九年级数学下册 26_2_3 求二次函数表达式练习题 (新版)华东师大版
第26章 二次函数 华东师大版九年级数学下册达标测试卷(含答案)
第26章二次函数达标测试卷一、选择题(每题3分，共24分)1．下列函数中，是二次函数的是()A．y＝5x2B．y＝22－2x C．y＝2x2－3x3＋1 D．y＝1 x22．抛物线y＝3(x－1)2＋8的顶点坐标为()A．(1，8) B．(－1，8) C．(－1，－8) D．(1，－8) 3．某商场第1年销售计算机5 000台，设平均每年的销售量增长率为x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数表达式为()A y＝5 000(1＋2x)B y＝5 000(1＋x)2C y＝5 000(1－2x)D y＝5 000(1－x)2 4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x2保持不动，将x轴向上平移1个单位(y轴不动)，则在新坐标系下抛物线的表达式是()A．y＝2x2＋1 B．y＝2x2－1 C．y＝2(x－1)2D．y＝2(x＋1)2 5．已知点A(2，y1)、B(3，y2)、C(－1，y3)均在抛物线y＝ax2－4ax＋c(a ＞0)上，则y1、y2、y3的大小关系为()A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3D．y2＜y3＜y1 6．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象为()7．若二次函数y＝－x2＋mx在－2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是()A．－2 5或6 B．2 5或6 C．－92或6 D．－92或－2 5 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝13x2经过平移得到抛物线y＝ax2＋bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为83，则a，b的值分别为()A.13，43 B.13，－23 C.13，－43D．－13，43(第8题) (第13题) (第14题)二、填空题(每题3分，共18分)9．已知点P⎝ ⎛⎭⎪⎫a，12在抛物线y＝2x2上，则a等于________．10．抛物线y＝x2＋6x＋c与x轴有且只有1个公共点，则c＝________．11．某小型无人机着陆后滑行的距离s(米)关于滑行的时间t(秒)的函数表达式是s＝－0.25t2＋10t，那么无人机着陆后滑行__ _秒才能停下来．12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，x与y的部分对应值如下表：则不等式ax2＋bx＋c＞－3的解集为________．13．如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC，分别交抛物线y1＝x2(x≥0)与y2＝14x2(x≥0)于点B、C，则BC的长是________．14．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论：①ac＜0；②a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④b2－4ac＜0.其中正确的是___(填序号)三、解答题(第15，16题每题5分，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22题10分，其余每题12分，共78分)15．一抛物线以(－1，9)为顶点，且经过x轴上一点(－4，0)，求该抛物线的表达式及抛物线与y轴的交点坐标．16．如图，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过坐标原点，且与x轴交于点A(－2，0)．(1)求此二次函数的表达式；(2)结合图象，直接写出满足y＞0的x的取值范围．(第16题)17．一名男生推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系式y＝－112x2＋23x＋53.(1)求铅球离手时的高度；(2)求铅球推出的最大距离．18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝－2x2＋bx＋c的图象经过点A(－2，4)和点B(1，－2)．(1)求这个二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；(2)平移该二次函数的图象，使其顶点恰好落在原点的位置上，请直接写出平移方法．19．某网店正在热销一款电子产品，其成本为每件10元，销售过程中发现，该商品每天的销量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该款电子产品的销售单价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(第19题)20．如图，已知抛物线y＝ax2＋(a－1)x＋3(a≠0)与x轴交于A、B(1，0)两点，与y轴交于点C.(1)点C的坐标为________；(2)将抛物线y＝ax2＋(a－1)x＋3平移，使平移后的抛物线仍经过点B，与x轴的另一个交点为B′，且点B′的坐标为(3，0)，求平移后的抛物线的表达式．(第20题) 21．现有一面12米长的墙，某农户计划用28米长的篱笆靠墙围成一个如图所示的矩形养鸡场ABCD.(1)若矩形养鸡场的面积为90平方米，求所用的墙长AD；(2)求矩形养鸡场的最大面积．(第21题)22．如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标为A(2 3，0)、C(0，2)，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B、C.(1)求该抛物线的表达式；(2)将矩形OABC绕原点O顺时针旋转一个角度α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，当矩形的顶点A的对应点A′落在抛物线的对称轴上时，求此时点A′的坐标．(第22题)23．某班数学兴趣小组对函数y ＝x 2－2|x |的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下表：其中m ＝__________；(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；(3)(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有__________个交点，对应的方程x 2－2|x |＝0有__________个实数根；②方程x 2－2|x |＝2有__________个实数根；③关于x 的方程x 2－2|x |＝a 有4个实数根时，a 的取值范围是__________．(第23题)答案一、1.A 2.A 3.B 4.B5．A 【点拨】∵y ＝ax 2－4ax ＋c ，且a ＞0， ∴图象开口向上，对称轴是直线x ＝－－4a2a ＝2， ∴x ≥2时，y 随x 的增大而增大，∵C (－1，y 3)关于直线x ＝2的对称点是(5，y 3)，2＜3＜5，∴y 1＜y 2＜y 3. 6．C7．C 【点拨】∵y ＝－x 2＋mx ，∴图象开口向下，对称轴为直线x ＝－m 2×（－1）＝m2.①当m 2≤－2，即m ≤－4时，函数在x ＝－2时取得最大值5，∴－4－2m ＝5，解得m ＝－92；②当m2≥1，即m ≥2时，函数在x ＝1时取得最大值5， ∴－1＋m ＝5，解得m ＝6.③当－2＜m 2＜1，即－4＜m ＜2时，函数在x ＝m 2时取得最大值5，∴－m 24＋m 22＝5，解得m ＝2 5(舍去)或m ＝－2 5(舍去)．综上所述，m 的值为－92或6.8．C 【点拨】如图，设平移后所得新抛物线的对称轴和两抛物线分别相交于点A 和点B ，连结OA 、OB ，(第8题)∴S 阴影＝S △OAB .由题意得a ＝13，∴y ＝ax 2＋bx ＝13x 2＋bx ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3b 22－3b 24，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3b 2，－3b 24，∴点B 的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3b 2，3b 24，∴AB ＝3b 22，点O 到AB 的距离为－3b2，∴S △AOB ＝12×3b 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3b 2＝83，解得b ＝－43.二、9.12或－12 10.9 11.2012．0＜x ＜2 13.2 14.①②③三、15.解：设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)2＋9，将(－4，0)代入y ＝a (x ＋1)2＋9， 得0＝9a ＋9，解得a ＝－1， ∴抛物线的表达式为y ＝－(x ＋1)2＋9.令x ＝0，则y ＝8，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0，8)．16．解：(1)把(0，0)和(－2，0)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧c ＝0，－4－2b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝0，∴二次函数的表达式为y ＝－x 2－2x . (2)－2＜x ＜0.17．解：(1)令x ＝0，则y ＝53.∴铅球离手时的高度为53 m.(2)当y ＝0时，－112x 2＋23x ＋53＝0， 解得x 1＝10，x 2＝－2(不合题意，舍去)， ∴铅球推出的最大距离是10 m.18．解：(1)∵二次函数y ＝－2x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－2，4)和点B (1，－2)．∴⎩⎨⎧－2×4－2b ＋c ＝4，－2×1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝4， ∴这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2－4x ＋4. ∵y ＝－2x 2－4x ＋4＝－2(x ＋1)2＋6， ∴顶点坐标为(－1，6)．(2)(答案不唯一)将该二次函数图象先向右平移1个单位，再向下平移6个单位． 19．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将(20，100)，(25，50)代入，得 ⎩⎨⎧20k ＋b ＝100，25k ＋b ＝50，解得⎩⎨⎧k ＝－10，b ＝300， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋300. (2)设该款电子产品的销售利润为w 元，根据题意得w ＝(x －10)(－10x ＋300)＝－10x 2＋400x －3 000＝－10(x －20)2＋1 000， ∵－10＜0，∴x ＝20时，w 最大，为1 000.答：该款电子产品的销售单价为20元时，每天销售利润最大，最大利润是1 000元． 20．解：(1)(0，3)(2)∵抛物线y ＝ax 2＋(a －1)x ＋3与x 轴交于点B (1，0)，∴a ＋a －1＋3＝0，∴a ＝－1，∴y ＝－x 2－2x ＋3.设平移后的抛物线表达式为y ＝－(x ＋h )2＋k ， ∵平移后的抛物线经过点B (1，0)和点B ′(3，0)， ∴⎩⎨⎧－（1＋h ）2＋k ＝0，－（3＋h ）2＋k ＝0，解得⎩⎨⎧h ＝－2，k ＝1， ∴平移后的抛物线表达式为y ＝－(x －2)2＋1.21．解：(1)设所用的墙长AD 为x 米，则AB 的长为28－x2米，由题意可得x ·28－x2＝90，解得x 1＝18(舍去)，x 2＝10.答：所用的墙长AD 为10米． (2)设AB 为a 米，面积为S 平方米， 则S ＝a (28－2a )＝－2(a －7)2＋98， ∵0＜28－2a ≤12，∴8≤a ＜14，∴当a ＝8时，S 取得最大值，此时S ＝96， 答：矩形养鸡场的最大面积是96平方米．22．解：(1)∵A (2 3，0)，C (0，2)，∴易得B (2 3，2)． 把点C 和点B 的坐标代入y ＝－x 2＋bx ＋c ， 得⎩⎨⎧c ＝2，－12＋2 3b ＋c ＝2，解得⎩⎨⎧b ＝2 3，c ＝2， ∴该抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2 3x ＋2. (2)设对称轴与x 轴交于点D ，∴易得OD ＝3， 又∵OA ′＝OA ＝2 3，∴A ′D ＝（2 3）2－（3）2＝3，∴A ′(3，－3)． 23．解：(1)0 (2)如图．(3)①函数y ＝x 2－2|x |的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大． (4)①3；3 ②2 ③－1<a <0(第23题)【点拨】(3)题答案不唯一．24. 解：(1)由题意得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0c ＝3，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝94，c ＝3，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－34x 2＋94x ＋3.(2)设直线BC 对应的函数表达式为y ＝kx ＋d ，则⎩⎨⎧4k ＋d ＝0，d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，d ＝3，∴y ＝－34x ＋3.设D (m ，－34m 2＋94m ＋3)(0＜m ＜4)．过点D 作DM ⊥x 轴交BC 于点M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－34m ＋3，DM ∥OC ，∴DM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m 2＋94m ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ＋3＝－34m 2＋3m ，∠DME ＝∠OCB ，又∵∠DEM ＝∠BOC ＝90°，∴△DEM ∽△BOC ， ∴DE OB ＝DMBC .∵OB ＝4，OC ＝3，∴BC ＝5，∴DE ＝45DM ，∴DE ＝－35m 2＋125m ＝－35(m －2)2＋125(0<m <4)．当m ＝2时，DE 取得最大值，最大值是125. (3)存在．∵F 为AB 的中点， ∴OF ＝32，∴tan ∠CFO ＝OCOF ＝2.如图，过点B 作BG ⊥BC ，交CD 的延长线于点G ，过点G 作GH ⊥x 轴，垂足为H .(第24题)①若∠DCE ＝∠CFO ，则tan ∠DCE ＝GBBC ＝2， ∴BG ＝10.易得△GBH ∽△BCO ，∴GH BO ＝HB OC ＝GBBC ，∴GH ＝8，BH ＝6，∴G (10，8)． 设直线CG 对应的函数表达式为y ＝px ＋n ，11∴⎩⎨⎧n ＝3，10p ＋n ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，n ＝3，∴直线CG 对应的函数表达式为y ＝12x ＋3，令12x ＋3＝－34x 2＋94x ＋3，解得x ＝73或x ＝0(舍去)． ②若∠CDE ＝∠CFO ，同理可得BG ＝52，GH ＝2，BH ＝32，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫112，2.易得直线CG 对应的函数表达式为y ＝－211x ＋3，令－211x ＋3＝－34x 2＋94x ＋3，解得x ＝10733或x ＝0(舍去)．综上所述，点D 的横坐标为73或10733.12。
