不等式的解法(1)
不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题典型例题一解15种典型例题的不等式，需要注意处理好有重根的情况。
例如，如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞（或f(x)＜）可用“穿根法”求解。
对于偶次或奇次重根，可以转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但要注意“奇穿偶不穿”，其法如图。
下面分别解两个例题：例题一：解不等式2x－x²－15x＞0；(x＋4)(x＋5)(2－x)＜231）原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.把方程x(2x＋5)(x －3)=0的三个根5，－1，3顺次标上数轴。
然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分。
∴原不等式解集为{x｜－5＜x＜0}∪{x｜x＞3}。
2）原不等式等价于(x＋4)(x＋5)(x－2)＞23.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－5或－5＜x＜－4或x＞2}。
典型例题二解分式不等式时，要注意它的等价变形。
当分式不等式化为f(x)/g(x)＜(或≤)时，可以按如下方法解题。
1）解：原不等式等价于3(x＋2)－x(x－2)－x²＋5x＋6/3x(x＋2)＜1－2x＋2.化简后得到原不等式等价于(x－6)(x＋1)(x－2)(x＋2)≥0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－2或－1≤x≤2或x≥6}。
2）解法一：原不等式等价于2x²－3x＋1/2x²－9x＋14＞0.化简后得到原不等式等价于(x－1)(2x－1)(3x－7)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或7/3＜x＜1}。
解法二：原不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或x＞1}。
例7解不等式2ax-a2>1-x(a>0)。
分析：将不等式移项整理得到2ax+x>a2+1，然后按照无理不等式的解法化为两个不等式组，再分类讨论求解。
解：原不等式等价于(1) 2ax-a2>1-x，或(2) 2ax-a2<1-x。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的问题，解不等式可以帮助我们找到满足特定条件的数值范围。
本文将介绍几种常用的不等式的解法。
一、一元一次一元一次不等式是形如ax+b>c或ax+b<c的不等式，其中a、b、c都是已知的实数，x是未知数。
1. 等价变形法通过对不等式进行等价变形，使得未知数x单独在一边，从而得到不等式的解。
例如，对于不等式3x+4>10，我们可以通过减4，并除以3来消去4和3，得到x>2。
所以x的取值范围为大于2的所有实数。
2. 符号法考虑不等式中的符号，根据不等式关系的性质确定解的范围。
例如，对于不等式5x-7≥8，我们观察到不等式中的符号是≥，根据≥的意义，我们知道等号成立时也是一个解。
所以我们可以解得5x-7=8，得到x=3。
因此，x的取值范围为大于等于3的所有实数。
二、一元二次一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>d或ax^2+bx+c<d的不等式，其中a、b、c、d都是已知的实数，x是未知数。
1. 图像法将一元二次不等式转化为二次函数的图像，通过观察函数图像来确定不等式的解。
例如，对于不等式x^2-4x<3，我们可以将不等式转化为方程x^2-4x=3，并求得其根为x=1和x=3。
然后绘制出函数图像y=x^2-4x的图像，在图像上观察x轴上落在1和3之间的部分，即得到不等式的解为1<x<3。
2. 化简法将一元二次不等式进行化简，将不等式转化为一个或多个一元一次不等式，然后求解这些一元一次不等式的解。
例如，对于不等式x^2+2x-3>0，我们可以将不等式因式分解为(x-1)(x+3)>0。
然后我们考虑两个因式的正负情况，得到两个一元一次不等式x-1>0和x+3>0。
解这两个一元一次不等式，得到x>1和x>-3。
因此，x的取值范围为大于1和大于-3的所有实数。
三、多元多元不等式是包含两个或多个未知数的不等式，解多元不等式可以使用代入法、图像法或数学方法。
不等式解法-图表
解无理不等式的基本思想就是讨论不带根式一边的正负情况并用乘方转化为有理不等式组求解。但一定要注意偶次根式下非负及使用偶次乘方的前提条件： （ 是正偶数）。简单的无理不等式用数形结合法求解更好。
1． 2．
3． 或
对数指数不等式解法
解对数指数不等式的指导思想就是利用对数指数函数的单调性转化为有理不等式（组）求解。但必须注意对数真数大于0，底数大于0且不等于1。
高次分式不等式解法
穿根法：把高次分式不等式分解成一次因式的乘积和商（要求每一个一次因式中 的系数是正数），然后把各因式的根从小到大标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（不穿过偶次根），最后根据符号规律写出不等式解集（注意偶次根是否需要排除）
分式不等式一般用移项通分法或分组分解法求解，分组分解法的常见类型为： 或
1．
2．
3． ；
4． 或
绝对值不等式
解绝对值不等式的基本思想就是根据绝对值定义或基本绝对值不等式去掉绝对值。
