第五章 刚体平面运动动力学

第五章 刚体平面运动动力学

在运动学部分我们已经知道，做平面一般运动的刚体可以视为相互独立的两类运动的叠加，即刚体随连体基基点的平移运动和刚体绕其连体基Z 轴的定轴转动。因此，研究其动力学问题，自然也可以分解为平动和定轴转动来讨论。下面我们将分别对单个刚体和刚体系统的动力学问题进行研究题。

第一节 平面运动刚体动力学方程的一般形式

（一） 平动刚体的动力学方程

平动刚体的动力学方程实际上就是第四章分析动量定理时所讨论的质心运动定理，也可以称之为牛顿方程。根据（4.2.12）式，有

C R r m F = （5.1.1）

这里，C 为刚体的质心，m 为整个刚体的质量，R F

表示该刚体所受到的合外力、即

主矢量。上式写成分量的形式，即质心运动定理：

C Ry C Rx y

m F x m F == （5.1.2）

刚体所受的外力包括主动力和约束反力，如果将外力主矢量分解为主动力主矢量和约束反力主矢量的矢量和，则（5.1.1）可以改写为

n a C F F r m += （5.1.3）

式中，a F 为刚体所受到的主动力矢量和，n F

为刚体所受到的理想约束力矢量和。

根据（5.1.3）式，其分量形式也改写为

n y a y C n

x a

x C F F y

m F F x

m +=+= （5.1.4）

（二） 定轴转动刚体的动力学方程

根据第四章动量矩定理（4.3.20）式，做定轴转动刚体的动力学方程为

Oz

Oz M J =ϕ

（5.1.5）

根据第三章，做平面运动刚体的定轴转动一定是绕其连体基z 轴转动，所以上式为（4.3.20）式的标量形式，其中，ϕ 为刚体绕z 轴转过的角度，M Oz 为刚体所受外力对z 轴力矩之和。

若定轴z 通过刚体质心C ，换句话说，连体基基点为刚体的质心C ，则上式可改写为

C C M J =ϕ

（5.1.6） 这里，由于明确是平面运动，且定轴为z 轴，为简单起见，下标z 省略。

同样，如将刚体所有外力对z 轴力矩之和分解为主动力矩与约束力矩两部分，上式可改写作

n C

a

C

C M

M J +=ϕ

（5.1.7）

这里，a C

M 与n C

M

分别表示主动力力矩之和和约束力力矩之和。

（三） 平面运动刚体动力学方程的一般形式

我们将相互独立的平动和定轴转动的动力学方程合并写作统一的形式，即可得到如下做平面一般运动刚体动力学方程的统一形式：

n a

F

F q

Z ˆˆ+= （5.1.8） 上式为一矩阵运算表达式，其中

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣⎡=n C n

y

n x n

a C a

y

a

x a

C M F F M F F J m m

F

F

Z ˆ,ˆ,0

00

00 （5.1.9） 分别称为刚体的增广质量阵、增广主动力阵和增广约束力阵。

⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=ϕC C y x q （5.1.10）

为刚体的位形坐标阵。

显然，（5.1.8）式头两行就是质心运动定理，第三行就是定轴转动的动量矩定理。

第二节 刚体系统做平面运动的动力学方程

对于由多个刚体组成的刚体系统，只要将各个刚体的动力学方程联立起来既可组成一个统一的形式，由于各个刚体都做平面运动，将它们之间的约束解除，代之以理想约束反力，它们的动力学方程形式完全相同。因此有

