连续函数的最值定理证明
罗尔定理与柯西中值定理的证明方法
罗尔定理与柯西中值定理的证明方法罗尔定理与柯西中值定理是微积分中非常重要的两个定理，它们在求解函数的极值和证明连续函数性质方面起着关键作用。
本文将分别介绍这两个定理的证明方法。
一、罗尔定理的证明方法罗尔定理是微积分中的一个重要定理，它描述了在某个区间上连续且可导的函数，如果在区间的两个端点处取相同的函数值，那么在这个区间内一定存在至少一个点，使得函数的导数为零。
证明罗尔定理的方法主要是运用中值定理。
设函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，我们需要证明在(a,b)内存在至少一个点c，使得f'(c)=0。
根据罗尔定理的条件，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-f(a)，其中a≤x≤b。
由于f(x)在[a,b]上连续，而f(a)是一个常数，所以g(x)也在[a,b]上连续。
另外，g(x)在(a,b)内可导，因为f(x)在(a,b)内可导。
根据中值定理，存在一个点c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
而g'(c)=f'(c)-0=f'(c)，所以我们得到了f'(c)=0，即证明了罗尔定理。
二、柯西中值定理的证明方法柯西中值定理是微积分中的另一个重要定理，它描述了在某个区间上连续且可导的两个函数的商函数，如果在区间的两个端点处取相同的函数值，那么在这个区间内一定存在至少一个点，使得商函数的导数为零。
证明柯西中值定理的方法也是运用中值定理。
设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且g(x)≠0，我们需要证明在(a,b)内存在至少一个点c，使得[f(b)-f(a)]g'(c)=[g(b)-g(a)]f'(c)。
我们可以构造一个辅助函数h(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x)，其中a≤x≤b。
由于f(x)和g(x)在[a,b]上连续，而f(a)、f(b)、g(a)、g(b)都是常数，所以h(x)也在[a,b]上连续。
拉格朗日中值定理求极值的方法
拉格朗日中值定理求极值的方法引言拉格朗日中值定理是微积分中一个非常重要的定理，它提供了一种求解函数在某个区间上的极值问题的方法。
通过拉格朗日中值定理，我们可以将求极值的问题转化为求导数为零的问题，从而简化计算过程。
本文将详细介绍拉格朗日中值定理及其应用。
拉格朗日中值定理概述拉格朗日中值定理是法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日在18世纪提出的。
它是微积分学中一个重要的基本定理，用于描述函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
具体来说，设函数f (x )在闭区间[a,b ]上连续，并且在开区间(a,b )内可导。
那么存在c ∈(a,b )使得f′(c )=f (b )−f (a )b−a 。
换句话说，存在一个点c 位于开区间(a,b )内，在这个点处函数f (x )的导数等于函数在闭区间[a,b ]上的平均变化率。
求解极值问题利用拉格朗日中值定理，我们可以将求解函数在某个区间上的极值问题转化为求导数为零的问题。
具体步骤如下：1. 确定函数f (x )在闭区间[a,b ]上连续，并且在开区间(a,b )内可导。
2. 计算函数f (x )在闭区间[a,b ]上的平均变化率f (b )−f (a )b−a 。
3. 求导数f′(x )，并令其等于平均变化率f (b )−f (a )b−a ，得到方程f′(x )=f (b )−f (a )b−a 。
4. 解方程f′(x )=f (b )−f (a )b−a ，得到方程的根c 。
5. 根据拉格朗日中值定理，点c 即为函数f (x )在闭区间[a,b ]上的极值点。
需要注意的是，在应用拉格朗日中值定理进行求解时，我们需要满足以下条件： •函数f (x )在闭区间[a,b ]上连续，并且在开区间(a,b )内可导。
• 闭区间[a,b ]不包含任何奇点（即函数不可导的点）。
拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理广泛应用于求解各种极值问题，下面将介绍几个常见的应用。
3.5 函数的极值与最大值最小值
因为在1的左右邻域内f (x)0
所以f(x)在1处没有极值 同理 f(x)在1处也没有极值
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例4已知f(x)x3+ax2bx在x=1处有极值-12,试确定常系数a与b 解 因为f(x)x3+ax2bx,所以 f (x)3x2+2ax+b 因为f(1)=-12为极值点,所以,令f (1)0
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三、数学建模——最优化问题
1.数学建模 数学模型是用数学符号、数学公式、程序、图、表 刻画客观事物的本质的属性、结构与联系。创建一个 数学模型的全过程称为数学建模。为解决一个实际问 题，建立数学模型是一种有效的重要方法．
2.最优化模型 给定一个函数(称为目标函数)，寻找自变量的一个取值使得 对于定义域中所有的情况中，目标函数取得最小值或者最大 值．
f (x)
f(x)
↗
不可导
极大值0
↘
0
极小值
1 2
↗
(4)函数f(x)在区间( 0)和(1 )单调增加, 在区间 (0 1)单调减少. 在点x0处有极大值0，在点x1处有极小值-1/2
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定理3(第二充分条件)
设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)0 f (x0)0 那么 >>>证明 (2)当f (x0)0时 函数f(x)在x0处取得极小值
M
注意：极值在哪些点处取得？
m
驻点 + 奇点
x1 x2
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x3 x4 x5
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最大值和最小值的求法 (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点 设这此点
高等数学A-第1章-8-7(函数连续性)
定理2 （连续函数的反函数连续）
即，严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.
