用二分法求方程的近似解课件
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高一数学人教A版必修1课件：3.1.2 用二分法求方程的近似解
3、二分法的基本步骤
⑴确定区间[a,b]，验证 f(a)•f(b)<0，给定精确度 ε
⑵求区间(a,b)的中点c ⑶计 算f(c);
①若f(c)=0，则c就是 函数的零点
②若f(a)• f(c)<0，则令b= c (此时零点x0∈(a,c)) ③若f(a)• f(c)>0，则令a= c (此时零点x0∈(c,b)) ⑷判断是否达到精确度 ε，即若|a-b|< ε，则得到零 点的近似值 a(或b)；否则得重复⑵ ～ ⑷
3.1.2 用二分法求方程的近似解
1、函数的零点： 对于函数 y=f (x) ，使 f (x)=0 的 实数x 叫做
函数y=f (x)的零点
2、零点存在性定理
二、基础练习
1、已知函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则
C 函数f(x)在区间(a,b)内（ ）
A.一定有零点
B.一定没有零点
C.可能有两个零点
D.至多有一个零点
C
B
二、函数零点个数
二、函数零点个数
y 1 O 1 5 10 11 x
二、函数零点个数
二、函数零点个数
y
O
x
二、函数零点个数
D
二、函数零点个数
D
如何求函数近似零点
x1 2
34 5
6
7
8
9
f(x) -4 －1.306 1.098 3.386 5.609 7.791 9.945 12.079 14.197
一、基础知识讲解
通过缩小零点所在的范围，那么在一定 的精确度的要求下，能得到零点的近似值。 一般的，我们通过“取中点”的方法逐步缩 小区间零(点2，所3)在的的中点范是围。 x=2.5
高一数学必修一第三章第二节用二分法求方程的近似解公开课一等奖优秀课件
所以，原方程的近似解可取为1.437 5.
反思与感悟
用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取， 符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断， 以决定是停止计算还是继续计算.
3 • 题型探究
跟踪训练1 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零 点.(精确度0.01)
0.261 0 0.103 3 0.027 3 －0.010 0
由于1.265 625－1.257 812 5＝0.007 812 5<0.01， 所以 1.265 625 是函数的零点的近似值，即3 2的近似值是 1.265 625.
反思与感悟
“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点 附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.
2＋4 f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点 x1＝ 2 ＝3，计算得 f(2)·f(x1)<0，则此
时零点 x0 所在的区间是( B )
A.(2,4) C.(3,4)
B.(2,3) D.无法确定
规律与方法
1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间 的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度， 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
二分法的概念： 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ， 使 区 间 的 两 个 端 点 逐步逼近零，点进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 方程的近似解 .
2 • 问题导学
反思与感悟
用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取， 符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断， 以决定是停止计算还是继续计算.
3 • 题型探究
跟踪训练1 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零 点.(精确度0.01)
0.261 0 0.103 3 0.027 3 －0.010 0
由于1.265 625－1.257 812 5＝0.007 812 5<0.01， 所以 1.265 625 是函数的零点的近似值，即3 2的近似值是 1.265 625.
反思与感悟
“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点 附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.
2＋4 f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点 x1＝ 2 ＝3，计算得 f(2)·f(x1)<0，则此
时零点 x0 所在的区间是( B )
A.(2,4) C.(3,4)
B.(2,3) D.无法确定
规律与方法
1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间 的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度， 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
二分法的概念： 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ， 使 区 间 的 两 个 端 点 逐步逼近零，点进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 方程的近似解 .
2 • 问题导学
利用Excel表格解决二分法求方程的近似解问题 课件
二分法求方程的近似解
一 问题引入
中央电视台 “幸运52”录制现场
有奖竞猜
问题1：主持人给出高了、低了的提示有什 么用？
问题2：参赛者如何才能最快的猜出价格？
智力游戏
数字
竞猜
（老师从1-100中选一个整数，看谁猜的 又快又准）
复习回顾
函数f (x) ln x 2x 6在下列哪个区间内有零点？ A.（0,1） B（. 1,2） C（. 2,3） D（. 3,4）
求 ln x 2x 6=0的解 求函数y ln x 2x 6的零点.
问题2：该方程有几个解？
初始 区间
由函数的单调性知：有且仅有一个零点x0 , x0 (2, 3).
问题3：如何求该方程的解？
问题：怎样理解 a b ，则方程的近似解达到 精确度要求？
设函数的零点为x0 ,则a x0 b. 作出数轴，在数轴上标出a,b, x0对应的点.
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区
间(a,b)内有零点。 ——零点存在定理
合作探究： 运用excel进行有关计算
几何画板
如何求 ln x 2x 6=0的近似解？（精确度0.1）
问题1：该方程有没有解？怎么判断
a
x0
b
x
所以0 x0 a b a, a b x0 b 0.
