2020届湖南省师大附中高三第六次模拟考试 数学(文)试题
2020届湖南师大附中高三第六次月考数学(理)试题Word版含解析
2020届湖南师大附中高三第六次月考数学（理）试题一、单选题1．设集合xA {y |y 2,x R}==∈，B {x |y x R}==∈，则A B (⋂= )A ．{}1B ．()0,∞+C ．()0,1D ．(]0,1 【答案】D【解析】化简集合,A B ，根据交集的定义计算A B ⋂． 【详解】因为集合{}()|2,0,xA y y x R ==∈=+∞，化简{}(]|1B x y x R ，==∈=-∞， 所以(]0,1A B ⋂=，故选D ． 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合．2．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】由复数除法求出z ，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得 【详解】 解析：()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+Q ，1122z i ∴=--， 对应点为11(,)22--，在第三象限． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键．3．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 【答案】D 【解析】【详解】选项A 错，并无周期变化，选项B 错，并不是不断减弱，中间有增强．C 选项错，10月的波动大小11月分，所以方差要大．D 选项对，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．选D.4．已知函数()(1)()f x =x - a x+b 为偶函数且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f -x <的解集为（ ） A ．(2,4) B ．(,2)(4,)-∞⋃+∞ C ．(-1,1)D ．(,1)(1,)-∞-+∞U【答案】B【解析】根据函数奇偶性的定义，求出a ，b 的关系，结合函数的单调性判断a 的符号，然后根据不等式的解法进行求解即可． 【详解】∵f （x ）=（x-1）（ax+b ）=ax 2+（b-a ）x-b 为偶函数， ∴f （-x ）=f （x ），则ax 2-（b-a ）x-b=ax 2+（b-a ）x-b ， 即-（b-a ）=b-a ，得b-a=0，得b=a ， 则f （x ）=ax 2-a=a （x 2-1）， 若f （x ）在（0，+∞）单调递减， 则a ＜0，由f （3-x ）＜0得a[（3-x ）2-1）]＜0，即（3-x ）2-1＞0， 得x ＞4或x ＜2，即不等式的解集为（-∞，2）∪（4，+∞）， 故选B ． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a ，b 的关系是解决本题的关键． 5．等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则( ) A ．A B C += B ．2B AC =C ．()2A B C B +-=D ．()22A B A B C +=+【答案】D【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个n 项和，第二个n 项和，第三个n 项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个n 项和，第二个n 项和， 第三个n 项和仍然构成等比数列， 则有,,A B A C B --构成等比数列，()()2B A AC B ∴-=-，即222B AB A AC AB -+=-，()22A B A B C ∴+=+，故选D.点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前n 项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.6．将函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到数学函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ）A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π=【答案】A【解析】分析：根据平移变换可得243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据放缩变换可得函数()g x 的解析式，结合对称轴方程求解即可.详解：将函数()223f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半， 纵坐标不变，得到243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，即()224241233g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由24,32x k k Z πππ+=+∈， 得1,424x k k Z ππ=-∈， 当0k =时，离原点最近的对称轴方程为24x π=-，故选A.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.7．如图正方体1111ABCD A B C D -，点M 为线段1BB 的中点，现用一个过点,,M C D 的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（）A ．B ．C ．D ．【解析】画出几何体的直观图，然后判断侧视图即可．【详解】上半部分的几何体如图：由此几何体可知，所得的侧视图为故选：B．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8．如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1πB．12πC．1142π-D．112π-【答案】D【解析】先设出圆O的半径，然后算出阴影部分的面积，再计算出圆O的面积，最后利用几何概型公式求出概率.设圆O 的半径为2，阴影部分为8个全等的弓形组成，设每个小弓形的面积为S ,则2112111424S ππ-=⋅-⨯⨯=，圆O 的面积为224ππ⋅=，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是P ，则82411442S P ππππ-===-,故本题选D. 【点睛】本题考查了几何概型，正确计算出阴影部分的面积是解题的关键，考查了数学运算能力.9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与函数)0y x =≥的图象交于点P ，若函数y =的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点()4,0F -，则双曲线的离心率是（ ）A ．44B ．34C ．24D ．【答案】D【解析】设P 的坐标为(m ，用导数表示P 点处切线斜率，再由,P F 两点坐标表示斜率，由此可求得m ，即P 点坐标，写出左焦点坐标，由双曲线定义求得a ，从而可得离心率． 【详解】解析：设P 的坐标为(m ，由左焦点()4,0F -，函数的导数'()f x =，则在P 处的切线斜率'()4k f m m ===+， 即42m m +=，得4m =则()4,2P ，设右焦点为()4,0A ，则)221a PF PA =-==，即1a =，4c =Q ∴双曲线的离心率14c e a ==． 故选：D ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查导数的几何意义．考查双曲线的定义．解题关键是把切线的斜率用两种方法表示，从而可求得结论．10．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【答案】C【解析】由题意可得022A π<<且32A ππ<<,解得A 的范围，可得cos A 的范围，由正弦定理求得由正弦定理可求得12cos 2b b A a ==,根据cos A 的范围确定出b 范围即可. 【详解】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴ 022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 22A ∴<<2,2a B A ==Q ,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦函数的性质，属于中档题.解题关键是根据三角形为锐角三角形，求出角A 的取值范围.11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则||MN 的最小值为（ ）A ．1BC D ．3【答案】D【解析】作1MM AD ⊥，垂足为1M ，作1NN CD ⊥，垂足为1N ，根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面平行的性质定理可以得出11///M N AC ，设11DM DN x ==，由此可以求出||MN 的最小值. 【详解】作1MM AD ⊥，垂足为1M ，作1NN CD ⊥，垂足为1N ，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，根据面面垂直的性质定理，可得11,MM NN ,都垂直于平面ABCD ，由线面垂直的性质，可知11MM NN P ，易知：1111//M M A N N ACC 平面，由面面平行的性质定理可知：//11M N AC ，设11DM DN x ==，在直角梯形11MM N N 中，222211)(12)633MN x x x ⎛⎫=+-=-+⎪⎝⎭，当13x =时，||MN 故本题选D. 【点睛】本题考查了线段长的最小值的求法，应用正方体的几何性质、运用面面垂直的性质定理、线面垂直的性质、线面平行的性质定理，是解题的关键.12．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞【答案】B【解析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【详解】令()()x g x e f x =，则当0x <时，()[()()]0xg x e f x f x ''=+>，又()()()()xx g x ef x e f xg x --=-==，所以()g x 为偶函数，从而()()211ae f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a ef a e f ag a g a +++≥++≥+， 因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题 13．()5212x x +-展开式中的6x 的系数为_______【答案】30【解析】利用组合知识，5个212x x +-相乘，其中含6x 的项，可以5个括号中3个取22x -，剩余2个取1，也可以2个取22x -剩余的3个括号中选2个取x ，剩余1个取1，还可以5个括号选一个取22x -，剩余4个取x ，这3项的系数和即为所求.【详解】利用组合知识，含6x 的项可以分3种情况取得，第一种取3个22x -，剩余两个取1，即3235(2)C x - .第二种选2个括号提供22x -，剩余的3个括号中选2个取x ，剩余1个取1，即2222253(2)C x C x -，第三种5个括号选一个取22x -，剩余4个取x ，即124454(2)C x C x -，合并同类项，系数为80+1201030--=，故填30. 【点睛】本题主要考查了含三项的二项式展开式问题，利用组合知识解决比较简单，属于中档题.14．现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有______种不同的分法（用数字作答）. 【答案】240【解析】先求出甲、乙连号的情况，然后再将剩余的4张票分给其余4个人即可． 【详解】甲、乙分得的门票连号，共有2255210A =⨯=种情况，其余四人没人分得1张门票，共有4424A =种情况，所以共有1024240⨯=种． 故答案为240． 【点睛】本题考查两个原理的应用和排列数的计算，考查应用所学知识解决问题的能力，属于基础题．15．考虑函数xy e =与函数y lnx =的图象关系，计算：2e 1lnxdx =⎰______．【答案】21e +.【解析】分析：根函数xy e =与函数ln y x =互为反函数，其图象关于直线y x =对称，所以两部分阴影面积相等，利用21ln e xdx =⎰()2xe e dx -⎰求解即可.详解：Q 函数x y e =与函数ln y x =互为反函数，其图象关于直线y x =对称， 所以两部分阴影面积相等，又Q 函数x y e =直线2y e =的交点坐标为()22,e，21ln e xdx =⎰()()2222200|1x x ee dx e x e e -=-=+⎰，故答案为21e +.点睛：本题主要考查反函数的性质、定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.16．已知()f n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1，2，3，4，6，12，则()123f =；21的因数有1，3，7，21，则()2121f =，那么()()10050511i i f i f i ==-=∑∑_________.【答案】1656【解析】根据()f n 的定义求出()f i ，1,2,,100i =L ，然后再求值． 【详解】解析：()f n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，()()2f n f n ∴=，且n 为奇数时，()f n n =，其中[]1,100n ∈；()()()()()()()()()max min 9999,6424816321f n f f n f f f f f f =========那么()()()()10051()515253...100i f i f f f f ==++++∑51135327557572959156131=+++++++++++6316533671769357197337++++++++++++ 75197739795814183218543++++++++++++ 87118945912393479539749++++++++++++ ()5019999251357911 (9925002)⨯+++=+++++++==那么()5011131537195113i f i ==++++++++++++∑1371511791952111++++++++++2332513277291531133++++++++++17359371939541214311+++++++++++ 45234734925++++++()()135...2931...495121514182213151719212325=++++++++++++++++++++()251492198442⨯+=+=∴那么10050511()()25008441656i i f i f i ==-=-=∑∑．故答案为：1656． 【点睛】本题考查新函数的定义，理解新函数的定义是解题关键．解题时按新函数定义计算即可．三、解答题17．ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且满足sin 4a C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求角B ；（2sin A C -的取值范围.【答案】（1）4B π=；（2）2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得cos B sin C ＝sin C sin B ，结合sin C ≠0，可求cos B ＝sin B ，结合范围0＜B ＜π，可求B 的值；（2）由B 4π=，利用三角函数恒等变换的sin A ﹣sin C ＝cos C ，由范围0＜C 34＜π，利用余弦函数的图象和性质可求其取值范围． 【详解】（1）由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B =+ 因为：()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ 故cos sin sin B C CsinB = 因为sin 0C ≠，所以cos sin B B = 因为0B π<<，所以4B π=（2）因为4B π=，所以sin y A C =-=3sin cos 4C C C π⎛⎫--= ⎪⎝⎭又因为304C π<<，且cos y C =在30,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以sin y A C =-的取值范围是2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．如图所示，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且DAB DBF 60∠∠==o ．()1求证：AC ⊥平面BDEF ；()2求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析.(2)5. 【解析】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，由菱形的性质可得AC BD ⊥，由等腰三角形的性质可得AC FO ⊥，利用线面垂直的判定定理可得结果；(2)先证明FO ⊥平面ABCD . 可得OA ，OB ，OF 两两垂直，以OA ，OB ，OF 建立空间直角坐标系O xyz -，求出()1,0AD =-u u u v，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面ABF 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果. 【详解】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥，又FO BD O ⋂=，∴AC ⊥平面BDEF .（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD .∵OA ，OB ，OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示， 设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，∴2BD =，AC =∵DBF ∆为等边三角形，∴OF =∴)A，()0,1,0B ，()0,1,0D -，(F ，∴()1,0AD =-u u u v，(AF =u u u v，()AB u u u v =. 设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =v，则·0·0AF n AB n y ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩u u u v vu u u v v， 取1x =，得()n =v.设直线AD 与平面ABF 所成角为θ，则·sin cos ,·AD n AD n AD nθ===u u u v v u u u v v u u u v v .【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B（自上而下顺次）四点.（1）求证：||||AC BD ⋅为定值； （2）求||||AB AF ⋅的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108【解析】（1）设直线l 的方程为4x my =+,1122(,),(,)A x y B x y ，联立抛物线可得1216y y m +=，1264y y =-，结合抛物线定义可得112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+,故12||||AC BD x x ⋅=化为纵坐标即可证出.