华师大九年级下《第26章二次函数》检测题含答案
二次函数单元练习题一、选择题1．下列函数中是二次函数的是( B )A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x 2－1 C.y ＝(x ＋1)2－x 2 D ．y ＝x 3＋2x －32．将抛物线y ＝3x 2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是( )(A)y ＝3(x ＋2)2＋4 (B) y ＝3(x －2)2＋4 (C) y ＝3(x －2)2－4 (D)y ＝3(x ＋2)2－43．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( B )A ．a ＞0B ．当－1＜x ＜3时，y ＞0C ．c ＜0D ．当x ≥1时，y 随x 的增大而增大4．二次函数y ＝x 2－8x ＋c 的最小值是0，那么c 的值等于( )(A)4 (B)8 (C)－4 (D)165．抛物线y ＝－2x 2＋4x ＋3的顶点坐标是( )(A)(－1，－5) (B)(1，－5) (C)(－1，－4) (D) (－2，－7)6． 若二次函数＝ax 2＋c ，当x 取x 1，x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为( )(A)a ＋c (B)a －c (C)－c (D)c7．如图，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点， 且AE ＝BF ＝CG ＝DH ， 设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是( )(A) (B) (C) (D)8．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D(－1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2－4ac ＜0；②a ＋b ＋c ＜0；③c －a ＝2；④方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论的个数为( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝3时，函数的最大值为4，当x ＝0时，y ＝－14，则函数关系式____．10．若二次函数y ＝－x 2＋4x ＋k 的最大值等于3，则k 的值等于____． ．11．函数42-=x y 的图象与y 轴的交点坐标是________． 12．已知抛物线的顶点是(0，1)，对称轴是y 轴，且经过(－3，2)，则此抛物线的函数关系式为_________，当x ＞0时，y 随x 的增大而____．13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴的两个交点的坐标是(5，0)，(－2，0)，则方程ax 2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是_______．14．抛物线y＝(m－4)x2－2mx－m－6的顶点在x轴上，则m＝______．15．若函数y＝a(x－h)2＋k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y＝－2x2－2x＋3相同，则此函数关系式______．16．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，如图所示，则使y1＞y2成立的x的取值范围是______ __三、解答题17．(8分)已知抛物线y＝a(x－h)2－4经过点(1，－3)，且与抛物线y＝x2的开口方向相同，形状也相同．(1)求a，h的值；(2)求它与x轴的交点，并画出这个二次函数图象的草图；(3)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜0)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．y x mx m.18、已知抛物线22（1）求证此抛物线与x轴有两个不同的交点；y x mx m与x轴交于整数点，求m的值；（2）若m是整数，抛物线22（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B.若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标.19．(8分)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点D.(1)求这个二次函数的关系式；(2)求四边形ABDC的面积．20．(12分)(2011·聊城)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A(－1,0)、C(0，－3)两点，与x 轴交于另一点B.(1)求这条抛物线所对应的函数解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝1上的一动点，求使∠PCB ＝90°的点P 的坐标．参考答案:一、1－5 BCBDB 6－8 DBC ．二、9．y ＝－2(x －3)2＋4； 10．-1 ；11．(0．－4) ； 12．y ＝19x 2＋1 ；增大. 13．向上，x ＝41，(825,41-)；14．略． 15．y ＝－2x 2＋8x 或y ＝－2x 2－8x ； 16．x ＜－2或x ＞8； 三、17．解：(1)a ＝1，h ＝2 (2)它与x 轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)，图象略 (3)y 1＞y 218．由已知，得30423c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩，，解得a ＝1，b ＝－2，c ＝－3．所以y ＝x 2－2x －3．(2)开口向上，对称轴x ＝1，顶点(1，－4)．19、解：(1)y ＝－x 2＋2x ＋3 (2)连结OD ，可求得C (0，3)，D (1，4)，则S 四边形ABDC ＝S △AOC＋S △COD ＋S △BOD ＝12×1×3＋12×3×1＋12×3×4＝920、解：(1)根据题意，y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝1，且过A(－1,0)，C(0，－3)，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a ＝1a －b ＋c ＝0，c ＝－3解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴抛物线所对应的函数解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)由y ＝x 2－2x －3可得，抛物线与x 轴的另一交点B(3,0)如图①，连结BC ，交对称轴x ＝1于点M.因为点M 在对称轴上，MA ＝MB.所以直线BC 与对称轴x ＝1的交点即为所求的M 点．设直线BC 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由B(3,0)，C(0，－3)，解得y ＝x －3，由x ＝1，解得y ＝－2.故当点M 的坐标为(1，－2)时，点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小．(3)如图②，设此时点P 的坐标为(1，m)，抛物线的对称轴交x 轴于点F(1,0)．连结PC 、PB ，作PD 垂直y 轴于点D ，则D(0，m)．。
2022年最新精品解析华东师大版九年级数学下册第26章二次函数同步练习试题(含详解)
华东师大版九年级数学下册第26章二次函数同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知二次函数2y x bx c =-+的图象经过()1,A n ，()3,B n ，则b 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-2、二次函数y ＝x （x +2）图象的对称轴是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝﹣2C ．x ＝2D ．y 轴3、二次函数y ＝﹣2x 2+4x +1的图象如何平移可得到y ＝﹣2x 2的图象（ ）A ．向左平移1个单位，向上平移3个单位B ．向右平移1个单位，向上平移3个单位C ．向左平移1个单位，向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，向下平移3个单位4、二次函数2(1)2y x =-++的最大值是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 5、把抛物线()213y x =-+向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为（ ）A ．()215y x =-+B ．()211y x =-+C ．()213y x =++D ．()233y x =-+ 6、若已知抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0),(2,0)-，则关于x 的一元二次方程2(1)a x bx b c ++=--的解为（ ）A ．1x =-B ．2x =-C ．2x =-或1x =D ．2x =或0x =7、抛物线221y x x =+-的对称轴是（ ）A ．直线2x =B ．直线1x =C ．直线1x =-D ．直线2x =-8、已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x 轴交于(),0m ，,0n 两点，且过()0,A a ，4,B b 两点．若03m n <<<，则ab 的取值范围为（ ）A ．06ab <<B ．08ab <<C ．012ab <<D ．016ab << 9、二次函数26y x x c =-++的图象经过点()11,A y -，()22,B y ，()35,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系正确的为（ ）A ．132y y y >>B ．231y y y >>C ．123y y y >>D ．312y y y >>10、二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图，给出下列四个结论：①240ac b -<；②320b c +<；③42a c b +<；④对于任意不等于-1的m 的值()m am b b a ++<一定成立．其中结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、对于二次函数2y ax =与2y bx =，其自变量与函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数图象的相关性质可知m =______，d c -=______2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有下列五个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+（m 为实数且1m ≠）．其中正确的结论有______（只填序号）．3、如果一个二次函数图象的对称轴是直线x ＝2，且沿着x 轴正方向看，图象在对称轴左侧部分是上升的，请写出一个符合条件的函数解析式__．4、已知二次函数26y x =-+的图象上两点()11,A a b ，()22,B a b ，若120a a <<，则1b ___________ 2b（填“>”，“<”或“=”）．5、如果点A (2，y 1)，B (5，y 2)在二次函数y =x 2−2x +n 图像上，那么1y ______2y （填＞、＝、＜）6、请写出一个开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线表达式为 _________________．7、已知抛物线 23y x =+， 它与 y 轴的交点坐标为____________．8、如图，一段抛物线：y ＝﹣x （x ﹣2）（0≤x ≤2）记为C 1，它与x 轴交于两点O ，A 1；将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180°得到C 3，交x 轴于A 3；…如此进行下去，若点P （2023，m ）在某段抛物线上，则m ＝_____．9、写出一个二次函数，其图像满足：（1）开口向下；（2）顶点坐标是(1,3)．这个二次函数的解析式可以是_________________．10、当24x ≤≤时，二次函数22y x mx =-+的函数值y 随自变量x 的增大而减小，则m 的取值范围是________．三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、已知关于x 的一元二次方程﹣212x +ax +a +3＝0． (1)求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)如图，若抛物线y ＝﹣212x +ax +a +3与x 轴交于点A （﹣2，0）和点B ，与y 轴交于点C ，连结BC ，BC 与对称轴交于点D ．