3正方形的性质与判定经典例题练习
中考数学复习之正方形的性质与判定,考点过关与基础练习题
27.正方形➢考点分类考点1正方形的性质例1如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边△ABE，则∠BED的度数为（）A．55°B．45°C．42.5°D．40°考点2正方形与十字架模型例2如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AD、CD边上的点，且AE=DF，连接BE、AF交于点M，N为BF的中点，若AB=10，AE=4，则MN的长为________考点3正方形与半角模型例3如图，正方形ABCD中，点M是边BC异于点B、C的一点，AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K，连接AK、MK．下列结论：①EF＝AM；②AE＝DF+BM；③BKAK；④∠AKM＝90°．其中正确的结论有个．➢ 真题演练1．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE ＝DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：①AE ＝BF ；①AE ①BF ； ①AO ＝OE ；①S ①AOB ＝S四边形DEOF ，其中正确的有（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①2．如图，E 、F 、H 分别为正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 上的点，连接DF ，HE ，且HE ＝DF ，DG 平分①ADF 交AB 于点G ．若①BEH ＝52°，则①AGD 的度数为（ ）A ．26°B ．38°C ．52°D ．64°3．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，连接AF 、EF ，过点E 作EH ①AD 交AD 于点H ，EG ①AF 交AD 于点G ，连接GF ，若BE ＝DF ＝1，且EF ＝2+√2，则sin①FGD 的值为（ ）A ．√32B ．√33C ．√3−12D ．12 4．如图，点E 为正方形ABCD 的对角线BD 上的一点，连接CE ，过点E 作EF ①CE 交AB 于点F ，交对角线AC 于点G ，且点G 为EF 的中点，若正方形的边长为4√2，则AG 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2√2D ．43√25．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是BC边的中点，连接DE，延长EC至点F，使得EF＝DE，过点F作FG①DE，分别交CD、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN，下列正确的是：①tan∠GFB=12；①MN＝NC；①CMEG=12；①S四边形GBEM=√5+12（）A．4B．3C．2D．16．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF①DE，交BC 延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；①①DAE①①DCG；①AC①CG；①CE＝CF．其中正确的是（）A．①①①B．①①①C．①①①D．①①①7.如图，点E在正方形ABCD外，连结AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点F．若AE＝AF＝4√2，BF＝10，则下列结论：①△AFD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为3√2；④S△ABF+S△ADF＝40．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）8．如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、G分别在射线AB、BC上，F在边AD上，ED与FG交于点M，AF＝1，FG＝DE，BG＞AF，则MC的最小值为．9．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP=√2．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则12DQ+CQ的最小值为．10．如图，小明同学将边长为5cm的正方形塑料模板ABCD与一块足够大的直角三角板叠放在一起，其中直角三角板的直角顶点落在点A处，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E，则四边形AECF的面积是．11.已知四边形ABCD是正方形．（1）如图1所示，点O是正方形对角线的交点，连接OB，OC，若AB＝4，求OB的长．（2）如图2所示，当点O是BC上一点，OC'⊥BC，连接BC'，C'D，点M是C'D的中点，连接OM，CM，求证：CM＝OM．12．如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，G 是CD 边上一点，连接BG 交AC 于E ，过点A 作AM ⊥BG ，垂足M ，AM 交BD 于点F ．（1）求证：OE ＝OF ．（2）若H 是BG 的中点，BG 平分∠DBC ，求证：DG ＝2OE ．➢ 课后练习1．如图，在边长为8的正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，且BE ＝CF ＝2，连接DE 、AF 交于点O ，过点F 作AF 的垂线段FG ，连接CG 使得①GCF ＝135°，连接AG 交DE 于点M ，则①GFM 的面积为（ ）A ．24B ．25C ．25√22D ．262．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，过点E 作EF ①CD ，交AD 于点F ，交对角线BD 于点G ，取DG 的中点H ，连接AH ，EH ，FH ．下列结论：①FH ①AE ；①AH ＝EH 且AH ①EH ；①①BAH ＝①HEC ；①①EHF ①①AHD ．其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边AB 上，BE ＝1，①DAM ＝45°，点F 在射线AM 上，且AF =√2，过点F 作AD 的平行线交BA 的延长线于点H ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EG 、EF ．下列结论：①CG =34√34；①①AEG 的周长为8；①①EGF 的面积为1710．其中正确的是（ ）A ．①①①B ．①①C ．①①D ．①①4．如图，E 为正方形ABCD 的边AB 的中点，过点E 作①GEF ＝90°，分别与边AD ，BC 交于点G ，F ．若AG ＝2，BF ＝4，则GF 的长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．105．如图，在正方形ABCD 中，点E ，点F 分别是对角线BD ，AC 上的点，连接CE ，EF ，DF ，若EF ①BC ，且①CEF ＝15°，则①EDF 的度数为（ ）A ．22.5°B ．25°C ．30°D ．35°6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点A 在y 轴上运动，点B 在x 轴上运动，点E 为对角线的交点，在运动过程中点E 到y 轴的最大距离是（ ）A ．√22B ．1C ．√2D ．27．如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE①OF，连接EF．若∠AOE=150°，DF=√3，则EF的长为（）A．2√3B．2+√3C．√3+1D．38．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；①CE①DF；①①AGE＝①CDF；①①EAG＝30°，其中正确的结论是（）A．①①B．①①C．①①①D．①①①9．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，延长AD到点E，使得DE＝1，EF⊥AE，EF＝AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为．10．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以BC为边向外作正方形BCDE，连接AD，则AD＝．11．如图，已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AC＝2√2cm，点E在DC 边的延长线上，若∠CAE＝15°，则AE＝cm．12．如图，点E在正方形ABCD边CD上，以CE为边向正方形ABCD外部作正方形CEFG，连接AF，P、Q分别是AF、AB的中点，连接PQ．若AB＝7，CE＝5，则PQ＝．13．如图，正方形ABCD的边长为6．E，F分别是射线AB，AD上的点（不与点A重合），且EC⊥CF，M为EF的中点．P为线段AD上一点，AP＝1，连接PM．当△PMF为直角三角形时，则AE的长为．14.如图，正方形ABCD中，点E为BC边上一点，点F为CD边上一点，且BE＝CF，连接AE、BF交于点G．（1）求证：∠AGF＝90°；（2）连接GC，若GC平分∠EGF，求证：AB＝2CF；（3）在（2）的条件下，连接GD，过点E作EH∥GD交CD边于点H，交BF于点M，若FH＝2，求线段FM的长．➢冲击A+如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC 的中点，连接MH．（1）求证：MH为⊙O的切线．（2）若MH=32，ACBC=34，求⊙O的半径．（3）如图2，在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于点N，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段AO、CN、NQ的长度．。
正方形性质与判定练习题