（2）根据12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，1216x x =,化211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++，利用导数求最小值即可. 【详解】（1）有题意可知，(4,0)F可设直线l 的方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y联立直线和抛物线方程2164y x x my ⎧=⎨=+⎩，消x 可得216640y my --=，所以1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义可知，112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+， 又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-，所以2221212264||||(||4)(||4)16161616y y AC BD AF BF x x ⋅=--==⋅==，所以||||AC BD ⋅为定值16.（2）由（1）可知，12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ⋅=+++=++++，由1216x x =，可得2116x x =， 所以211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++（其中1>0x ）， 令264()1248f x x x x =+++，222642(2)(4)()212x x f x x x x-+'=+-=， 当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增， 所以()(2)108f x f ≥=.所以||||AB AF 的最小值为108. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，利用导数求函数最值，定值问题，属于难题.解决此类性问题，一般要联立方程组，根据根与系数的关系得到两个交点坐标之间的关系，特别注意涉及抛物线时，要主动考虑抛物线定义的使用.20．某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为A 、B 、C 三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000、6000、2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：已知A 、B 、C 三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此业务的过程中固定支出每年10万元. （1）求保险公司在该业务所获利润的期望值； （2）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给出意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.根据企业成本差异给出选择合适方案的建议. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ) 方案2．【解析】（1）分别计算保险公司在三种工种的利润的数学期望，从而可得出保险公司的总利润期望； （2）分别计算两种方案的企业支出费用，从而得出结论． 【详解】解：（1）设工种A 、B 、C 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X 、Y 、Z ，则X 、Y 、Z 的分布列为：∴E （X ）＝25×（15110-）+（25﹣100×104）5110⨯=15， E （Y ）＝25×（152110--）+（25﹣100×104）5210⨯=5， E （Z ）＝40×（14110-）+（40﹣50×104）4110⨯=-10，保险公司的利润的期望值为12000×15+6000×5﹣2000×10﹣100000＝90000， ∴保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．（2）方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为： 12000×100×1045110⨯+6000×100×1045210⨯+2000×50×1044110⨯+12×104＝46×104， 方案2：企业与保 险公司合作，则企业支出保险金额为： （12000×25+6000×25+2000×40）×0.7＝37.1×104， 46×104＞37.1×104， 建议企业选择方案2．21．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.【答案】（I ）见解析；（II ）见解析【解析】（Ⅰ）运用零点法，把函数()f x 的解析式进行分段表示，然后利用导数，判断每段函数的单调性；（Ⅱ）由由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.这样222222ln 2ln 3ln 23n n +++L 22211111123n <-+-+-L 222111123n n ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭L ，注意到211(2,)(1)n n N n n n *>≥∈+，最后可以得出： 222222ln 2ln 3ln (1)(21)232(1)n n n n n -+++⋯+<+. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 可化为ln ,()ln ,0x x a x af x a x x x a--≥⎧=⎨--<<⎩，当0x a <<时，1()10f x x '=--<，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的， 当x a ≥时，11()1x f x x x'-=-=，此时要考虑a 与1的大小.若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减， 在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以 当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增； 当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.所以 222222ln 2ln 3ln 23n n +++L 22211111123n <-+-+-L 222111123n n ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭L 11112334(1)n n n ⎛⎫<--+++ ⎪⨯⨯+⎝⎭L 11121n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭1(1)2(1)n n n -=--+ 2221(1)(21)2(1)2(1)n n n n n n --+-+==++.【点睛】本题考查了利用导数研究分段函数的单调性，利用数列与函数的关系，判断数列的和求代数式之间的大小关系，放缩法是解题的关键.22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出直线的倾斜角；（2）记直线l 与y 轴的交点为,Q M 是曲线C 上的动点，求点,M Q 的最大距离.【答案】（1）2216x y +=，2y x =+，直线l 的倾斜角为4π（2）5【解析】（1）由公式22sin cos 1αα+=消去参数得普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直角坐标方程后可得倾斜角；（2）求出直线l 与y 轴交点Q ，用参数表示M 点坐标，求出MQ ，利用三角函数的性质可得最大值． 【详解】（1）由,sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去α得C 的普通方程是： 2216xy +=由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 2ρθρθ-=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式，化简得2y x =+直线l 的倾斜角为4π（2）在曲线C 上任取一点),sin Mαα，直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为()0,2则MQ ==当且仅当2sin 5α=-时，MQ . 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．求两点间距离的最值时，用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题． 23．已知函数()241f x x x =-++，x ∈R ． （1）解不等式()9f x ≤；（2）若方程()2f x x a =-+在区间[]0,2有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]2,4-（2）19,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）通过讨论x 的范围得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）根据题意，原问题可以等价函数y a =和函数25y x x =-+图象在区间[]0,2上有交点，结合二次函数的性质分析函数25y x x =-+的值域，即可得答案． 【详解】解：（1）()9f x ≤可化为2419x x -++≤，故2339x x >⎧⎨-≤⎩，或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩；解得：24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<-； 不等式的解集为[]2,4-；（2）由题意：()225f x x a a x x =-+⇔=-+，[]0,2x ∈．故方程()2f x x a =-+在区间[]0,2有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+，图像在区间[]0,2上有交点Q 当[]0,2x ∈时，2195,74y x x =-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴实数a 的取值范围是19,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及应用，注意零点分段讨论法的应用，属于中档题．。
精品解析：2020届湖南师大附中高三下学期统一模拟考试数学(理)试题(解析版)
湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试数学（理科）一、选择题1.已知集合{}121x A x -=>，{}220B x x x =-≤，则A B =（ ）A. [1,2)B. [1,2]C. (0,3]D. (1,2]【答案】D 【解析】【详解】由{}x 1A x 21-=>，{}2B x x 2x 0=-≤得：()1,A =+∞，[]0,2B =，所以(]A B 1,2⋂=，故选D.2.在复平面内，复数11iz =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数21i111i i i+=+=-，其对应的点是(1,1)-，位于第四象限． 故选D ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足2CF FB =，那么EF =( )A. 1123AB AD -B. 1132AB AD +C.1223AB AD - D.1142AB AD + 【答案】C 【解析】【分析】利用三角形的加法法则，减法法则，线性运算，就可得出结果． 【详解】解：在CEF ∆中，EF EC CF =+. 因为点E 为DC 的中点，所以12EC DC =. 因为点F 为BC 的一个三等分点，所以23CF CB =， 所以121212232323EF DC CB AB DA AB AD =+=+=-，故选：C.【点睛】本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属于基础题．4.函数21x x y e+=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（ ）A. B. C.D.【答案】A 【解析】因为函数为偶函数，所以去掉D,因为当0x > 时22112,02x x x x x y y x e e++=='-=⇒= ，所以当(0,2)x ∈ 时0y '> ，去掉B;当(2,)x ∈+∞ 时0y '< ，去掉C ，因此选A.5.在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为( )A.12B.2πC .12π- D. 22π-【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4． 图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和， 其面积为21181112442ππ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭．∴所求概率24142P ππ-==-． 故选：C ．【点睛】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，属于基础题．6.()51311x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为( )A. 14B. -14C. 16D. -16【答案】A 【解析】 【分析】把511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭按照二项式定理展开，可得()51311x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项．【详解】解：()()5543251311010513111x xx x x x x x ⎛⎫=+-+-+- ⎪⎛⎝⎫- ⎪⎝⎭⎭+， 故它的展开式中的常数项为351(1)14⨯+⨯-=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 7.已知α为锐角，且()cos 11α︒=，则α的值为( ) A. 20︒ B. 40︒ C. 50︒ D. 70︒【答案】B【解析】 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果．【详解】解：由()cos 11α+︒=可得cos10cos 1cos10α︒+︒=︒，即2sin 40cos 1cos10α︒=︒，所以cos10sin80cos 2sin 402sin 40α︒︒==︒︒2sin 40cos 40cos 402sin 40︒︒==︒︒， 又α为锐角，故40α=︒，故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，2F 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为( )B.2C.12【答案】D 【解析】 【分析】当P ，E ，1F 共线时，此时2PEF ∆的周长的最小，即可得到23a b =，再根据离心率公式计算即可． 【详解】解：2PEF ∆的周长为2221||||||||||||PE PF EF PE PF EF ++=++， 当P ，E ，1F 共线时，此时周长最小， 2121||||||||||23PE PF EF PF PF a b ∴++=+==，22249()a a c ∴=-，2259a c =3c e a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了椭圆的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，9.设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，132AA =所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A. 24π B. 18π C. 26π D. 16π【答案】C 【解析】 【分析】直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积． 【详解】解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC 的中点O '，则外接圆的半径2BCr =，而2AB AC ==，90BAC ∠=︒，所以22BC =所以2r =过BC 的中点做垂直于底面的直线交中截面与O 点，则O 为外接球的球心， 由题意得：22219132222AA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以外接球的表面积2426S R ππ==，故选：C ．【点睛】考查直棱柱的外接球的求法及球的表面积公式，属于中档题．10.设n S 是数列{}n b 的前n 项和，若2nn n a S +=，()*2122N n b n n a a n ++=-∈，则数列1n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为( )A. 9798B.9899 C. 99100D. 100101【答案】C 【解析】 【分析】利用两式作差1122n n n a a ---=，代入求出1n b n =+，再利用裂项相消法求出和即可． 【详解】解：当2n ≥时，1112n n n a S ---+=，则()1111222n n n n n n n a a S S -----+-=-=，即1122n n n a a ---=，则12log 21n n b n +==+，从而1111n nb n n =-+， 故129911111111129922399100b b b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-1991100100=-=. 故选：C ．【点睛】考查数列的性质，裂项相消法求数列的和，注意式子的灵活变换，属于中档题．11.已知函数()1212log ,18212,x x x f x x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩，，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ）B.12【答案】B 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，结合图像，根据()()()f a f b a b =<，求得,a b 的取值范围.令()()(]2,4t f a f b ==∈，将,a b 用t 表示，由此求得ab 的表达式，进而利用导数求得ab 的最小值.【详解】画出()f x 图像如下图所示，令122log 4x +=，解得14x =.所以1124a b ≤<<≤. 令()()t f a f b ==，由图可知(]2,4t ∈.122log 2bt a =+=， 所以24,log 2t a b t ==.所以()24log 242t t ab t =<≤.构造函数()()24log 142tt h t t =≤≤（稍微放大t 的范围）.()2'11ln 2log ln ln 2ln 24422t t t t t t h t -⋅-⋅⋅=⋅=⋅. 