基本绝． 法一： 或
法二：
2． 法一： 或
法二： 或
3.． （然后移项分解因式）
4．含二个以上绝对值的不等式的解法常用零点分区间去绝对值的思想求解
一元二次不等式的解法(1)
（2）求⊿，解方程，画图象； （3）根据图象写出解集
序轴标根法
看谁更快,写出下列不等式的解集:
x2 0 ⑴ 2x 5
5 x 2 x 2
3x 2 ≥0 ⑵ x 1
2 x x 1 或 x ≥ 3
。0 -3
。 5
x
练习:
(1)解不等式4x2-4x+1>0 2.解不等式-x2+2x-3>0 3.解不等式2x2-3x-2>0 4.解不等式+1>0 解： ∵ △=0，方程4x2-4x+1=0的 解是x1= x2=1/2
∴不等式的解集是 {x∈R|x≠1/2}
例4 . 已知一元二次不等式a x2 ＋bx+6>0 的解集为{x │－ 2 ＜x＜3}, 求a－b的值. 另解：由条件可知 ： 方程 a x2 ＋bx+6＝0的根－2、3 ， 代入方程可得：
4a－2b+6＝0 9a＋3b+6＝0 解方程组得： a＝－1 b＝1 则a－b＝－2
练习:已知不等式ax2 + bx + 2＞0
∴由上面分析可知原不等式的解集为 x x 7 或 x 3
代数式 x7 x3 x3 x7
x 7
7 x 3
x3
注:如果熟练了可简化成序轴标根法,直接快速写出解集
解一元二次不等式的方法步骤是： 方法：数形结合 步骤：（1）化成标准形式 (a>0)：
变式：函数f(x)= lg(kx2 －6kx+k+8）的 值域为 R , 求k的取值范围。
一元二次不等式及其解法(一)
1
2
(-2) × -
=- ,
1
2
即
= ,
5
= ,
2
= 1.
1
所以不等式 ax2-bx+c>0 即 2x2-5x+2<0,解得 <x<2.
2
1
故不等式 ax -bx+c>0 的解集为 | < x < 2 .
2
2
课堂导学
课前预学
【当堂检测】
1
1
3
2
1.若不等式 ax2+5x+c>0 的解集为 | < x <
(3)由图象得出不等式的解集.
课堂导学
课前预学
解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.
方法指导
先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的
解集.
解析
1
(1)方程 2x -3x-2=0 的解是 x1=- ,x2=2.
不等式 x(2-x)>3 的解集为⌀.
课前预学
课堂导学
3.解关于 x 的不等式 x2+(1-a)x-a<0.
解析
方程 x2+(1-a)x-a=0 的解为 x1=-1,x2=a,函数 y=x2+(1-a)x-a 的图象开口向上.
当 a<-1 时,原不等式的解集为{x|a<x<-1};
当 a=-1 时,原不等式的解集为⌀;
解不等式常用公式
解不等式常用公式解不等式是数学中的一个重要内容，它在实际问题中具有广泛的应用。
在解不等式的过程中，我们可以运用一些常用的公式和方法来简化计算，提高求解的效率。
本文将介绍一些常用的不等式解法公式，并通过实际例子来说明它们的应用。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。
对于一元一次不等式ax+b>0（或<0）来说，我们可以通过以下公式来求解：1. 当a>0时，不等式ax+b>0的解集为x>-b/a；2. 当a<0时，不等式ax+b>0的解集为x<-b/a；3. 当a>0时，不等式ax+b<0的解集为x<-b/a；4. 当a<0时，不等式ax+b<0的解集为x>-b/a。
例如，对于不等式2x-3>0，我们可以将其转化为2x>3，再除以2，得到x>3/2。
因此，不等式2x-3>0的解集为x>3/2。
二、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程。
对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0）来说，我们可以通过以下公式来求解：1. 当a>0时，不等式ax^2+bx+c>0的解集为x<x1或x>x2，其中x1和x2分别为方程ax^2+bx+c=0的两个根；2. 当a<0时，不等式ax^2+bx+c>0的解集为x1<x<x2。
例如，对于不等式x^2-3x+2>0，我们可以先求出方程x^2-3x+2=0的根，即x1=1和x2=2。
由于a=1>0，因此不等式x^2-3x+2>0的解集为x<1或x>2。
三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
对于绝对值不等式|ax+b|>c来说，我们可以通过以下公式来求解：1. 当a>0时，不等式|ax+b|>c的解集为x<-b/a-c/a或x>-b/a+c/a；2. 当a<0时，不等式|ax+b|>c的解集为x<-b/a+c/a或x>-b/a-c/a。
大学《高等数学》不等式的方法与技巧
大学《高等数学》不等式的方法与技巧在大学《高等数学》课程中，不等式是一个重要的数学概念和解题方法。
掌握不等式的方法与技巧，对学生来说是必不可少的。
本文将介绍一些常见的不等式解题方法与技巧，帮助大家更好地应对《高等数学》中的不等式问题。
一、一元二次不等式的解法一元二次不等式是《高等数学》中常见的问题之一。
解一元二次不等式的方法有两种：图像法和代数法。
1.图像法图像法是通过画出二次曲线图像来解决不等式问题的一种方法。
对于一元二次不等式 ax^2+bx+c>0，首先求出对应的二次函数的零点，然后根据二次函数的凹凸性和零点位置来确定不等式的解集。
2.代数法代数法是通过对不等式进行变形来解决问题的方法。