正方形的性质与判断练习题一、填空1、如， E 是正方形 ABCD的角 BD 上一点，且 BE＝ BC，∠ ACE＝°.2、如，四形 ABDC是正方形，延 CD 到点 E，使 CE=CB，∠ AEC＝°.3、如，正方形 ABCD中，点 E 在 BC的延上， AE均分∠ DAC,以下：① ∠ E=°；② ∠AFC=°；③ ∠ ACE=135°；④ AC=CE；⑤ AD∶ CE=1∶ 2. 此中正确的有个.4、如，等△ EDC在正方形ABCD内， EA、 EB，∠ AEB＝°；∠ ACE＝°.第1题图第 2题图第 3题图第4题图5、已知正方形 ABCD，以 CD 作等△ CDE，∠ AED 的度数是° .6、如，四形 ABCD是正方形， E 是 CD 上一点，若△ AFB 逆旋角θ（ 0°＜θ＜ 180°）后，与△ AED重合，θ °.第 6题图第7题图第8题图第9题图7 、已知正方形ABCD中，点 E 在 DC上， DE = 2，EC = 1，把段 AE 点 A 旋，使点 E 落在直BC 上的点 F， F、C 两点的距离 ___________.8 、如，正方形ABCD的面12，△ ABE 是等三角形，点 E 在正方形 ABCD内，在角AC 上有一点P，使 PD＋PE的和最小，个最小.9 、如，四形ABCD是9 的正方形片，将其沿MN 折叠，使点 B 落在 CD 上的B，点 A 点A ，且BC =3，CN=；AM的是.10、正方形的面是1，其角是________. 311、如，三个均 2 的正方形重叠在一同，O1、O2是此中两个正方形的中心，暗影部分的面是.12、如，将n 个都1cm 的正方形按如所示放，点A1、 A2、⋯、 A n分是正方形的中心，n 个的正方形重叠部分的面和.O2O1第 11题图第14题图第 12题图第13题图13、边长为 1 的正方形ABCD 绕点 A 逆时针旋转30°获得正方形 AB′ C′，D两′图叠成一个“蝶形风筝”（如下图重叠部分），则这个风筝的面积是.14、如图，边长为 1 的正方形ABCD绕点 A 逆时针旋转45 度后获得正方形AB′ C′，D边′B′与C′DC 交于点 O，则四边形 AB′OD 的周长是.15、如右图，正方形ABCD中， AB＝6，点 E 在边 CD 上，且 CD＝3DE．将△ ADE 沿 AE对折至△ AFE，延伸 EF 交边 BC 于点 G，连结 AG、 CF．以下结论：① △ ABG≌ △ AFG；② BG ＝GC；③ AG ∥ CF；④S△FGC＝ 3．此中正确的结论是.（填序号）16、如右图，四边形ABCD为正方形，以AB 为边向正方形外作等边△ABE， CE与 DB订交于点F，则AFD =。
精选-九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定《正方形》巩固练习（含解析）（新版）北
4. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC 边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段 CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6 5. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形 的面积分别为S1，S2，则S1+ S2的值为( ) A．16 B．17 C．18 D．19 6. 如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB， 若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（） A．3 B．2 C．4 D．8 二.填空题 7. 延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F， 那么∠AFC的度数为______，若BC＝4cm，则△ACE的面积等于______． 8. 在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果AB=cm，那么EF＋EG的长为______． 9. 已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平 分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且C的距离分别等于______ cm． 10. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D 作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为_____.
精选 -九年级数学上册第一章特殊平行四边形 3正方形的性 质与判定《正方形》巩固练习（含解析）（新版）北
精选-九年级数学上册第一章特殊平行四边形 3 正方形的性质与判定《正方形》巩固练习（含解析）（新版）北师 大版 【巩固练习】 一.选择题 1. 在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这 样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（） A．1个 B．2个 C．4个 D．无穷多个 2. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图 甲），测得对角线BD的长为．当∠B=60°时（如图乙），则对角线BD的长为（）
2013正方形的性质与判定经典例题练习
正方形正方形的性质1)边 2）角 3）对角线 4）对称性 正方形的判定方法：（1)（2）（3）性质练习:1、已知：如图，正方形ABCD 中，CM =CD ，MN ⊥AC ,连结CN ，则∠DCN =_____=____∠B ，∠MND =_______=_______∠B.2.在正方形ABCD 中，AB =12 cm,对角线AC 、BD 相交于O ，则△ABO 的周长是（ ）A 。
12+122B.12+62C.12+2 D 。
24+623、下面的命题是真命题的有 。
A 、有一组邻边相等的平行四边形是正方形.B 、有一组邻边相等且有一角为直角的四边形为正方形.C 、正方形是一组邻边相等的矩形。
D 、正方形是有一个角为直角的菱形.4、（哈尔滨）若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE=3,M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F,且BF=AE,则BM 的长为 。
（第4题） （ 第6题）5.正方形的面积是31，则其对角线长是________。
6.E 为正方形ABCD 内一点,且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 的度数.7、在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E,使CE=CA,连接AE 交CD 于F ，求AFD 的度数。
变式：1、已知如下图,正方形ABCD 中，E 是CD 边上的一点，F 为BC 延长线上一点，CE =CF 。
（1)求证：△BEC ≌△DFC ；（2)若∠BEC =60°，求∠EFD 的度数。
判定练习： 1．不能判定四边形是正方形的是( ）A ．对角线互相垂直且相等的四边形B ．对角线互相垂直的矩形C ．对角线相等的菱形D ．对角线互相垂直平分且相等的四边形2、（绵阳）四边形ABCD 的对角线相交于点O ，能判定它是正方形的条件是（ ）A ．AB=BC=CD=DAB ．AO=CO ，BO=DO ，AC⊥BDC ．AC=BD ，AC⊥BD 且AC 、BD 互相平分 D ．AB=BC ，CD=DA3、判断:（1)四条边都相等的四边形是正方形。
正方形性质与判定练习题
正方形(1)练一练:1、已知：如图，正方形ABCD 中，CM=CD MN 丄AC,连结CN ,则/ DCN=/ B.2.在正方形ABCD 中, AB=12 cm ,对角线AC BD 相交于0,则^ ABO的周长是3、下面的命题是真命题的有A 、有一组邻边相等的平行四边形是正方形；B 、有一组邻边相等且有一角为直 角的四边形为正方形；C 、正方形是一组邻边相等的矩形；D 、正方形是有一个 角为直角的菱形。
精讲精练例1、在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点 E,使CE=CA 连接AE 交CD 于变式：1、已知如下图，正方形 ABCD 中，E 是CD 边上的一点，F 为BC 延长线上 一点，CE=CF ⑴求证：△ BEC^A DFC; (2)若/ BEC=60°，求/ EFD 的度数.()+12J2 +6^2+72 +6^2/ B,/ MND=F ,求AFD 的度数。
例2:如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分/ DCF,连结AE,并在CG上取一点G,使EGAE求证：AEX EG例3、P 为正方形ABCD内一点，PA=1, PB=2, PC=3,用中学1、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE CE 与DB 相交于点F，AFD =求/APB的度数.则E32、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3, M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE 则BM的长为3.正方形的面积是3，则其对角线长是.为正方形ABCD内一点，且△ EBC是等边三角形，求/ EAD的度数.<31、已知RtVABC 中， 精讲精练C 90 , CD 平分 ACB ,交 AB 于 D , DFEF CD,EG AD, 边形ABCD 中, AC 、BD 相交于点 0, 能判别这个四边形是正方形的条件是（=0B=0C=0D , AC 丄 BD ； // BC, / A=/ C ； （上海市）如图,已知平行四边形ABCD 中,对角线AC , BD 交于点0, E 是 BD 延长线上的点,且△ ACE 是等边三角形.（1） 求证：四边形ABCD 是菱形； （2） 若 AED 2 EAD ,求证：四边形 ABCD 是正方形.// CD, AC=BD ；=0C, 0B=0D , AB=BC 疋菱 正方形（2）练一练：1 .不能判定四边形是正方形的是（） A .对角线互相垂直且相等的四边形；B •对角线互相垂直的矩形；C •对角线相等的菱形；D .对角线互相垂直平分且相等的四边形。
正方形的性质和判定练习题
正方形的性质和判定练习题1、下列命题中正确的是（）A、对角线相等的四边形是矩形B、对角线互相垂直的四边形是棱形C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是（）A、平行四边形B、矩形C、棱形D、正方形3、下列说法不正确的是（）A、四条边相等的四边形是正方形B、有一个角是直角的棱形是正方形C、对角线互相垂直的矩形是正方形D、有一组邻边相等的矩形是正方形4、正方形具有而矩形不具有的性质是（）A、对角线相等B、每一条对角线平分一组对角C、对角线互相平分D、对角线的平方等于一组邻边的平方和5、矩形、棱形和正方形都具有的性质是（）A、对角线相等B、对角线互相平分C、对角线平分一组对角D、对角线互相垂直6、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A、AC=BD AB∥CD AB=CDB、AD∥BC ∠A=∠CC、AO=BO=CO=DO AC⊥BDD、AO=CO BO=D0 AB=BC7、已知四边形ABCD是平行四边形，再从：①AB=BC ②∠ABC=90°③AC=BD ④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有四种选项，其中错误的是（）A、①②B、②③C、①③D、②④8、已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，就可退出四边形是正方形的是（）A、∠D=90°B、AB=CDC、AD=BCD、BC=CD9、棱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：______，使得该棱形是正方形。