①求抛物线的解析式及点B 的坐标；②若点P 是抛物线上的一点，且点P 位于直线BC 的上方，连接PC ，PD ，过点P 作PN ⊥x 轴，交BC 于点M ，求△PCD 的面积的最大值及此时点P 的坐标．2、如图，在ABC 中，90B ∠=︒，6cm AB =，12cm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．若P ，Q 两点同时出发，当点P 到达点B 时，P ，Q 两点同时停止移动．设点P ，Q 移动时间为s t ．(1)若PBQ △的面积为S ，写出S 关于t 的函数关系式，并求出PBQ △面积的最大值；(2)若BPQ C ∠=∠，求t 的值．3、如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =．动点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，点P 沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动，点Q 沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动，当P ，Q 到达终点C ，B 时，运动停止．设运动时间为()t s ．(1)①当运动停止时，t 的值为 ．②设P ，C 之间的距离为y ，则y 与t 满足 （选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系” )．(2)设PCQ ∆的面积为S ，①求S 的表达式（用含有t 的代数式表示）；②求当t 为何值时，S 取得最大值，这个最大值是多少？4、如图，一高尔夫球从山坡下的点O 处打出一球，球向山坡上的球洞点A 处飞去，球的飞行路线为抛物线．如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度12m 时，球移动的水平距离为9m ．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30°，O 、A 两点间的距离为．(1)建立适当的直角坐标系，求这个球的飞行路线所在抛物线的函数表达式．(2)这一杆能否把高尔夫球从点O 处直接打入点A 处球洞？5、已知二次函数()()2y x a x a =+--（a 为常数，且1a ≠-）．(1)求证：无论a 取何值，二次函数的图像与x 轴总有两个交点；(2)点()1,P m y ，()23,Q m y +在二次函数的图像上，且12y y >，直接写出m 的取值范围．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】由二次函数2y x bx c =-+的图象经过()1,A n ，()3,B n ，可得二次函数图象的对称轴为2,x = 再结合对称轴方程的公式列方程求解即可.【详解】 解： 二次函数2y x bx c =-+的图象经过()1,A n ，()3,B n ，∴ 二次函数图象的对称轴为：13,2122bb x解得：4,b =故选C【点睛】本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“利用纵坐标相等的两个点求解对称轴方程”是解本题的关键.2、A【解析】【分析】将函数解析式化为顶点式()211y x =+-，求解即可．【详解】解：()()222211y x x x x x =+=+=+-∴该二次函数图像的对称轴为直线1x =-故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图像的对称轴，二次函数的顶点式．解题的关键在于正确的求出顶点式．3、C【分析】根据配方法，可得顶点式解析式，根据平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案．【详解】解：二次函数y ＝﹣2x 2+4x +1的顶点坐标为（1，3），y ＝﹣2x 2的顶点坐标为（0，0），只需将函数y ＝﹣2x 2+4x +1的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位即可．故选：C ．【点睛】本题考查了函数的图象变换，讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．4、D【解析】【分析】由图象的性质可知在直线1x =-处取得最大值，将1x =-代入解析式计算求解即可．【详解】解：由图象的性质可知，在直线1x =-处取得最大值∴将1x =-代入()212y x =-++中得2y =∴最大值为2故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的最值．解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质．5、C【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：把抛物线()213y x =-+向左平移2个单位长度，所得直线解析式为：()2123y x =-++,即()213y x =++； 故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6、C【解析】【分析】由于抛物线2y ax bx c =++沿x 轴向左平移1个单位得到y ＝a （x +1）2＋b （x +1）＋c ，由于方程20ax bx c ++=的解为x 1＝-1，x 2＝2得到对于方程a （x +1）2＋b （x +1）＋c ＝0，则x +1＝-1或x +1＝2，解得x ＝-2或x ＝1，从而得到一元二方程2(1)a x bx b c ++=--的解．【详解】解：关于x 的一元二次方程2(1)a x bx b c ++=--变形为a （x +1）2＋b （x +1）＋c ＝0，因为抛物线2y ax bx c =++经过点(10)(20)-，，，， 所以方程20ax bx c ++=的解为x 1＝-1，x 2＝2，对于方程a （x +1）2＋b （x +1）＋c ＝0，则x +1＝-1或x +1＝2，解得x ＝-2或x ＝1，所以一元二方程2(1)a x bx b c ++=--的解为x ＝-2或x ＝1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．7、C【解析】【分析】抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为：2b x a=-，根据公式直接计算即可得． 【详解】解：221y x x =+-，其中：1a =，2b =，1c =-，21221b x a =-=-=-⨯， 故选：C ．【点睛】本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．8、D【解析】【分析】由题意可设抛物线为y =（x -m ）（x -n ），则222424abm n ，再利用二次函数的性质可得答案.【详解】解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x 轴交于两点（m ，0），（n ，0），所以可设交点式y =（x -m ）（x -n ），分别代入()0,A a ，4,B b ，∴,44,a mn b m n224444ab mn m n m m n n222424m n∵0＜m ＜n ＜3，∴0＜224m ≤4 ，0＜224n ≤4 ，∵m ＜n ，∴ab 不能取16 ，∴0＜ab ＜16 ，故选D【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质得到222424abm n 是解本题的关键.9、B【解析】【分析】先求得对称轴为3x =，开口朝下，进而根据点,,A B C 与3x =的距离越远函数值越小进行判断即可．解：∵26y x x c =-++∴对称轴为3x =，10a =-<，开口向下，∴离对称轴越远，其函数值越小，()11,A y -，()22,B y ，()35,C y ，()314,321,532--=-=-=， 124<<231y y y ∴>>故选B【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．10、C【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac ＞0，可判断①；根据对称轴是x ＝﹣1，可得x ＝﹣2、0时，y 的值相等，所以4a ﹣2b +c ＞0，可判断③；根据2b a -=-1，得出b ＝2a ，再根据a +b +c ＜0，可得12b +b +c ＜0，所以3b +2c ＜0，可判断②；x ＝﹣1时该二次函数取得最大值，据此可判断④．【详解】解：∵图象与x 轴有两个交点，∴方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∵2b a-=-1， ∴b ＝2a ，∵a +b +c ＜0， ∴12b +b +c ＜0，∴3b +2c ＜0，∴②正确；∵当x ＝﹣2时，y ＞0，∴4a ﹣2b +c ＞0，∴4a +c ＞2b ，③错误；∵由图象可知x ＝﹣1时该二次函数取得最大值，∴a ﹣b +c ＞am 2+bm +c （m ≠﹣1）．∴m （am +b ）＜a ﹣b ．故④正确∴正确的有①②④三个，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，看懂图象，利用数形结合解题是关键．二、填空题1、 1 3【分析】根据二次函数的性质可知m =1，将d 用含c 的式子表示出来即可．【详解】解由二次函数的性质可得2y ax =的对称轴为y 轴，故由表可得(1)=02m +-， ∴m =1；∵二次函数2y bx =的对称轴为y 轴，∴d=c +3，∴d c -=3，故答案为：1，3．【点睛】此题考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2、③④⑤【解析】【分析】先利用二次函数的开口方向，与y 轴交于正半轴，二次函数的对称轴为：10,2b xa 判断,,abc 的符号，可判断①，由图象可得：1,a b c 在第三象限，可判断②，由抛物线与x 轴的一个交点在1,0,0,0之间，则与x 轴的另一个交点在()()2,0,3,0之间，可得点2,42a b c 在第一象限，可判断③，由3,93a b c 在第四象限，抛物线的对称轴为：1,2b x a =-= 即,2b a 可判断④，当1x =时，y a b c 最大值，当1x m m ，2,y am bm c =++ 此时：2,am bm c a b c 可判断⑤，从而可得答案.解：由二次函数的图象开口向下可得：0,a <二次函数的图象与y 轴交于正半轴，可得0,c > 二次函数的对称轴为：10,2b x a可得0,b > 所以：0,abc < 故①不符合题意；由图象可得：1,a b c 在第三象限， 0,a b c ,b a c 故②不符合题意； 由抛物线与x 轴的一个交点在1,0,0,0之间，则与x 轴的另一个交点在()()2,0,3,0之间， ∴ 点2,42a b c 在第一象限，420,a b c 故③符合题意；3,93a b c 在第四象限，930,a b c抛物线的对称轴为：1,2b x a =-= ,2b a930,2b b c 23,c b 故④符合题意；当1x =时，y a b c最大值，当1x m m ，2,y am bm c =++am bm c a b c此时：2,m am b a b故⑤符合题意；,综上：符合题意的有：③④⑤，故答案为：③④⑤．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的应用二次函数的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键.3、y＝﹣x2+4x+5（答案不唯一）．【解析】【分析】由于二次函数的图象在对称轴x＝2的左侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为负数，由此可以确定函数解析式，答案不唯一．【详解】解：∵二次函数的图象在对称轴x＝2的左侧部分是上升的，∴这个二次函数的二次项系数为负数，∴符合条件的函数有y＝﹣x2+4x+5，答案为：y＝﹣x2+4x+5，答案不唯一．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数．4、<【解析】【分析】根据抛物线开口方向及对称轴可得x <0时y 随x 增大而增大，进而求解．【详解】解：∵26y x =-+，∴抛物线开口向下，对称轴为y 轴，∴x <0时，y 随x 增大而增大，∵120a a <<，∴12<b b ，故答案为：<．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．5、＜【解析】【分析】题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A 、B 的横坐标的大小即可判断出y 1与y 2的大小关系．【详解】解：∵二次函数y =x 2-2x +n 的图象的对称轴是直线x =1，且a =1>0，在对称轴的右边y 随x 的增大而增大，∵点A （2，y 1）、B （5，y 2）是二次函数y =x 2-2x +1的图象上两点，2＜5，∴y 1＜y 2．故答案为：＜．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．6、y ＝﹣x 2﹣4（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，﹣4）得出即可．【详解】解：∵抛物线开口向下且过点（0，﹣4），∴可以设顶点坐标为（0，﹣4），故解析式为：y ＝﹣x 2﹣4（答案不唯一）．故答案为：y ＝﹣x 2﹣4（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．7、(0,3)【解析】【分析】把0x =代入抛物线23y x =+求出y 值，即可得到抛物线与y 轴的交点坐标．【详解】将0x =代入抛物线23y x =+得：2033y =+=∴抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为(0,3)．故答案为：(0,3)．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点的求解方法．8、﹣1【解析】【分析】将这段抛物线C 1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x 轴的交点，由旋转的性质可以知道C 1与C 2的顶点到x 轴的距离相等，且OA 1=A 1A 2，照此类推可以推导知道点P （2023，m ）为抛物线C 1012的顶点，从而得到结果．