根据一元二次不等式的形式，可以利用完全平方式将其变形为一个完全平方式的二次不等式，然后通过判别式和求根公式求解。
二、绝对值不等式的解法绝对值不等式是另一种常见的不等式问题。
解绝对值不等式的方法有以下两种：分段函数法和代数法。
1.分段函数法分段函数法是将绝对值函数转化为分段函数，然后通过求解每个分段函数的不等式来得到整个不等式的解集。
2.代数法代数法是通过对绝对值不等式进行变形来解决问题的方法。
对于一个绝对值不等式 |f(x)|<g(x)，可以将其分解为两个不等式 f(x)<g(x)和-f(x)<g(x)来求解。
然后根据两个不等式的解集的交集得到绝对值不等式的解集。
三、常见的不等式技巧在解题过程中，还有一些常见的不等式技巧可以帮助我们更快地求解问题。
1.倍加减法倍加减法是通过加减同一个量来改变不等式的形式。
对于一个形如ax>b的不等式，可以通过加减常数c，得到ax+c>b±c的形式，从而使得不等式的解集更容易求解。
2.代换法代换法是通过将不等式中的变量进行代换，将不等式转化为其他形式的不等式来解决问题。
通过合适的代换，可以使得不等式的解集更容易求得。
3.差法差法是通过对不等式两边进行差的操作来改变不等式的形式。
不等式的解法高中数学
不等式的解法高中数学高中数学：不等式与不等式组的解法1.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a<0时，其解集为(-∞，ba)，当a=0时，b<0时，期解集为R，当a=0，b≥0时，其解集为空集。
例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a<2时，其解集为(-∞，b+2a-2)③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b<-2时，其解集为R.2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。
例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△<0，其解集为R②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a<1时，△>0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.例3：解不等式组m2+4m-5>0(1)m2+4m-12<0(2)解：由①得m<-5或m>1由②得-6，故原不等式组的解集为(-6，-5)∪(1，2)4.分式不等式的解法任何一个分式不等都可化为f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式，然后讨论分子分母的符号，得两个不等式组，求得这两个不等式组的解集的并集便是原不等式的解集.例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2解：原不等式化为：3x2-x-4-x2-1>0它等价于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).故原不等式的解集为(-1，43).5.含有绝对值不等式的解法去绝对值号的主要依据是：根据绝对值的定义或性质，先将含有绝对值的不等式中的绝对值号去掉，化为不含绝对值的不等式，然后求出其解集即可。
不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题 典型例题一 例1 解不等式：〔1〕015223>--x x x ；〔2〕0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，如此一元高次不等式0)(>x f 〔或0)(<x f 〕 可用“穿根法〞求解，但要注意处理好有重根的情况．解：〔1〕原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根 3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如如下图的阴影局部．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 〔2〕原不等式等价于 0)2()5)(4(32>-++x x x⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔2450)2)(4(05x x x x x x 或∴原不等式解集为 {}2455>-<<--<x x x x 或或 说明：用“穿根法〞解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法〞，但注意“奇穿偶不穿〞，其法如图．典型例题二例2 解如下分式不等式：〔1〕22123+-≤-x x ； 〔2〕12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ； ②⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f 〔1〕解：原不等式等价于0223223≤+--⇔+≤-x x x x x x 0)2)(2(650)2)(2()2()2(32≤+-++-⇔≤+---+⇔x x x x x x x x x⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(x x x x x x x x x x 用“穿根法〞∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