10、如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F，求证：四边形DEBF是正方形11、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，且AE=BF，求证：CE=DF12、如图所示，已知点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH是正方形。
第三讲--正方形的性质与判定例题精讲和练习题及答案
第三讲正方形的性质与判定、知识要点1. 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2. 正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形.它具有前三者的所有性质:1边的性质：对边平行，四条边都相等. 2角的性质：四个角都是直角.3对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，？每条对角线平分一组 对角.4对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形. 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3. 正方形的判定1:对角线相等的菱形是正方形2:对角线互相垂直的矩形是正方形，正方形是一种特殊的矩形 3:四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形4： 一组邻边相等的矩形是正方形5: —组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形图 12-2-14分析：由PE 丄BC, PF 丄CD 知，四边形PECF 为矩形，故有EF = PC,这时只需证 AP = CP, 由正方形对角线互相垂直平分知AP = CP.解：连结AC PC,•••四边形ABCD 为正方形，典型例题例1 如图12-2-14，已知过正方形 丄CD 于F .试说明AP = EF.ABCD 对角线BD 上一点 P,作 PE! BC 于 E ，作 PFfi E.V••• BD垂直平分AC,••• AP= CP.•/ PE± BC, PF 丄CD,/ BCD= 90 ° ,•••四边形PECF为矩形，••• PC= EF,• AP= EF.注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等.②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中. 思考：由上述条件是否可以得到AP I EF.提示：可以，延长AP交EF于N,由PE// AB,有/ NPE=/ BAN.又/ BAN=/ BCP,而/ BCP=/ PFE 故/ NPE=/ PFE而/ PFE+Z PEF= 90°，所以/ NPE+Z PEF= 90°，贝U AP I EF.例 2 如图12-2-15 , △ ABC 中，Z ABC= 90°, BD 平分Z ABC, DE丄BC, DF丄AB,试说明四边形BEDF是正方形.解：T Z ABC= 90 °, DE 丄BC,•DE/ AB,同理，DF / BC,•BEDF是平行四边形.•/ BD平分Z ABC, DE丄BC, DF丄AB,•DE= DF.又•••/ ABC= 90°, BEDF是平行四边形，•四边形BEDF是正方形.思考：还有没有其他方法？提示：（有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE= DE,可得.另一种方法,可证四边形DFBE为菱形，后证一个角为90°可得）注意：灵活选择正方形的识别方法.例3 如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ ADE是等边三角形，求Z BEC的大小.图1Z-2-16分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算•在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系•在(1)图中, △ ABE和厶DCE都是等腰三角形，顶角都是150°，可得底角/ AEB与/ DEC都是15°，则/ BEC为30° .而在⑵图中，等边三角形在正方形内部，△ABE和厶DCE是等腰三角形，顶角是30°,可得底角/ AEB和/DEC为75°，再利用周角可求得/ BEC= 150° .解：⑴当等边△ ADE在正方形ABCD外部时，AB= AE,Z BAE= 90°+ 60°= 150°, 所以/ AEB= 15° .同理可得/ DEC= 15°，则/ BEC= 60°—15°—15°= 30°.(2)当等边△ ADE在正方形ABCD内部时，AB= AE,Z BAE= 90°—60° = 30°,所以/ AEB= 75° .同理可得/ DEC= 75°，则/ BEC= 360° —75°—75°—60°= 150°.【中考考点】会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形.【命题方向】本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现.正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合, 涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现.【常见错误分析】已知如图12-2-18 , △ ABC中，/ C= 90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFH和正方形BCED HM丄BA的延长线于M , DK丄AB的延长线于K.试说明AB= DK+ HM .图12-2-18错解：延长DK到S,使KS= HM，连结SB.•••/ 2=Z 3,Z 2+Z 4= 90•••/ 3+Z 4= 90°.在厶ABC和厶SDB中,•••/ ACB=Z SBD= 90°,BC= BD,E/ 2= 90° -Z 4 =Z 5•••△ABC与^ SDB重合，AB= SD= Sd DK, 即AB= HM + DK.分析指导：由于S、B、C三点共线未经证明，所以Z 2 =Z 3的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误.正解：如图12-2-18，延长DK交CB延长线于S,下面证KS= MH . 在厶ACB和厶SBD中，•/ BD= BC,Z SBD=Z ACB= 90°,又Z 2=Z 3=Z 5,•△ ACB与^ SBD重合，•AB= DS, BS= AC= AH.在厶BKS和△ AMH中，vZ 1 = Z 2=Z 3,Z AMH =Z SKB= 90°, BS= AH,•△ BKS与△ AMH 重合，•KS= HM ,•AB= DK+ HM.【学习方法指导】正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆•故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分.三、作业一.选择题（共8小题）1. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC ,②Z ABC=90°,③AC=BD ,④AC丄BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A.选①② B .选②③ C .选①③ D .选②④2. 下列说法中，正确的是（）A .相等的角一定是对顶角B .四个角都相等的四边形一定是正方形C.平行四边形的对角线互相平分D .矩形的对角线一定垂直3. 下列命题中是假命题的是（）A .一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B .一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形D •一组邻边相等的矩形是正方形4. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）①当AB=BC时，它是菱形；②当AC丄BD时，它是菱形；③当/ ABC=90时，它是矩形; ④当AC=BD时，它是正方形.A. 1组B . 2组C. 3组D . 4组5. 四边形ABCD的对角线AC=BD , AC丄BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线,所成的四边形EFMN是（）C .矩形D.任意四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形）B . AB=AD 且AC=BDC . Z A= / B 且AC=BD D. AC7.下列命题中，真命题是（）A.对角线相等的四边形是矩形B .对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D .对角线互相垂直平分的四边形是正方形&如图，在△ ABC中，Z ACB=90°, BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E,A. BC=AC B . CF丄BF C. BD=DF D . AC=BF二 .填空题（共6小题）9.能使平行四边形ABCD为正方形的条件是一一（填上一个符合题目要求的条件即可）.10 .如图，在Rt△ ABC中，Z C=90° DE垂直平分AC , DF丄BC ,当△ ABC满足条件时，四边形DECF是正方形.（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）11. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点0,请你添加一个条件：_ 一，使得该A .正方形B .菱形6.如果要证明平行四边形的基础上，进一步证明（A . AB=AD 且AC 丄BD和BD互相垂直平分BECF为正方形的是（菱形为正方形.12. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点0,若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是___________________13. 已知四边形ABCD中，/ A= / B= / C=90°若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_ _ .14•要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为___________________ .三.解答题(共8小题)15. 已知：如图，△ ABC中，/ ABC=90°, BD是/ ABC的平分线，DE丄AB于点E, DF丄BC 于点F.求证：四边形DEBF是正方形.16. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分/ ABC , P是BD上一点，过点P 作PM丄AD , PN丄CD，垂足分别为M , N .(1 )求证：/ ADB= / CDB ;(2)若/ ADC=90，求证：四边形MPND是正方形.17. 