【详解】解：∵y =﹣x （x ﹣2）（0≤x ≤2），∴配方可得y =﹣（x ﹣1）2+1（0≤x ≤2），∴顶点坐标为（1，1），∴A 1坐标为（2，0）∵C 2由C 1旋转得到，∴OA 1=A 1A 2，即C 2顶点坐标为（3，﹣1），A 2（4，0）；照此类推可得，C 3顶点坐标为（5，1），A 3（6，0）；C 4顶点坐标为（7，﹣1），A 4（8，0）；C 5顶点坐标为（9，1），A 5（10，0）；…C 1012顶点坐标为（2023，﹣1），A 1012（2024，0）；∴m =﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．9、()213y x =--+【解析】【分析】根据题意写出一个0a <，且顶点为 (1,3)的二次函数即可，可根据顶点式写出函数解析式．【详解】解：该函数的定点坐标为(1,3)，且开口向下，这个二次函数的解析式可以是：()213y x =--+ 故答案为：()213y x =--+（答案不唯一）【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键．10、2m ≤【解析】【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数确定该函数图象的开口方向，再确定函数图象的对称轴,最后根据该二次函数的增减性解答即可.【详解】解：∵二次函数的解析式22y x mx =-+的二次项系数是-1,∴该二次函数的开口方向是向下又二次函数的解析式22y x mx =-+的对称轴为x=m 且当24x ≤≤时，二次函数22y x mx =-+的函数值y 随自变量x 的增大而减小∴2m ≤故答案为2m ≤.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,掌握二次函数的系数与图象的关系、二次函数的增减性与对称轴的关系成为解答本题的关键.三、解答题1、 (1)见解析；(2)①y =21x x 42-++，点B （4，0）；②△PCD 的面积的最大值为1，点P （2，4）．【解析】【分析】（1）判断方程的判别式大于零即可；（2）①把A （-2，0）代入解析式，确定a 值即可求得抛物线的解析式，令y =0，求得对应一元二次方程的根即可确定点B 的坐标；②设点P 的坐标为（x ，21x x 42-++），确定直线BC 的解析式y =kx +b ，确定M 的坐标（x ，kx +b ），求得PM =21x x 42-++-（kx +b ），从而利用C ，D 的坐标表示=-PCD PCM CDM S S S △△△构造新的二次函数，利用配方法计算最值即可．(1) ∵21-+302x ax a ++=， ∴△=214(-)(3)2a a -⨯+ =2226(1)5a a a ++=++＞0，∴无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．(2)①把A （-2，0）代入解析式21=-+32y x ax a ++， 得1-4-2302a a ⨯++=，解得a =1， ∴抛物线的解析式为2142y x x =-++， 令y =0，得21402x x -++=， 解得x =-2（A 点的横坐标）或x =4，∴点B （4，0）；②设直线BC 的解析式y =kx +b ，根据题意，得4=0=4k b b +⎧⎨⎩， 解得=-1=4k b ⎧⎨⎩，∴直线BC 的解析式为y =-x +4； ∵抛物线的解析式为2142y x x =-++，直线BC 的解析式为y =-x +4；∴设点P 的坐标为（x ，21x x 42-++），则M （x ，4x -+），点N （x ，0），∴PM =21x x 42-++-（4x -+）=2122x x -+， ∵219(1)22y x =--+， ∴抛物线的对称轴为直线x =1，∴点D （1，3），∵=-PCD PCM CDM S S S △△△ =11-(1)22PM x PM x - =21124PM x x =-+=21(2)14x --+， ∴当x =2时，y 有最大值1，此时2142y x x =-++=4， ∴△PCD 的面积的最大值为1，此时点P （2，4）．【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数，一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，抛物线与x 轴的交点，二次函数的最值，分割法求图形的面积，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键． 2、 (1)PBQ △面积的最大值为29cm(2)65t = 【解析】【分析】（1）动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2/s cm 的速度移动，所以(6)BP t cm =-，2BQ tcm =.从而216(06)2S BP BQ t t t =⋅=-+<<，求二次函数最大值即可；（2）先证PBQ CBA ≅△△，得PB BQ BC BA =，从而62126t t -=，即可得解. (1)解：由题意可知，()6BP t cm =-，2BQ tcm =. ∴2112(6)6(06)22S BP BQ t t t t t =⋅=⋅-=-+<<；∵226(3)9S t t t =-+=--+，∴当3t =时，9S =最大.∴PBQ △面积的最大值为29cm ；(2)解：∵B B ∠=∠，BPQ C ∠=∠，∴PBQ CBA ≅△△. ∴PB BQ BC BA=. 即62126t t -=， 解得65t =. 故t 的值为65.【点睛】本题结合三角形面积公式考查了求二次函数的解析式及最值问题，结合相似三角形的判定和性质考查了路程问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程（路程＝时间×速度）；这类动点型问题一般情况都是求三角形面积或四边形面积的最值问题，转化为函数求最值问题，直接利用面积公式或求和、求差表示面积的方法求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值范围．3、 (1)①2，②一次函数关系；(2)①2612S t t =-+；②1t =，S 的值最大为6【解析】【分析】（1）①由已知可得，当运动停止时，t 的值为6÷3=8÷4=2，②由已知可得CP =6-3t ，即y=-3t +6，即可得到答案；（2）①由已知可得：CP =-3t +6，CQ =4t ，即可得S =-6t 2+12t ；②由S =-6t 2+12t =-6（t -1）2+6，即可得t =1时，S 的值最大为6．(1)①6AC =，8BC =，点P 沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动，点Q 沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动，∴当运动停止时，t 的值为63842÷=÷=，故答案为：2；②由已知可得；3AP t =，而3AC =，63CP t ∴=-，36y t ∴=-+，是一次函数，故答案为：一次函数关系；(2)①由已知可得：36CP t =-+，4CQ t =，()213646122S t t t t ∴=⨯-+⋅=-+； ②()22612616S t t t =-+=--+，且60-<，1t∴=时，S的值最大为6．【点睛】本题考查了函数的综合应用，涉及动点问题、三角形面积等知识，解题的关键是用含t的代数式表示AP、CQ的长度．4、 (1)坐标系见解析，y=−427x2+83x(2)不能【解析】【分析】（1）首先根据题意建立平面直角坐标系，分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式；（2）求出点A的坐标，把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，看函数值与点A的纵坐标是否相符．(1)建立平面直角坐标系如图，∵顶点B的坐标是（9，12），∴设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12，∵点O的坐标是（0，0）∴把点O 的坐标代入得：0=a （0-9）2+12，解得a =−427， ∴抛物线的解析式为y =−427（x -9）2+12 即y =−427x 2+83x ； (2)在Rt△AOC 中，∵∠AOC =30°，OA∴AC =OA 12OC =OA ．∴点A 的坐标为（12，，∵当x =12时，y =323≠ ∴这一杆不能把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点．【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定方法，及点的坐标与函数解析式的关系．5、 (1)见解析 (2)12m <- 【解析】【分析】（1）由题意依据二次函数的图像与x 轴总有两个交点即()()20x a x a +--=有两个不同的实数根进行分析即可求证；（2）根据题意将二次函数化为一般式进而代入两点列出关于m 的不等式求解即可.(1)证明：由题意得，令0y =，即()()20x a x a +--=，∴1x a =-，22x a =+，∵1a ≠-，∴2a a ≠+，∴二次函数的图像与x 轴总有两个交点，分别是(),0a -，()2,0a +.(2)由题意二次函数()()2y x a x a =+--（a 为常数，且1a ≠-）可得二次函数的一般式为：2222y x x a a =---（a 为常数，且1a ≠-），代入()1,P m y ，()23,Q m y +可得：22122y m m a a =---，222(3)2(3)2y m m a a =+-+--，由12y y >可得：222222(3)2(3)2m m a a m m a a --->+-+--， 解得：12m <-. 【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的综合运用，熟练掌握二次函数和一元二次方程的相关概念以及解不等式是解题的关键.。
华东师大版九年级数学下册26.2.1：二次函数y=ax2的图象与性质 同步测试题(含答案)
华东师大版九年级数学下册第26章二次函数26.2 二次函数的图象与性质26.2.1 二次函数y＝ax2的图象与性质同步测试题一、选择题1.二次函数y＝x2的图象是(C)A.线段B.直线C.抛物线D.双曲线2.如图，函数y＝－2x2的图象是(C)A.①B.②C.③D.④3.对于函数y＝4x2，下列说法正确的是(B)A.当x>0时，y随x的增大而减小B.当x<0时，y随x的增大而减小C.y随x的增大而减小D.y随x的增大而增大4.已知原点是抛物线y＝(m－2)x2的最低点，则m的取值范围是(A)A.m>2B.m>－2C.m<2D.m<05.已知抛物线y＝－x2过A(－2，y1)，B(－1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是(C)A.y1＜0＜y2B.y2＜0＜y1C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜06.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2共有的性质是(B)A.开口向下B.图象对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小7.已知点A(－1，m)，B(1，m)，C(2，m－n)(n＞0)在同一个函数的图象上，这个函数可能是(D)A.y＝xB.y＝－2xC.y＝x2D.y＝－x28.如图，A，B为抛物线y＝x2上两点，且线段AB⊥y轴.若AB＝6，则点A的坐标为(D)A.(3，3)B.(3，9)C.(－3，3)D.(－3，9)9.二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(D)A. B. C. D.二、填空题10.抛物线y＝－x2的开口向下，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴.11.二次函数y＝(k＋2)x2的图象如图所示，则k的取值范围是k＞－2.12.下列各点：(－1，2)，(－1，－2)，(－2，－4)，(－2，4)，其中在二次函数y＝－2x2的图象上的是(－1，－2).13.已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大(填“增大”或“减小”).14.二次函数y＝ax2(a＞0)的图象经过点(1，y1)，(2，y2)，则y1＜y2(填“＞”或“＜”).15.当－1≤x≤2时，二次函数y＝x2的最大值是4，最小值是0.16.已知二次函数y＝mxm2－1，在其图象对称轴的左侧y随x的增大而增大，则m17.下列四个二次函数：①y＝x2；②y＝－2x2；③y＝12x2；④y＝3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④.18.如图，各抛物线所对应的函数表达式分别为：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接为a＞b＞d＞c.19.如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O处，AD∥x轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是2.三、解答题20.在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象.(1)y＝2x2；(2)y＝12x2.解：列表：描点、连线可得图象如图.21.已知抛物线y＝ax2经过点(1，3).(1)求a的值；(2)当x＝3时，求y的值；(3)说出此二次函数的三条性质.解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，∴a＝3.(2)把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27.(3)答案不唯一，如：抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而增大；抛物线有最低点；当x＝0时，y有最小值，最小值是0等.22.根据下列条件求m的取值范围.(1)函数y＝(m＋3)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；(2)函数y＝(2m－1)x2有最小值；(3)抛物线y＝(m＋2)x2与抛物线y＝－12x2的形状相同.解：(1)∵函数y＝(m＋3)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y 随x的增大而增大，∴m＋3＜0.∴m＜－3.(2)∵函数y＝(2m－1)x2有最小值，∴2m－1＞0.∴m＞1 2 .(3)∵抛物线y＝(m＋2)x2与抛物线y＝－12x2的形状相同，∴m＋2＝±1 2 .解得m＝－52或－32.23.已知二次函数y＝ax2与一次函数y＝mx＋4的图象相交于点A(－2，2)和B(n，8)两点.(1)求二次函数y＝ax2与一次函数y＝mx＋4的表达式；(2)试判断△AOB的形状，并说明理由.解：(1)∵二次函数y＝ax2的图象经过点A(－2，2).∴2＝4a，a＝1 2 .∴二次函数的表达式为y＝12x2.∵一次函数y＝mx＋4的图象经过点A(－2，2)，∴2＝－2m＋4，m＝1.∴一次函数的表达式是y＝x＋4.(2)△AOB是直角三角形.理由如下：∵点B(n，8)在一次函数y＝x＋4的图象上，∴8＝n＋4，n＝4.∴B(4，8).∵A(－2，2)，∴OA2＝22＋22＝8，OB2＝42＋82＝80，AB2＝(4＋2)2＋(8－2)2＝72. ∴OA2＋AB2＝OB2.∴△AOB为直角三角形，且∠OAB＝90°.。
