机输出 的关系等.
定义 设{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T} 是 两个随机过程.则称 {X(t),Y(t), t∈T}是二维随机过程.
1 t 1 t T g (u ) g (u )du g (u ) g (u )du T t T T t
T t T 1 0 { g (u T ) g (u T )du [ ]g (u ) g (u )du} 0 T T t
, t2 , , tn ; y1, y2 , , yn ) F (t1, t2 , , tm ; x1, x2 , , xm ; t1
, t2 , , tn ; y1, y2 , , yn ) =FX (t1, t2 , , tm ; x1, x2 , , xm ) FY (t1
5. 均方值函数
设{X(t)}是一S.P. 对任意的t∈T, 若E[X(t)]2存在,则称 E[X(t)]2为S.P.X(t)的均方值函数.
记ΦX(t).即 ΦX(t)= E[X(t)]2 t∈T
随机过程的数字特征有如下关系
CX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t) DX(t)=CX(t,t) ΦX(t)=RX(t,t) t∈ T t∈T s,t∈T
结论 若S.P.{X(t), t∈T}和S.P.{Y(t), t∈T}相互独立, 则 {X(t), t∈T}和{Y(t), t∈T}不相关
五. 复随机过程
定义 设{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T} 是定义 在同一概率空 间(Ω,F,P)上的两个 实随机过程.令 Z(t)= X(t)+jY(t) t∈T 则称{Z(t), t∈T}是复随机过程.
RX ( s , t ) a2 cos (t s), 2
a2 DX ( t ) C X ( t , t ) 2
s, t
t
2. 设S.P. X(t)=Acosωt+Bsinωt t≥0, ω为常数. A,B相互独立,同服从正态分布N(0,σ2) 求该过程的数字特征.
k 1 k l m
mp (m2 m) p2 m2 p2 mpq
例：设X1 , X 2 ,
n k 1
, X n是相互独立均服从N (0,1)的随机变量，
求Y X k2的特征函数及分布函数.
解： F
X2
(z) P( X z) P( z X z )
对任意的t∈T,若E[X(t)]存在,则称 E[X(t)]为S.P.X(t)的 均值函数. 记mX(t) 即 mX(t)= E[X(t)] t∈ T
2. 方差函数 设{X(t)}是一S.P.对任意的t∈T, 若 D[X(t)]=E[X(t)-mX(t)]2 存在, 则称D[X(t)]为S.P.X(t)的方差函数. 记DX(t). 即 DX(t)= E[X(t)-mX(t)]2 t∈ T
二维过程的概率分布与数字特征有以下定义
定义 设{X(t),Y(t), t∈T}是二维随机过程. , t2 ,..., tn T , 对m 1, n 1, t1, t2 ,..., tm T , t1
{X (t1 ), X (t2 ), ), Y (t2 ), , X (tm ), Y (t1 )} , Y (tn 是m n维随机变量，称
k 1
n
j ( 0t k )
]0
R Z ( s, t ) E[ X k e
k 1
n n
n
j (0 s k )
X ke
k 1
n
j (0t k )
]
E[ X k X l e j (0s k )e j (0t l ) ]
k 1 l 1 n n
4. 相关函数
设{X(t)}是一S.P.对任意的s,t∈T, 若 E[X(s)X(t)] 存在, 则称E[X(s)X(t)]为 S.P.X(t)的相关函数. (自相关函数)
记RX(s,t).即 RX(s,t)=E[X(s)X(t)] s,t∈T
显然 mX(t)=0时, CX(s,t)= RX(s,t)
解
mX (t ) E[ X (t )] 0
2
t
RX ( s, t ) E[ X ( s) X (t )]
E [ A ]cos s cos t E [ AB ](sin s cos t cos s sin t ) E [ B 2 ]sin s sin t
则称随机过程{X (t ), t T }和{Y (t ), t T }相互独立.
定义 设{X(t),Y(t), t∈T}是二维S.P. 则对任 意s,t∈T,X(s) Y(t)是两个随机变量. (1) 若E[X(s)Y(t)]存在,则称 E[X(s)Y(t)]=RX,Y(s,t) 为该二维S.P.的互相关函数
E ( X k ) E ( X k
k 1 m 2 k 1 m k 1 k 1
l m 1
X ) mnp
l n l m 1
n
2
E ( X k ) E ( X k ) E ( X l ) mnp 2 EX k2 EX k EX l mp(n m) p mnp 2
由以上定义可得 (1) mZ(t)=mX(t)+jmY(t) (2) DZ(t)= DX(t)+DY(t) t∈T t∈T
(3) CX(s,t)=RZ(s,t)-mZ(s)mZ(t) s,t∈T

举例
设 Z (t ) X k e j (0t k ) , t R, 其中ω 0为正常数, n为
为二维随机过程{X (t ),Y (t ), t T }的m n维分布函数
定义 若也记FX (t1, t2 , , t2 , FY (t1
, tm ; x1, x2 ,
, xm )和
; y1, y2 , , tn
, yn )分别为随机过程
{X (t ), t T }和{Y (t ), t T }的m维和n维分布函数.
三 数字特征
有限维分布函数族虽然能够完整描述随机 过程的统计特征,但是在实际中很难得到.
因此,如同随机变量一样,也用数字特征来 表征随机过程.即将随机变量的数字特征 推广到随机过程中.
但要注意其区别:随机过程的数字特征 不再是确定的数,而是确定的时间的函数.
1. 均值函数 设{X(t)}是一S.P.
而

0
t
g (u T ) g (u T )du
v u T

T
t T
g (v) g (v )dv
t T
T
g (v) g (v )dv
所以
1 T EY (t )Y (t ) g (t ) g (t )dt T 0
例：设随机过程Yn X k , Y0 0, 其中X k (1 k n)是相互独立的
所以最关键的数字特征是均值函数 与相关函数
本节内容举例
1. 设S.P. X(t)=acos(ωt+Θ). a, ω常数, Θ~U[0, 2π] 求该过程的均值函数,相关函数,方差函数.
解
mX (t ) E[ X (t )]
1 a cos(t )d 0 2 0 t
k 1
n
随机变量，且P( X k 1) p, P( X k 0) 1 p q, 试求{Yn }的均值 和协方差.
解： EYn np
不失一般性，假定
E X k
k 1 m m 2 X mnp l l 1 2 m n
mn
cov(Ym , Yn ) EYmYn EYm EYn
定义 设{Z(t), t∈T}是复S.P. 对任意t ∈T,
称
mZ(t)=E[Z(t)] 为复S.P.的均值函数
称 DZ(t)=D[Z(t)] =E|Z(t)- mZ(t)|2 为复S.P.的方差函数
称 ΦZ(t)=E|Z(t)|2 为复S.P.的均方值函数.