第五章 刚体平面运动动力学

第五章 刚体平面运动动力学在运动学部分我们已经知道，做平面一般运动的刚体可以视为相互独立的两类运动的叠加，即刚体随连体基基点的平移运动和刚体绕其连体基Z 轴的定轴转动。

因此，研究其动力学问题，自然也可以分解为平动和定轴转动来讨论。

下面我们将分别对单个刚体和刚体系统的动力学问题进行研究题。

第一节 平面运动刚体动力学方程的一般形式（一） 平动刚体的动力学方程平动刚体的动力学方程实际上就是第四章分析动量定理时所讨论的质心运动定理，也可以称之为牛顿方程。

根据（4.2.12）式，有C R r m F = （5.1.1）这里，C 为刚体的质心，m 为整个刚体的质量，R F表示该刚体所受到的合外力、即主矢量。

上式写成分量的形式，即质心运动定理：C Ry C Rx ym F x m F == （5.1.2）刚体所受的外力包括主动力和约束反力，如果将外力主矢量分解为主动力主矢量和约束反力主矢量的矢量和，则（5.1.1）可以改写为n a C F F r m += （5.1.3）式中，a F 为刚体所受到的主动力矢量和，n F为刚体所受到的理想约束力矢量和。

根据（5.1.3）式，其分量形式也改写为n y a y C nx ax C F F ym F F xm +=+= （5.1.4）（二） 定轴转动刚体的动力学方程根据第四章动量矩定理（4.3.20）式，做定轴转动刚体的动力学方程为OzOz M J =ϕ（5.1.5）根据第三章，做平面运动刚体的定轴转动一定是绕其连体基z 轴转动，所以上式为（4.3.20）式的标量形式，其中，ϕ 为刚体绕z 轴转过的角度，M Oz 为刚体所受外力对z 轴力矩之和。

若定轴z 通过刚体质心C ，换句话说，连体基基点为刚体的质心C ，则上式可改写为C C M J =ϕ（5.1.6） 这里，由于明确是平面运动，且定轴为z 轴，为简单起见，下标z 省略。

同样，如将刚体所有外力对z 轴力矩之和分解为主动力矩与约束力矩两部分，上式可改写作n CaCC MM J +=ϕ（5.1.7）这里，a CM 与n CM分别表示主动力力矩之和和约束力力矩之和。

（三） 平面运动刚体动力学方程的一般形式我们将相互独立的平动和定轴转动的动力学方程合并写作统一的形式，即可得到如下做平面一般运动刚体动力学方程的统一形式：n aFF qZ ˆˆ+= （5.1.8） 上式为一矩阵运算表达式，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n C nyn x na C ayax aC M F F M F F J m mFFZ ˆ,ˆ,00000 （5.1.9） 分别称为刚体的增广质量阵、增广主动力阵和增广约束力阵。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕC C y x q （5.1.10）为刚体的位形坐标阵。

显然，（5.1.8）式头两行就是质心运动定理，第三行就是定轴转动的动量矩定理。

第二节 刚体系统做平面运动的动力学方程对于由多个刚体组成的刚体系统，只要将各个刚体的动力学方程联立起来既可组成一个统一的形式，由于各个刚体都做平面运动，将它们之间的约束解除，代之以理想约束反力，它们的动力学方程形式完全相同。

因此有n aFF qZ ˆˆ+= （5.2.1） 其中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n Nni n n na Nai a a aNi N i F F F F FF F F F Fq q q q q Z Z Z Z Z ˆˆˆˆˆ,ˆˆˆˆˆ,,000000000021212121（5.2.2）这里，n ia i i i F F q Z ˆ,ˆ,,分别表示刚体系统中第i 个刚体的增广质量阵、位形坐标阵、增广主动力阵和增广约束力阵。

将它们分别展开即为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n Ci nyinxi n ia Ci ayiaxi aiiCiCii Ci i ii M F F M F F y x J m m F F q Z ˆ,ˆ,,00000ϕ （5.2.3）第三节 求解动力学问题的两类方法由上一节的分析可以看出，对于做平面运动的刚体，其动力学问题的求解，单个刚体求解（5.1.8）式，而刚体系则求解（5.2.1）式。

这里需要强调的是，不管是已知运动求力还是已知力求运动，单个刚体只能求解3个未知量，而刚体系统未知量的个数则不能超过3N 个。

但是，由于理想约束力往往是未知的，因此，在动力学方程中，未知量的个数往往超过动力学方程的个数，这就需要补充一些方程才能得到问题的解。

对于刚体系统，这些补充方程往往通过各个刚体之间的约束关系得到，这是处理动力学问题的一般方法。

另外，某些动力学问题的求解并不需要确定理想约束反力，或者说问题本身并没有涉及到理想约束力的确定，这种情况下，往往可以采用独立坐标法解决刚体系统的动力学问题。

下面分别通过具体例子对这两类方法进行讨论。

（一） 处理动力学问题的一般方法[例5-3-1] 一质量为m 、半径为r 的均质圆盘沿倾角为的粗糙斜面向下做纯滚动，参见图5.3.1[解]：由于圆盘的质心做平动、同时圆盘 绕其质心做定轴转动，因此，圆盘做平 面一般运动。