华师大版九年级下册数学第26章 二次函数含答案(审定版)
华师大版九年级下册数学第26章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.以上都不对2、在同一直角坐标系中，函数y＝ax＋b和函数y＝ax2＋2x＋2(a是常数，且a≠0)的图象可能是（）A. B. C. D.3、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）大致的图象如图，关于该二次函数，下列说法不正确的是（）A.函数有最大值B.对称轴是直线x＝C.当x＜时，y随x 的增大而减小D.当时﹣1＜x＜2时，y＞04、抛物线y=2x2+4x﹣3的顶点坐标是（）A.（1，﹣5）B.（﹣1，﹣5）C. （﹣1，﹣4）D.（﹣2，﹣7）5、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图,给出下列四个结论:①a＜0，②b＞0，③b2﹣4ac＞0，④a+b+c＜0，其中结论正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、某商店经营皮鞋，所获利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系为y=－x2+24x+2956，则获利最多为( )．A.3144B.3100C.144D.29567、已知抛物线C：，将抛物线C平移得到抛物线C，若两条抛物线C、C关于直线x=1对称，则下列平移方法中，正确的是（）A.将抛物线C向右平移个单位B.将抛物线C向右平移3个单位 C.将抛物线C向右平移5个单位 D.将抛物线C向右平移6个单位8、下列说法正确的是( )A.对角线垂直的平行四边形是矩形B.方程x 2+4x+16= 0有两个相等的实数根C.抛物线y=-x 2+2x+3的顶点为(1，4)D.函数y= ， y随x的增大而增大9、关于的二次函数，下列说法正确的是（）A.图象的开口向上B.图象与轴的交点坐标为（0，2）C.当时，随的增大而减小 D.图象的顶点坐标是（－1，2）10、抛物线y=3x2-4x+1与x轴的交点的个数为（）A.0B.1C.2D.不能确定11、如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（）A.a＜0，b＞0，c＞0B.a＞0，b＜0，c＞0C.a＞0，b＜0，c＜0 D.a＞0，b＞0，c＜012、已知一次函数，二次函数，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为和，则下列表述正确的是（）A. B. C. D. ，的大小关系不确定13、如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点坐标为.则下面的四个结论：① ；② ；③ ；④当时，或.其中正确的是（）A.①②B.①③C.①④D.②③14、已知y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则ax2+bx+c=n（a≠0，0＜n＜2）的方程的两实根x1， x2，则满足（）A.1＜x1＜x2＜3 B.1＜x1＜3＜x2C.x1＜1＜x2＜3 D.0＜x1＜1，且x2＞315、抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③4a-2b+c＜0；④b2-4ac＞0．其中正确的结论是 ( )A.①②B.②③④C.②④D.③④二、填空题(共10题，共计30分)16、若函数y=mx2 +（m+2）x+ m+1的图象与 x 轴只有一个交点，那么m的值为________．17、函数y=x2+2x+1，当y=0时，x=________ ；当1＜x＜2时，y随x的增大而________ （填写“增大”或“减小”）．18、已知关于x的代数式，当x＝________时，代数式的最小值为________.19、二次函数的图象如图所示，以下结论:① ;②;③ ;④其顶点坐标为;⑤当时，随的增大而减小;⑥ 中，正确的有________(只填序号)20、如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是________．21、请写出一个开口向下，并且与y轴交于负半轴的抛物线的解析式为________．22、抛物线y=x2-4x-5与y轴交点的坐标是________23、把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是________．24、将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式为________.25、二次函数的图象开口向上且过原点，则a＝________.三、解答题(共5题，共计25分)26、已知函数y=2x2-(3-k)x+k2-3k-10的图象经过原点，试确定k的值。
华师版九年级下册数学第26章 二次函数 专题技能训练(三) 训练2 直线与抛物线的交点问题(2)
设直线 y＝－2x＋5 交 x 轴于 D.
当 y＝0 时，0＝－2x＋5，∴x＝52， ∴OD＝52，BD＝5－52＝52， ∴S△CBE＝S△CBD＋S△EBD＝12×52×5＋12×52×|－3|＝10， 即 S＝10.
12．【中考·锦州改编】如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y ＝－34x＋3 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 经过 A，B 两点，在第一象限的抛物线上取 一点 D，过点 D 作 DC⊥x 轴于点 C，交直线 AB 于点 E.
(2)是否存在点 D，使ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ△BDE 和△ACE 相似？若存在，请求出
点 D 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在．如图，过点 B 作 BH⊥CD 于 H， 设 C(t，0)，则 D(t，－t2＋143t＋3)，E(t，－34t＋3)，H(t，3)． ∴EC＝－34t＋3，AC＝4－t，BH＝t， DH＝－t2＋143t，DE＝－t2＋4t.
华师版九年级上
第26章 二次函数
专题技能训练(三) 训练2 直线与抛物线的交点问题
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1A 2B 3C 4C 5A
6 x1＝－3，x2＝1 7 x＜1或x＞6
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10 见习题
11 见习题 12 见习题
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1．抛物线 y＝x2－4x＋1 与 y 轴交点的坐标是( A ) A．(0，1) B．(1，0) C．(0，－3) D．(0，2)
(1)求抛物线对应的函数表达式；
解：在 y＝－34x＋3 中，令 x＝0，得 y＝3，令 y＝0，得 x＝4， ∴A(4，0)，B(0，3)，
将 A(4，0)，B(0，3)分别代入 y＝－x2＋bx＋c 中， 得－c＝432＋，4b＋c＝0，解得bc＝＝314，3， ∴抛物线对应的函数表达式为 y＝－x2＋143x＋3.
九年级数学下册第26章二次函数专题(五)二次函数与几何图形综合题作业课件新版华东师大版
a＝3(舍去)或
a
7 ＝3，
2
2
∴a 的值是7. 3
3．(2018·资阳)已知：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴分别交于点 A(0，6)、B(6，0)、C(－2，0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式； (2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ (3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E， 连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的
m1＝12 (舍去)，m2 ＝32，
此时 P 点坐标为(3，1)，∵PN＝ （1－3）2＋（3－1）2＝ 5，∴PN≠MN，∴平行四边形
2
22
MNPD 不为菱形，∴不存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形．
(2)存在，理由如下：如图②，OB＝4，OA＝2，则 AB＝ 22＋42＝2 5，当 x＝1 时，y＝－2x
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； ②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．
解：(1)把 A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－5)代入 y＝ax2＋bx＋c，得
a－b＋c＝0，
a＝1，
25a＋5b＋c＝பைடு நூலகம்，解得 b＝－4，
c＝－5，
c＝－5，
∴y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，
D．－1 2
13．(2018·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋ bx(a>0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝
表达式为 y＝－x＋6，设 P(t，－1t2＋2t＋6)，其中 0＜t＜6，则 N(t，－t＋6)，∴PN＝PM 2
2022年必考点解析华东师大版九年级数学下册第26章 二次函数专项训练练习题(无超纲)
华东师大版九年级数学下册第26章 二次函数专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、将抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，再次平移后得到的抛物线的表达式为（ ）A ．y ＝(x ﹣1)2﹣2B ．y ＝(x +1) 2﹣2C ．y ＝(x ﹣1) 2+2D ．y ＝(x +1) 2+22、将二次函数262y x x =+-化成()2y x h k =-+的形式应为（ ）A ．()237y x =++B ．()2311y x =-+ C ．()2311y x =+- D ．()224y x =++ 3、抛物线221y x x =+-的对称轴是（ ）A ．直线2x =B ．直线1x =C ．直线1x =-D ．直线2x =- 4、已知函数()22y x =--的图象上有11,2A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21,B y ，()34,C y 三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系（ ）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<5、已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是抛物线y ＝ax 2+4ax +5上的点，且y 1＞y 2．下列命题正确的是（ ）A ．若|x 1+2|＜|x 2+2|，则a ＜0B ．若|x 1﹣2|＞|x 2﹣2|，则a ＞0C ．若|x 1+2|＞|x 2+2|，则a ＜0D ．若|x 1﹣2|＜|x 2﹣2|，则a ＞0 6、抛物线()21232y x =--的顶点坐标是（ ） A ．()2,3- B ．()2,3 C ．()2,3- D ．()2,3--7、已知方程()()112x b x c x ----=的根是1x m =，2x n =，且m n <．若10b c <-<<，则下列式子中一定正确的是（ ）A ．m b n c <<<B ．b m n c <<<C ．m n b c <<<D ．m b c n <<<8、如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，10AB =，8AC =，E 是ABC 边上一动点，沿A C B →→的路径移动，过点E 作ED AB ⊥，垂足为D ．设AD x =，ADE 的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9、如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于点(1,0)-，对称轴为直线1x =．结合图象分析下列结论：①0abc >；②420a b c -+<；③20a c +<；④一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为123,1x x =-=；⑤若(,)m n m n <为方程(1)(3)10a x x +-+=的两个根，则1m <-且3n >．其中正确的结论个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10、在同一平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝2x 与二次函数2y ax a =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在平面直角坐标系中，设点P 是抛物线()231y x =--+的顶点，则点P 到直线3y kx =-的距离的最大值为________．