如图，在Rt△ ABC中，/ ACB=90°，过点C的直线MN // AB , D为AB边上一点，过点D 作DE丄BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.(1)求证：CE=AD ;(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当/ A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由.18. 如图，在△ ABC 中，点D 、E 分别是边 AB 、AC 的中点，将 △ ADE 绕点E 旋转180 得到△ CFE .(1) 求证：四边形 ADCF 是平行四边形.(2) 当厶ABC 满足什么条件时，四边形 ADCF 是正方形？请说明理由.19•如图，分别以线段 AB 的两个端点为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于 M 、N 两点，连接MN ，交AB 于点D 、C 是直线 MN 上任意一点，连接CA 、CB ,过点D 作DE 丄AC 于点E , DF 丄BC 于点F .(1) 求证：△ AED BFD ;20. 如图，AB 是CD 的垂直平分线，交 CD 于点M ，过点 M 作ME 丄A C , MF 丄AD ，垂 足分别为E 、F .(1 )求证：/ CAB= / DAB ;(2) 若/ CAD=90，求证：四边形 AEMF 是正方形.时，四边形 DECF 是正方形.(2)若AB=2，当CD 的值为21. 如图，△ ABC中，点0是边AC上一个动点，过0作直线MN // BC,设MN交/ ACB 的平分线于点E,交/ ACB的外角平分线于点F.(1)探究：线段0E与OF的数量关系并加以证明；(2)当点0运动到何处时，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？(3) _________________________________________________ 当点0在边AC上运动时，四边形BCFE _____________________________________________ 是菱形吗？(填可能”或不可能”)22. 已知：如图，△ ABC中，点0是AC上的一动点，过点0作直线MN // AC，设MN交 / BCA 的平分线于点E,交/ BCA的外角/ ACG的平分线于点F,连接AE、AF .(1 )求证：/ ECF=90 ;(2)当点0运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；(3) ___________________________________________________ 在(2)的条件下，△ ABC应该满足条件：________________________________________________ ，就能使矩形AECF变为正方形.(直接添加条件，无需证明)参考答案与试题解析一•选择题（共8小题）1. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC ,②/ ABC=90°,③AC=BD ,④AC丄BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A、选①② B .选②③ C .选①③D. 选②④考点：正方形的判定；平行四边形的性质.分析：要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形.解答：解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意.故选：B.点评：本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角.③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定.2. 下列说法中，正确的是（）A . 相等的角一定是对顶角B . 四个角都相等的四边形一定是正方形C. 平行四边形的对角线互相平分D . 矩形的对角线一定垂直考点：正方形的判定；对顶角、邻补角；平行四边形的性质；矩形的性质.分析：根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解.解答：解：A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误;C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选项错误.故选：C.点评：本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质，对顶角的定义,熟记各性质与判定方法是解题的关键.3. 下列命题中是假命题的是（）A • 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B • 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C • 一组邻边相等的平行四边形是菱形D • 一组邻边相等的矩形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定.专题：证明题.分析：做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答.解答：解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（平行四边形判定定理）；正确.B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，错误.C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；D、一组邻边相等的矩形是正方形，正确.故选B .点评：本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心.4. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）①当AB=BC时，它是菱形；②当AC丄BD时，它是菱形；③当/ABC=90时，它是矩形;④当AC=BD时，它是正方形.考点：正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定.分析：根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确；根据所给条件可以证出邻边相等，可判断②正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③正确；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④错误.解答：解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形正确；②•••四边形ABCD是平行四边形，••• BO=OD ,•/ AC 丄BD ,2 2 2 2 2 2•- AB =BO +AO , AD =DO +AO ,• AB=AD ,•四边形ABCD是菱形，故②正确；③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③正确；④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故④错误；故不正确的有1个.故选：A.此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是熟练掌握三种特殊平行四边形的判定定理.5. 四边形ABCD的对角线AC=BD , AC丄BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（）A. 正方形 B .菱形 C .矩形D. 任意四边形考点：正方形的判定.分析：根据平行线的性质和判定得出/ NAO= / AOD= / N=90 , EN=NM=FM=EF ,进而判断即可.解答：证明：如图所示：•••分别过A、B、C、D作对角线的平行线，••• AC // MN // EF, EN // BD // MF ,•••对角线AC=BD , AC 丄BD ,•••/ NAO= / AOD= / N=90 , EN=NM=FM=EF ,•四边形EFMN是正方形.点评：此题主要考查了正方形的判定以及平行线的性质和判定等知识，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键.6. 如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）A . AB=AD 且AC 丄BD B. AB=AD 且AC=BD C. / A= /B 且AC=BD D. AC 和BD互相垂直平分考点：正方形的判定.分析：根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案.解答：解：A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；点评:D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形.故选B . 点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：① 先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等； ② 先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角.7.下列命题中，真命题是（ ）A . 对角线相等的四边形是矩形B . 对角线互相垂直的四边形是菱形C . 对角线互相平分的四边形是平行四边形D . 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 考点： 正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理. 分析：A 、根据矩形的定义作出判断；B 、 根据菱形的性质作出判断；C 、 根据平行四边形的判定定理作出判断；D 、 根据正方形的判定定理作出判断. 解答：解：A 、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B 、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C 、 对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D 、 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误； 故选C . 点评：本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定.解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系.