令()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅，()'2110ln 2m t t t=--<⋅， 所以()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅在[]1,4上递减.而()()()218ln 2110,4ln 24ln 2m m -⋅=>=⋅.由于ln ln ln e <<， 所以1ln 212<<，()21ln 214<<，()228ln 28<⋅<，所以()()218ln 2404ln 2m -⋅=<⋅. ()()140m m ⋅<， 故存在()01,4t ∈，使()00m t =.所以()h t 在[)01,t 上递增，在(]0,4t 上递减.所以对于()24log 242t ty t =<≤来说，最小值只能在区间端点取得. 当2t =时，224log 212=； 当4t =时，244log 4122=. 所以()24log 242t t ab t =<≤的最小值为12. 故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查指数、对数运算，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FA FC =（ ） A.54B.43C.32D.5 【答案】B 【解析】 【分析】设出右焦点F 的坐标和渐近线,OA OB 的方程，由点到直线的距离公式求得BF ，结合直角三角形勾股定理和三角函数的定义、两直线的夹角公式，求得,a b 的关系，由此求得,FA FC 的长，进而求得||||FA FC【详解】双曲线22221x y a b-=的右焦点(),0F c ，渐近线OB 的方程为b y x a =，即0bx ay -=，渐近线OA 的方程为by x a=-，即0bx ay +=. 所以22bc BF b c a b ===+，22OB c b a =-=，225433a a AB a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 所以4tan 3AB AOB OB ∠==，而()tan tan tan tan 1tan tan AOF BOFAOB AOF BOF AOF BOF∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠22431b b a a b a--===-， 解得2b a =或12b a =-（舍去）.所以44102333a a aAF b a =+=+=. 在Rt COF ∆中，由射影定理得2OF BF FC =⋅，所以222225522OFc a b a aFC BF b b a +=====， 所以10||435||32aFA a FC ==. 故选：B【点睛】本小题主要考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直角三角形的射影定理、两直线的夹角公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题13.已知函数()()()2log 21cos xf x ax x a R =-++∈为偶函数，则a =______.【答案】12【解析】 【分析】 根据题意，由函数奇偶性的定义可得()()f x f x -=，即22()log (21)cos()log (21)cos x x a x x ax x ---++-=-++，据此变形分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数2()log (21)cos x f x x x α=-++，其定义域为R ， 若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，则有22()log (21)cos()log (21)cos x x a x x ax x ---++-=-++， 变形可得：222log (21)log (21)x x ax x -=+-+=，必有12a =； 故答案为：12．【点睛】本题考查函数的性质以及判断，关键是掌握偶函数的定义，属于基础题．14.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且3S ，9S ，6S 成等差数列，256a a +=，则8a =______. 【答案】3 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q ，讨论1q =不成立，再由等比数列的求和公式，解方程可得q ，再由等比数列的通项公式，即可得到所求值．【详解】解：由题意可知等比数列的公比1q ≠，否则3S ，9S ，6S 不成等差数列， 于是9362S S S =+， ()91211a q q-∴-()()36111111a q a q qq--=+--，解得63210q q --=，解得312q =-或31q =（舍去），又由256a a +=，得88636a a q q +=，解得683166431112q a q ⨯===+-. 故答案为：3【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，注意讨论公比是否为1，同时考查等差数列中项的性质，以及方程思想和运算能力，属于中档题．15.若()()()2sin 20f x x ϕϕ=+>的图象关于直线12x π=对称，且当ϕ取最小值时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x a =，则a 的取值范围是______.【答案】(2⎤⎦ 【解析】 【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的定义域的应用求出结果． 【详解】解：∵函数()()()2sin 20f x x ϕω=+>的图象关于直线12x π=对称，62k ππϕπ+=+，()3k k Z πϕπ=+∈，当ϕ取最小值是3πϕ=，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴042,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 223x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即a 的取值范围是(2⎤⎦.故答案为：(2⎤⎦【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16.在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为______.【答案】【解析】 【分析】推导出PB BC ⊥，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ，则AD BC ⊥，AE PC ⊥，DE BC ⊥，推导出AE DE ⊥，从而AE ⊥平面PBC ，进而四面体P ABC -的体积为13P ABC A PBC PBC V P S AE --∆==，由此能求出结果． 【详解】解：在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，222PB BC PC ∴+=，PB BC ∴⊥，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ， 则AD BC ⊥，AE PC ⊥，DE BC ⊥，且36933AD =-=，4DE =，362511AE =-=，222AE DE AD ∴+=，AE DE ∴⊥，PCDE E =，PC ⊂平面PBC ，DE ⊂平面PBC ，AE ∴⊥平面PBC ，∴四面体P ABC -的体积为：11111861181133232P ABC A PBC PBC V P S AE PB BC AE --∆===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=． 故答案为：811．【点睛】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题17.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+. （1）求角C 的值；（2）若26a b +=，且ABC ∆3ABC ∆的周长. 【答案】（1）3π；（2）6或513+【解析】 【分析】（1）结合三角形内角和及诱导公式对已知进行化简可求cos C ，进而可求C ，（2）由已知，结合三角形的面积公式可求，a ，b 然后结合C 的值及余弦定理可求c ，进而可求周长． 【详解】（1）因为()()sin sin a A B C c B C +-=+由正弦定理得()()sin sin 2sin sin sin sin A C C A C A ππ-=-=， 因为sin 0A ≠，所以()sin 2sin C C π-=，即sin 22sin cos sin C C C C ==. 因为sin 0C ≠，所以1cos 2C =， 因0C π<<，所以3C π=.（2）由1sin 32ABC S ab C ∆==，可得4ab =. 因26a b +=，所以426a a+=，解得1a =或2.当1a =时，4b =，由余弦定理得2222cos 13c a b ab C =+-=，13c =， 所以周长513+.当2a =时，2b =，由余弦定理得2222cos 4c a b ab C =+-=，2c =，所以周长为6. 综上，ABC ∆的周长为6或513+.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和及诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础题．18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =，1AB B C ⊥.（1）求证：AO ⊥平面11BB C C ；（2）设160B BC ∠=︒，若直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为45︒，求二面角111A B C B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5-【解析】 【分析】）（1）利用1B C ⊥平面1ABC 可证得1B C AO ⊥，利用三线合一可证得1AO BC ⊥，进而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形11BB C C 是菱形，∴11B C BC ⊥，∵1AB B C ⊥，1AB BC B =，1BC ⊂平面1ABC ，AB 平面1ABC ，∴1B C ⊥平面1ABC ，AO ⊂平面1ABC ，∴1B C AO ⊥，又∵1AB AC =，O 是1BC 的中点，∴1AO BC ⊥， 又∵11B CBC O =，1B C ⊂平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，∴AO ⊥平面11BB C C . （2）∵11//AB A B ，∴直线11A B 与平面11BB C C 所成的角等于直线AB 与平面11BB C C 所成的角. ∵AO ⊥平面11BB C C ，∴直线AB 与平面11BB C C 所成的角即为ABO ∠， 即45ABO ∠=︒.不妨设菱形11BB C C 的边长为2，则在等边三角形1BB C中BO =，11CO B O ==，在Rt ABO ∆中，AO BO ==以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则()10,1,0B ，()0,1,0C -，(1A，()1C ，(113,0,A B =，()111,0B C =--，设平面111A B C 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1111113030n AB x n BC y ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩，可得()11,n =-， 而平面11BB CC 的一个法向量为()20,0,1n =， 则112122cos ,55n nn n n n ⋅===， ∴二面角111A B C B --的余弦值的大小为5-.【点睛】本题考查线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.已知椭图1C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点与抛物线2C ：()220y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为12，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为42（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）过点()4,0A -的直线l 与椭圆1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论.【答案】（1）22143x y +=， 28y x =；（2）是，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出a ，b ，即可得到椭圆方程抛物线方程；（2）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，1(E x ，1)y -，求得直线EN 的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点． 【详解】解：（1）设椭圆1C 的半焦距为c ，依题意，可得2p a =，则2C ：24y ax =， 代入x c =，得24y ac =，即2y ac =±442ac =则有222212ac c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，2,3a b ∴==所以椭圆1C 的方程为22143x y +=，抛物线2C 的方程为28y x =.（2）依题意，当直线l 的斜率不为0时，设其方程为4x ty =-，联立2243412x ty x y =-⎧⎨+=⎩，得()223424360t y ty +-+=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,E x y -，由>0∆，解得2t <-或2t >， 且1222434ty y t +=+，1223634y y t =+， 根据椭圆的对称性可知，若直线EN 过定点，此定点必在x 轴上，设此定点为(),0Q m ， 因斜率NQ EQ k k =，得2121y y x m x m-=--，即()()12210x m y x m y -+-=，即()()1221440ty m y ty m y --+--=，即()()1212240ty y m y y -++=， 即()2236242403434tt m t t ⋅-+⋅=++，得()()3410m t m t --=--=， 由t 的任意性可知1m =-.当直线l 的斜率为0时，直线EN 的方程即为0y =，也经过点()1,0Q -， 所以当2t <-或2t >时，直线EN 恒过一定点()1,0Q -.【点睛】本题考查椭圆以及抛物线的方程和简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．20.某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同. （1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过()*N n n ∈次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）135512；（2）分布列见解析，3334n⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量1~(5,)4X B ，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，⋯，n ，1(0)4P ξ==，31(1)44P ξ==⨯，231(2)()44P ξ==，⋯，131(1)()44n P n ξ-=-=，3()()4n P n ξ==，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【详解】解：（1）因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为14， 用X 表示“抽取的5辆汽车中蓝颜色汽车的个数”，则X 服从二项分布，即15,4XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以抽取的5辆汽车中有2辆是蓝颜色汽车的概率32253113544512P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n .()104P ξ==，()31314416P ξ==⨯=，()231244P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()131144n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()34nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为：23313131123444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13131444n nn n -⎛⎫⎛⎫++-⨯⋅+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， （1） ()23133131311224444444n E n ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()13131444nn n n +⎛⎫⎛⎫+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）（1）-（2）得：231131313131444444444n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1333114444n n nn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2313131314444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131314444n n-⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2313333344444n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭331443313414nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.所以3334nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 21.已知函数()()()1xxf x ae ea x a R -=--+∈，()f x 既存在极大值，又存在极小值.（1）求实数a 的取值范围；（2）当01a <<时，1x ，2x 分别为()f x 的极大值点和极小值点.且()()120f x kf x +>，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()()0,11,+∞；（2）1k ≤-. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合函数的单调性确定a 的范围即可；（2）求出函数的极值点，问题转化为11(1)1a lna k a -<++，设11()(1))1x g x lnx k x -=-++，根据函数的单调性确定k 的范围即可．