2、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是()230506h t t t =-≤≤．小球运动的时间是___________s 时，小球最高；小球运动中的最大高度是___________m ．3、如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线132y x =+上的一个动点，将Q 绕点P (0，1)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为_________．4、已知函数()2211y x =++，当x ______时，y 随x 的增大而减少． 5、已知点()11,y -，()22,y 在抛物线22y x x c =-+上，则1y ，2y 的大小关系是1y ______2y （填“>”，“<”或“=”）．6、已知抛物线()20y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是______．7、如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知AC PC），洞口A离点P的水平距离PC为12米，则小明这一杆球移动到山坡PA的坡度为1：2（即:洞口A正上方时离洞口A的距离AE为______米．8、已知二次函数y＝x2＋bx＋3图象的对称轴为x＝2，则b＝________；顶点坐标是________．9、某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1-8月份这种药材售价（元）与月份之间存在如下表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价（元）与月份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表，试判断_____ 月份出售这种药材获利最大．10、设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是__________三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、已知二次函数y ＝a 2x ＋2x ＋c 的图象经过A （﹣1，0），C （0，3）．(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数图象直接写出：①当﹣1＜x ＜2时，y 的取值范围；②当y ≤3时，x 的取值范围．2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过（3，0）点，当x ＝1时，函数的最小值为－4．(1)求该二次函数的解析式并画出它的图象；(2)当0＜x ＜4时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围；(3)直线x ＝m 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）和直线y ＝x －3的交点分别为点C ，点D ，点C 位于点D 的上方，结合函数的图象直接写出m 的取值范围．3、已知抛物线y =﹣x 2﹣2x +a （a ≠0）与y 轴相交于A 点，顶点为M ，直线y =12x a -分别与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线MA 相交于N 点．(1)若直线BC 和抛物线有两个不同交点，求a 的取值范围，并用a 表示交点M 、A 的坐标．(2)将NAC 沿着y 轴翻转，若点N 的对称点P 恰好落在抛物线上，AP 与抛物线的对称轴相交于点D ，连接CD ，求a 的值及PCD 的面积．4、王叔叔在某商场销售一种商品，他以每件40元的价格购进这种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y （件）与每件的销售单价x （元）满足一次函数关系：2140(40)=-+>y x x ．(1)若设利润为w 元，请求出w 与x 的函数关系式．(2)若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？5、在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y ＝251x +﹣1的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．(1)请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；(2)请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；(3)已知函数332y x=-+的图象如图所示，请你根据函数的图象，直接写出不等式2353121xx-+<-+的解集，（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到对应点的坐标为（1，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可．【详解】解：抛物线y ＝x 2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为（1，2），所以新抛物线的解析式为y ＝（x ﹣1）2+2，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，将二次函数图象的平转化为顶点的平移是解答本题的关键．2、C【解析】【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，判断即可．【详解】解：y =x 2+6x -2=x 2+6x +9-9-2=（x +3）2-11，故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式，掌握利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式的一般步骤是解题的关键．3、C【解析】【分析】抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为：2b x a=-，根据公式直接计算即可得． 【详解】解：221y x x =+-，其中：1a =，2b =，1c =-，21221b x a =-=-=-⨯， 故选：C ．【点睛】本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．4、B【解析】【分析】根据抛物线的对称性，增减性，即可得出y 1、y 2、y 3的大小关系．【详解】解：二次函数y =-（x -2）2的图象开口向下，对称轴为直线x =2，∴C （4，y 3）关于对称轴的对称点为（0，y 3），∵-12＜0＜1＜2，∴y 1＜y 3＜y 2，故选：B ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的增减性、对称性是解此题的关键．5、A【解析】【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：解：∵抛物线y=ax2+4ax+5，∴该抛物线的对称轴是直线x=-42aa=-2，A选项：∵|x1+2|＜|x2+2|，即|x1-(-2)|＜|x2-(-2)|，且y1＞y2，∴与对称轴的距离越近，函数值越大，∴a＜0，故该选项不符合题；B选项：∵|x1+2|＞|x2+2|，即|x1-(-2)|＞|x2-(-2)|，且y1＞y2，∴与对称轴的距离越近，函数值越小，∴a＞0，故该选项不符合题；C、D选项中，P1、P2与对称轴的距离跟本题无关，故两选项均不符合题；故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，观察点到对称轴的距离，结合函数值的大小，进而确定开口方向．6、A【解析】【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k的性质解答即可．【详解】解：抛物线()21232y x =--的顶点坐标是()2,3-， 故选A ．【点睛】 本题考查了二次函数y =a (x -h )2+k (a ，h ，k 为常数，a ≠0)的性质，熟练掌握二次函数y =a (x -h )2+k 的性质是解答本题的关键． y =a (x -h )2+k 是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h ，k )，对称轴是x =h ．7、A【解析】【分析】 将()()112x b x c x ----=看作二次函数()()12y x b x c =---与一次函数1y x =+的交点横坐标为m ，n ，结合图像即可得m b n c <<<．【详解】 将()()112x b x c x ----=变形为 ()()112x b x c x ---=+ 则可理解为二次函数()()12y x b x c =---与一次函数1y x =+的交点横坐标为m ，n 二次函数()()12y x b x c =---与x 轴交点横坐标为b 和c ． 如图所示由图象、题意可知c ＞n ，n ＞b ，由二次函数、一次函数性质可知1mn k =，1nb k <故m ＜b则m b n c <<<故选：A ．【点睛】 本题考查了二次函数和一次函数图像综合问题，将将()()112x b x c x ----=看作二次函数()()12y x b x c =---与一次函数1y x =+的交点横坐标为m ，n ，再结合图象判断是解题的关键． 8、D【解析】【分析】分两种情况分类讨论：当0≤x ≤6.4时，过C 点作CH ⊥AB 于H ，利用△ADE ∽△ACB 得出y 与x 的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x ≤10时，利用△BDE ∽△BCA 得出y 与x 的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，10AB =，8AC =，∴BC 6=，过CA 点作CH ⊥AB 于H ，∴∠ADE =∠ACB =90°， ∵11681022CH ⨯⨯=⨯⋅， ∴CH =4.8，∴AH 6.4=，当0≤x ≤6.4时，如图1，∵∠A =∠A ，∠ADE =∠ACB =90°，∴△ADE ∽△ACB ， ∴AD DE AC BC =，即86x DE =，解得：x =34x ， ∴y =12•x •34x =38x 2； 当6.4＜x ≤10时，如图2，∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，∴△BDE∽△BCA，∴BD DE BC AC，即1068x DE-=，解得：x=4043x-，∴y=12•x•4043x-=222033x x-+；故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．9、C【解析】【分析】根据图像，确定a，b，c的符号，根据对称轴，确定b，a的关系，当x=-1时，得到a-b+c=0，确定a，c的关系，从而化简一元二次方程20cx bx a++=，求其根即可，利用平移的思想，把y=(1)(3)a x x+-的图像向上平移1个单位即可，确定方程的根．【详解】∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＜0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右边，∴b ＜0，∴0abc >，故①正确；∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于点(1,0)-，∴a -b +c =0，根据对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，当x =-2时，y ＞0即420a b c -+＞，故②正确； ∵12b a-=，∴b = -2a ，∴3a +c =0，∴2a +c =2a -3a = -a ＜0，故③正确；根据题意，得2320ax ax a --+=，∴23210x x +-=， 解得121,13x x ==-，故④错误；∵(1)(3)a x x +-=0，∴123,1x x ==-，∴y =(1)(3)a x x +-向上平移1个单位，得y =(1)(3)a x x +-+1，∴(,)m n m n <为方程(1)(3)10a x x +-+=的两个根，且1m <-且3n >．故⑤正确；故选C ．【点睛】本题考查了抛物线的图像与系数的符号，抛物线的对称性，抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的增减性，平移，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．10、C【解析】【分析】先由一次函数的性质判断，然后结合二次函数中a ＞0时，a ＜0时，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：∵一次函数y ＝2x ，∴一次函数的图像经过原点，且y 随x 的增大而增大，故排除A 、B 选项； 在二次函数2y ax a =-中，当a ＞0时，开口向上，且抛物线顶点在y 的负半轴上，当a ＜0时，开口向下，且抛物线顶点在y 的负半轴上，∴D 不符合题意，C 符合题意；故选：C【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数图象，利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解．二、填空题1、5【解析】【分析】根据抛物线解析式求出点P 坐标，由直线解析式可知直线3y kx =-恒过点B （0，-3），当PB 与直线3y kx =-垂直时，点P 到直线3y kx =-的距离最大，根据两点间距离公式可出最大距离．【详解】解：∵()231y x =--+∴P （3，1）又直线3y kx =-恒过点B （0，-3），如图，∴当PB 与直线3y kx =-垂直时，点P 到直线3y kx =-的距离最大，此时，5PB =∴点P 到直线3y kx =-的距离的最大值为5故答案为：5．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，以及点到直线间的距离，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．2、 3 45【解析】【分析】求得二次函数2305h t t =-的顶点坐标即可．【详解】()223055345h t t t =-=--+，∵-5<0，06t ≤≤，∴当t =3时，h 有最大值，最大值为45．故答案为：3，45．