& 如图，在 △ ABC 中，/ ACB=90° , BC 的垂直平分线 EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ,考点： 正方形的判定；线段垂直平分线的性质.分析： 根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC ,BF=FC 进而得出四边形 BECF 是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而 分别分析得出即可. 解答：解：••• EF 垂直平分BC ,••• BE=EC , BF=CF ,BECF 为正方形的是（C . BD=DFD . AC=BFA . BC=ACB . CF 丄BF•/ BF=BE ,••• BE=EC=CF=BF ,•••四边形BECF是菱形；当BC=AC时，•••/ ACB=90 , 则/ A=45时，菱形BECF是正方形.•••/ A=45，/ ACB=90 ,•••/ EBC=45•••/ EBF=2 / EBC=2< 45° =90°•菱形BECF是正方形.故选项A正确，但不符合题意；当CF丄BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意.故选：D.点评：本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键.二.填空题（共6小题）9. 能使平行四边形ABCD 为正方形的条件是AC=BD且AC丄BD （填上一个符合题目要求的条件即可）.考点：正方形的判定；平行四边形的性质.专题：开放型.分析：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，矩形和菱形的结合体是正方形.解答：解：可添加对角线相等且对角线垂直或对角线相等，且一组邻边相等；或对角线垂直，有一个内角是90°.答案不唯一，此处填：AC=BD且AC丄BD .点评：本题考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的结合.10. 如图，在Rt△ ABC中，/ C=90°DE垂直平分AC ,DF丄BC ,当厶ABC满足条件AC=BC 时，四边形DECF是正方形.（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）考点：正方形的判定.专题：计算题；开放型.分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件.此题可从四边形DECF是正方形推出.解答：解：设AC=BC，即△ ABC为等腰直角三角形，•••/ C=90 , DE 垂直平分AC , DF 丄BC,•••/ C=Z CED= / EDF= / DFC=90 ,DF=^AC=CE ,2DE=2BC=CF ,2• DF=CE=DE=CF ,•四边形DECF是正方形，故答案为：AC=BC .点评：此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ ABC满足的条件.11. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点0,请你添加一个条件：AC=BD或AB丄BC使得该菱形为正方形.考点：正方形的判定；菱形的性质.专题：压轴题.分析：根据正方形判定定理进行分析.解答：解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD ;根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB丄BC ;故添加的条件为：AC=BD或AB丄BC .点评：本题答案不唯一，根据菱形与正方形的关系求解.12. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点0,若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC=BD或正方形的判定；菱形的判定. 开放型.根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答.解答：解：•••在四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA•••四边形ABCD 是菱形•••要使四边形 ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是： AC=BD 或AB 丄BC .点评： 解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形.13. 已知四边形 ABCD 中，/ A= / B= / C=90°若添加一个条件即可判定该四边形是正方 形，那么这个条件可以是 AB=AD 或AC 丄BD 等 .考点： 正方形的判定；矩形的判定与性质. 专题： 开放型.分析：由已知可得四边形 ABCD 是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件. 解答：解：由/ A= / B= / C=90可知四边形 ABCD 是矩形，根据根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为： AB=AD 或AC 丄BD 等.故答案为：AB=AD 或AC 丄BD 等. 点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：① 先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等； ② 先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角.14. 要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为 有一个角是直角或对角线相等 .考点： 正方形的判定；菱形的性质. 专题： 开放型.分析： 根据菱形的性质及正方形的判定进行分析，从而得到最后答案.解答： 解：要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为：有一个角是直角或对角线相等. 点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理：(1) 有一个角是直角的菱形是正方形； (2 )对角线相等的菱形是正方形. 三.解答题(共8小题)15. 已知：如图，△ ABC 中，/ ABC=90° , BD 是/ ABC 的平分线，DE 丄AB 于点E , DF 丄BC 于点F .求证：四边形 DEBF 是正方形.考点 专题 分析考点：正方形的判定.专题：证明题.分析：由DE丄AB , DF丄BC , / ABC=90 ,先证明四边形DEBF是矩形，再由BD是/ ABC的平分线，DE丄AB于点E，DF丄BC于点F得出DE=DF判定四边形DEBF是正方形. 解答：解：T DE丄AB , DF丄BC,•••/ DEB= / DFB=90 ,又•••/ ABC=90 ,•四边形BEDF为矩形，•/ BD是/ ABC的平分线，且DE丄AB , DF丄BC ,• DE=DF ,•矩形BEDF为正方形.点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定. 要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形.16. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分/ ABC , P是BD上一点，过点P 作PM丄AD , PN丄CD，垂足分别为M , N .(1 )求证：/ ADB= / CDB ;(2)若/ ADC=90，求证：四边形MPND是正方形.考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：(1 )根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ ABD ◎△ CBD , 由全等三角形的性质即可得到：/ ADB= / CDB ;(2)若/ ADC=90，由(1)中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形.解答：证明：(1)v对角线BD平分/ ABC ,• / ABD= / CBD , 在厶ABD和厶CBD中，AB=CB.-,BD=BD• △ ABD ◎△ CBD ( SAS ), • / ADB= / CDB ;(2)T PM 丄 AD , PN 丄 CD , •••/ PMD= / PND=90 , •••/ ADC=90 ,•四边形MPND 是矩形， •••/ ADB= / CDB , •••/ ADB=45 •PM=MD ,•四边形MPND 是正方形.点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质、 角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定.17. 如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90°，过点C 的直线 MN // AB , D 为AB 边上一点，过 点D 作DE 丄BC ,交直线 MN 于E ,垂足为F ,连接CD 、BE . (1) 求证：CE=AD ;(2) 当D 在AB 中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；(3) 若D 为AB 中点，则当/ A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？请说明考点： 正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定. 专题： 几何综合题.分析：(1)先求出四边形 ADEC 是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可;(2) 求出四边形 BECD 是平行四边形，求出 CD=BD ，根据菱形的判定推出即可； (3) 求出/ CDB=90，再根据正方形的判定推出即可.[解答：(1)证明：T DE丄BC ,•/ DFB=90 ,•••/ ACB=90 ,•/ ACB= / DFB ,•AC // DE ,•/ MN // AB，即CE // AD ,•四边形ADEC是平行四边形，•CE=AD ；(2)解：四边形BECD是菱形，理由是：••• D为AB中点，••• AD=BD ,•/ CE=AD ,•BD=CE ,•/ BD // CE,•四边形BECD是平行四边形，•••/ ACB=90 , D 为AB 中点，•CD=BD ,•四边形BECD是菱形；(3)当/ A=45时，四边形BECD是正方形，理由是：解：•••/ ACB=90，/ A=45 ,•/ ABC= / A=45 ,•AC=BC ,•/ D为BA中点，•CD 丄AB ,•/ CDB=90 ,•••四边形BECD是菱形，•四边形BECD是正方形，即当/ A=45时，四边形BECD是正方形.点评：本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力.18. 