由于 a b ,所以 x0 a b a , x0 b a b , 即a或b作为函数的零点x0的近似值都达到给定的精确度 .
二分法概念
口诀
定区间，找中点，中值计算两边看； 同号去，异号算，零点落在异号间. 周而复始怎么办?精确度上来判断.
一 问题引入
中央电视台 “幸运52”录制现场
有奖竞猜
问题1：主持人给出高了、低了的提示有什 么用？
问题2：参赛者如何才能最快的猜出价格？
智力游戏
数字
竞猜
（老师从1-100中选一个整数，看谁猜的 又快又准）
复习回顾
函数f (x) ln x 2x 6在下列哪个区间内有零点？ A.（0,1） B（. 1,2） C（. 2,3） D（. 3,4）
求 ln x 2x 6=0的解 求函数y ln x 2x 6的零点.
问题2：该方程有几个解？
初始 区间
由函数的单调性知：有且仅有一个零点x0 , x0 (2, 3).
问题3：如何求该方程的解？
问题：怎样理解 a b ，则方程的近似解达到 精确度要求？
设函数的零点为x0 ,则a x0 b. 作出数轴，在数轴上标出a,b, x0对应的点.
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区
间(a,b)内有零点。 ——零点存在定理
合作探究： 运用excel进行有关计算
几何画板
如何求 ln x 2x 6=0的近似解？（精确度0.1）
问题1：该方程有没有解？怎么判断
a
x0
b
x
所以0 x0 a b a, a b x0 b 0.
由于 a b ,所以 x0 a b a , x0 b a b , 即a或b作为函数的零点x0的近似值都达到给定的精确度 .
二分法概念
口诀
定区间，找中点，中值计算两边看； 同号去，异号算，零点落在异号间. 周而复始怎么办?精确度上来判断.
二分法求方程的近似解( 公开课PPT课件)
另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题． 其中运用“二分法”进行区间的缩小、总结出“运用二分法求 方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学 生“跳跳”才能摘到的“桃子”。
02 教学目标
四、教学目标
过程方法与能力目标
知识与技能目标
（1.体会二分法的思想，掌 握二分法求方程近似解的 一般步骤 。 （2.会用二分法求方程的近 似解，并能用计算器辅助 求解。 （3.会用二分法思想解决其
二、教学内容分析
二分法体现了数学的逼近思想，对 学生以后学习球的面积体积公式的 由来等微积分的知识起了奠基的作 用，同时在日常生活也常常涉及到 这种思想。
教材从上一节的一道例题出 发引起思考，通过具体的操 作得到用二分法求函数零点 近似值的步骤，这其中体现 了新课改特别强调的从特殊 到一般的归纳推理。
给定精度ε ，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精度ε ；
2.求区间(a,b)的中点c；
(1) 启发诱导，揭示知识形成过程，让学生
参与教学过程，倡导布鲁纳的发现教学：
一个零点，即存在ca,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
思考1：零点唯一吗？
思考2：若只给条件f(a) · f(b)<0能否保证在(a,b)有零点？
思考3：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条
曲线：且f(a)·f(b)>0，是否在(a,b)内函数就没有零点？
观察探究
25
35
价格（元）
10
27
50
数学源于生活，用于生活 想一 想
思考1：竞猜中，“高了”、“低了”的含义是什么？ 如何确定价格的最可能的范围？
02 教学目标
四、教学目标
过程方法与能力目标
知识与技能目标
（1.体会二分法的思想，掌 握二分法求方程近似解的 一般步骤 。 （2.会用二分法求方程的近 似解，并能用计算器辅助 求解。 （3.会用二分法思想解决其
二、教学内容分析
二分法体现了数学的逼近思想，对 学生以后学习球的面积体积公式的 由来等微积分的知识起了奠基的作 用，同时在日常生活也常常涉及到 这种思想。
教材从上一节的一道例题出 发引起思考，通过具体的操 作得到用二分法求函数零点 近似值的步骤，这其中体现 了新课改特别强调的从特殊 到一般的归纳推理。
给定精度ε ，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精度ε ；
2.求区间(a,b)的中点c；
(1) 启发诱导，揭示知识形成过程，让学生
参与教学过程，倡导布鲁纳的发现教学：
一个零点，即存在ca,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
思考1：零点唯一吗？
思考2：若只给条件f(a) · f(b)<0能否保证在(a,b)有零点？
思考3：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条
曲线：且f(a)·f(b)>0，是否在(a,b)内函数就没有零点？
观察探究
25
35
价格（元）
10
27
50
数学源于生活，用于生活 想一 想
思考1：竞猜中，“高了”、“低了”的含义是什么？ 如何确定价格的最可能的范围？
用二分法求方程的近似解课件PPT
1
第二步：取2与3的平均数2.5
f2.5 = 0.25
f (2) 0, f (2.5) 0 x1 (2,2.5)
2.25
o
1
2
2.5
3
x
第三步：取2与2.5的平均数2.25
ff22..2255==--00..443475
f (2.25) 0, f (2.5) 0 x1 (2.25,2.5)