【详解】解：（1）由()()1xxf x ae ea x -=--+得()()'1x x f x ae e a -=+-+，即()()()1'1xxx f ee x ea -=--，由题意，若()f x 存在极大值和极小值，则()'0f x =必有两个不相等的实数根， 由10x e -=得0x =，所以10x ae -=必有一个非零实数根， ∴0a ≠，1xe a =，∴10a>且11a ≠，∴01a <<或1a >.综上，实数a 的取值范围为()()0,11,+∞.（2）当01a <<时，由（1）可知()f x 的极大值点为10x =，极小值点为2ln x a =-， 此时()11f x a =-，()()211ln f x a a a =-++，依题意得()()111ln 0a k a a a -+-++>对任意01a <<恒成立， 由于此时()()210f x f x <<，所以k 0<； 所以()()()1ln 11k a a a k +>--，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⎪+⎝⎭， 设()11ln 11x x k x g x -⎛⎫=--⎪+⎝⎭，()0,1x ∈，则 ()()()()2221121112111'x x k x k x x x g x ⎛⎫+-- ⎪⎛⎫⎝⎭=--= ⎪⎝⎭++()22211x x k x x ++=+， 令()2210*x x k ++=，判别式244k∆=-. ①当1k ≤-时，0∆≤，所以()'0g x ≥，()g x 在()0,1单调递增， 所以()()10g x g <=，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⎪+⎝⎭，符合题意； ②当10k -<<时，>0∆，设()*的两根为3x ，4x ，且34x x <， 则3420x x k+=->，341x x =，因此3401x x <<<，则当31x x <<时，()'0g x <，()g x 在()3,1x 单调递减， 所以当31x a <<时，()()10g a g >=，即11ln 11a a k a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭， 所以()()120f x kf x +<，矛盾，不合题意； 综上，k 的取值范围是1k ≤-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为x t y kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为3x m my k ⎧=⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C . （1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭点Q 为曲线1C 上的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最大值.【答案】（1）()22103x y y +=≠；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程.1l：(y k x =， 2l：)13y x k=，两式相乘消k 可得2213x y +=，因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103x y y +=≠.（2）直线2C 的直角坐标方程为60x y +-=， 由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点. 由于1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，k απ≠，k Z ∈），所以曲线1C上的点),sin Qαα到直线60x y +-=的距离为d ==所以当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 的最大值为【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.已知函数()1f x x =-.（1）求不等式()32f x x ≥-的解集；（2）若函数()()5g x f x x =+-的最小值为m ，正数a ，b 满足a b m +=，求证：224a b b a+≥. 【答案】（1）{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）证明见解析. 【解析】【分析】 （1）根据()32||f x x -，可得3131x x -⎧⎨>⎩或1301x x +⎧⎨⎩或3130x x -+⎧⎨<⎩，然后解不等式组即可得到解集； （2）先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最小值，再利用基本不等式求出22a b b a+的最小值即可． 【详解】解：（1）当1x ≥时，得41323x x x -≥-⇒≥，∴43x ≥； 当01x <<时，得1322x x x -≥-⇒≥，∴无解；当0x ≤时，得21323x x x -≥+⇒≤-； 综上，不等式的解集为{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭. （2）∵()()()15154g x x x x x =-+-≥---=，∴4m =，即4a b +=， 又由均值不等式有：22a b a b+≥，22b a b a +≥， 两式相加得2222a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴224a b a b b a +≥+=. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．。
【精准解析】湖南师大附中2020届高三下学期模拟考试(三)数学(理)试题
湖南师大附中2020届高考模拟卷(三)数学(理科)一､选择题1. 设集合{}2430M xx x =-+≤∣，{}2log 0N x x =≤∣，则M N ⋃=（ ） A. {1,2,3} B. {1}C. [0,3]D. (0,3]【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合,M N ，再求M N ⋃.【详解】由题得(]{|13},{|01},0,3M x x N x x M N =≤≤=<≤∴⋃=. 故选：D【点睛】(1)本题主要考查集合的化简与并集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)在化简集合N 时，不要漏了x>0,函数的问题一定要注意定义域优先的原则，否则容易出错. 2. 设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ） A. 1 23 D. 2【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===++-，所以1z =，故选A. 考点：复数的运算与复数的模.3. 设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若35154,60a a S +==，则20a = （ ）A. 4B. 6C. 10D. 12【答案】C 【解析】 由题意35422a a a +==，1581560S a ==，84a =，所以204844()24(42)10a a a a =+-=+⨯-=，故选C ．点睛：解决等差数列的通项与前n项和问题，基本方法是基本量法，即用首项1a和公差d表示出已知并求出，然后写出通项公式与前n项和公式，另一种方法就是应用等差数列的性质解题，可以减少计算量，增加正确率，节约时间，这是高考中尤其重要有用，象本题应用了以下性质：数列{}n a是等差数列，（1）正整数,,,m n p q，m n p q+=+⇒m n p qa a a a+=+，p q=时也成立；（2）21(21)n nS n a-=-；（3）等差数列{}na中抽取一些项，如48124,,,,,ka a a a仍是等差数列．4. 如图，当参数12λλ≠时，连续函数(0)1y xxλ=≥+的图象分别对应曲线1C和2C，则（）A. 120λλ<< B.210λλ<< C.12λλ<< D.21λλ<<【答案】B【解析】【分析】根据图形可知10λ>，2λ>，使用排除法排除C，D项，然后取特殊值1x=，根据12y y<简单计算即可.【详解】由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在(0,)+∞是连续的，可知参数10λ>，2λ>，即排除C，D项，又取1x=，知对应函数值111yλ=+，221yλ=+由图可知12y y<，所以12λλ>，即选B项.故选：B.【点睛】此题考查根据函数图象判断比较参数的大小关系，求参数范围，关键在于准确分析函数图象所反映的性质,属基础题.5. 若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是（ ） A. (1,2) B. 53,42⎛⎫⎪⎝⎭C. 54,43⎛⎫⎪⎝⎭D. 54,43⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】由随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，知0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩，由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，∴0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩，即021*******a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-⎩，解得5443a <，即54,43a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故选：D ．【点睛】本题考查互斥事件的概率的应用，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6. 设1F 、2F 是双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，P 是C 上一点，若12||||6PF PF a +=，12PF F ∠是△12PF F 的最小内角，且1230PF F ︒∠=，则双曲线C 的渐近线方程是（ ） A .0x ±=0y ±= C. 20x y ±= D. 20x y ±=【答案】B【解析】 【分析】设|PF 1|＞|PF 2|，由已知条件求出|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，e =b =，由此能求出双曲线C ：2222x y a b-=1的渐近线方程．【详解】设|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|+|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ． 则∠PF 1F 2是△PF 1F 2的最小内角为30°，∴| PF 2|2＝| PF 1||2+|F 1F 2|2﹣2| PF 1||•|F 1F 2|cos30°， ∴（2a ）2＝（4a ）2+（2c ）2﹣2×4a ×2c ， 同时除以a 2，化简e 2﹣+3＝0，解得e =c =，∴b =，∴双曲线C ：2222x y a b-=1的渐近线方程为y b x a =±=，y ±=0． 故选B ．【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质7. 设0.213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 5b =，ln5c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. c b a >>C. b c a >>D.a cb >>【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0和1的大小关系，利用换底公式和不等式的基本性质可得出b 、c 的大小关系，进而可得出这三个数的大小关系.【详解】指数函数13x y⎛⎫= ⎪⎝⎭在R上为减函数，则0.20110133⎛⎫⎛⎫<<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即01a<<；对数函数13logy x=在()0,∞+上为减函数，则113311log log153b=>=；对数函数lny x=在()0,∞+上为增函数，则ln5ln1c e=>=.1331ln5log log5ln55ln3b c∴===<=.因此，c b a>>.故选：B.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.8. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（）A. 40B. 43C. 46D. 47【答案】C【解析】【分析】画出几何体的直观图,利用三视图所给数据，结合梯形的面积公式,分别求解梯形的面积即可.【详解】由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面ABCD⊥平面ABEF，2,6,4CD AB EF===，底面梯形是等腰梯形，高为3 ,梯形ABCD的高为4 ,等腰梯形FEDC9165+=，三个梯形的面积之和为26462443546 222+++⨯+⨯+⨯=,故选C.【点睛】本题考查空间几何体的三视图，求解表面积,属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.9. 某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种A. 240 B. 320 C. 180 D. 120【答案】C【解析】【分析】在所有两组至少都是3人的分组中减去3名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4，又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为432882221180CC AA⎛⎫+-=⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.10.的直线l 与椭圆22221x y a b +=（0a b >>）交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A.3B.12C.2D.13【答案】A 【解析】由题意，2b ac =，得)22ac a c =-20e +=，所以2e =， 故选C ．点睛：由椭圆的对称性可知，两个焦点关于原点对称，则直线l 是过原点的直线，且其交点投影恰好是椭圆焦点，由垂径的交点坐标为2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则有22b ac =，整理后同除以2a得20e +-=，求出离心率．11. 在长方体11 1 1 A B C D A B C D -中，24,2AB AD AA ===，过点1A 作平面α与, A B A D 分别交于,M N 两点，若1AA 与平面α所成的角为45︒，则截面1A MN 面积的最小值是（ ）A.B.C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A 作AE MN ⊥，连接1A E ，首先证明平面1A AE ⊥平面1A MN ，即可得1AA E ∠为1AA 与平面1A MN所成的角，进而可得12,AE A E ==24ME EN AE ⋅==，由基本不等式得4MN ME EN =+≥=，从而可求出截面1A MN 面积的最小值. 【详解】如图，过点A 作AE MN ⊥，连接1A E∵1A A ⊥平面ABCD ， ∴1A A MN ⊥， ∴MN ⊥平面1A AE ，∴1A E MN ⊥，所以平面1A AE ⊥平面1A MN ， ∴1AA E ∠为1AA 与平面1A MN 所成的角，∴145AA E ︒∠=，在1Rt A AE △中，∵12AA =，∴12,22AE A E == 在Rt MAN △中，由射影定理得24ME EN AE ⋅==， 由基本不等式得24MN ME EN ME EN =+≥⋅=， 当且仅当ME EN =，即E 为MN 中点时等号成立， ∴截面1A MN 面积的最小值为1422422⨯⨯=故选：B【点睛】本题考查的是立体几何中面面垂直的证法、线面角及基本不等式，是一道较综合的题.12. 定义在[,)t +∞上的函数()f x ，()g x 单调递增，()()f t g t M ==，若对任意k M >，存在()1212,x x x x <，使得()()12f x g x k ==成立，则称()g x 是()f x 在[,)t +∞上的“追逐函数”.若2()f x x =，则下列四个命题：①()21x g x =-是()f x 在[1,)+∞上的“追逐函数”；②若()ln g x x m =+是()f x 在[1,)+∞上的“追逐函数”，则1m =；③1()2g x x=-是()f x 在[1,)+∞上的“追逐函数”；④当m 1≥时，存在t m ≥，使得()21g x mx =-是()f x 在[,)t +∞上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（ ）A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③【答案】B 【解析】 【分析】由题意，分析每一个选项，首先判断单调性，以及(1)(1)1f g ==，再假设是 “追逐函数”，利用题目已知的性质，看是否满足，然后确定答案.【详解】对于①，可得()2f x x =，()21xg x =-在[)1,+∞是递增函数，(1)(1)1f g ==，若()21xg x =-是()f x 在[)1,+∞上的“追逐函数”；则1,k ∀>存在1212,()x x x x <，使得()()12f x g x k ==成立，即21211222log 1x x k x x k -==⇒==+ ，此时当k=100时，不存在12x x <，故①错误；对于②，若()ln g x x m =+是()f x 在[)1,+∞上的“追逐函数”，此时(1)(1)1f g ==，解得1m =，当1m =时，()2f x x =，()ln 1g x x =+在[)1,+∞是递增函数，若是“追逐函数”则211212ln 1k x x k x x e -=+=⇒==122k k e k e --<⇒<， 设函数2222(),()120x x h x x eh x e ---'=-=<即22x x e -<，则存在12x x <，所以②正确； 对于③()2f x x =，()12g x x =-在[)1,+∞是递增函数，(1)(1)1f g ==，若()12g x x=-是()f x 在[)1,+∞上的“追逐函数”；则1,k ∀>存在1212,()x x x x <，使得()()12f x g x k ==成立，即211221122x k x x x k=-=⇒==- ，当k=4时，就不存在12x x <，故③错误；对于④，当t=m=1时，就成立，验证如下：()2f x x =，()21g x x =-在[)1,+∞是递增函数，(1)(1)1f g ==，若()21g x x =-是()f x在[)1,+∞上的“追逐函数”；则1,k ∀>存在1212,()x x x x <，使得()()12f x g x k ==成立，即212121212k x x k x x +=-=⇒==21(1)24k k k ++<⇒<取2(1)1()(1),()1042x x h x x x h x ++-'=->=<即2(1)4x x +<，故存在存在12x x <，所以④正确；故选 B【点睛】本题主要考查了对新定义的理解、应用，函数的性质等，易错点是对新定义的理解不到位而不能将其转化为两函数的关系，实际上对新定义问题的求解通常是将其与已经学过的知识相结合或将其表述进行合理转化，从而更加直观，属于难题. 