二分法公开课
4.5.2二分法课件(人教版)
第一次 第二次
第三次 第四次
理论拓展
用二分法寻找函数零点的过程，就是一个“精益求精”的收敛的过程.
问题1：为什么用二分法，而不用三分法、四分法…？ n分法的比较
收敛速度
在“最不利原则” 下，每试验一次
排查范围缩小为
二分法
1
原来的
2
三分法
2 3
四分法
3 4
逐一法
n 1 n
最优策略 （效率最高）
理论拓展
①在[a,b]上连续不断； ②f(a)·f(b)＜0. 思考：所有函数的零点都可以用二分法来求近似值. 即：有变号零点
①③
关注社会民生 强调学以致用
6、在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，
现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称__4_次就可以发现这枚假币．
“二分法”因其简单高效，在生产生活中的应用非常广泛，比如检修 线路故障、血液检测标本、查找次品、猜数问题等。
4.5.2 用二分法求方程的 近似解
高一上学期
“假币”的发现
在24枚崭新的金币 中，混入了一枚外 表相同但重量较轻 的假币，现在只有 一台天平，请问： 需要称几次就可发 现这枚假币？
高一数学必修一第三章第二节用二分法求方程的近似解公开课一等奖优秀课件
反思与感悟
用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取， 符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断， 以决定是停止计算还是继续计算.
3 • 题型探究
跟踪训练1 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零 点.(精确度0.01)
0.261 0 0.103 3 0.027 3 －0.010 0
由于1.265 625－1.257 812 5＝0.007 812 5<0.01， 所以 1.265 625 是函数的零点的近似值，即3 2的近似值是 1.265 625.
反思与感悟
“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点 附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.
2＋4 f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点 x1＝ 2 ＝3，计算得 f(2)·f(x1)<0，则此
时零点 x0 所在的区间是( B )
A.(2,4) C.(3,4)
B.(2,3) D.无法确定
规律与方法
1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间 的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度， 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
二分法的概念： 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ， 使 区 间 的 两 个 端 点 逐步逼近零，点进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 方程的近似解 .
2 • 问题导学
《算法案例3二分法》课件
算法定义
有序步骤
算法是一系列有序 的步骤
有限性
算法在执行过程中 会在有限步骤内终
止
确定性
算法保证经过有限 次计算后可以得到
确定的结果
算法特性
输入输出
算法具有输入和输 出
确定性
相同输入条件下， 算法的输出结果唯
一
有效性
算法解决问题的方 法必须有效
01 计算机科学
算法是计算机科学的基础
02 人工智能
● 03
第3章 二分法改进
二分法变形
二分查找的变形问题包括根据不同已知条件下的优化以及多 指针二分法的应用。这些变形能够提高算法的效率和适用性。
二分法应用
图论中的应用
优化路径搜索
贪心算法中的 应用
局部最优解
动态规划中的 应用
寻找最优解
01 LeetCode上的经典问题
二分搜索
02 实际项目中的案例
医疗领域的二分法 实践
医疗影像处理中的应用
疾病诊断模型的优化
智能化领域的二分法 实践
智能家居系统中的应用
智能机器人算法优化
二分法在游戏开 发中的应用
在游戏开发中，二分法被广泛应用于解决地图路径规划、资 源分配等问题。游戏引擎中的二分法可以提高游戏性能和体 验，策略游戏中的二分法可以优化AI决策，多人在线游戏中 的二分法能提升服务器响应速度。
《算法案例3二分法》PPT 课件
制作人：PPT创作创作 时间：2024年X月
第1章 算法概述 第2章 二分法原理 第3章 二分法改进 第4章 二分法应用拓展 第5章 实践应用案例 第6章 总结与展望
目录
● 01
第1章 算法概述
什么是算法？
二分法公开课.PPT资料
※ 给定准确度,用二分法求函数f(x)零点近似值 的 步骤:
1. 在定义域内取区间[a,b],使f(a)·f(b)<0, 那么零
点在区间[a,b]内；
2.求区间(a,b)的中点
a
2
,b记为c;
3.计算f(c)：
(1)假设f(c),0那么c 就是函数的零点;
(2)假 f(a)f(c)0 那么此时零点x0(a,c) 设 (3)假设f(c)f(b),0 ,那么此时零x点0(c,b)
值 (2)假设
,
我国古代数学家已比较系统地处置了部分方程求解的问题,在<九章算术>,北宋贾宪的<黄帝九章算法细草>,南宋秦九韶的<数书九章>中
（-2，-1） -1.5 f(-1.5)=1.625 (-2,-1.5) 均有记载.