第四步 重复步骤2～3,直至所得区间的两端点差的绝对值小于要求的精确值， 则零点的近似值为所得区间内的任一数。
一般取其中点为近似值。
口诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
二分法的应用 例2. 从上海到旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需 及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至多需要检查接点的个数为 几个？
第二步：取2与3的平均数2.5
f (2) 0, f (2.5) 0 x1 (2,2.5)
o
1
2 2.5 3 第x 三步：取2与2.5的平均数2.25
fx = x 2 -2x-1
探究求零点近似值的方法
例1.求方程 x2 2x 1 0 的一个正的近似 x) 的简x图2， 2x 1
如此继续取下去得：
fx = x 2 -2x-1
探究求零点近似值的方法
例1.求方程 x2 2x 1 0 的一个正的近似 解？
y （精确到0.1）
1 分析：先画出函数
f (x) 的简x图2， 2x 1
第一步：得到初始区间（2,3）
f2.5 = 0.25
2.375
f (2) 0, f (3) 0 x1 (2,3)
用二分法求方程的近似解
总结作业
茅盾中学 用二分法求方程的近似解
0.03
(2.5625,2.625)
新课讲解
茅盾中学 用二分法求方程的近似解
给定精确度 ,用二分法求函数f (x)零点近似值
的步骤 :
宇普西龙
1.确定区间[a,b], 验证f (a) f (b) 0;
2.求区间(a, b)的中点c;
3.计算f (c);
(1)若f (c) 0,则c就是函数的零点;
(2)若f (a) f (c) 0,则令b c(此时零点x0 (a, c)); (3)若f (c) f (b) 0,则令a c(此时零点x0 (c, b)); 4.判断是否达到精确度 :即若 | a b | ,则得到零点近似值a(或b);否
则重复2 4.
新课讲解
茅盾中学 用二分法求方程的近似解
例1、借助计算器或计算机,用二分法求方程x
3 lg x在(2,3)内的近似解(精确度0.1). 近似 值
区间
中点的值 中点的函数值
(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)
2.5 2.75 2.625
0.10 0.19 0.04
(2.5,2.625) 2.5625
A.(3,4) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
新课讲解
二分法 :
茅盾中学 用二分法求方程的近似解
对于区间[a,b]上连续不断且f (a) f (b) 0的函 数y f (x), 通过不断地把函数f (x)的零点所在 的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近 零点, 进而得到零点近似值的方法, 称之.
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§ 3.1.2 用二分法求方程近似解
复习引入 新课讲解 课堂小结 课后作业
优选高中数学人教A版必修用二分法求方程的近似解完整版课件
A．4，4 C．5，4 【答案】 D
B．3，4 D．4，3
题型二 二分法求函数零点的方法步骤
例 2 在用二分法求函数 f(x)零点近似值时，第一次取的区
间是(－2，4)，则第三次所取的区间可能是( )
A．(1，4)
B．(－2，1)
C．(－2，2.5)
D．(－0.5，1)
【答案】 D
思考题 2 用二分法求方程 ex＋x－3＝0 在 x∈[0，1]上的
要点 1 二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且__f(_a_)·_f(_b_)<_0__的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间____一_分__为_二____，使区间 的两个端点___逐_步__逼_近__零__点___，进而得到零点近似值的方法叫做二 分法．
要点 2 如何理解“二分法” 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断 地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足 够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地 表示真正的零点．
[1.25，1.375]
x3＝1.312 5
f(x3)＝0.163 330 078>0 [1.25，1.312 5]
由上表的计算可知，区间[1.25，1.312 5]的左、右端点保留
两位有效数字所取的近似值都是 1.3，因此 1.3 就是所求函数的一
个精确到 0.1 的正实数零点的近似值．
探究 2 由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐， 因此用列表法往往能比较清晰地表达．事实上，还可用二分法继 续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．
将①代入上述不等式中，解得 2≤a<52.
方法三(运用求根公式)： 方程 x2－2ax＋4＝0 的两根为 x1，x2＝2a± 42a2－16＝a± a2－4， 且 Δ≥0，得 a≥2 或 a≤－2. 要使两根均大于 1，只需小根 a－ a2－4>1 即可，即 a－ 1> a2－4的两边平方，解得 2≤a<52.