n a

F

F q

Z ˆˆ+= （5.2.1） 其中，

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡=n N

n

i n n n

a N

a

i a a a

N

i N i F F F F F

F F F F F

q q q q q Z Z Z Z Z ˆˆˆˆˆ,

ˆˆˆˆˆ,

,0

00000000021

21

21

21

（5.2.2）

这里，n i

a i i i F F q Z ˆ,ˆ,,分别表示刚体系统中第i 个刚体的增广质量阵、位形坐标阵、增广主动力阵和增广约束力阵。将它们分别展开即为：

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=n Ci n

yi

n

xi n i

a Ci a

yi

a

xi a

i

i

Ci

Ci

i Ci i i

i M F F M F F y x J m m F F q Z ˆ,ˆ,,0

00

00ϕ （5.2.3）

第三节 求解动力学问题的两类方法

由上一节的分析可以看出，对于做平面运动的刚体，其动力学问题的求解，单个刚体求解（5.1.8）式，而刚体系则求解（5.2.1）式。这里需要强调的是，不管是已知运动求力还是已知力求运动，单个刚体只能求解3个未知量，而刚体系统未知量的个数则不能超过3N 个。但是，由于理想约束力往往是未知的，因此，在动力学方程中，未知量的个数往往超过动力学方程的个数，这就需要补充一些方程才能得到问题的解。对于刚体系统，这些补充方程往往通过各个刚体之间的约束关系得到，这是处理动力学问题的一般方法。另外，某些动力学问题的求解并不需要确定理想约束反力，或者说问题本身并没有涉及到理想约束力的确定，这种情况下，往往可以采用独立坐标法解决刚体系统的动力学问题。下面分别通过具体例子对这两类方法进行讨论。

（一） 处理动力学问题的一般方法

[例5-3-1] 一质量为m 、半径为r 的均质圆盘沿倾角为的粗糙斜面向下做纯滚动，参见图5.3.1

[解]：

由于圆盘的质心做平动、同时圆盘 绕其质心做定轴转动，因此，圆盘做平 面一般运动。以其质心为连体基基点， 则圆盘位形坐标阵为： ()()T

C

T

C

C

y r y x ϕϕ

ϕ==q （1） 图 5.3.1

主动力有重力G ，理想约束力有斜面正压力F N ，非理想约束力有摩擦力F 。 根据（5.1.8）式，圆盘动力学方程为

n a

F

F q

Z ˆˆ+= （2）

其中， ⎥⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2

210

000

00

00

00mr m m

J m m

C Z ，

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=ϕ

C C y x q

， ⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛-=0ααc o s mg sin mg ˆ

a

F ， ⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=Fr F F ˆ

N

n

F （3） 在上面3个方程中共有5个未知量，分别是x C ，y C ，ϕ，F N 和F 。因此，需要补充2个方程。

由于圆盘是一完整系统，需满足约束条件： ϕr x ,

r y C == （4）

由此可得2个补充方程

ϕ r x

y C C ==0 （5）

将（5）代入（3），可得

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎥

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡Fr F F cos mg sin mg r x x mr m m N C

00

210

000

02αα （6） 将上式第一行与第三行相加，有

αs i n g x C 3

2=

（7）

积分上式便得到圆盘的运动规律：

αs i n gt

t x

x x 2

0031++= （8）

进一步可求得摩擦力和正反力 ααc o s mg F ,

sin mg F N ==3

1 （9）

[例5-3-2] 质量为m 1、半径为R 的均质圆轮在水平面上做纯滚动，参见图5.3.2（a ），同时，一质量为m 2长为l 的均质杆一端用光滑铰链铰接于圆轮中心A ，试写出该系统的运动微分方程。 [解]：

本系统有两个刚体组成，都做平面一般 运动。

建立惯性参考系，如图（a ）所示。

在两个构建质心建立连体基，这样， 圆轮位形坐标阵为： ()T

A

A

y x θ=1q 图5.3.2

均质杆的坐标阵为： ()T

C

C

y x ϕ=2q

将系统拆开，分别对两个构件做受力分析，参见图（b ），其中，

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=000022

11g m ˆ,g m ˆa

a

F F

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛'

+'-'-=⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+-=ϕ

ϕs i n l F c o s l F F F ˆ,R F F F F F ˆAy Ax Ay

Ax

n f N Ay f Ax n

2

1

F F

参照（5.2.1）式，系统动力学方程 图5.3.2 一般形式为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢

⎣⎡n n a a

ˆˆˆˆ2

12121

0F F F F

q q Z Z 2

1

其中，

⎥⎥

⎥

⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡

=⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2121

1211210

00000

00

00R m m m J m m A Z ⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2221

222

2

1210

00

00

0000l

m m m J m m C Z 以上各式中共有12个未知量，即Ay Ax

f N Ay Ax C C A A F ,F ,F ,F ,F ,F ,,,y ,x ,y ,x ''ϕθ，动力学方程共有6个，因此还需要补充6个方程。我们可以利用各个构件间作用力与反作用力的关系，以及位形的约束关系得到这些补充方程。