二､填空题13. 已知向量(1,2)a =，(,1)b x =-，若()-a a b ，则a b ⋅=__________． 【答案】52- 【解析】 【分析】先根据向量的平行求出x 的值，再根据向量的数量积计算即可． 【详解】解：∵()1,3-=-a b x ，因为()-a a b ， 所以()321x =-，解得：12x =-，所以15222⋅=--=-a b ． 故答案为：52-【点睛】本题考查了向量的平行和向量的数量积，属于基础题． 14. 若数列{}n a 是等差数列，则数列()*1n n mn a a b m N m ++++=∈也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{}n c 是等比数列，则数列n d = _________也是等比数列.【分析】利用类比推理分析，若数列{}n a是各项均为正数的等比数列，则当n d =时，数列{}n d 也是等比数列．【详解】由数列{}n c 是等差数列，则当()*1n n mn a a b m N m++++=∈时，数列{}nb 也是等差数列．类比上述性质，若数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，则当n d=时，数列{}n d 也是等比数列．【点睛】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．15. 二项式2nx ⎫⎪⎪⎝⎭的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值,项的系数是________ 【答案】152- 【解析】 【分析】先根据条件确定n 值，再根据二项展开式通项公式求结果.【详解】因为仅有第六项的二项式系数取得最大值,所以61,102nn =-=， 因为35101021101021(()()(2)22r r r r r r rr T C C x x ---+=-=-，所以3103310311155,3,()(2).2222r r C --==∴-=- 【点睛】本题考查二项式系数与二项展开式项的系数，考查基本分析与求解能力，属基本题. 16. 已知函数2()f x x m =+与函数11()ln3,22g x x x x ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是________. 【答案】[2ln 2,2]-【分析】使用等价转化，原问题等价于2()()()ln 3h x f x g x x x x m =+=+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有零点，通过()h x '的符号判断函数()h x 的单调性并计算值域，值域包含0，然后简单计算即可.【详解】原问题等价于2()()()ln 3h x f x g x x x x m =+=+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有零点，而()1123(21)(1)h x x x x x x'=+-=--， 知()h x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在(1,2]单调递增，又(1)2h m =-，(2)ln 22h m =-+，15ln 224h m ⎛⎫=--+⎪⎝⎭， 833ln 2ln ln 222ln 20445ln 24-⎛⎫-+-=-=> ⎪⎝⎭--+m e m所以可判断1(2)2h h ⎛⎫>⎪⎝⎭， 因而()h x 的值域为[]2,ln 22m m --+，又()h x 有零点， 由20ln 22m m -≤≤-+得[2ln 2,2]m ∈-. 故答案为：[2ln 2,2]-【点睛】本题主要考查根据函数零点所在区间求参数，考查了等价转化思想的应用，以及对分析能力和计算能力的考查.，属中档题. 三､解答题17. 在ABC 中，内角A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c 且22cos b c a C -=.（1）若a =1b =，求B ；（2）若2||||8AB AC +=，122AB AC -=，求ABC 的面积.【答案】（1）6B π=；（2）【分析】（1）根据正弦定理以及两角和公式化简可得A ，然后使用正弦定理以及,A B 之间大小关系可得B .（2）取AC 的中点D ，依据题意可得||2=DB ，然后使用余弦定理可得22422b bc c ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，根据题意可得28b c +=，然后解得8bc =，最后利用三角形面积公式可得结果. 【详解】（1）因为22cos b c a C -=， 由正弦定理得2sin sin 2sin cos B C A C -=，所以2sin()sin 2sin cos A C C A C +-=，即2cos sin sin 0A C C -=， 又sin 0C ≠，所以1cos 2A =，所以3A π=. 又3a =，1b =31sin sin3B π=，解得1sin =2B ，由a b >，则A B >，所以6B π=.（2）取AC 的中点D ，连接BD ，则1||22AB AC DB -==， 在ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅，所以22422b bc c ⎛⎫=+-⎪⎝⎭.①因为2||||8AB AC +=，即28b c +=，42bc +=， 所以有22164b c bc =++.②联立①②得，8bc =，所以1sin 2ABCS bc A ==，故ABC 面积为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式，还考查了向量的减法，掌握正弦定理、余弦定理的使用，边角转化，化繁为简，属中档题.18. 已知四棱锥S ABCD -的底面为平行四边形，且SD ⊥平面ABCD ，22AB AD SD ==，60DCB ∠=︒，M ，N 分别为SB ，SC 的中点，过MN 作平面MNPQ 分别与线段CD ，AB 相交于点P ，Q ，且AQ AB λ=.（1）当12λ=时，证明：平面//MNPQ 平面SAD ； （2）是否存在实数λ，使得二面角M PQ B --为60︒？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，13λ=. 【解析】 【分析】（1）推导出////MN BC MN BC ，，从而//MN 平面SAD ，再求出//MQ 平面SAD ，由此能证明平面//MNPQ 平面SAD ．.（2）方法一：连结BD ，交PQ 于点R ，则//BC 平面MNPQ ，从而////PQ BC AD ，推导出AD ⊥平面SBD ，PQ ⊥平面SBD ，则MRB ∠为二面角M PQ B --的平面角，从而60MRB ∠=︒，过M 作ME DB ⊥于E ，则//ME SD ，从而ME ⊥平面ABCD ，由此能求出结果．方法二：以D 为原点，直线DA 为x 轴，直线DB 为y 轴，直线DS 为z 轴建立空间直角坐标系，由AQ AB λ=，求得(22,,0)Q λ-，进而求得平面MNPQ 的法向量为(0,1,3(21))n λ=-，平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =，根据1||cos602||||m n m n ⋅︒==⋅，计算即可求得结果.【详解】（1）∵M ，N 分别为SB ，SC 中点，∴//BC MN ， 由底面ABCD 为平行四边形可知，//AD BC ，∴//MN AD .又MN ⊄平面SAD ，∴//MN 平面SAD . ∵12λ=，∴Q 为AB 的中点，∴//MQ SA . 又MQ ⊄平面SAD ，∴//MQ 平面SAD .由MN MQ M ⋂=可知，平面//MNPQ 平面SAD . （2）方法一：连BD 交PQ 于点R . ∵//BC MN ，∴//BC 平面MNPQ . 又平面MNPQ平面ABCD PQ =，∴////PQ BC AD .在ABCD 中，2AB AD =，60DCB ∠=︒，∴AD DB ⊥. 又SD ⊥平面ABCD ，∴SD AD ⊥且SD DB D ⋂=， ∴AD ⊥平面SBD .∴PQ ⊥平面SBD ，∴MRB ∠为二面角M PQ B --的平面角. ∴60MRB ∠=︒.过M 作ME DB ⊥于E ，则//ME SD ，∴ME ⊥平面ABCD . 设AD SD a ==，∵M 为SB 的中点，∴2a ME =，DE =. 在Rt MER △中，2a ME =，60MRB ∠=︒，∴6RE a =.∴3DR DE RE a =-=，∴13DR DB ==. ∵//PQ AD ，∴13AQ DR AB DB λ===.方法二：在ABCD 中，2AB AD =，60DCB ∠=︒，所以//AD DB .以D 为原点，直线DA 为x 轴，直线DB 为y 轴，直线DS为z 轴建立空间直角坐标系，设(2,0,0)A ，则(0,23,0)B ，(0,0,2)S ，3,1)M . 又AQ AB λ=，设(,,)Q x y z ，则(2,,)(2,23,0)x y z λ-=-， 即(22,3,0)Q λλ-.设平面MNPQ 的法向量为(,,)n x y z =.由（1）可知////MN BC AD ，所以(,,)(2,0,0)20n AD x y z x ⋅=⋅==，即0x =. 由(,,)(223(21),1)(22)3(21)0n MQ x y z x y z λλλλ⋅=⋅---=-+--=， 将0x =代入得3(21)z y λ=-，取1y =，则(0,1,3(21))n λ=-. 显然平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =. 要使二面角M PQ B --为60︒，则有221||3(23(2cos 602||||13(21)11[3(21)]m n m n λλ⋅︒====⋅+-⨯+-解得13λ=或23λ=. 由图可知，要使二面角M PQ B --为60︒，则Q 在线段AQ '(Q '为线段AB 的中点)上，所以12λ<， 所以13λ=.故当实数13λ=时，二面角M PQ B --为60︒. 【点睛】本题考查面面平行以及二面角，能够熟练使用空间向量是解决本题的关键，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题.19. 在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0F 的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直径，设点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点()2,4A 且不过原点的直线l 与曲线C 交于点M ，B 为AM 的中点，过点B 作x 轴的平行线交曲线C 于点D ，B 关于点D 的对称点为N ，除M 以外，线MN 与C 是否有其它公共点？说明理由.【答案】（1）28y x =；（2）除M 点外直线MN 与C 没有其他的公共点，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）设圆的半径为r ，可计算点P 到直线2x =-的距离等于PF ，根据抛物线的定义可知点P 的轨迹为以点()2,0F 为焦点的抛物线，写出其方程；（2）设点M 坐标为()11,x y ，再根据中点坐标公式写出点B 的坐标，用含11,x y 的式子表示点D 坐标，然后利用点B 、点D 坐标求出点N 坐标，再根据两点式写出直线MN 的方程并与抛物线方程联立，确定是否还有其它交点.【详解】（1）如图，过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，交直线2x =-于P '，设动圆的圆心为E ，半径为r ，则E 到y 轴的距离为r ，在梯形OFPH 中，由中位线性质可得22PH r =-，2222PP r r '=-+=， 又||2PF r =，所以||PF PP '=，由抛物线的定义知，点P 是以()2,0F 为焦点，以直线2x =-为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为28y x =.（2）由(2,4)A 可得A 在曲线C 上，(i )当l 的斜率存在时，设()()111,2M x y x ≠，则2118y x =，AM 的中点1124,22x y B ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即111,222x y B ⎛⎫++⎪⎝⎭， 在方程28y x =中，令122y y =+，得211282y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以21112,2822y y D ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 设()22,N x y ，由中点坐标公式可得2112212422y x x +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又2118y x =，代入化简122y x =，所以11,222y y N ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 直线MN的斜率为：11121111122422282y y y y y y y x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭==--， 所以直线MN 的方程为：()1114y x x y y =-+，① 将2118y x =代入①化简可得：1142y y x y =+，② 将28y x =代入②式整理可得221120y y y y -+=，2211440y y ∆=-=，所以直线MN 与抛物线相切，所以除M 点外，直线MN 与C 没有其他的公共点.(ii )当直线l 的斜率不存在时，(2,4)M -，(2,0)B ，(0,0)D ，(2,0)N -，直线MN 的方程为：2y x =--，代入抛物线的方程可得2440x x -+=，24440∆=-⨯=，所以除M 点外，直线MN 与C 没有其他的公共点. 综上所述，除M 点外直线MN 与C 没有其他的公共点.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解及直线与抛物线的位置关系综合问题，考查孩子的运算能力、分析问题、处理问题的能力，难度较大.解答时要合理设元，然后利用所设未知量表示直线MN 的方程是解题的关键.20. 某陶瓷厂只生产甲、乙两种不同规格的瓷砖，甲种瓷砖的标准规格长宽为600600mm mm ⨯，乙种瓷砖的标准规格长宽为900400mm mm ⨯，根据长期的检测结果，两种规格瓷砖每片的重量()x kg 都服从正态分布()2,N μσ，重量在()3,3μσμσ-+之外的瓷砖为废品，废品销毁不流入市场，其它重量的瓷砖为正品.（1）在该陶瓷厂生产的瓷砖中随机抽取10片进行检测，求至少有1件为废品的概率； （2）监管部门规定瓷砖长宽规格的“尺寸误差”的计算方式为：若瓷砖的实际长宽为()a mm 、()b mm ，标准长宽为()a mm 、()b mm ，则“尺寸误差”为a a b b -+-，按行业生产标准，其中“一级品”、“二级品”、“合格品”的“尺寸误差”的范围分别是[]0,0.1、(]0.1,0.2、(]0.2,0.4，(正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于0.4mm 的瓷砖)，现分别从甲、乙两种产品的正品中各随机抽取100片，分别进行“尺寸误差”的检测，统计后，绘制其频率分布直方图如下：已知经销商经营甲种瓷砖每片“一级品”的利润率为0.12，“二级品”的利润率为0.08，“合格品”的利润率为0.02，经销商经营乙种瓷砖每片“一级品”的利润率为0.10，“二级品”的利润率为0.05，“合格品”的利润率为0.02，若视频率为概率.（i ）若经销商在甲､乙两种瓷砖上各投资10万元，1X 和2X 分别表示投资甲、乙两种瓷砖所获得的利润，求1X 和2X 的数学期望和方差，并由此分析经销商经销两种瓷砖的利弊； （ii ）若经销商在甲､乙两种瓷砖上总投资10万元，则分别在甲、乙两种瓷砖上投资多少万元时，可使得投资所获利润的方差和最小？ 附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=，100.68270.0220≈，100.95450.6277≈，100.99740.9743≈.【答案】（1）0.0257；（2）（i ）答案见解析；（ii ）在经销甲瓷砖上投资2.5万元，经销乙瓷砖上投资7.5万元. 【解析】 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）（i ）根据题意得出随机变量1X 、2X 的可能取值以及对应的概率，可得出随机变量1X 、2X 的分布列，可求得随机变量1X 、2X 的数学期望和方差，结合两个随机变量的数学期望值和方差可得出结论；（ii ）设经销商在经销甲瓷砖上投资x 万元，则在经销乙瓷砖上投资10x -万元，()f x 为经销甲瓷砖的方差与经销乙瓷砖的方差的和，利用方差的性质可得出()f x 的表达式，进而利用二次函数的基本性质可得出使得()f x 最小时对应的x 值.【详解】（1）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在()3,3μσμσ-+之内的概率为0.9974，则这10片质量全都在()3,3μσμσ-+之内(即没有废品)的概率为100.99740.9743≈， 则这10片中至少有1片是废品的概率为10.97430.0257-=；（2）（i ）由利润率和投额可得1X 可为1.2万元、0.8万元、0.2万元，2X 可为1万元、0.5万元、0.2万元，由直方图可得对应的频率为0.3、0.5、0.2和0.2、0.8、0.所以随机变量1X 的分布列为：()1 1.20.30.80.50.20.20.8E X =⨯+⨯+⨯=（万元），()()()()2221 1.20.80.30.80.80.50.20.80.20.12D X =-⨯+-⨯+-⨯=；随机变量2X 的分布列为：()210.20.50.80.200.6E X =⨯+⨯+⨯=（万元）， ()()()22210.60.20.50.60.80.04D X =-⨯+-⨯=，经销商经销甲瓷砖的平均利润0.8万元大于经销乙瓷砖的平均利润0.6万元，但经销甲瓷砖的方差0.12也远大于经销乙瓷砖的方差0.04，所以经销甲瓷砖的平均利润大，相对不稳定，而经销乙瓷砖的平均利润小，但相对稳定； （ii ）设经销商在经销甲瓷砖上投资x 万元，则在经销乙瓷砖上投资10x -万元，()f x 为经销甲瓷砖的方差与经销乙瓷砖的方差的和，则()()()221212101010101010x x x x f x D X D X D X D X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2220.040.04310420100100100x x x x ⎡⎤=-+-=+⎣⎦， 当202.524x -=-=⨯时，()f x 取最小值， 故在经销甲瓷砖上投资2.5万元，经销乙瓷砖上投资7.5万元时，可使得投资所获利润的方差和最小.【点睛】本题考查利用正态分布3σ原则求概率，同时也考查了简单随机变量及其分布列、数学期望与方差的计算，考查计算能力，属于中等题.21. 已知函数3()sin ()f x x x mx m =-+∈R .（1）当0m =时，证明：()xf x e >-；（2）若0x ≥时，函数()f x 单调递增，求m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】 【分析】（1）通过不等式放缩，原不等式证明转化为证明10x e x -->成立即可，通过构造函数，用求导的方法求最小值，即可证明.（2）原函数单调递增转化为()0f x '≥恒成立问题，构造函数()'()=F x f x ，用再次求导的方法和分类讨论m 的取值，求函数()F x 的最小值，进而证明不等式成立.