用二分法求方程课件
二分法的基本思想
二分法的基本思想是通过不断将搜索区间一分为二，并根据 函数值在左右端点的符号来判断根所在的子区间，从而逐步 逼近根的近似值。
在每次迭代过程中，选取当前搜索区间的中点，并根据函数 值在该点的正负来判断根所在的子区间，然后舍弃非根所在 的子区间，继续在剩余的子区间上重复该过程，直到达到预 设的精度要求。
定的鲁棒性。
缺点
收敛速度慢
二分法的收敛速度取决于初始区间的 大小和方程的性质，对于一些复杂的 方程，可能需要多次迭代才能得到精 确解。
需要判断根的存在性
对初始区间选择敏感
二分法的收敛速度和精度与初始区间 的选择密切相关，如果初始区间选择 不当，可能会影响最终的求解结果。
在使用二分法之前，需要先判断方程 是否在给定的区间内有根，否则可能 无法收敛。
复杂的非线性方程时具有一定的优势。
END
THANKS
感谢观看
KEEP VIEW
计算中点
在初始区间内选择一个中点，通常是区间的中点。 中点的计算是二分法求解方程的关键步骤之一，需要精确计算中点的坐标。
判断中点处的函数值
判断中点处的函数值是二分法求解方程的重要步骤，根据 函数值的不同情况，可以决定下一步的行动。
如果函数值异号，说明解在区间内，继续进行下一步；如 果函数值同号，说明解不在区间内，需要重新选择初始区 间或调整中点位置。
PART 05
二分法的改进和变种
变种方法一：插值二分法
总结词
通过插值多项式来逼近方程的根，从而提高二分法的收敛速度。
详细描述
插值二分法是在二分法的基础上，利用插值多项式来逼近方程的根。通过构造插值多项式，可以更精 确地估计方程的根的位置，从而加快二分法的收敛速度。
人教版高中数学必修一_3.1.2_用二分法求方程的近似解ppt课件
[解析] 只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号， 才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错，二分法有规律可循，可以通过计 算机来进行，故C错，求方程的近似解也可以用二分法，故D错．
2．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似
解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在的区间为( )
●温故知新
旧知再现
1．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调增函数，则b的取值范围为________.
2．函数y＝(x－b≥10)(x2－2x－3)的零点为_________.
3．方程log2x＋x2＝2的实数解的个数为_____.
－1,1,3 1
新知导学
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且__________＜0f的(a)函·f(数b)y＝f(x)，通过不断地把函 数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点逐步逼一近分__为__二_，进而得到
f(x4)＝－0.029 5<0
∴函数的正实数零点近似值可以取为 1.437 5.
规律总结：1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩 小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零 点的近似值．
规律总结：运用二分法求函数零点需具备的两个条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号．
1
对于二分法求得的近似解，精确度ε说法正确的是( ) A．ε越大，零点的精确度越高 B．ε越大，零点的精确度越低 C．重复计算次数就是ε D．重复计算次数与ε无关 [解析] 由精确度ε定义知，ε越大，零点的精确度越低． [答案] B
人教版高中数学必修一3.1.2用二分法求方程的近似解ppt课件
f(2)<0, f(3)>0 (2.5, 3) f(2.5)<0, f(3)>0 f(2.5)<0, f(2.75)>0 f(2.5)<0, f(2.625)>0 f(2.5)<0, f( 2.5625)>0
2.5
f(2.5)<0
2.75 2.625
2.5625 2.53125
f(2.75)>0 f(2.625)>0
列表
列表
列表
列表
例2 借助计算器或计算机用二分法求方 程2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1).
例2 借助计算器或计算机用二分法求方 程2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1).
列表
因为f(1)· f(2)<0，所以 f(x)=2x＋3x－7在 (1, 2)内有零点x0，取(1, 2)的中点x1=1.5， f(1.5)=0.33，因为f(1)· f(1.5)<0 所以x0∈(1, 1.5).
3.1.2用二分法求 方程的近似解
复习引入
函数f(x)＝lnx＋2x－6＝0在区间(2，3)
内有零点
如何找出这个零点？
游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52， 请同学们猜一下下面这部手机的价格.
游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52， 请同学们猜一下下面这部手机的价格.
游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52， 请同学们猜一似值的步骤： 1.确定区间[a, b], 验证f(a)· f(b)＜0, 给定精确度； 2.求区间(a, b)的中点c； 3.计算f(c)； (1) 若f(c)＝0, 则c就是函数的零点； (2) 若f(a)· f(c)＜0, 则令b＝c(此时零点x0∈(a,c))；
(3) 若f(c)· f(b)＜0, 则令a＝c(此时零点x0∈(c,b)).