以其质心为连体基基点， 则圆盘位形坐标阵为： ()()TCTCCy r y x ϕϕϕ==q （1） 图 5.3.1主动力有重力G ，理想约束力有斜面正压力F N ，非理想约束力有摩擦力F 。

根据（5.1.8）式，圆盘动力学方程为n aFF qZ ˆˆ+= （2）其中， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2210000000000mr m mJ m mC Z ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕC C y x q， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0ααc o s mg sin mg ˆaF ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Fr F F ˆNnF （3） 在上面3个方程中共有5个未知量，分别是x C ，y C ，ϕ，F N 和F 。

因此，需要补充2个方程。

由于圆盘是一完整系统，需满足约束条件： ϕr x ,r y C == （4）由此可得2个补充方程ϕ r xy C C ==0 （5）将（5）代入（3），可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡Fr F F cos mg sin mg r x x mr m m N C0021000002αα （6） 将上式第一行与第三行相加，有αs i n g x C 32=（7）积分上式便得到圆盘的运动规律：αs i n gtt xx x 20031++= （8）进一步可求得摩擦力和正反力 ααc o s mg F ,sin mg F N ==31 （9）[例5-3-2] 质量为m 1、半径为R 的均质圆轮在水平面上做纯滚动，参见图5.3.2（a ），同时，一质量为m 2长为l 的均质杆一端用光滑铰链铰接于圆轮中心A ，试写出该系统的运动微分方程。

[解]：本系统有两个刚体组成，都做平面一般 运动。

建立惯性参考系，如图（a ）所示。

在两个构建质心建立连体基，这样， 圆轮位形坐标阵为： ()TAAy x θ=1q 图5.3.2均质杆的坐标阵为： ()TCCy x ϕ=2q将系统拆开，分别对两个构件做受力分析，参见图（b ），其中，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00002211g m ˆ,g m ˆaaF F⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'+'-'-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=ϕϕs i n l F c o s l F F F ˆ,R F F F F F ˆAy Ax AyAxn f N Ay f Ax n21F F参照（5.2.1）式，系统动力学方程 图5.3.2 一般形式为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n a aˆˆˆˆ2121210F F F Fq q Z Z 21其中，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21211211210000000000R m m m J m m A Z ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22212222121000000000lm m m J m m C Z 以上各式中共有12个未知量，即Ay Axf N Ay Ax C C A A F ,F ,F ,F ,F ,F ,,,y ,x ,y ,x ''ϕθ，动力学方程共有6个，因此还需要补充6个方程。

我们可以利用各个构件间作用力与反作用力的关系，以及位形的约束关系得到这些补充方程。

作用力与反作用力关系： Ay AyAx AxF F ,F F -='-=' 位形约束关系：Rc o s l y ,s i n l x x Ry ,R x x C A C A A A +-=+==+=ϕϕθ22由位形约束关系可以得到加速度约束关系如下：ϕϕϕϕϕϕϕϕθθc o s l s i n l y,s i n l c o s l R xy,R xC C A A 2222220 +=-+===这样，在6个动力学方程中，只剩下6个未知量：f N Ay Ax A F ,F ,F ,F ,,x ϕ。

如果消去理想约束反力，最后可以得到2个微分运动方程，即02131210212123222222221=++⎪⎭⎫⎝⎛=-+⎪⎭⎫⎝⎛+ϕϕϕϕϕϕϕs i n gl m l m x cos l m sin l m cos l m x m m A A需要指出的是，上面2个微分运动方程并不是本题的唯一解答，根据保留的未知量和解方程消去的未知量不同可有不同的答案，但是，根据系统自由度的概念，运动微分方程只能有2个。

（二） 处理动力学问题的独立坐标法通过上面单个刚体和刚体系统动力学问题一般方法的讨论，对于完整系统，我们可以看到一般方法的规律： ● 一个刚体具有3个动力学方程，N 个刚体的系统就有3N 个方程； ● 一个刚体具有3个位形坐标，N 个刚体的系统就有3N 个位形坐标；● 理想约束反力一般是未知的，如果理想约束反力有S 个，则需要补充S 个方程； ●补充方程可以通过作用力与反作用力的关系以及位形之间的约束关系得到。

因此，一般方法的重要特点是方程数多，如果某些问题对理想约束反力不感兴趣、即对于无需求出理想约束反力的情况，一般方法就显得比较繁琐。

此时，我们也可以建立不含理想约束力的动力学方程。

这种方法的步骤是，首先分析系统各个构件之间位形的约束关系，假设3N 个位形坐标间存在S 个约束关系（约束方程），然后选取 δ = 3N-S 个独立的位形参数作为未知量，建立δ 个动力学方程，这种方法称为独立坐标法。