【详解】（1）当0m =时，证明()xf x e >-，即证sin 0x e x x -+>，因为sin 1x x e x x e x -+≥--，当且仅当2()2x k k ππ=-+∈Z 时等号成立，①令()1xg x e x =--，则()1xg x e '=-，当0x >时，有()0g x '>，()g x 单调递增；当0x <时，有()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(0)0g x g ≥=，②又①､②中等号不能同时成立，所以sin 0x e x x -+>，即()x f x e >-. （2）依题意2()cos 130f x x mx '=-+≥在0x ≥上恒成立，令2()cos 13F x x mx =-+，[0,)x ∈+∞，则(0)0F =，()6sin F x mx x '=-，又令()sin H x x x =-，则由()1cos 0H x x '=-≥知()H x 在(0,)+∞上单调递增， 所以当0x ≥时，()(0)0H x H ≥=，即sin x x ≤， 因此()6(61)F x mx x m x '≥-=-，①当16m ≥，0x ≥时，()0F x '≥，()F x 单调递增；所以()()00F x F ≥=，符合题意； ②当0m ≤时，213022F m ππ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合题意，舍去； ③当106m <<时，令()()6sin x F x mx x ϕ'==-，则()6cos x m x ϕ'=-，()x ϕ'上单调递增，又因为(0)610m ϕ'=-<，602m πϕ⎛⎫'=>⎪⎝⎭，(0)02πϕϕ⎛⎫''⋅< ⎪⎝⎭. 所以在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的1x ，使得()10x ϕ'=， 当()10,x x ∈时，()0x ϕ'<，则()F x '在()10,x 上单调递减，从而()()00F x F ''<=，于是()F x 在()10,x 单调递减，所以()()00F x F <=，不符合题意，故舍去.综上，m 的取值范围为1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和分类讨论的数学思想，属于难题.22. 在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，2C 的极坐标方程为：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. （1）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，又1C ：2x =-与x 轴交点为H ，求HMN △的面积.【答案】（1）cos 2ρθ=-，()()22121x y -+-=；（2）1. 【解析】 【分析】（1）利用直角坐标与极坐标转化公式求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程；（2）联立2C 与3C 的极坐标方程可求出MN ，利用点到直线距离公式求H 到直线3C 的距离，可求出HMN △的面积.【详解】（1）∵直线1C ：2x =-∴直线1C 的极坐标方程为：cos 2ρθ=-，又∵2C 的极坐标方程为：22cos 4sin 40ρρθρθ--+= ∴222440x y x y +--+=即2C 的普通方程为：()()22121x y -+-=； （2）联立2C 与3C 的极坐标方程，设12,OMON ρρ==，则有22cos 4sin 404ρρθρθπθ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩，∴240ρ-+=∴12ρρ+=124ρρ=，12MN ρρ=-==，又∵直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，∴直线3C 的一般方程为y x =，即0x y -=， 又∵1C ：2x =-与x 轴交点为H ， ∴()2,0H -∴点()2,0H -到直线3C 的距离为d ==∴11122HMN MN d ===△S . 【点睛】本题考查极坐标方程与一般方程相互转化，联立极坐标方程求圆的弦长，考查运算求解能力，是基础题.23. 已知函数()21f x x x =+-. （1）求不等式()3f x <的解集；（2）若存在()0,απ∈，使得关于x 的方程()sin f x m α=恰有一个实数根，求m 的取值范围.【答案】（1）24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，分0x ≤，102x <<，12x ≥讨论求解.（2）画出函数()31,011,02131,2x x f x x x x x ⎧⎪-+≤⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩的图象，根据关于x 的方程()sin f x m α=恰有一个实数根，转化为1sin 2m α=有解，进而由12sin m α=求解. 【详解】（1）①当0x ≤时，得()123x x -+-<，解得23x >-，所以203x -<≤；②当102x <<时，得()123x x +-<，解得2x >-，所以102x <<； ③当12x ≥时，得()123x x --<，解得43x <，所以1423x ≤<.综上，不等式的解集为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）因为()31,011,02131,2x x f x x x x x ⎧⎪-+≤⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，画出其图象如图所示：若关于x 的方程()sin f x m α=恰有一个实数根，则1sin 2m α=有解， 又()0,απ∈，12sin m α=，所以1,2m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
湖南省师范大学附属中学2020届高三数学下学期模拟试题(二)理(含解析)
湖南师大附中2020届高考模拟卷(二)数学(理科)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A＝{20，17}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】A＝{20，17}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}故选C.2. 设i是虚数单位，复数z＝，则|z|＝()A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】.故选B.3. 右边的茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次英语听力比赛中的成绩(单位：分)，已知甲得分的中位数为76分，乙得分的平均数是75分，则下列结论正确的是()A. x甲＝76，x乙＝75B. 甲数据中x＝3，乙数据中y＝6C. 甲数据中x＝6，乙数据中y＝3D. 乙同学成绩较为稳定【答案】C【解析】因为甲得分的中位数为76分，所以x＝6，因为乙得分的平均数是75分，所以，解得y＝3，故选C.4. 已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝－x，则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.【答案】C【解析】已知双曲线的一条渐近线方程为，所以：.离心率为.故选C.5. 一算法的程序框图如图所示，若输出的y＝，则输入的x可能为()A. －1B. 1C. 1或5D. －1或1【答案】B【解析】若，符合题意；若，不满足故错误.所以选.6. 平面α外的一侧有一个三角形，三个顶点到平面α的距离分别是7、9、13，则这个三角形的重心到平面α的距离为( )A. B. 10 C. 8 D.【答案】A【解析】如图过点A作平面β∥α则β、α之间的距离为7，B到β的距离为9－7＝2，C到β的距离为13－7＝6，利用梯形中位线易求得BC中点D到β的距离为，而重心G在AD上，且，重心G到β的距离为d′＝4×，故重心G到α的距离为d＝4×＋7＝.故选A.7. 设数列{a n}，{b n}都是正项等比数列，S n、T n分别为数列{lg a n}与{lg b n}的前n项和，且＝，则log b5a5＝( )A. B. C. D.【答案】D【解析】故选D.8. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 15B. 20C. 25D. 30【答案】B【解析】V＝×3×4×5－×5＝20.故选B.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A. －7B. 7C. －28D. 28【答案】B【解析】试题分析：由题意，，令，，故常数项为．故选B．考点：二项式定理的应用．【名师点睛】1．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项．2．求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．10. 已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形且|PF1|<|F1F2|，则椭圆E的离心率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得PF1⊥PF2，由tan θ＝2sin θ＝，cos θ＝，∴|PF2|＝c，|PF1|＝c，从而|PF1|＋|PF2|＝c＝2a，∴e＝.故选A.11. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝.又函数g(x)＝cos，x∈[－3，3]，则函数F(x)＝f(x)－g(x)的所有零点之和等于( )A. －B. －C.D.【答案】D【解析】f(x)＝g(x)x＝，和为，选D.点睛：对于函数与方程函数零点的求法：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；将方程转化为两个函数的交点，数形结合.12. 已知数列{a n}，a n≥0，a1＝0，a n＋12＋a n＋1－1＝a n2(n∈N*)．对于任意的正整数n，不等式t2－a n2－3t－3a n≤0恒成立，则正数t的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】C【解析】易证得数列{a n}是递增数列，又t2－a n2－3t－3a n＝(t－a n－3)(t＋a n)≤0，t＋a n>0，∴t≤a n＋3恒成立，t≤(a n＋3)min＝a1＋3＝3，∴t max＝3.故选C.点睛：恒成立问题往往是采用变量分离，得到参变量与另一代数式的大小关系，进而转成求最值即可，对于数列的最值问题常用的方法有三个：一是借助函数的单调性找最值，比如二次型的，反比例型的，对勾形式的等等；二是作差和0比利用数列的单调性求最值；三是，直接设最大值项，列不等式组大于等于前一项，大于等于后一项求解.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13. 设x，y∈R，向量a＝(x，2)，b＝(1，y)，c＝(2，－6)，且a⊥b，b∥c，则＝____．【答案】【解析】向量a＝(x，2)，b＝(1，y)，且a⊥b，b∥c所以，，解得.则14. 设变量x、y满足约束条件：则z＝x2＋y2的最大值是_____．【答案】8【解析】作出约束条件所对应的可行域(如图△ABC)，而z＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为OC或OA＝2，故答案为：8.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.15. 圆x2＋y2＝1上任意一点P，过点P作两直线分别交圆于A，B两点，且∠APB＝60°，则|PA|2＋|PB|2的取值范围为___．【答案】(5，6]【解析】过点P做直径PQ，如图，根据题意可得：|PQ|＝2.令∠APQ＝θ，则∠BPQ＝－θ.由题意可知：0<θ<.那么，|PA|＝|PQ|cos θ＝2cos θ，|PB|＝|PQ|cos＝2cos.|PA|2＋|PB|2＝(2cos θ)2＋＝4＝4＝4cos2θ＋＝2cos2θ＋2sin θcos θ＋3＝sin 2θ＋cos 2θ＋4＝2+4＝2sin＋4.∵0<θ<，∴0<2θ<，∴<2θ＋<，∴<sin≤1.∴5<2sin＋4≤6.因此，|PA|2＋|PB|2的取值范围为(5，6]．16. 已知函数f(x)＝x|x2－12|的定义域为[0，m]，值域为[0，am2]，则实数a的取值范围是_____．【答案】a≥1........................令x3－12x＝16，解得，x＝4.作出函数的图象(如右图所示)．函数f(x)的定义域为[0，m]，值域为[0，am2]，分为以下情况考虑：①当0<m<2时，函数的值域为[0，m(12－m2)]，有m(12－m2)＝am2，所以a＝－m，因为0<m<2，所以a>4；②当2≤m≤4时，函数的值域为[0, 16]，有am2＝16，所以a＝，因为2≤m≤4，所以1≤a≤4；③当m>4时，函数的值域为[0，m(m2－12)]，有m(m2－12)＝am2，所以a＝m－，因为m>4，所以a>1.综上所述，实数a的取值范围是a≥1.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知函数f(x)＝sin ωx cos ωx－sin2ωx＋1(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.(Ⅰ)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；(Ⅱ)如图，在锐角三角形ABC中有f(B)＝1，若在线段BC上存在一点D使得AD＝2，且AC＝，CD＝－1，求三角形ABC的面积．【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】试题分析：(Ⅰ)利用倍角公式降幂，结合辅助角公式化一可得正弦型函数，进而结合正弦函数性质即可求解；(Ⅱ)讲f(B)＝1代入解析式得B＝，在△ADC中由余弦定理可得cos C＝，解出三角形即可求面积.试题解析：(Ⅰ)f(x)＝sin 2ωx－＋1＝sin＋.因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以T＝π，即＝π，所以ω＝1.故f(x)＝sin＋.令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．所以f(x)的单调递减区间为 (k∈Z)．(Ⅱ)由f(B)＝sin＋＝1，即sin＝.由0<B<得<2B＋<，所以2B＋＝，解得B＝.再由已知：AC＝，CD＝－1，AD＝2.∴在△ADC中，由AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C，得cos C＝，又∠C∈(0°，90°)，∴∠C＝45°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝75°.在△ABC中，由＝，得AB＝2，∴S△ABC＝·AB·AC·sin∠BAC＝×2××＝.18. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝AB＝1，BC＝.(Ⅰ)求证：平面PBD⊥平面PBC；(Ⅱ)设H为CD上一点，满足＝2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角H－PB－C的余弦值．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) .【解析】试题分析：（Ⅰ）通过勾股定理可得BC⊥BD，利用面面垂直的判定定理即得结论；（Ⅱ）通过题意以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，所求二面角的余弦值即为平面HPB的一个法向量与平面PBC的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．试题解析：(Ⅰ)证明：由AD⊥CD，AB∥CD，AD＝AB＝1BD＝，又BC＝，∴CD＝2，∴BC⊥BD，因为PD⊥底面ABCD，∴BC⊥PD.因为PD∩BD＝D，所以BC⊥平面PBD，所以平面PBD⊥平面PBC.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知∠BPC为PC与底面PBD所成的角．所以tan∠BPC＝，所以PB＝，PD＝1，又＝2及CD＝2，可得CH＝，DH＝.以D点为坐标原点，DA，DC，DP分别x，y，z轴建立空间坐标系，则B(1，1，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，H.设平面HPB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则由得取n＝(1，－3，－2)，设平面PBC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则由得取m＝(1，1，2)．所以cos〈m·n〉＝＝－，所以二面角H－PB－C余弦值为.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分，某考试每道都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道能排除两个错误选项，另2题只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项做答，且各题做答互不影响．(Ⅰ)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，该考生选择题得50分的概率为P（A）P（A）P（B）P （B），由此能求出结果．（Ⅱ）该考生所得分数X=30，35，40，45，50，分别求出P（X=30），P（X=35），P（X=40），P（X=45），P（X=50），由此能求出X的分布列和数学期望．试题解析：(Ⅰ)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，该考生选择题得50分的概率为：P(A)P(A)P(B)P(B)＝·＝.(Ⅱ)该考生所得分数X＝30，35，40，45，50，P(X＝30)＝＝，P(X＝35)＝C21＋·C21··＝，(6分)P(X＝40)＝＋C21C21··＋＝，P(X＝45)＝C21＋C21··＝，P(X＝50)＝＝，∴X的分布列为：X 30 35 40 45 50PEX＝30×＋35×＋40×＋45×＋50×＝.20. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点F与抛物线E：y2＝4x的焦点重合，直线x－y＋＝0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．(Ⅰ)直线x＝1与椭圆交于不同的两点M，N，椭圆C的左焦点F1，求△F1MN的内切圆的面积；(Ⅱ)直线l与抛物线E交于不同两点A，B，直线l′与抛物线E交于不同两点C，D，直线l与直线l′交于点M，过焦点F分别作l与l′的平行线交抛物线E于P，Q，G，H四点．证明：＝.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用条件得椭圆方程，将x＝1代入椭圆得M，N坐标，求出△F1MN 的周长和面积，进而得内切圆半径；(Ⅱ)设出直线方程与椭圆联立，利用韦达定理结合弦长公式表示弦长，进而化简运算即可证明.试题解析：(Ⅰ) 依题意，得c＝1，e＝＝，即＝，∴a＝2，∴b＝，∴所求椭圆C的方程为＋＝1.直线l的方程为x＝1，得M，N，设△F1MN的内切圆的半径为R，则△F1MN的周长＝4a＝8，S△F1MN＝ (|MN|＋|F1M|＋|F1N|)R＝4R.又因为S△F1MN＝3＝4R，∴R＝，所求内切圆的面积为π.