作用力与反作用力关系： Ay Ay

Ax Ax

F F ,F F -='-=' 位形约束关系：

R

c o s l y ,

s i n l x x R

y ,R x x C A C A A A +-

=+

==+=ϕϕθ2

2

由位形约束关系可以得到加速度约束关系如下：

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕθθc o s l s i n l y

,s i n l c o s l R x

y

,R x

C C A A 2

22

2

2

20 +=-+===

这样，在6个动力学方程中，只剩下6个未知量：f N Ay Ax A F ,F ,F ,F ,,x ϕ。如果消去理想约束反力，最后可以得到2个微分运动方程，即

02131210212123222222221=++⎪⎭

⎫

⎝⎛=-+⎪⎭⎫

⎝⎛+ϕϕϕϕϕϕϕs i n gl m l m x cos l m sin l m cos l m x m m A A

需要指出的是，上面2个微分运动方程并不是本题的唯一解答，根据保留的未知量和

解方程消去的未知量不同可有不同的答案，但是，根据系统自由度的概念，运动微分方程只能有2个。

（二） 处理动力学问题的独立坐标法

通过上面单个刚体和刚体系统动力学问题一般方法的讨论，对于完整系统，我们可以看到一般方法的规律： ● 一个刚体具有3个动力学方程，N 个刚体的系统就有3N 个方程； ● 一个刚体具有3个位形坐标，N 个刚体的系统就有3N 个位形坐标；

● 理想约束反力一般是未知的，如果理想约束反力有S 个，则需要补充S 个方程； ●

补充方程可以通过作用力与反作用力的关系以及位形之间的约束关系得到。 因此，一般方法的重要特点是方程数多，如果某些问题对理想约束反力不感兴趣、即对于无需求出理想约束反力的情况，一般方法就显得比较繁琐。此时，我们也可以建立不含理想约束力的动力学方程。这种方法的步骤是，首先分析系统各个构件之间位形的约束关系，假设3N 个位形坐标间存在S 个约束关系（约束方程），然后选取 δ = 3N-S 个独立的位形参数作为未知量，建立δ 个动力学方程，这种方法称为独立坐标法。δ 就是前面介绍过的系统的自由度，δ 个独立的位形参数称为独立坐标。

为了对比这两种解法，下面我们仍然以例5-1和例5-2为例。

[例5-3-3] 一质量为m 、半径为r 的均质圆盘沿倾角为的粗糙斜面向下做纯滚动，参见图5.3.3利用独立坐标法确定该圆盘的运动规律。 [解]：

由例5-1-1，我们知道，均质圆盘与粗糙斜面的接触点P 存在约束反力，见图5.3.3。 圆盘的位形坐标为ϕ,y ,x C C ，三者间存在约束关系：

ϕ

R x R y C C == （1）

因此，圆盘自由度等于1，选取ϕ为独立坐标。

为了避开约束反力，由圆盘的运动分析 可知，接触点P 为瞬心，圆盘绕点P 点做瞬 时定轴转动，因此,我们可以利用动量矩定理 对接触点P 建立瞬时定轴转动的动力学方程，

该方程以独立坐标ϕ为变量：

R s i n mg J P ⨯=αϕ

（2）其中，利用移轴公式可求得圆盘对点P 的转动惯量 图5.3.3 2

2

2

3mR mR

J J C P =

+= （3）

于是动力学方程（2）式改写为

αϕ

s i n g R

32= （4）

有约束关系（1），可得

αs i n g x 3

2=

（5）

结果与例5-1-1相同。

[例5-3-4] 在图5.3.4中，行星轮A 与B 轮内切，并由曲柄驱动在B 轮上做纯滚动，其质量为m 1，半径为R ，曲柄质量为m 2，长为l ，该系统位于水平面上，如果曲柄由一常力偶矩M 驱动，求系统由静止开始后的运动规律。 [解]：

系统由行星轮A 、固定轮B 以及曲柄组成， 以O 为原点建立惯性参考基，如果固定轮B 和

曲柄连体基基点也在O ，而行星轮A 基点在A ， 则固定轮B 的三个位形坐标均被约束，曲柄姿态 角ϕ 为变量，行星轮A 的位形也由ϕ 决定，因此，系统自由度为1。 图5.3.4

选取ϕ 为独立坐标，为了避免出现理想约束反力，可以利用动能定理描写系统的

运动特点。

由第四章（4.4.32）式，即

P W T T =-0 （1）

有

ϕωϕϕM R m l m l m A =-⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅++⋅02121213121221221222 （2） 由于行星轮A 在B 轮上做纯滚动，有