如图，在△ ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ ADE绕点E旋转180 得到△CFE.(1)求证：四边形ADCF是平行四边形.(2)当厶ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由.考点：正方形的判定；平行四边形的判定.分析：(1 )利用旋转的性质得出点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线,且AE=CD , DE=FE，即可得出答案；(2)首先得出CD丄AB，即/ ADC=90，由(1)知，四边形ADCF是平行四边形，故四边形ADCF 是矩形.进而求出CD=AD即可得出答案.解答：(1)证明：•••△ CFE是由△ ADE绕点E旋转180°得到，•点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线,且AE=CE , DE=FE,故四边形ADCF是平行四边形.(2)解：当/ ACB=90 , AC=BC时，四边形ADCF是正方形.理由如下：在厶ABC 中，T AC=BC , AD=BD ,••• CD 丄AB，即/ ADC=90 .而由(1)知，四边形ADCF是平行四边形，•四边形ADCF是矩形.又•••/ ACB=90 ,故四边形ADCF是正方形.点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，得出四边形ADCF是矩形是解题关键.19•如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N 两点，连接MN，交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB ,过点D作DE丄AC 于点E, DF丄BC于点F.(1)求证：△ AED BFD ;(2)若AB=2，当CD的值为1时，四边形DECF是正方形.考点：正方形的判定；全等三角形的判定.分析：(1)先由作图知MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得出CA=CB , AD=BD ,由等边对等角得到/ A= / B,然后利用AAS即可证明△ AED ◎△ BFD ; (2)若AB=2 ,当CD的值为1时，四边形DECF是正方形.先由CD=AD=BD=1 , MN丄AB , 得出△ ACD与厶BCD都是等腰直角三角形，则/ ACD= /BCD=45，/ ECF=90，根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形DECF是矩形，再由等角对等边得出ED=CE，从而得出矩形DECF是正方形.解答：(1)证明：由作图知，MN是线段AB的垂直平分线，•/ C是直线MN上任意一点，MN交AB于点D,•CA=CB , AD=BD ,•/ A= / B .在厶AED与厶BFD中，。
正方形的性质与判定经典例题练习复习过程
正方形1、已知：如图，正方形ABCD中，CM=CD，MN⊥AC，连结CN，则∠DCN=_____=____∠B，MND=_______=_______∠B.2.在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）A.12+122B.12+62C.12+2D.24+623、下面的命题是真命题的有。
A、有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
B、有一组邻边相等且有一角为直角的四边形为正方形。
C、正方形是一组邻边相等的矩形。
D、正方形是有一个角为直角的菱形。
精讲精练例1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求AFD 的度数。
变式：1、已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.例2、（海南省）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（三、用中学习1、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则AFD= 。
2、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为。
APDE3.正方形的面积是31，则其对角线长是________. 4.E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 的度数.5、如图，正方形ABCD 与正方形OMNP 的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP 绕O 点旋转，证明：无论正方形OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．6、（2012义乌）如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．7、（大连）（1）如图，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG>BC），B、C、G在同一直线上，M为线段AE的中点。
专题03正方形的性质与判定(3个知识点8种题型1个易错点中考2种考法)(原卷版)-初中数学9年级上册
专题03正方形的性质与判定（3个知识点8种题型1个易错点中考2种考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：正方形的定义知识点2：正方形的性质（重难点）知识点3：正方形的判定（重难点）【方法二】实例探索法题型1：由正方形的性质求角的度数题型2：由正方形的性质求线段的长度题型3：由正方形的性质证明线段相等题型4：由正方形的性质解决正方形的周长与面积问题题型5：正方形的判定题型6：正方形的性质与判定综合运用题型7：与正方形有关的动态问题题型8：与正方形有关的存在性问题【方法三】差异对比法易错点1正方形的性质运用不正确导致出错【方法四】仿真实战法考法1：正方形性质考法2：正方形判定【方法五】成果评定法【知识导图】【方法一】脉络梳理法知识点1：正方形的定义有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.知识点2：正方形的性质1.正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质．2.正方形四个角都是直角，四条边都相等.3.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.4.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心知识点3：正方形的判定1.从平行四边形出发：有一个内角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
2.从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形.3.从菱形出发：有一个内角是直角的菱形是正方形.例1.如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BDC．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分【方法二】实例探索法题型1：由正方形的性质求角的度数例2.（1）如图（1），已知P正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则ACP度数是；（2）如图（2），正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OB延长线上一点，CE=BD，∠ECB的度数是_______．例3.正方形ABCD被两条分别与边AB、BC平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF 与GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰好是矩形AGPE 面积的2倍，求∠HAF 的大小．A B CDE F G H P 题型2：由正方形的性质求线段的长度例4.如图，已知有一块面积为1的正方形ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 上的中点，将点C 折到MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ．求：（1）MP 的长；（2）PQ的长．题型3：由正方形的性质证明线段相等例5.如图，正方形ABCD 的对角线AC 上截取CE =CD ，作EF ⊥AC 交AD 于点F ．求证：AE =EF =FD ．AB CDE F 例6.如图，已知E 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，BF ⊥AE ，垂足为G ，交CD 于点F ．求证：AE =BF ．A B CDE F G例7.已知：Q 为正方形ABCD 的CD 边的中点，P 为CD 上一点，且∠BAP =2∠QAD ．求证：AP =PC +BC ．A BCD P Q 例8.已知：在正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE 并交MN 于N ．求证：MD =MN ．A B CD EM N G 题型4：由正方形的性质解决正方形的周长与面积问题例9.已知：如图边长为a 的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 分别为DC 、BC 上的点，且=DE CF ．求证：（1）EO FO ⊥．（2）M 、N 分别在OE 、OF 延长线上，OM ON a ==，四边形MONG 与正方形ABCD 重合部分的面积等于214a．题型5：正方形的判定例10.如图所示，已知矩形ABCD的各内角平分线AQ、DF、BE、CH分别交BC、AD于点Q、F、E、H，试证明它们组成的四边形MNPO是正方形．题型6：正方形的性质与判定综合运用例11.如图，在线段AE上取一点B，使AB BE>，以AB、BE为边在AE同侧作正方形ABCD和BEFG，在AB上取AH BE=．=，在BC的延长线上取一点K，使CK BG求证：四边形HFKD为正方形．题型7：与正方形有关的动态问题例12.如图（1）所示，四边形ABCD是由两个全等的等腰直角三角形斜边重合在一起组成的平面图形．如图（2）所示，点P 是边BC 上一点，PH ⊥BC 交BD 于点H ，连接AP 交BD 于点E ，点F 为DH 中点，连接AF ；（1）求证：四边形ABCD 为正方形；（2）当点P 在线段BC 上运动时，∠PAF 的大小是否会发生变化？若不变，请求出∠PAF 的值；若变化，请说明理由；（3）求证：222BE DF EF +=．题型8：与正方形有关的探究问题例13.如图四边形ABCD 是正方形，点E、K 分别在BC，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作 DEFG．(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．例14.