(Ⅱ)设直线l和l′的方程分别为x＝k1y＋m1，x＝k2y＋m2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，由方程组得y2－4k1y－4m1＝0 ①方程①的判别式Δ>0，得4k12＋4m1>0.由①得y1＋y2＝4k1，y1y2＝－4m1，由方程组得y2－4k2y－4m2＝0 ②方程②的判别式Δ>0，得4k22＋4m2>0.由②得y3＋y4＝4k2，y3y4＝－4m2.联立直线l与直线l′的方程可得：M点坐标为.因为|MA|·|MB|＝(1＋k12)，代入计算得，|MA|·|MB|＝·|(m2－m1)2＋4k1k2(m1＋m2)－4(m1k22＋m2k12)|.同理可得|MC|·|MD|＝(1＋k22)＝·.因此＝.由于PQ，HG分别与直线l和直线l′平行，故可设其方程分别为x＝k1y＋1，x＝k2y＋1.由方程组得y2－4k1y－4＝0. ③由③得y P＋y Q＝4k1，y P y Q＝－4，因此|PQ|＝x P＋x Q＋p＝k1(y P＋y Q)＋4＝4(1＋k12)．同理可得|HG|＝x H＋x G＋p＝k1(y H＋y G)＋4＝4(1＋k22)．故＝.所以＝.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数φ(x)＝，a为正常数．(Ⅰ)若f(x)＝ln x＋φ(x)，且a＝4，讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若g(x)＝|ln x|＋φ(x)，且对任意x1，x2∈(0，2]，x1≠x2都有<－1.(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅱ)求证：当x∈(0，2]时，g(x)≥ln 2＋.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) (ⅰ) ；(ⅱ)见解析.【解析】试题分析：（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）>0求得的区间是单调增区间，f′（x）<0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．（2）设h（x）=g（x）+x，依题意得出h（x）在（0，2]上是减函数．(ⅰ)下面对x分类讨论：①当1≤x≤2时，②当0<x<1时，利用导数研究函数的单调性从及最值，即可求得求a 的取值范围．(ⅱ) h(x)在(0，2]上是减函数，所以h(x)≥h(2)，即g(x)＋x≥ln 2＋＋2，由a的范围放缩得：g(x)≥ln 2＋＋2－x，进而构造函数T(x)＝ln 2＋＋2－x，利用单调性即可证得.试题解析：(Ⅰ)当a＝4时，f(x)＝ln x＋，定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝－＝≥0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(Ⅱ)因为<－1，所以＋1<0， <0 .设h(x)＝g(x)＋x，依题意，h(x)在(0，2]上是减函数，h′(x)≤0恒成立．(ⅰ)①当1≤x≤2时，h(x)＝ln x＋＋x，h′(x)＝－＋1≤0.从而，a≥＋(x＋1)2＝x2＋3x＋＋3对x∈[1，2]恒成立．设m(x)＝x2＋3x＋＋3，x∈[1，2]，则m′(x)＝2x＋3－>0.所以m(x)在[1，2]上是增函数，则当x＝2时，m(x)有最大值为，所以a≥.②当0<x<1时，h(x)＝－ln x＋＋x，h′(x)＝－－＋1≤0.从而，a≥－＋(x＋1)2＝x2＋x－－1.设t(x)＝x2＋x－－1，则t′(x)＝2x＋1＋>0，所以t(x)在(0，1)上是增函数．所以t(x)<t(1)＝0，所以a≥0.综合①②，又因为h(x)在(0，2]上图形是连续不断的，所以a≥.(ⅱ)因为h(x)在(0，2]上是减函数，所以h(x)≥h(2)，即g(x)＋x≥ln 2＋＋2.由(ⅰ)得，a≥，∴g(x)＋x≥ln 2＋＋2≥ln 2＋＋2，∴g(x)＋x≥ln 2＋＋2，当且仅当x＝2时等号成立．从而g(x)≥ln 2＋＋2－x.令T(x)＝ln 2＋＋2－x，则T(x)在(0，2]上单调递减．∴T(x)≥T(2)＝ln 2＋.∴T(x)≥ln 2＋.选做题：请考生在第(22)、(23)两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. 选修4—4：坐标系与参数方程(Ⅰ)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程；(Ⅱ)在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为 (s为参数)，曲线C的参数方程为 (t为参数)，若l与C相交于A，B两点，求AB的长．【答案】(Ⅰ) 为参数）；(Ⅱ) .【解析】试题分析：(Ⅰ)有图像可知x P＝＋cos 2θ＝cos2θ，y P＝sin 2θ＝sin θcos θ即得；(Ⅱ)联立解得交点，进而得线段长.试题解析：(Ⅰ)圆的半径为，记圆心为C，连结CP，则∠PCx＝2θ，故x P＝＋cos 2θ＝cos2θ，y P＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为 (θ为参数)．(Ⅱ)直线l的普通方程为x＋y＝2，曲线C的普通方程为y＝(x－2)2(y≥0)，联立两方程得x2－3x＋2＝0，求得两交点坐标为(1，1)，(2，0)，所以AB＝.23. 选修4—5：不等式选讲设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(Ⅰ)当a＝2时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．【答案】(Ⅰ) {x|x≥4或x≤0}；(Ⅱ) a＝2.【解析】(I)当a=1时，不等式转化为,此不等式易解.（II）解本小题关键是把转化为,然后再讨论去绝对值转化为或即或求解.解：（Ⅰ）当时，可化为．由此可得或．故不等式的解集为或．…………5 分(Ⅱ) 由得此不等式化为不等式组或即或因为，所以不等式组的解集为由题设可得=，故…………10分。
2020年湖南师大附中高三月考试卷一(文)
2020年湖南师大附中高三月考试题（一）数学试题（文科）第I 卷 （选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={1，2}，则满足A ∪B={1，2}的集合B 的个数共有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．命题“01,2>+-∈∀x x x R ”的否定是（ ）A ．不存在01,0200>+-∈x x x 使R B ．01,0200≤+-∈∃x x x RC ．01,0200<+-∈∃x x x RD ．01,2≤+-∈∀x x x R 3．函数)34(log 5.0-=x y 的定义域是（ ）A ．[)+∞,1B ．),43(+∞C ．⎥⎦⎤⎝⎛1,43 D ．(]1,∞-4．已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 4=，则曲线C 的直角坐标方程是 （ ）A ．4)2(22=-+y x B ．4)2(22=++y xC ．4)2(22=+-y xD ．4)2(22=++y x5．从集合x y x y x ,1|),{(22≤+、)R ∈y 中任选一个元素1),,(≥+y x y x 即的概率为（ ）A ．21B ．ππ42- C ．ππ423+ D ．π41 6．有一条输电线路出现了故障，在线路的开始端A 处有电，在末端B 处没有电，要检查故障所在位置，宜采用的优选法是（ ）A ．0.618法B ．分数法C ．对分法D ．盲人爬山法7．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图所对应的三角形是边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，则这个几何体的表面积等于 （ ）A ．12B ．8C ．344+D ．348．已知实数x 、y 满足22)1()1(,033042022-++⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+y x y x y x y x 则的最小值是（ ）A ．2B ．5C ．51D ．59 二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分。
湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试(理数)
湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试数 学（理科）本试题卷共5页，全卷满分150分，考试用时l20分钟。
一、选择题：本大题共且2个小题，每小题S 分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}121>=-x x A ，{}022≤-=x x x B ，则=B A I A ．[)2,1B ．[]2,1C ．(]3,0D ．(]2,12．在复平面内，复数iiz +=1（i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足FB CF 2=，那么=EF A ．3121- B ．2131+C ．AD 3221- D ．2141+ 4．函数12-=x ex y （其中e 为自然对数的底）的图象大致是5．在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内 切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧， 则点M 恰好取自阴影部分的概率为 A ．21B ．2π C ．12-πD ．22π-6．()51113⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项为A ．14B ．14-C ．16D ．16-7．已知α为锐角，且()110tan 31cos =+οα，则α的值为A ．ο20B ．ο40C ．ο50D ．ο708．设椭圆)0(1:2222>>+b a by a x C ，的左、右焦点分别为21,F F ，点)0)(,0(b t t E <<.己知动点P在椭圆上，且点2,,F F P 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为b 3,则椭圆C 的离心率为A ．23 B ．22 C ．21 D ．35 9．设三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面2==AC AB ,ο90=∠BAC ,231=AA ,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A ．π24 B ．π18 C ．π26D ．π1610．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若nn n S a 2=+，*)(2212N n a a n n b n∈-=++，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nb 1的前99项和为 A ．9897 B ．9998 C ．10099 D ．10110011．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤+=21,2181,log 2)(21x x x x f x ，若))(()(b a b f a f <=，则ab 的最小值为 A ．22B ．21 C ．42 D ．35 12．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ,交y 轴于点C ,交另一条渐近线于点A ,并且点C 位于点B A ,之间，已知O 为原点,且a OA 35=，则=FCFAA ．45 B ．34 C ．23 D ．25 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2020年4月湖南省六校联考(师大附中长沙一中等)2020届高三高考模拟联考数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前湖南省六校联考(湖南师大附中 长沙市一中 岳阳市一中 株洲市二中 湘潭市一中 常德市一中)2020届高三毕业班下学期高考模拟联考数学(理)试题(解析版)2020年4月考生注意：1.本试卷分第Ι卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.时量120分钟，满分150分.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回.第Ι卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}12x A y y -==，}4{0|2x B x x -=≤+，则A B =（ ） A. ()0,4B. ∅C. ()2,-+∞D. [)2,-+∞【答案】C【解析】【分析】 根据指数型函数的值域化简集合A ，求解不等式化简集合B ，按并集的定义即可求解. 【详解】{}12(0,)x A y y -===+∞，]402{|}(2,4x B x x ≤=+--=， (2,)A B ∴=-+∞.故选：C.【点睛】本题考查集合间的运算，掌握指数函数性质是解题的关键，属于基础题.2. 若复数z 满足211z i i i ⋅=++（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点在（ ）A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限 【答案】D【解析】【分析】根据复数乘法、除法的运算法则，求出z ，得到z 对应的点的坐标，即可得出结论. 【详解】(12)(1)1321,31z i i i i i z i i i i ⋅++-+=+∴===++， 复数z 在复平面内对应的点坐标为(3,1)，在第一象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的代数运算以及几何意义，属于基础题.3. 已知条件1:p k =，条件:q 直线1y kx =+与圆2212x y +=相切，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出直线1y kx =+与圆2212x y +=相切时k 的值，再由充分必要条件的定义判定，即可得出结论.【详解】设圆心(0,0)O 到直线1y kx =+距离为d ，。
【附15套精选模拟试卷】湖南省师大附中2020届高三月考试卷(七)数学(文)试卷含解析
湖南省师大附中2020届高三月考试卷（七）数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知Rt ABC V 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式63S x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项的系数是（ ）A ．-20B ．20C ．203-D ．602．已知函数()ln ,0,x x e f x e x e x ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则()123x x f x 的取值范围为 A ．(0，1] B ．(0，1) C ．(1，+∞) D ．[1，+∞)3．已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA =，2AB BC ==，则球S 的表面积为（ ）A ．5πB ．5π2C ．9πD ．9π24．函数sin21cos x y x=-的部分图像大致为 A ． B ． C ． D ．5．已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点P满足22OPF POF ∠=∠（O 为坐标原点），则E 的离心率为（ ）A ．5B ．2C ．3D ．2 6．己知函数()3sin cos (>0)f x x x ωωω=+的零点构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图像沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ,下列说法正确的是（ ） A ．在[,]42ππ上是增函数 B ．其图像关于4πx =-对称 C ．函数()g x 是奇函数D ．在区间2[,]63ππ上的值域为[-2，1]7．函数()sin(2)2f x x π=-的图象与函数()g x 的图象关于直线8x π=对称，则关于函数()y g x =以下说法正确的是（ ）A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称 B ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，为奇函数 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 8．在ABC V 中三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2223b c bc a +-=，23bc a =，则角C的大小是（ ） A ．6π或23π B ．3π C ．23π D ．6π9．函数y ＝2ln ||x x 的图象大致为() A ． B ． C ． D ．10．若函数y ＝e x ﹣e ﹣x （x ＞0）的图象始终在射线y ＝ax （x ＞0）的上方，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，e]B ．（﹣∞，2]C ．（0，2]D ．（0，e]11．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 1.5s =（单位：升），则输入的k 的值为（ ）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．912．已知函数431()232fx x x m =-+，x R ∈，若()90f x +≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．32m ≥B ．32m >C ．32m ≤D ．32m <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南师大附中2020届高三下学期月考(七)数学(文)试题
（2）设 分别交 、 于点 、 ，求 的面积.
23．（1）已知 ，求 的最值；
（2）若 的解集不是 ，求 的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先由题，可得阴影部分表示的集合为 ，然后求得集合 的补集，再求得最后答案.
【详解】
由题可知，阴影部分表示的集合为
2
3
4
5
6
3
7
12
20
A．13B．14C．15D．16
7．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如 ，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 ，若将函数 的图象向左平移 后得到偶函数 的图象，则函数 的一个单调递减区间为（ ）
18．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位： ），其频率分布直方图如下：
（1）网箱产量不低于 为“理想网箱”，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 的把握认为“理想网箱”的数目与养殖方法有关：
箱产量
箱产量
合计
旧养殖法
新养殖法
合计
（2）若在 （ 为自然对数的底数）上存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 .