A R l ωϕ

= （3） 代入（2），可得

ϕϕ

M l m m =⎪⎭

⎫ ⎝⎛+2

21312321 （4） 将上式两边求导并消去ϕ

，可得 ()l

m m M

21296+=ϕ

（5）

对时间积分便可得到系统的运动规律如下 ()2

21029621

t l

m m M

++=ϕϕ （6）

第四节 相对非惯性基的动力学问题

工程实际中，由于机械系统或机构中各个构件往往都是作相对运动，因此，经常需要分析构件之间的相对运动规律，也就是说需要分析刚体相对非惯性基的运动规律。

（一） 相对平动问题

对于平移运动的刚体，由于各个点状态与其质心的运动状态完全相同，因此，此类问题只需讨论刚体的质心运动。

如图5.4.1，假设O 0为刚体运动平面上一 定点，将其作为惯性基的原点，O 为该平面上 的动点，动基为()T

y x

=e ，姿态角为ψ，

该动基也相对惯性基作平面运动，即

()()t t O O ψψ==,0

0R R （5.4.1）

显然，动基的角速度为 图5.4.1

z O

ψ

ω= （5.4.2） 设C 为平面运动刚体的质心，相对惯性基和动基的矢径分别为C R 和C r

，因此存在矢

量关系：

C O C r R R

+= （5.4.3）

根据第三章刚体外任意一点加速度的描述，刚体质心C 的角速度为

c

C e C r C C a a a a

++= （5.4.4）

由第四章质心运动定理，

R C F a m

= （5.4.5） 代入（5.4.4）式，得到

()R c

C e C r C F a a a m

=++ （5.4.6）

如果也将外力的主矢量分解为主动力主矢和理想约束力主矢，分别记为a F 和n F ，

上式可以改写为：

n

a

c

C e C r C F F

a m a m a m

+=++ （5.4.7）

如果定义

c C

c

e C

e a m F a m F -=-= （5.4.8） 分别为牵连惯性力和科氏惯性力。于是，（5.4.7）式改写为

c

e n a

r

C F F F F

a m

+++= （5.4.9）

上式描述了刚体质心相对运动定理：刚体加速度矢量与其质量的乘积等于作用于刚体的主动力、理想约束力、牵连惯性力和科氏惯性力的矢量和。其在惯性基上的坐标阵形式为

c

e

n

a

C m F F

F

F r +++=

（5.4.10）

在上面的分析中，主要的问题是惯性力的计算，而惯性力的计算在于牵连加速度和科氏加速度的分析。回顾第三章运动学部分，将刚体外任意一点的加速度分析（3-3-22）式和（3-3-23）式以及图3.3.1重置于下方，

r

P r P P P C P v a a a ⨯++''⨯⨯+⨯+=ωρωωρα2

c

P

r P e P c P

r P e P e P e

C P a a a a a a a a a ++=++++

=ωα 其中，移动牵连、转动法向牵连、转动切向牵连加速 度以及科氏加速度的模分别为（3-3-24）、（3-3-26）、 （3-3-28）和（3-3-29）式：

C e

C r a =、P e P a ραα

=、P e P a ρω

ω

2

=、

r

P

c

P ~v ωa 2= 对照右图与图5.4.1可以发现，只要将右图中基点C 和动点P 分别用图5.4.1中

的O 、C 点代替，而P C P ,r ,r ρ 用C O C r R R

,,替换即可参照第三章计算牵连加速度

和科氏加速度。于是，可得牵连加速度和科氏加速度分别为

C C O e C r r z R a 20

ψψ

-⨯+= （5.4.11） C

c C r z a

⨯=ψ2 （5.4.12） 需要指出的是，本节讨论的是相对运动，在（5.4.11）中，0

O R

是相对惯性基的，相对

非惯性基来讲，还需要将0O R 进行坐标变换、即需要前乘惯性基相对非惯性基的变换

矩阵。因此，相对非惯性基的牵连加速度和科氏加速度的坐标阵分别为 C C O T e C ~r r I R T a 20

ψψ -+= （5.4.13） ψ C c

C r

I a ~2= （5.4.14） 其中，⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡-=0110~

I ，()T

C

C C y x 1=r 为C 点在动基中的位置。

于是可以确定相对非惯性基的牵连惯性力和科氏惯性力，写作坐标阵形式为 ()

C C O

T e

~m r r I R T F 20

ψψ -+-= （5.4.15） ψ C c

~

m r

I F

2-= （5.4.16） [例5.4.1] 半径为R 的管状圆环以ω绕铅锤轴作等角速转动，质量为m 的小球M 在管中无摩擦地滑动，参见图5.4.2（a ），求小球相对圆管的运动规律。 [解]：