贾宪，北宋人，约于1050年左右完成<黄帝九章算经细草>，原书佚失，但其主要内容被扬辉〔约13世纪中〕著作所抄录，因能传世。
那么此时零点
到(2)了假(十设-九1世.7纪,5根,据-阿1, 贝.6尔2(Ab5e)l)和伽罗-1瓦(.G6al8ois7)的5研究,人f们(-认1识.到6高8于7四5次)的=代-数0方.1程9不4存在5求8根公式(-. 1.75,-1.6875)
(-1.75,-1.6875) -1.71875 f(-1.71875)=-0.077
求函数零点近似解的一种计算方法 ---------二分法
我国古代数学家已比较系统地处置 了部分方程求解的问题,在<九章算 术>,北宋贾宪的<黄帝九章算法细草 >,南宋秦九韶的<数书九章>中均有 记载.
Abel
在十六世纪,人们已经找到了三次和 四次方程的求根公式,但对高于四次的代 数方程,类似的努力却不时没有胜利.
公开课优秀教学设计用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解一、教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系。
教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系。
然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面的体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系。
本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。
它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。
求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据。
二、学生学习情况分析同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法。
其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。
三、设计理念本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程。
新人教版高中数学《二分法》教研课PPT课件
三、典例分析
⑴ 下列函数图像与x轴均有交点,其中不能用二 分法求图中交点横坐标的是( B )
y
y
y
y
x
x
x
x
A
B
C
D
温馨
提示 二分法只能用来求变号零点
⑵ 判断是非 用二分法求 f ( x) x3 x2 3x 2在(1,2)上零 点的近似值时, 算出 f (1.5) 0.875,则此时可 推知零点 x0 (1,1.5) .
[1.375,1.4375]
∵︱1.375-1.4375︱=0.0625<0.1 ∴f(x)的零点为1.4375.
区间长度|a-b|
1 0.5 0.25 0.125 0.0625
给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似 值的步骤:
1.确定零点所在的区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0.
2.求区间(a,b)的中点
问题2:函数f(x)=lnx+2x－6在区间（2，3）上是 否有零点？
如何得到这个零点？
问题 当确定函数在区间内存在一个零点后,如何 求出这个零点?
y
ae
o
d
c
b
x
求函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）上的零点？
解 ∵ f(2)<0, f(3)>0
（精确度0.01）
零点所在区间（a，b） 中点值
用二分法求方程的近似解
有12个大小相同的小球，其中有11个 小球质量相等，另有一个小球稍重，用天 平称几次可以找出这个稍重的球？
得到结果
一、问题的提出
问题1：函数y=f(x)零点存在的判定依据是什么？
《利用二分法求方程的近似解》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
《利用二分法求方程的近似解》教学设计1.了解求方程近似解的方法，会用二分法求具体方程的近似解．2.体会函数在解方程中的作用．重点：利用二分法求方程的近似解． 难点：求方程近似解的精确度的把握．一、情境导入情境：怎样工作最合理？在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条长10 km 的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10 km 大约有200多根电线杆呢．如何迅速查出故障所在？想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？首先从整条线路AB 的中点C 查起，用随身带的话机向两端测试时，发现AC 段正常，断定故障在BC 段；再到BC 段中点D ，这次发现BD 段正常，可见故障在CD 段；再查CD 中点E …每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50 m 左右，即两根电线杆附近，要查多少次？答案：只要8次就够了．设计意图：通过实际情境，让学生在轻松愉快的环境下开始本节课的学习，在问题情境中感悟数学有用，增加学习兴趣，为引入二分法的原理做准备．二、新知探究问题1：我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有求解公式，如ln x +2x −6=0，那么如何确定方程ln x +2x −6=0的解呢？