【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意后将实际问题转换为数学问题是解题的关键．3【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：作QM ⊥y 轴于点M ，Q ′N ⊥y 轴于N ，∵∠PMQ ＝∠PNQ ′＝∠QPQ ′＝90°，∴∠QPM ＋∠NPQ ′＝∠PQ ′N ＋∠NPQ ′，∴∠QPM ＝∠PQ ′N ，在△PQM 和△Q ′PN 中，90PMQ PNQ QPM PQ NPQ PQ ∠=∠'=︒⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩， ∴△PQM ≌△Q ′PN （AAS ），∴PN ＝QM ，Q ′N ＝PM ，设Q （m ，12m ＋3），∴PM ＝|12m ＋2|，QM ＝|m |，∴ON ＝|1-m |，∴Q ′（12m ＋2，1−m ），∴OQ ′2＝（12m ＋2）2＋（1−m ）2＝54m 2＋5，当m ＝0时，OQ ′2有最小值为5，∴OQ【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换−旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．4、1<-【解析】【分析】解析式为顶点式，可求得其对称轴，再利用二次函数的增减性可求得答案．【详解】解：()2211y x =++∴抛物线开口向上，对称轴为x =-1，∴当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故答案为：1<-．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，其顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x=h ．5、>【解析】【分析】首先求得抛物线的对称轴和开口方向，可知开口向上对称轴为1x =，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断1y ，2y 的大小关系．【详解】解：∵22y x x c =-+中，10a =>，开口向上，对称轴为1x =，∴点与对称轴的距离越远函数值越大点()11,y -，()22,y 在抛物线22y x x c =-+上， ()112,211--=-=12y y ∴>故答案为：>【点睛】本题考查了二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．6、()1,4-【解析】【分析】 观察表格可知该抛物线的对称轴为直线1312x -+==，根据二次函数图像的顶点坐标在对称轴上，在表格中查取点坐标即可．【详解】解：观察表格并由抛物线的图像与性质可知 该抛物线的对称轴为直线1312x -+== ∵顶点坐标在对称轴上∴由表格可知该抛物线的顶点坐标为()1,4- 故答案为：()1,4-．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质．解题的关键在于正确把握二次函数的图像与性质．7、143##243【解析】【分析】分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式，在Rt △PAC 中，利用PA 的坡度为1：2求出AC 的长度，把点A 的横坐标x =12代入抛物线解析式，求出CE ，最后利用AE =CE -AC 得出结果．【详解】解：以P 为原点，PC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，可知：顶点B（9，12），抛物线经过原点，设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12，将点P（0，0）的坐标代入可得：0=a（0-9）2+12，求得a＝−427，故抛物线的解析式为：y=-427(x−9)²+12，∵PC=12，:AC PC=1：2，∴点C的坐标为（12，0），AC＝6，即可得点A的坐标为(12，6)，当x=12时，y＝−427(12−9)²+12＝323=CE，∵E在A的正上方，∴AE=CE-AC=323-6=143，故答案为：143．【点睛】本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．8、 4 （2，7）【解析】【分析】由对称轴公式即可求得b ，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标．【详解】解：∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋3图象的对称轴为x ＝2，∴−2(1)b ⨯-＝2， ∴b ＝4，∴二次函数y ＝−x 2＋4x ＋3，∵y ＝−x 2＋4x ＋3＝−（x −2）2＋7，∴顶点坐标是（2，7），故答案为：4，（2，7）．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知对称轴公式和二次函数解析式的三种表现形式是解题的关键．9、5【解析】【分析】分别求出售价与月份之间的函数关系式、成本与月份之间的函数关系式以及利润与售价、成本之间的关系，根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：设每千克的售价是y 元，月份为x ，则可设y kx b =+把（3，8），（6，6）代入得，3866k b k b +=⎧⎨+=⎩解得，2310k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴2103y x =-+ 设每千克成本是z 元，根据图象可设2(6)1z a x =-+把（3，4）代入2(6)1z a x =-+，得2(36)1=4a -+ ∴13a = ∴214133z x x =-+ ∴设利润为w ，则有：222111610(413)(5)3333w y z x x x x =-=-+--+=--+ ∵103-< ∴2116(5)33w x =--+有最大值， ∴当x =5时，w 有最大值，∴5月份出售这种药材获利最大．故答案为：5【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键．10、2【解析】【分析】先将抛物线配方为顶点式，然后根据（左加右减，上加下减）将抛物线平移，得出解析式()2211224a a y x a ++⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，求出顶点的纵坐标()2124a a +-++配方得出()()221121244a a a +-++=--+即可． 【详解】 解：抛物线()22211(1)24a a y x a x a x a ++⎛⎫=+++=+-+ ⎪⎝⎭， 将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，解析式为()2211224a a y x a ++⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭， ∴顶点纵坐标为：()()221121244a a a +-++=--+， ∵104-＜， ∴a =1时，最大值为2．故答案为2．【点睛】本题考查抛物线配方顶点式，抛物线平移，顶点的纵坐标，掌握抛物线配方顶点式，抛物线平移，顶点的纵坐标是解题关键．三、解答题1、 (1)y ＝﹣2x +2x +3(2)①0＜y ＜4；②x ≤0或x ≥2【解析】【分析】（1）把点的坐标代入解析式，转化为a ，c 的二元一次方程组，求解即可；（2）根据函数的解析式，求得函数值，结合函数图像，利用函数的增减性解答即可．(1)∵y ＝a 2x ＋2x ＋c 的图象经过A （﹣1，0），C （0，3），∴203a c c -+=⎧⎨=⎩， 解得：13a c =-⎧⎨=⎩． ∴该二次函数的解析式为y ＝﹣2x +2x +3．(2)①∵当x ＝﹣1时，y ＝0，当x ＝2时，y ＝3，又∵y ＝﹣2x +2x +3＝﹣2(1)x -+4，故当x ＝1时函数有最大值4，∴结合图象，2、 (1)223y x x =--(2)45y -≤<(3)0m <或3m >【解析】【分析】（1）由已知可设二次函数的顶点式，再把点(3，0)的坐标代入顶点式中即可求得a 的值，从而求得解析式；根据解析式画出函数图象即可；（2）求出当x =0及x =4时的函数值，考虑抛物线的性质，结合函数图象即可完成；（3）观察图象知，抛物线与直线y ＝x －3的交点坐标分别为(0，−3)及(3，0)，即当m =0或m =3时，点C 与点D 重合，结合图象即可求得m 的取值范围．(1)∵当x ＝1时，函数的最小值为－4，即抛物线的顶点坐标为(1，−4)∴设函数解析式为2(1)4y a x =--∵（3，0）点在抛物线上∴440a -=∴1a =∴2(1)4y x =--即223y x x =--其图象如下：(2)当x =0时，y =−3；当x =4时，y =5由图象知，当0＜x ＜4时，45y -≤<(3)如图所示，抛物线与直线y ＝x －3的交点坐标分别为(0，−3)及(3，0)由图知，当0m <或3m >时，满足题目要求【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，画二次函数图象，二次函数的性质，二次函数与一次函数的关系等知识，数形结合是解题的关键．3、故y 的取值范围为：0＜y ＜②令y ＝3，则﹣2x +2x +3＝3．解得：1x ＝0，2x ＝2．∴结合图象，故x的取值范围为：x≤0或x≥2．【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，配方法确定函数的最值，一元二次方程的解法，数形结合思想，不等式解集的确定，熟练掌握抛物线的图像与性质是解题的关键．4．(1)M(﹣1，a+1)，A(0，a)(2)94，92【解析】【分析】（1）联立直线BC和抛物线，根据有2个不同交点，则判别式大于0，即可求得a的范围；（2）待定系数法求得直线MA解析式，进而联立BC，求得点N的坐标，根据对称性即可求得点P的坐标，代入抛物线解析式求得a的值，进而即可求得,,A C M的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可．(1)由题意联立2212y x x ay x a⎧=--+⎪⎨=-⎪⎩，整理得：2x2+5x﹣4a=0，由∆=25+32a＞0，解得：2532 a>-，∵a≠0，∴2532a>-且a≠0，当x =0时，y =a ，∴A （0，a ），∵y =﹣x 2﹣2x +a =﹣（x +1）2+a +1，∴M （﹣1，a +1）．(2)设直线MA 为：y =kx +b ，代入A （0，a ），M （﹣1，a +1）得，1a k b a b +=-+⎧⎨=⎩， 解得：1k b a=-⎧⎨=⎩， 所以直线MA 为y =﹣x +a ， 联立12y x a y x a =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得433a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以：N （43a ，3a -）， ∵点P 是N 关于y 轴的对称点，∴P （﹣43a ，3a -），代入y =﹣x 2﹣2x +a ，得2168393a a a a -=-++， 解得：a =94，或a =0（舍去），∴抛物线为y =﹣x 2﹣2x +94，直线BC 为y =12x ﹣94， 当x =0时，y =﹣94，∴C （0，﹣94），A （0，94），M （﹣1，134）， ∴|AC |=92， ∴S △PCD =S △PAC ﹣S △DAC =12|AC |×|xp |﹣12|AC |×|xD | =12×92×3﹣12×92×1=92 【点睛】本题考查了直线与二次函数交点问题，一元二次方程根的判别式，关于坐标轴对称的点的坐标特征，直线与坐标轴交点问题，待定系数法求解析式，掌握二次函数的图形的性质是解题的关键．4、 (1)w ＝﹣2x 2+220x ﹣5600（x ＞40）(2)销售单价定为48元时，利润最大，最大利润是352元【解析】【分析】（1）根据利润=销售数量×每件的利润可得w ＝y •（x ﹣40），把y ＝﹣2x +140代入整理即可得w 与x 的函数关系式；（2）由每天的销售量不少于44件，可得y ＝﹣2x +140 ≥44，进而可求出x ≤48；由于（1）已求w ＝﹣2x 2+220x ﹣5600，整理可得w ＝﹣2（x ﹣55）2+450，有二次函数的性质a =-2<0可知，当x <55时，w 随x 的增大而增大，所以当x ＝48时，w 有最大值，最大值为：﹣2×482+220×48﹣5600＝352．(1)解：由题意得：w＝y•（x﹣40）＝（﹣2x+140）（x﹣40）＝﹣2x2+220x﹣5600，∴w与x的函数关系式为w＝﹣2x2+220x﹣5600（x＞40）；(2)解：∵y≥44，∴﹣2x+140≥44，解得：x≤48；w＝﹣2x2+220x﹣5600＝﹣2（x﹣55）2+450，∵a=-2<0，∴当x<55时，w随x的增大而增大，∵x≤48，∴当x＝48时，w有最大值，最大值为：﹣2×482+220×48﹣5600＝352．∴销售单价定为48元时，利润最大，最大利润是352元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及二次函数求最值问题的知识，根据题意列出w与x的函数关系式是解题的关键．5、 (1)见解析(2)函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴(3)-0.4＜x＜1或x＞2【解析】【分析】（1）将x=-2，0，3分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；（2）结合图象即可求得；（3）根据图象求得即可．(1)解：补充完整下表为：画出函数的图象如图：(2)该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴，故答案为：函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．(3)由图象可知：不等式2353121x x -+<-+的解集为-0.4＜x ＜1或x ＞2． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．。
第26章 二次函数 华东师大版九年级数学下册总复习(含答案)