这个问题属于确定相对非惯性基的运动规律分析。

参见图（b ），假设惯性基和动基基点均位于O ，并且z 轴重合。先分析小球的牵连加速度和科氏加速度：

由于动基基点与惯性基基点重合，移动牵连加速度为零，即（5.4.13）式第一项

为零，又圆管做匀角速转动，0=ψ

，即（5.4.13）式第二项也为零，第三项牵连法向加速度大小为：

θωθψωs i n R s i n R a e M

2

2== 方向垂直于z 轴与x 轴反向。

图 5.4.2

因此，牵连惯性力为： θωs i n R m F

e

2

=

方向与x 轴同向。

由于科氏加速度垂直于圆管平面，其惯性力队小球的相对运动没有影响，不必要计算。

下面进行受力分析，在小球运动平面上承受重力g m

、管壁对小球的理想约束力n F 以及牵连惯性力e

F ，如图（c ）所示。

由于相对运动沿圆管的切线方向作定轴转动，所以可以将各力向该方向投影，根据（5.4.9）式有

θθc o s F s i n F ma e

a r C +=

即

θθωθθc o s s i n mR sin mg mR 2+=

最后可得

02=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-θθωθs i n

c o s R

g [例5.4.2] 一质量为m 的单摆，以等速v 缩短，即摆长为vt l l -=0，参见图5.4.3，建立该单摆的动力学方程。 [解]：

在O 点建立惯性基0e

和动基e

，如图所示。 本例的特点是，相对运动比较清楚，摆球沿单摆 轴线、即动基的x 轴做等速平移。因此，可以利 用（5.4.10）式 确定单摆的绝对运动。 主动力矢量在动基上的坐标阵 ()T a

s i n mg cos mg ψ

ψ

-=F

图 5.4.3

理想约束反力在动基上的坐标阵 ()T

T

n

F 0-=F

牵连惯性力矢量在动基上的坐标阵 由（5.4.15）式，

()

()()⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛----=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢

⎣⎡-+-=-+-=ψψ

ψψψψ vt l vt l m vt l vt l m ~m C C O

T e

02

020020

000110

0r r I R T F

科氏惯性力矢量在动基上的坐标阵 由（5.4.16）式，

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎥⎦⎤⎢

⎣⎡--=-=ψψψ v m v m ~m C c

0200110

22r I F

根据（5.4.10）式，

c

e

n

a

C m F F

F

F

r +++=

有

()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψψψψ

ψ

v m vt l vt l m F sin mg cos mg m T 02000020 上式第二式即为单摆的动力学方程

()020=+--ψψψ

s i n g v vt l 第一式则为单摆的约束力表达式

()ψψ

c o s mg vt l m F T +-=20

（二） 相对平面一般运动问题

在图5.4.1中，假设平面运动刚体相对动基e

的姿态角φ是一个变量，如果刚体相对惯性基和动基的角速度分别为ω

和0

ω ，动基的角速度为O ω

，由于平面运动，则有

()z

O

O

ωωωωω

+=+=0

（5.4.17） 刚体对其质心的动量矩为

z J L C C

0ω= （5.4.18） 由动量矩定理，即参照刚体作定轴转动的动力学方程（5.1.7）式，有

()n C

a

C

C M

M J +=+ψϕ

（5.4.19）

展开可得 I C

n C

a

C

C n

C a C C M

M

M

J M M J ++=-+=ψ

ϕ （5.4.20）

其中， ψ

C I C

J M

-= （5.4.21） 称为刚体关于其质心的惯性力主矩。

在（5.4.20）式中，等式左边为刚体相对动基的定轴转动，右边分别为刚体承受的主动力主矩、约束力主矩和惯性力主矩。

将刚体平动和定轴转动叠加即可得到刚体做平面一般运动时相对非惯性基的动力学方程，同样也写作如同（5.2.1）式的一般形式：

I n

a

ˆˆˆF

F

F q

Z ++= （5.4.22） 其中，

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=ϕC C y x q ，为刚体相对动基的位形坐标阵；

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛++=I

c

y

e y c

x e x I

M F F F F ˆF

，为刚体相对动基的增广惯性力阵； n a

ˆ,ˆ,F

F

Z 仍然是刚体的增广质量阵，增广主动力阵和增广理想约束力阵。