设计意图：教师提出问题，引发学生的思维，造成悬念；再通过以下问题的探究，引导学生展开思考．方程ln x +2x −6=0一定有解吗？为此，需先确定实数解的存在性． 追问1：怎样确定方程有实数解？答案：方程f (x )=0有实数解⇔函数y =f (x )有零点⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有公共点．所以，函数y =f (x )的零点就是y =f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，即方程f (x )=0的◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程实数解．若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)•f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解．追问2：能否找出方程ln x+2x−6=0的一个实数解的存在区间呢？答案：设f(x)=ln x+2x−6，容易得出f(2)=ln2+4−6=ln2−2<0，f(3)=ln3>0，结合零点存在定理，可知f(x)=ln x+2x−6在区间(2，3)内存在零点，即方程ln x+2x−6=0的一个实数解的存在区间为(2，3)．追问3：我们已经知道， ln x+2x−6=0在区间(2，3)内存在实数解，其准确值无法求出，能否求这个实数解的近似值呢？答案：一个直观的想法是：如果能将实数解所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下就可以得到符合要求的实数解的近似值．（精确度是指近似值与其准确值的接近程度）设x̂是方程f(x)=0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0−x̂|<ε，就称x0是满足精确度ε的近似解．追问4：如果要获得精确度为0.5的近似解，你能找到一个符合要求的区间吗？答案：已知ln x+2x−6=0在区间(2，3)内存在实数解，即函数f(x)=ln x+2x−6在区间(2，3)内存在零点，这个区间长度为1．要获得精确度为0.5的实数解的近似值，至少需将包含零点的区间长度缩小为原来的一半．考虑区间(2，3)的中点2.5，又f(2.5)= ln2.5−1<0，f(3)=ln3>0，则f(2.5)f(3)<0．根据函数零点存在定理可知，函数f(x)= ln x+2x−6在区间(2.5，3)内存在零点，即ln x+2x−6=0在区间(2.5，3)内存在实数解，区间长度为0.5，因此，区间[2.5，3]内任意一个数都是满足精确度的近似解．追问5：如果要获得精确度为0.01的近似解，你将采取什么办法来逐步缩小区间？答案：当精确度为0.01时，借助函数的零点存在定理，至少需要将零点存在的区间长度缩小到0.01．在一定精确度的要求下，通过取区间的中点，将零点所在区间逐次减半．有限次重复相同步骤，借助函数零点的存在定理，将零点所在区间尽量缩小，达到精确度要求后，此区间内的任意一个数都可以作为函数零点的近似值．追问6：给定精确度ε，为什么当|a－b|<ε时，区间[a，b]中任意一个值x0都是满足精确度ε的近似值？答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值x0与其准确值x̂的接近程度．近似值x0的误差不超过某个数ε，即|x0−x̂|<ε，就说它的精确度是ε．所以当|a－b|<ε时，x̂所在的区间[a，b]中任意一个值x0与x̂的误差都不超过|a－b|，当然也就不超过ε．区间[a，b]中任意一个值x0都是满足精确度ε的近似值．追问8：你给出ln x+2x−6=0的精确度为0.01的近似解吗？答案：由|2.53125－2.5390625|=0.0078125<0.01知，区间(2.53125，2.5390625)内任意一点都可以作为解的近似值．如：取x=2.532作为函数f(x)=ln x+2x−6零点的近似值，也即方程ln x+2x−6=0的近似解．问题2 上面这种求方程ln x+2x−6=0的近似解的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于哪些方程？答案：这种方法的总体思路是，通过不断把函数f(x)=ln x+2x−6的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值．取区间(a，b)的中点a+b2，若f(a+b2)·f(b)<0，则区间(a+b2，b)内有方程的解．再取区间(a+b2，b)的中点……这样操作下去（如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)=0，那么x0就是所求的解；如果区间中点x0的函数值不等于0，且区间某个端点的函数值与f(x0)异号，那么x0与这个端点组成新的区间的端点），经过有限次操作，就得到一串区间，其端点的函数值符号相反，且每次操作都使区间长度减小二分之一，随着操作次数的增加，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程f(x)=0的解，从而得到近似解．像这样，对于一般的函数y=f(x)，x∈[a，b]，若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．总结：只要方程所对应的函数图象是连续的曲线，而且有实根，就可用二分法借助于计算器或计算机求出方程根的近似值．二分的次数越多，近似值就越精确．二分法体现了无限逼近（极限）的数学思想．追问：你能提炼出给定精确度ε，用二分法求方程f(x)=0的近似解x0的一般步骤吗？答案：二分法求方程近似解的思想来源于零点存在定理．