不等式的解题方法
不等式的解题方法一、引言不等式是数学中的一种重要概念，其解题方法在数学学习中占有重要地位。
本文将介绍不等式的解题方法，包括基本不等式、二次函数不等式、分式不等式、绝对值不等式以及复合不等式的解法。
二、基本不等式1. 一元一次不等式一元一次不等式形如ax+b>c（或ax+b<c）。
解法与方程类似，将变量项移至一边，常数项移至另一边即可。
需要注意的是，当系数a 为负数时，需要将所有符号取反。
2. 一元二次不等式一元二次不等式形如ax^2+bx+c>d（或ax^2+bx+c<d）。
其解法可以利用函数图像来进行分析。
首先求出抛物线的顶点坐标（-b/2a,f(-b/2a)），然后根据抛物线开口向上还是向下来确定解集的范围。
三、二次函数不等式1. 二次函数大于零当f(x)=ax^2+bx+c（a>0）大于零时，其解集为x∈(x1,x2)，其中x1和x2为f(x)=0的两个实根。
2. 二次函数小于零当f(x)=ax^2+bx+c（a>0）小于零时，其解集为x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)，其中x1和x2为f(x)=0的两个实根。
四、分式不等式分式不等式的求解方法与一元一次不等式类似，只需要注意分母不能为零。
当分母为一元二次函数时，需要将其化简后再进行求解。
五、绝对值不等式绝对值不等式的求解方法可以转化为两个一元一次不等式。
当|x-a|>b 时，可以转化为x<a-b或x>a+b；当|x-a|<b时，可以转化为a-b<x<a+b。
六、复合不等式复合不等式是由多个基本不等式组成的复合形式。
其求解方法可以利用区间法和图像法来进行分析。
1. 区间法将所有基本不等式的解集取交集即可得到复合不等式的解集。
2. 图像法将所有基本不等式在数轴上画出来，并取它们的交集即可得到复合不等式的解集。
七、总结以上就是不等式的常见解题方法。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。
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1
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6.6 一元一次不等式的解法（1）的教学设计
教学目标：
知道含有未知数不等式的解、解集以及它们的区别与联系，知道解不等式的概念，掌握
在数轴上表示不等式解集的方法；在观察、分析、和解决具体问题的过程中，体会类比、数
形结合的数学思想；在分析问题、解决问题的过程中体验成功的快乐。
教学重点和难点：
不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法.
教学过程设计
一、 复习旧知与引入新知的教学设计：
先阅读下列问题1，并给出你的解答过程，再阅读和解决问题2：
问题1:建一个长、宽分别是5米和4米的长方体的蓄水池，如果计划这个蓄水池恰好能蓄水50立方米，那么这个蓄水池的深度应该是多少米？ 问题2:建一个长、宽分别是5米和4米的长
方体的蓄水池，计划这个蓄水池能蓄水50
立方米，这个蓄水池的深度至少要多少米？
解：如果设蓄水池的深度为x米，就可以 解：
得到方程：
5054x
根据等式性质，可以解得5.2x
经检验可知5.2x符合题意
答：这个蓄水池的深度应该是2.5米.
复习的旧知： 引入的新知：
什么是“方程”、“方程的解”、“解方程” 含有未知数的不等式、不等式的解、不
一元一次方程解的个数； 等式的解集、解不等式；
二、 在数轴上直观表示不等式解集的教学设计
思考1：你会在数轴上表示一元一次方程5.2x的解吗？
思考2：怎样在数轴上表示不等式5.2x、4x的解集？
在学生思考的基础上教师进行示范与讲解.
三、 解不等式并在数轴上直观表示不等式解集的教学设计
例题1.求下列不等式的解集，并能把它们的解集分别在数轴上表示出来：
（1）02x ；（2）153x；
例题2.根据数轴上表示的不等式解集，分别写出满足下列条件的一个不等式：
(1)
(2)
1
-5-4-3-2-1543210-5
-4-3-2
-1543210
四、 课内练习的设计
课堂练习活动流程设计
• 1.先由每个同学独立完成学习单；
• 2.每组先完成的同学给本组同学批改并作相互交流；
• 3.在批改中收集典型的错例进行全班评讲，个别错例个别订正.
课堂练习题设计
一、填空题
1． 在含有未知数的不等式中， ，叫做不等式的解；
2． ，叫做不等式的解集；
3． 不等式x＜2的解有 个，在数轴上表示x＜2的解集时，表示2的
点应画成 圈，表示解集中不包含2；
4．在数轴上表示x≤5的解集时，表示 的点应画实心圈.
二、求下列不等式的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来
5． 3x＞1； 6． 2x≤5；
三、在3 ,0,4,8中，分别找出使下列不等式成立的x的值
7. 125x＜0 ； 8. 3x≥4；
四、根据数轴表示的不等式的解集，分别写出满足条件的不等式
9．
10．
拓展
1.若m=3，不等式mx1＜10的解集是 ；
2.若m=3，不等式mx1＜10的解集是 ；
3.若m＞0，不等式mx1＜10的解集是 ；
4.若m＜0，不等式mx1＜10的解集是 ；
5.若m≠0，试求不等式mx1＜10的解集.
五、 课堂小结的设计
这堂课我学到了那些知识、方法？学习后有哪些体会？
六、 课外练习的设计
练习册：习题6.6
教学反思：
－4 －3 －2 －
1
0 1 2 4 3 5
●
－4 －3 －2 －
1
0 1 2 4 3 5
○