【附加15套高考模拟试卷】湖南省衡阳市八中2020届高三第六次月考数学(文)试题含答案
湖南省衡阳市八中2020届高三第六次月考数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D2．()73111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为（ ） A ．-7B ．28C ．35D ．423．将函数()()sin 08,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭的图象向左平移1148π个单位后得到函数()g x 的图象，且函数()f x 满足31121616f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列命题中正确的是（ ） A ．函数()g x 图象的两条相邻对称轴之间距离为2π B ．函数()g x 图象关于点5,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 D ．函数()g x 在区间50,24π⎛⎫ ⎪⎝⎭内为单调递减函数 4．已知ABC ∆的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为2的等差数列，则ABC ∆的周长为（ ） A ．15B ．18C ．21D ．245．已知函数()ln ln()f x x a x =+-的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 的值域为( ) A ．(0,2)B ．[0,)+∞C ．(2]-∞D ．(,0]-∞6．已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=8x 上一点A 到焦点F 的距离为6，若点P 为抛物线C 准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（ ） A ．4B．．D．7．已知函数1()ln1xf x x x＝++-，且()(1)0f a f a ++>，则a 的取值范围为（ ） A ．1(1,)2-- B ．1(,0)2- C ．1(,1)2- D ．1(,)2-+∞8．一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边,AB AD 分别交于点,E F ，且交其对角线AC 于点M ，若()2,3,,AB AE AD AF AM AC R λλ===∈u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u rg ，则λ=（ ） A ．12 B ．15 C ．32 D ．59．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线350x y -=上，则7πtan sin(2)2θθ++= A ．1785 B ．1785-C ．1185D ．1185-10．函数的导函数满足在上恒成立，且，则下列判断一定正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知点F 1，F 2是椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，动点Q 在射线F 1P的延长线上，且|PQ u u u r |=|2PF u u u r |，若|PQ u u u r|的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（ ）A ．35B ．13C ．45D ．1912．已知函数()21x f x x =-，则（ ）A ．()f x 在()0,1单调递增B ．()f x 的最小值为4C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称 D ．()y f x =的图象关于点()1,2对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2020届湖南省师大附中高三第六次模拟考试数 学（文）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） 1． 已知集合21{|0},{|28}32x x M x N x x +=≥=≤≤-，则（ ） A ．M N R =U B ．{|23}M N x x =-≤<UC ．{13}MN x x =-≤≤D ．{13}M N x x =-≤<2． 已知复数z 满足()312z i i -=-，则复数复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 设R x ∈，向量(,1),(1,2)a x b ==-，且a b ⊥，则a b +=（ ）ABC ．D ．104． 在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =（ ） A ．8B ．16C ．22D ．445． 设,a b 表示不同的直线，,αβ表示不同的平面，给出下列命题： ①若∥a α，a β⊂，则∥αβ；②若a α⊂，∥αβ，则∥a β；③若∥a b ，a α⊥，b β⊥，则∥αβ； ④若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥. 则以上命题正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．46． 将函数sin()6y x π=-的图像上所有的点横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再把图像上各点的向右平移2π个单位长度，则所得图像的解析式为（ ）A ．5sin(2)12y x π=-B ．sin()212x y π=+ C ．5sin()212x y π=-D ．2sin()23x y π=-7． 函数（a >0且）的图像恒过定点A ，若点A 在直线上，其中，则的最小值为（ ）A ．B ．5C ．D ．8． 若2sin 2cos22αα-=-，则tan α=（ ）A ．1-或3-B ．1-或13-C ．1或3D ．1或139． 函数()e 21xf x x =--的图象大致为（ ）A B C D10．中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各名族在内的统称，是反应中华民族对生命，健康和疾病的认识，具有悠久的历史传统和独特理论技术的医药学体系，是中华民族的瑰宝。
某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x （单位：克）与药物功效y （单位：药物单位）之间具有关系，检测这种药物一个批次的5个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为克，则估计这批中药的药物功效的平均值为（ ） A ．22药物单位 B ．20药物单位 C ．12药物单位 D ．10药物单位 11．已知函数（），的值域为，则最小正周期的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知奇函数()f x 是定义在R 上的连续可导函数，其导函数是)( x 'f ，当0x >时，()2()f x f x '<恒成立，则下列不等关系一定正确的是（ ）A ．2(1)(2)e f f >-B ．2(1)(2)e f f ->-C ．2(1)(2)e f f -<-D ．2(2)(1)f e f -<--第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答；第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）13．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1AD 所成角的大小为 14．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 是BC 的中点，，则向量的值为15．设实数,x y 满足22,20,2,y x x y x ≤+⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则的最大值是 .16．已知三棱锥P ABC -中，22PA PB PC ===，ABC ∆的正三角形，则三棱锥P ABC -的外接球半径为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足（b a +2）0cos cos =+B c C ． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若6=c ，求△ABC 面积的最大值． 18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和n S ，数列{}n S 的前n 项和为{}n T ，满足*32,n n T S n n N =-∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：*1,n S n N ≥∈．19．（本小题满分12分）某校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表： （Ⅰ）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？（Ⅱ）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20．（本题满分12分）如图三棱柱111ABC A B C -，AB BC CA ==，1,D D 分别是11,BC B C 的中点，四边形11ADD A 是菱形，且平面11ADD A ⊥平面11CBB C ．（Ⅰ）求证：四边形11CBB C 为矩形；（Ⅱ）若13ADD π∠=,且11A BB C C -111ABC A B C -的侧面积．21．（本题满分12分）已知函数e x xem mx x f (ln 21)(-+--=为自然对数的底数），R m ∈． （Ⅰ）当0=m 时，求函数)(x f 的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数1()ln sin g x x x =+⋅θ在[)+∞,1上为增函数，且()πθ,0∈，若在[]e ,1上至少存在一个实数0x ，使得)()(00x g x f >成立，求m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{2sin ,()2cos x t t y t==为参数，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=，(2,0)A ．（Ⅰ）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）AP 是圆C 上动弦，求AP 中点M 到l 距离的最小值．23．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数()1,.f x x a x a R =--+∈（Ⅰ）当1a =时，求不等式2()f x x x ≤-的解集； （Ⅱ）若正实数,m n 满足21m n +=，函数12()f x m n≤+恒成立，求实数a 的取值范围．数学（文）·参考答案一、选择题二、填空题13．；14．；15．12；16 16．详解：,PC CA PC CB ⊥⊥，故可得PC ⊥平面ABC ．以PC 作为三棱锥的一条侧棱，ABC ∆作为三棱锥的底面，则三棱锥外接球的球心到底面的距离1122d PC==，又ABC∆外接圆的半径213r=⨯=，所以外接球的半径2R===．三．解答题17．(Ⅰ))coscos(cos2,0coscos)2(BcCbCaBcCba+-=∴=++..............2分由正弦定理得ACBBCCBCA sin)sin()cossincos(sincossin2-=+-=+-=在ABC∆中，0sin≠A,所以21cos-=C又),0(π∈C所以32π=C..................6分(Ⅱ)由(Ⅰ)和余弦定理有ababbaCabbac3cos222222≥++=-+=.12,6≤∴=abc当且仅当32==ba时等号成立.......................10分33231221sin21=⨯⨯≤=∴∆CabSABC即面积最大值为33.......................12分18．(Ⅰ)当1n=，由已知有，11321a a=-⨯∴11=a...........1分当2n≥时，32n nT S n=-............①1132(1)n nT S n--=--②①-②得：133232n n n nS S S a-=--=-③.................3分故1132n nS a--=-④③-④得：133n n na a a-=-.......................5分∴{}n a是以1为首项，公比为*()n N∈.........6分3112312n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-312>，∴ *3212n n S n N ⎡⎤⎛⎫=-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦函数为上的单调递增函数 ................10分∴33212(1)122n n S ⎡⎤⎛⎫=-≥-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦*1,n S n N ≥∈故成立． . ...... ...........12分19．(Ⅰ)过点A 作1AO DD ⊥,交1DD 于点O ,平面11ADD A ⊥平面11CBB C ,平面11ADD A ⋂平面11CBB C 1DD =,1AO DD ⊥AO ⊂平面11ADD A ，AO ∴⊥平面11CBB C , ...............2分AO BC ∴⊥ ABC 是正三角形，D 为BC 中点， BC AD ∴⊥ ,,AO AD A AO AD ⋂=⊂平面11ADD ABC ∴⊥ 平面11ADD A ， .................5分 1BC DD ∴⊥ 1BC BB ∴⊥∴四边形11CBB C 为矩形. ..................6分 (Ⅱ)过点O 作1OE BB ⊥交1BB 于点E ，连接AE设=AB a ，∴AD =13ADD π∠=∴ 在Rt AOD中3,4AO a OD == ...........7分 11A BB C C -,13324a a a ∴⋅⋅⋅=2a =，12,AB BB ∴= .........9分 11,OE BB AO BB ⊥⊥ ,OE AO ⊂平面AOE 1BB ∴⊥平面AOE 1BB AE ∴⊥在Rt AOE中2AE=1122ABB A S == ...........11分同理112ACC A S∴=11BB C CS=∴..............12分20．解：（Ⅰ）由公式2255(2020105)11.9787.87930252530K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关． …………………6分（Ⅱ）设所抽样本中有m 个男生，则643020mm ==，得人，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作123412,,,,,.B B B B G G 从中任选2人的基本事件有1213(,)(,)B B B B 、、OE1411122324212234(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)B B B G B G B B B B B G B G B B 、、、、、、、、 3132414212(,)(,)(,)(,)(,)B G B G B G B G G G 、、、、，共15个，其中恰有1名男生和1名女生的事件有111221(,)(,)(,)B G B G B G 、、、223132(,)(,)(,)B G B G B G 、、、41(,)B G 、42(,)B G ，共8个，所以恰有1名男生和1名女生的概率为815P =． …… ………12分21．解：（1）()+∞∈--=∴=,0,ln 21)(,0x x xex f m ， 212)(x xe xf --='∴ 令0)(='x f 得12-=e x ， 当()12,0-∈e x 时，)(,0)(x f x f >'递增； 当()+∞-∈,12e x 时，)(,0)(x f x f <'递减， 所以)(x f 的递增区间为()12,0-e ， 递减区间为()+∞-,12e ，极大值为)12ln(1)12(---=-e e f ，无极小值 ……5分 （2）由已知有0sin 1sin )(2≥∙-∙='xx x g θθ即01sin ≥-∙x θ在[)+∞,1上恒成立，x 1sin ≥∴θ恒成立，1sin 11≥∴≤θx2,1s i n πθθ==∴ …..8分 设x x em mx x g x f x F ln 22)()()(-+-=-=，当0≤m 时，[]0,1≤-∴∈x m mx e x ，且02ln 2<--x ex ，所以不存在[]e x ,10∈使得)()(00x g x f >成立； ……..10分当0>m 时，[]022,,1,22)(22≥-∴∈++-='x e e x x em x mx x F ，又02>+m mx 0)(>'∴x F 在[]e ,1上恒成立，)(x F ∴在[]e ,1上递增，4)()(max --==∴em me e F x F 由04>--e m me 得142->e e m ，所以m 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,142e e …..12分四．选做题 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程解析： 解：(Ⅰ)圆C 的普通方程为：224x y += .....................2分dsin cos )2ρθρθ+=直线l 的直角坐标方程: 04=-+y x ......................4分(Ⅱ) M 的参数方程为：2sin 22,()2cos 02t x t t y +⎧=⎪⎨+⎪=⎩为参数即{sin 1,()cos x t t y t=+=为参数所以设M （sin 1t +，cos t ） ...................... 6分则M 点到l 距离:2|3)4sin(2|2|4cos 1sin |-+=-++=πt t t d ......................9分当4t π=时， 1223223min -=-=d .....................10分 （23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解析：(Ⅰ)当1a =时，不等式2()f x x x ≤-即211x x x x --+≤-. .................1分当1x ≤-时，由211x x x x -++≤-，得12x x ≤-≥或，故有1x ≤-；.........2分 当11x -<≤时，由211x x x x ---≤-，得10x x ≤-≥或，故有01x ≤≤；........... 3分 当1x >时，由211x x x x ---≤-，得x R ∈，故有1x >. .................4分 综上述，不等式2()f x x x ≤-的解集是(][),10,-∞-+∞. .................5分(Ⅱ)依题意，问题可转化为求[]min max 12()()f x m n≤+ .................6分 其中()111f x x a x x a x a =--+≤---=+又()121242448m n m n m n m n n m m ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当421m n n m m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1412m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号. .................8分 故由18a +≤，得818a -≤+≤，即97a -≤≤综上述，a 的取值范围为[]9,7-. .................10分。