定理3 （复合函数的连续性）
若 lim ( x ) a, 函数 f ( u)在点a连续,
x x0
则有 lim f [ ( x )] f ( a ) f [ lim ( x )].
x0 ( e 1) x x0 x0 ( e 1),
取 min{ x0 e 1 , x0 e 1 },
当 x x0 时, 有 ln x ln x0 成立,
lim ln x ln x0 .
x x0
二、函数的间断点及其分类 1.间断点的定义 若f(x)至少满足下列条件之一，则称f(x)在x0处不连续, x0为f(x)的间断点.
sin x 在x 0处没有意义, 解： f ( x ) x
x 0为f ( x )的间断点.
sin x 又 lim f ( x ) lim 1, x 0 x 0 x
若令f (0) 1, 补充f ( x )在x 0处的定义, 则f ( x )在x 0处连续了 .
----由连续性的四则运算可证.
反三角函数的连续性: 由反函数的连续性得到. 对数函数的连续性:
y ln x在(0, )内连续 ----已证
ln x y log a x 也在( 0, )内连续 ln a
指数函数的连续性:
y a x , y e x ----由反函数的连续性得到.
当函数连续时，极限符号与函数符号可以交换位置。
定理4 （连续函数的复合函数是连续函数）
2.初等函数的连续性
(1)基本初等函数在其定义区间内是连续的. 三角函数的连续性:
闭区间上连续函数的性质(详细版)
而 F (a )=f(a )a 0 , F (b )=f(b )b 0 , 由零点定理,
x(a,b), 使F (x)= f(x) x= 0 ,
即f(x)=x.
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三、一致连续性
定义：设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意给定 的正数ε，总存在着正数δ，使得对于区间I上的任意两 点x1,x2，当|x1-x2|< δ时，就有|f(x1)-f(x2)|< ε，那么称函 数f(x)在区间I上是一致连续的。
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 x (a , b), 使 f (x ) = 0.
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作业
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思考题解答
不正确.
例函数
e1, f(x)=
2,
0x1 x=0
f(x)在 (0,1)内 连 续 , f(0 )( 1 )= 2 e 0 .
但 f( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内 无 零 点 .
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五、小结
关于闭区间上连续函数整体性质的四个定理： 有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理，
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❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
例如 函数f(x)=x在开区间(a b) 内既无最大值又无最小值
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❖定理1(最大值和最小值定理)
•推论
连续函数介值定理和零点定理
连续函数介值定理和零点定理连续函数介值定理（Intermediate Value Theorem）又称为达布定理（Darboux's theorem），是微积分中的重要定理之一、它描述了一个连续函数在一个闭区间上取到它的每一个中间值的性质。
连续函数介值定理的数学表述如下：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且存在一个实数M，使得对于任意的实数y，都有f(a)≤y≤f(b)或f(a)≥y≥f(b)，那么对于任意一个实数c，且f(a)≤c≤f(b)或f(a)≥c≥f(b)，存在一个实数x∈[a,b]，使得f(x)=c。
可以看出，连续函数介值定理在直观上说明了连续函数在一个闭区间上能够取到该区间上的每一个中间值。
这个定理的直接推论是，如果一个连续函数在一个闭区间上的两个端点的函数值异号，那么函数在这个区间上一定有一个零点。
零点定理（Zero-value theorem）是连续函数介值定理的一个特殊情况。
它描述了一个连续函数在一个闭区间上至少存在一个零点的性质。
零点定理的数学表述如下：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，那么必然存在一个实数x∈[a,b]，使得f(x)=0。
从零点定理可以推断，如果一个连续函数在一个闭区间上的两个端点的函数值异号，那么函数在这个区间上一定至少有一个零点。
这是因为如果连续函数在一个闭区间上的两个端点的函数值异号，那么根据连续函数介值定理，它一定能够取到异号的中间值，也就必然存在一个零点。
连续函数介值定理和零点定理在数学分析和微积分中具有广泛的应用。
它们可以用来证明函数的性质，解决方程和不等式的存在性问题。
例如，可以利用这两个定理证明一些方程在一些区间上至少有一个实根，或者证明一些不等式在一些区间上成立。
此外，这两个定理还可以用于数值计算方法的分析与设计，解决实际问题中的数值逼近和优化问题。
总的来说，连续函数介值定理和零点定理是微积分中非常重要的定理，它们描述了连续函数在闭区间上取到每一个中间值和至少存在一个零点的性质。
证明函数连续的几种方法
证明函数连续的几种方法函数连续是数学中一个非常重要的概念，它在微积分、实分析、拓扑学等领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍几种证明函数连续的方法。
一、ε-δ定义在数学中，函数连续的定义是：对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε。