如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点E作FG DE⊥，FG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于点G．（1）由几个不同的位置，分别测量BF、AG、AE的长，从中你能发现BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论．（2）联结DF，如果正方形的边长为2，设AE x=，DFG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域．（3）如果正方形的边长为2，FG的长为52，求点C到直线DE的距离．【方法三】差异对比法易错点1：正方形的性质运用不正确导致出错例15.如图所示，菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得点P、Q、R、S分别为边AB、BC、CD、DA上的点．已知PB=15，BQ=20，PR=30，QS=40．求矩形ABCD的周长．【方法四】仿真实战法考法1：正方形性质1．（2022•黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B 的对应点B1的坐标为（）A．（﹣，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，2）2．（2022•广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）A ．B ．C ．2﹣D ．3．（2022•青岛）如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形．若AB ＝2，则OE 的长度为（）A ．B ．C ．D ．4．（2022•泰州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 为一边作正方形DEFG ．设DE ＝d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2、d 3，则d 1+d 2+d 3的最小值为（）A ．B ．2C ．2D ．45．（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC 的外侧作正方形ABED ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF 的长为（）A ．2+2B ．5﹣C ．3﹣D ．+16．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．E 、F 分别为AC 、BD 上一点，且OE ＝OF ，连接AF ，BE ，EF ．若∠AFE ＝25°，则∠CBE 的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°7．（2022•泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE 的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（）A．B．C．D．18．（2022•益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是．9．（2022•海南）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，则∠AEB ＝°；若△AEF的面积等于1，则AB的值是．10．（2022•黔东南州）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG＝cm．11．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC 上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH 沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．12．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC 于点H、G，则BG＝．13．（2022•贵阳）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．（1）求证：△ABE≌△FMN；（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的长．14．（2022•遵义）将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上．（1）求证：△ADE≌△CDG；（2）若AE＝BE＝2，求BF的长．15．（2022•恩施州）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF ⊥CE于点F．求证：DF＝BE+EF．16．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．考法2：正方形判定17．（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．18．（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE ＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023·江苏常州·统考二模）如图，把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影面积为（）A ．2B ．4C ．9D ．162．（2023·上海崇明·统考二模）下列命题是真命题的是（）A ．四边都相等的四边形是正方形B ．一组邻边相等的矩形是正方形C ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形D ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3．（2023·浙江台州·统考一模）如图，学校为美化校园环境，决定在一个边长为10m 的正方形花坛中，按图中所示的分布方式种植郁金香和雏菊．则种植郁金香的总面积是()A ．232mB ．240mC ．248m D ．250m 4．（2023·辽宁本溪·统考一模）下列命题中，是真命题的有（）①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③对角线互相平分的四边形是平行四边形④对角线相等的菱形是正方形A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④5．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，G 是AD 边中点，F 在AB 边上，且45GCF ∠=︒，则FB 的长是（）A ．43B ．6．（2023·山东威海·统考一模）如图，正方形针旋转45︒得到正方形1OA B 标为(1,0)，则点2023B 的坐标为（A ．()11-，B 7．（2023·山东济宁·统考一模）如图，点角边EF EG ，分别交BC ，（）A ．223n B ．14n 8．（2023·河北承德·统考一模）和OC 上的点（不与点A 、O 、过点F 作IJ AC ⊥分别交CD 、+=始终成立．甲：随着AE长度的变化，GH IJ BD乙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ可能为正方形．丙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ的面积始终不变，都是菱形ABCD面积的一半．下列选项正确的是（）A．甲、乙、丙都对B．甲、乙对，丙不对C．甲、丙对，乙不对D．甲不对，乙、丙对二、填空题10．（2023·黑龙江齐齐哈尔添加一个条件：11．（2023·北京通州点O与BC边上的中点形，则BE的长度为12．（2023·天津西青·统考一模）如图，点中点，连接DF，若AB=13．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，顶点A 在x 轴的负半轴上，顶点C 在y 轴的正半轴上，若直线2y kx =+与边AB 有公共点，则k 的取值范围是____________．14．（2023·天津和平·统考二模）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 为边BC 上一点，3BE =，在AE 的右侧，以AE 为边作正方形AEFG ，H 为BG 的中点，则AH 的长等于________．15．（2023·吉林长春·校考一模）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD 和正方形EFGH ，即赵爽弦图.连结AC 、FN ，分别交EF 、GH 于点M ，.N 已知3AH DH =，且21ABCD S =正方形，则图中阴影部分的面积之和为______．16．（2023·河南濮阳·统考一模）将大小不一的正方形纸片甲、乙、丙、丁放置在如图所示的长方形ABCD 内（相同纸片之间不重叠），其中，若正方形“乙”的边长是m ，阴影部分“戊”与阴影部分“己”的周长之差为___________．17．（2023·天津东丽·统考一模）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是BC 边中点，GH 垂直平分DE 且分别交AB 、DE 于点G 、H ，则AG 的长为______.18．（2023·辽宁葫芦岛沿AEAE，将ABE_____________；19．（2023春·安徽宣城·九年级校联考阶段练习）三、解答题20．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在ABC=，点D是边BC的中点．过点A、D分别作BC中，AB AC、．与AB的平行线，并交于点E，连结EC AD(1)求证：四边形ADCE 是矩形．(2)当四边形ADCE 是正方形，8DE =时，BC =______．21．（2023·山东泰安·统考二模）在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，在BC 延长线上取点F ，使EF ED =．过点F 作FG ED ⊥交ED 于点M ，交AB 于点G ，交CD 于点N ．(1)求证：CDE MFE ≌；(2)若E 是BC 的中点，请判断BG 与MG 的数量关系，并说明理由．22．（2023·山西长治·统考一模）综合与实践问题情境：将正方形ABCD 的边BC 绕点B 逆时针旋转得到线段BE ，旋转角为(0180)αα︒<<︒，连接CE ，CBE ∠的平分线交直线AE 于点F ．(2)深入探究：如图2，当①求AFB∠的度数；②求证：2=CE EF(1)操作判断操作一：在正方形纸片ABCD 的AD 边上取一点E ，沿CE 折叠，得到折线CE ，把纸片展平；操作二：对折正方形纸片ABCD ，使点C 和点E 重合，得到折线GF 把纸片展平．根据以上操作，判断线段CE GF ，的大小关系是______，位置关系是______．(2)深入探究如图2，设HE 与AB 交于点I ．