利用二分法求方程近似解的过程可以用下图所示：其中：初始区间是一个两端点函数值异号的区间；新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号．在用二分法求方程近似解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试算．初始区间选的不同，虽然不影响最终计算结果，但可能影响计算量的大小．若方程f(x)=0有多个解，则需要选取不同的初始区间来求得不同解的近似值．三、应用举例例1:求方程2x3+3x−3=0的一个近似解．（精确度为0.01）解：考察函数f(x)=2x3+3x−3，基于零点存在定理，从一个两端点函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程解所在区间．经试算，f(0)=−3<0，f(1)=2>0．所以方程f(x)=0在区间(0，1)内有解．取区间(0，1)的中点0.5，f(0.5)=−1.25<0，所以方程f(x)=0在区间(0.5，1)内有解．如此下去，得到方程f(x)=0的解所在的区间，如下表：至此，可以看出，区间[0.734375，0.7421875]的区间长度为0.0078125，它小于0.01．而方程的解就在这个区间内，因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解，例如，0.74 就是方程2x3+3x−3=0精确度为0.01的一个近似解．四、课堂练习1．思考辨析(1)任何函数的零点都可以用二分法求得．()(2)用二分法求出的方程的根都是近似解．()(3)当方程的有解区间[a，b]的区间长度b−a≤ε(精度)时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．()2．用二分法求函数f(x)=3x−7的零点时，初始区间可选为()A．(－1，0)B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)3．若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A．1.25B．1.375C．1.40625D．1.5参考答案：1.(1)只有当函数图象在区间[a，b]是连续的曲线，且与x轴有交点时（即f(a)·f(b)<0），才可用二分法求函数的零点．故错误；(2)使用二分法时，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)=0，那么x0就是所求的解，不是近似解．故错误；(3)正确．2.解：f(−1)=3−1−7=13−7=−203<0，f(0)=30−7=1−7=−6<0，f(1)=31−7=−4<0，f(2)=32−7=9−7=2>0，故函数f(x)的零点在区间(1，2)上，故初始区间可选为(1，2)．选C．3.解：根据题意知函数的零点在1.40625至1.4375之间，又|1.437 5－1.406 25|=0.031 25<0.1，故方程的一个近似解为1.40625，故选C．五、课堂小结1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，直至找到解附近足够小的区间，根据所要求的精度，区间的任意数值即为近似解．2.并非所有函数都可以用二分法求出其零点，只有满足：(1)函数图像在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)<0．上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值．六、布置作业教材第132页练习第1题．。
高中数学《求函数零点近似解的一种计算方法—二分法》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学人教B版必修一第二章《2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》省级名师优质课教案比赛获奖
教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
通过具体实例理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法,从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用;能借助计算器用二分法求方程的近似解,让学生能够初步了解逼近思想;体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一;通过具体实例的探究,归纳概括所发现的结论或规律,体会从具体到一般的认知过程.
2学情分析
学生已经学习了函数,理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想.但是对于求函数零点所在区间,只是比较熟悉求二次函数的零点,对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难.另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题. 3重点难点
1.教学重点:用“二分法”求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.
2.教学难点:方程近似解所在初始区间的确定,恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【活动】（一）创设情境，提出问题
问题1:在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10km长的线路,如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每。