这个定义被称为ε-δ定义。
这个定义的意思是，如果我们想要证明函数f在点x0处连续，我们需要证明对于任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε。
二、极限定义另一种证明函数连续的方法是使用极限定义。
如果函数f在点x0处连续，那么limx→x0f(x)=f(x0)。
这个定义的意思是，当x趋近于x0时，f(x)趋近于f(x0)。
因此，我们可以使用极限定义来证明函数f在点x0处连续。
具体来说，我们需要证明limx→x0f(x)=f(x0)。
这可以通过直接计算极限来完成，或者使用夹逼定理等方法来证明。
三、中值定理中值定理是另一种证明函数连续的方法。
中值定理的基本思想是，如果函数f在区间[a,b]上连续，并且在(a,b)内可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
这个定理的意思是，如果我们想要证明函数f在区间[a,b]上连续，我们可以使用中值定理来证明。
具体来说，我们需要证明存在一个点c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
四、利用连续函数的性质我们可以利用连续函数的性质来证明函数连续。
具体来说，如果函数f和g在点x0处连续，那么f+g、f-g、fg、f/g（其中g(x0)≠0）也在点x0处连续。
因此，如果我们想要证明函数f在点x0处连续，我们可以利用这个性质来证明。
具体来说，我们可以将f表示为若干个连续函数的和、差、积或商的形式，然后利用这个性质来证明f在点x0处连续。
闭区间上连续函数的性质(详细版)
定理5(一致连续性定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 那么它在该区间上一致连续.
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思考题
下述命题是否正确？
如果f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b) 内连续，且f(a) f(b)0，那么f(x)在 (a,b)内必有零点.
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 x (a , b), 使 f (x ) = 0.
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二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 ❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
11二零点定理不介值定理称为函数fx的零点定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续轴的不同侧个端点位于1内至少有一个根证明1上连续并且1内至少有一点x使得fx01内至少有一个根是x二零点定理不介值定理定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续13定理4介值定理设函数fx在闭区间ab上连续一个数c在开区间ab内至少有一点x使得fxc二零点定理不介值定理定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续14二零点定理不介值定理定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续那么在开区间ab内至少一点x?推论在闭区间上连续的函数必取得介亍最大值m不最小值m乊间的任何值定理4介值定理设函数fx在闭区间ab上连续一个数c在开区间ab内至少有一点x使得fxc15设函数上连续且在这区间的端点取不同的函数值推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值m不最小值m之间的任何fxabfaafbbab设函数在区间上连续且证明使得fxab则在上连续fafaafbfbb18三一致连续性定理5一致连续性定理如果函数fx在闭区间ab上连续那么它在该区间上一致连续
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连续函数的最值定理证明
连续函数的最值定理是一个非常基础的定理，在数学分析、高等
数学等课程中都有涉及。它的表述是：在闭区间上的连续函数必然有
最大值和最小值，即存在 $x_1,x_2in[a,b]$，使得 $f(x_1)leq
f(x)leq f(x_2)$ 对于所有的 $xin[a,b]$ 都成立。
现在我们来证明这个定理。
首先，我们先证明连续函数在闭区间上必有最大值。设
$f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，那么它一定在这个区间上有最大
值，即存在 $x_1in[a,b]$ 使得 $f(x_1)geq f(x)$ 对于所有的
$xin[a,b]$ 都成立。
为了证明这个结论，我们可以采用反证法。假设在 $[a,b]$ 上
没有最大值，那么对于任意的 $xin[a,b]$，都存在 $x_1in[a,x]$ 使
得 $f(x_1)>f(x)$。显然，$x_1$ 的取值至少是存在上界的，设这个
上界是 $x_0$，即 $x_1in[a,x_0]$ 时有 $f(x_1)>f(x_0)$。由于
$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，那么根据连续函数的定义，对于任意的
$epsilon>0$，都存在 $delta>0$ 使得当 $|x-x_0|
$|x-x_0|
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类似地，我们可以证明连续函数在闭区间上必有最小值。这里不
再赘述，读者可以自行尝试证明。
综上所述，我们证明了连续函数的最值定理。需要注意的是，这
个定理要求函数在闭区间上连续，如果只在开区间或半开区间上连续，
那么就不能保证一定有最大值或最小值。