小华测量发现IE IB ED =+，经过思考，他连接IC ，并作EIC 的高CK ，尝试证明CKE CDE ≌△△，CBI CKI ≌△△．请你帮助完成证明过程．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形ABCD 的边长为10cm ，当点I 是AB 的三等分点时，请直接写出AE 的长．24．（2023·吉林长春·校考一模）图①、图②均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB 为边画一个平行四边形ABCD．（1）平行四边形ABCD的面积为5．（2）图①、图②所画图形不全等．（3）点C、D均在格点上．25．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图①，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD、、．（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN AM CM，是等边三角形吗？为什么？(1)连接MN BMN(2)求证：AMB ENB△≌△；+的值最小；(3)①当M点在何处时，AM CM②如图②，当M点在何处时，AM BM CM++的值最小，请你画出图形，并说明理由．26．（2023春·江西抚州·九年级临川一中校考期中）如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连接AE．请仅用无刻度的直尺完成画图．（保留画图痕迹，不写作法）(1)在图（1）中，平移线段AE，使E点与C点重合；(2)在图（2）中，将线段AE绕点A顺时针旋转90︒，得到线段AM．27．（2023·北京丰台·统考一模）在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E在对角线AC上，连接EB，点F在直线AD上（点F与点D不重合），且EF EB=．(1)如图1，当点E在线段AO上（不与端点重合）时．①求证：AFE ABEÐ=Ð；②用等式表示线段AB，AE，AF的数量关系并证明；(2)如图2，当点E在线段OC上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段AB，AE，AF的数量关系．28．（2023·河南南阳·统考一模）综合与实践数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1．已知矩形纸片ABCD ，其中6AB =，11AD =．(1)操作判断将矩形纸片ABCD 按图1折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，可得到一个45︒的角，请你写出一个45︒的角．(2)探究发现将图1的纸片展平，把四边形EFCD 剪下来如图2，取FC 边的中点M ，将EFM △沿EM 折叠得到EF M '△，延长EF '交CD 于点N ，判断EDN △的周长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．(3)拓展应用改变图2中点M 的位置，令点M 为射线FC 上一动点，按照（2）中方式将EFM △沿EM 折叠得到EF M '△，EF '所在直线交CD 于点N ，若点N 为CD 的三分点，请直接写出此时NF '的长．29．（2023·北京门头沟·统考一模）已知正方形ABCD 和一动点E ，连接CE ，将线段CE 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CF ，连接BE ，DF ．(1)如图1，当点E在正方形ABCD内部时，①依题意补全图1；②求证：BE DF；(2)如图2，当点E在正方形ABCD外部时，连接AF，取AF中点M，连接AE，DM，用等式表示线段AE 与DM的数量关系，并证明．30．（2023·河南安阳·统考二模）综合与实践综合与实践课上，老师与同学们以“特殊的三角形”为主题开展数学活动．(1)操作判断：如图1，在ABC，，点∠=︒=ABC AB BC中，90将线段BP绕点P逆时针旋转90︒得到PD，连接DC，如图2．根据以上操作，判断：如图A重合时，则四边形ABCD的形状是；(2)迁移探究：①如图4，当点P与点C重合时，连接DB，判断四边形②当点P与点A，点C都不重合时，试猜想DC与BC的位置关系，并利用图(3)拓展应用：当点P与点A，点C都不重合时，若3，==AB AP。
北师大版九年级上册数学 第一章教学资源包.3正方形的性质与判定(2)练习
拓展练习应用拓展11.四边形ABCD 中，AC =6，BD =8，且AC ⊥BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……如此进行下去得到四边形A n B n C n D n 。
（1）证明：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；（2）写出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积； （3）写出四边形A n B n C n D n 的面积； （4）求四边形A 5B 5C 5D 5的周长。
2. 如图，矩形ABCD 的长为4，宽为3，连续取三次中点后的最小四边形的面积为多少？变式练习（1）若上题连续取n 次中点后的最小四边形A n B n C n D n 的面积为多少呢？ （2）若上题改为菱形，边长为4，连续取n 次中点后的最小四边形A n B n C n D n 的面积为多少呢？（3）若上题改为正方形，边长为4，连续取n 次中点后的最小四边形A n B n C n D n 的面积为多少呢？（4）若以上题目改为求连续取n 次中点后的最小四边形A n B n C n D n 的周长为多少呢？应用拓展2已知：如图，分别以BM 、CM 为边，向⊿BMC 形外作等边三角形ABM 、CDM ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 中点。
(1)猜测四边形EFGH 的形状； (2)证明你的猜想；(3)三角形BMC 形状的改变是否对上述结论有影响？分析：可以把图形分解成我们所熟悉的图形。
四边形EFGH 的形状是由线段AC 、BD 决定的。
连结AC 、BD ，⊿AMC 与⊿BMD 全等。
所以AC=BD,因此四边形EFGH 是菱形。
如下图所示，⊿BMC 形状的改变对上述结论没有影响。
变式练习1已知：如图，分别以BM 、CM 为边，向⊿BMC 形外作等腰直角三角形ABM 、CDM ，E 、F 、G 、H分别为AB 、BC 、CD 、DA 中点。
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1
正方形（第一课时）
一、练一练：
1、已知：如图，正方形ABCD中，CM=CD，MN⊥AC，连结CN，则∠DCN=_____=____∠B，∠MND=_______=_______∠B.
2.在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（ ）A.12+122
B.12+62 C.12+2 D.24+62
3、下面的命题是真命题的有 。
A、有一组邻边相等的平行四边形是正方形。B、有一组邻边相等且有一角为直角的四边形为正方形。C、
正方形是一组邻边相等的矩形。D、正方形是有一个角为直角的菱形。
4、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求AFD的度数。
变式：1、已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.
(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.
5、如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE.求证：
AE⊥EG
.
2
6、P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.
7、（海南省）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线
BC
上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
二、用中学习
1、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则AFD=
。
2、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交
正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为 。
3.正方形的面积是31，则其对角线长是________.
4.E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.
A
B
C
P
D
E
3
第二课时 一、练一练：
1．不能判定四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线相等的菱形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形
2、（绵阳）四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定它是正方形的条件是（ ）
A．AB=BC=CD=DA B．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
C．AC=BD，AC⊥BD且AC、BD互相平分 D．AB=BC，CD=DA
3、如图，已知四边形ABCD是菱形，则只须补充条件： （用字母表示）就可以判定四边形
ABCD是正方形．
4、已知RtABC中，90C，CD平分ACB,交AB于D，DF//BC,DE//AC，求证：四边形DECF为正
方形。
5、E是正方形ABCD对角线AC上一点，,,EFCDEGAD垂足分别为F、G，求证：BE=FG。
二、用中学习
1、判断:
（1）四条边都相等的四边形是正方形。（ ）
（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。（ ）
（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。（ ）
（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。（ ）
2.四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B.AB∥CD，AC=BD
4
C.AD∥BC，∠A=∠C D.OA=OC，OB=OD，AB=
BC
3、（上海市）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线ACBD，交于点O，E是BD延长线上的点，且
ACE△
是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若2AEDEAD，求证：四边形ABCD是正方形．
4、如图，正方形ABCD中，E、F、G分别是AD、AB、BC上的点，且AE=FB=GC。试判断
EFG
的形状，并说明理由。
E
C
D
B
A
O