周测十二（26.1）知识互动点对典26.1 二次函数知识点一二次函数的概念1．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ①②③ ．（只填序号）解：这六个式子中，二次函数有：①；②；③；故答案为：①②③．2．若函数y＝(a－b)x2＋ax＋b是关于x的二次函数，则下列说法正确的是( B ) A．a，b为常数，且a≠0B．a，b为常数，且a≠bC．a，b为常数，且b≠0D．a，b可以为任意实数知识点二根据实际问题列出二次函数关系式3．下列具有二次函数关系的是（ D ）A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x4．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销量，增加赢利，商场决定采取适当降价的措施。
经调查发现，一件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件。
设一件衬衫降价元，（为整数）每天赢利元。
（1）用含的代数式表示，并写出的取值范围；（2）分别计算当=2、20时的值。
解：（1）根据题意，可得：=（40- ）（20+ ）∵，∴（为整数）。
（2）当=2时，则=（40- ）（20+ ）= ；当=20时，则=（40- ）（20+ ）= 。
答案：，2，，，2，2×2，912，20，2×20，1200知识点三会求二次函数值5．当x＝m或x＝n（m≠n）时，代数式x2－2x＋3的值相等，则x＝m＋n时，代数式x2－2x ＋3的值为．解法一：将x＝m、x＝n代入x2－2x＋3，根据题意得：m2－2m＋3＝n2－2n＋3m2－n2＝2m－2n(m＋n)(m－n)＝2(m－n)因为m≠n所以m＋n＝2将x＝2代入x2－2x＋3＝4－4＋3＝36．若函数y＝4x2＋1的函数值为5，则自变量x的值应为（ C ）A．1 B．－1 C．±1 D．易错训练一对一易错点忽视二次项系数不为07．若函数是二次函数，那么的值是。
九年级数学下册第26章二次函数26.1二次函数同步练习新版华东师大版
26.1 二次函数知|识|目|标1．通过对教材“问题1”“问题2”中所列函数关系式共同点的探索，归纳出二次函数的定义，并会判断一个函数是不是二次函数．2．类比根据实际问题列出一次函数关系式的方法，能根据实际问题或几何图形写出二次函数的关系式及自变量的取值范围．目标一能识别二次函数例1 教材补充例题下列函数：①y＝x＋2；②y＝2x2；③y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)；④y＝3x2；⑤y＝x(x＋1)；⑥y＝－13x2－x＋2；⑦y＝(x＋1)2－x(x＋1)．其中y一定是x的二次函数的有哪些？请指出二次函数中相应的a，b，c的值．【归纳总结】1．一个函数是二次函数必须同时满足：(1)函数关系式是整式；(2)化简后自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于零．三者缺一不可．2．确定二次函数中各项系数时，应先将关系式化为一般形式，注意各项系数应包括它前面的符号．目标二会列二次函数关系式例2 教材练习第1题针对训练如图26－1－1，有长为30 m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度为15 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形菜园．设菜园的一边AB＝x m，总面积为S m2，求S关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．图26－1－1【归纳总结】列二次函数关系式“三步法”：(1)审清题意，找到实际问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，分析各量之间的关系，找出等量关系．(2)根据实际问题中的等量关系，列出二次函数关系式，并化成一般形式．(3)根据实际问题的意义及所列函数关系式，确定自变量的取值范围．知识点一 二次函数的概念定义：形如__________________________________的函数叫做二次函数．其中x 是自变量，ax 2，bx ，c 分别是二次函数的二次项、一次项和常数项．a ，b ，c 分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．自变量x 的取值范围是__________． 知识点二 列二次函数关系式根据题意用自变量表示出题目中的相关量，然后列出函数关系式．列出函数关系式后，要注意标明自变量的取值范围．当m 为何值时，y ＝(m ＋1) 是关于x 的二次函数？解：令x 的指数是2，即m 2－3m －2＝2，解得m 1＝－1，m 2＝4.所以当m ＝－1或m ＝4时，y ＝(m ＋1) 是关于x 的二次函数．以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程．教师详解详析【目标突破】例1 [解析] ①自变量的最高次数是1，不是二次函数；②是二次函数，a ＝2，b ＝0，c ＝0；③当a ＝0时不是二次函数；④函数关系式不是整式，故不是二次函数；⑤是二次函数，a ＝1，b ＝1，c ＝0；⑥是二次函数，a ＝－13，b ＝－1，c ＝2；⑦化简得y ＝x ＋1，不是二次函数． 解：y 一定是x 的二次函数的有②⑤⑥.②y ＝2x 2：a ＝2，b ＝0，c ＝0；⑤y ＝x(x ＋1)：a ＝1，b ＝1，c ＝0；⑥y ＝－13x 2－x ＋2：a ＝－13，b ＝－1，c ＝2. 例2 [解析] 因为AB ＝x m ，所以BC ＝(30－3x)m .利用长方形的面积公式可以写出S 关于x的关系式，再利用给定墙的长度及篱笆长度可以求得自变量x的取值范围．解：由题意，得AB＝x m，则BC＝(30－3x)m，∴S＝x·(30－3x)＝－3x2＋30x.又∵3AB＝3x<30，且BC＝30－3x≤15，∴x<10且x≥5，即自变量x的取值范围是5≤x<10.∴S＝－3x2＋30x(5≤x＜10)．备选目标利用二次函数的关系式进行简单计算例已知二次函数y＝ax2＋2x－3，当x＝1时，y＝0.(1)求a的值；(2)若x＝2，求y的值；(3)若y＝－4，求x的值．解：(1)把x＝1，y＝0代入y＝ax2＋2x－3中，解得a＝1.(2)由(1)知y＝x2＋2x－3.把x＝2代入y＝x2＋2x－3中，得y＝22＋2×2－3＝5.(3)把y＝－4代入y＝x2＋2x－3中，得x2＋2x－3＝－4，解得x＝－1.【总结反思】[小结] 知识点一y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 全体实数[反思] 不正确．根据二次函数的定义，要使y＝(m＋1) 是关于x的二次函数，m不但应满足m2－3m－2＝2，而且还应满足m＋1≠0，二者缺一不可．在解题过程中忽略了m ＋1≠0这一条件，所以解答过程不正确．正解：根据题意知m应满足的条件是m2－3m－2＝2，且m＋1≠0，解得m＝4.所以当m＝4时，y＝(m＋1) 是关于x的二次函数．。
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26.2.3求二次函数表达式练习题
一、选择题
1、将二次函数y=x2的图象向下平移2个单位，再向右平移2个单位后所得图象的函数表
达式为（ ）
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2﹣2
2、函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
3、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）
A、y=2x2-2x-4 B、y=211222x
C、y=121212xx D、y=22xx
4、一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面
2m，水面宽4m．建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．22yx B．22yx C．212yx D．
2
1
2
yx
5、在平面直角坐标系中，先将抛物线22yxx关于x轴作轴对称变换，再将所得的
抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A．22yxx B．22yxx
A． B． C． D．
111
1
xo yyo xyo xxo
y
C．22yxx D．22yxx
6、向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2bx。若此
炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？
A、第8秒 B、第10秒 C、第12秒 D、第15秒 。
二、填空题
1、如果将抛物线y=3x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（2，2），那么平移后的抛物
线的表达式为 ．
2、已知二次函数的图象经过原点及点（12，14），且图象与x轴的另一交点到原点的
距离为1，则该二次函数的解析式为 ．
3、请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ．
①过点(31)，；②当0x时，y随x的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于
2．
4、如图，一次函数2yx的图象与二次函数23yxx图象的对称轴交于点B.
（1）写出点B的坐标 ；（2）已知点P是二次函数23yxx图象在y轴右侧．．部
分上的一个动点，将直线2yx沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点. 若以
CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为 .
三、解答题
1、根据下列条件求抛物线所对应的二次函数的关系式，
（1）顶点在y轴，且经过（1，3）和（2，5）两点；
（2）经过（1，0）、（3，0）和（4，1）三点；
（3）顶点坐标是（1，1），且过点（2，5）。
2、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=a（x﹣3）2﹣1，且平移后
的抛物线经过点A（2，1）．
（1）求平移后抛物线的解析式；
（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，
求△BPM的面积．
3、已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，
0），与y轴相交于点C；
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积．
4、如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．
5、如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．
6、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过
程，下面的二次函数的图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间
t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t
之间的关系).
(1)根据图象积累求销售S(万元)与销售时间t(月)之间的函数关系式。
(2截止到几月末公司积累利润可达到30万元？
（3）求第8个月公司所获得的利润。
华师大版九年级26.2.3求二次函数表达式练习题答案
一、选择题
DCACC B
二、填空题
1、y=3（x﹣2）2+2
2、21133yxx或2yxx
3、略
4、（3 , 32）；15 24（ ，），（2，2），1111 , 416，1326 , 525
三、解答题
1、（1）22733yx （2）214133yxx
（3）2485yxx
2、解：（1）把点A（2，1）代入y=a（x﹣3）2﹣1，得
1=a（2﹣3）2﹣1，
整理，得
1=a﹣1，
解得 a=2．
则平移后的抛物线解析式为：y=2（x﹣3）2﹣1；
（2）由（1）知，平移后的抛物线解析式为：y=2（x﹣3）2﹣1，则M（3，0）
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=2（x﹣3）2﹣1，
∴平移前的抛物线解析式为：y=2（x﹣1）2﹣1．
∴P（1，﹣1）．
令x=0，则y=1．
故B（0，1），
∴BM=
∴S△BPM=BM•yP=××1=．
3、解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，解得b=﹣5，
所以抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；
（2）∵抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；
∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），
∴S△ABC=×1×6=3．
4、解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），
∴将A与B坐标代入得：，
解得：，
则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）点D为抛物线顶点，由顶点坐标（﹣，）得，D（1，4），
∵对称轴与x轴交于点E，
∴DE=4，OE=1，
∵B（﹣1，0），
∴BO=1，
∴BE=2，
在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD===2．
5、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，
∴，
解之得：a=﹣1，b=3，
∴y=﹣x2+3x+4；
（2）∵点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，
∴把D的坐标代入（1）中的解析式得
m+1=﹣m2+3m+4，
∴m=3或m=﹣1，
∴m=3，
∴D（3，4），
∵y=﹣x2+3x+4=0，x=﹣1或x=4，
∴B（4，0），
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠CBA=45°
设点D关于直线BC的对称点为点E
∵C（0，4）
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠ECB=∠DCB=45°
∴E点在y轴上，且CE=CD=3
∴OE=1
∴E（0，1）
即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；
6、（1）21(2)22st（012t）
（2）10月末 （3）5.5万元