二次函数求最值的方法
二次函数的最值与极值总结
二次函数的最值与极值总结二次函数是高中数学中常见的一类函数，具有形如y=ax^2+bx+c的一般式。
在研究二次函数的性质时，最值与极值是非常重要的概念。
本文将对二次函数的最值与极值进行总结和讨论。
一、最值的概念在数学中，最值指的是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
对于二次函数来说，最值的存在与二次项的系数a的正负有关。
1. 当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，函数的最小值存在。
这个最小值即为函数的最小值。
2. 当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，函数的最大值存在。
这个最大值即为函数的最大值。
二、最值的求解方法1. 最值的求解方法一：利用函数的对称性二次函数关于x轴对称，对称轴方程为x = -b/(2a)。
所以，函数的最值点的横坐标一定在对称轴上。
当对称轴上有x值时，带入函数表达式即可求得对应的y值，确定最值点。
2. 最值的求解方法二：利用二次函数的顶点公式二次函数的顶点公式为x = -b/(2a)，y = f(x)。
通过求得的顶点坐标，就可以确定最值点的坐标。
根据二次函数的性质，当a>0时，对应的顶点为最小值点；当a<0时，对应的顶点为最大值点。
三、极值的概念在数学中，极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。
对于二次函数来说，极值的存在与一阶导数的符号有关。
1. 当一阶导数大于0时，函数递增，没有极小值。
2. 当一阶导数小于0时，函数递减，没有极大值。
3. 当一阶导数等于0时，函数可能存在极值或拐点。
此时，需要通过二阶导数或其他方法来进一步判断。
四、极值的求解方法1. 极值的求解方法一：利用导数法对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)。
将一阶导数f'(x)等于0解方程，求得x的值。
然后，将求得的x值代入原函数f(x)中，求得对应的y值，确定极值点。
2. 极值的求解方法二：利用二阶导数法对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。
巧用交点法求二次函数的最值
巧用交点法求二次函数的最值
交点法用于求解二次函数的最值是比较常见的方法。
想要用交点法来求解二次函数的最值，首先需要知道函数的一阶和二阶导数。
一阶和二阶导数及其结果决定了函数的单调性，也就决定了函数的最值的位置。
交点法原理如下：一阶导数界定函数的单调性，当一阶导数为零时，函数的单调性发生改变，因此一阶导数为零的点就是最值的位置；当二阶导数为零时，函数的准确最值发生改变，因此二阶导数为零的点就是最值的位置。
下面以一个二次函数为例，用交点法求最值：
定义函数
f(x)=x^2-3x+2
求一阶导数
f'(x)=2x-3
求一阶导数为零点
2x-3=0
x=3/2
由此可得函数的单调性发生改变的点
x=3/2
求二阶导数为
f''(x)=2
求二阶导数为零点
2=0
可知二阶导数无零点，此时根据定义x=3/2处有极值，可得
函数f(x)=x^2-3x+2 在 x=3/2 时取得最值，其最值为f(3/2)=7/4
以上是用交点法求解二次函数的最值的过程，可以看到，交点法求最值简单易懂，而且可以使用简单的数学方法就能得到最值的结果。
两个二次函数相除求最值
c. 将 h'(x) 置为零并解方程，找到 h(x) 的驻点。
d. 对驻点进行二阶导数测试，确定这些驻点是否为极值点。
e. 比较 h(x) 在定义域的端点和极值点的值，找到 h(x) 的最大值或最小值。
请注意，这个过程中要确保 g(x) 不为零，以避免除以零的错误。同时，记得在计算导数和解方程时，根据具体的函数形式使用适当的求导规则和解方程方法。
这是一种一般性的方法，但具体求解最值可能需要进一步的代数计算和分析，具体取决于给定的二次函数。
如果要求两个二次函数相除后的最值，我们可以通过一些步骤来解决。假设我Байду номын сангаас有两个二次函数，分别表示为 f(x) 和 g(x)。
首先，将两个二次函数相除，得到一个新的函数 h(x) = f(x) / g(x)。
接下来，我们需要找到 h(x) 的最值。要找到最值，我们可以采用以下方法：
a. 首先，找到 h(x) 的定义域。在这个定义域内，我们将寻找 h(x) 的最值。
运用判别式法求二次函数最值的思路
对于二次函数y=ax2+bx+c()x∈R，a>0或形如y=af2()x+bf()x+c()x∈R，a>0的函数的最值问题,我们一般利用二次函数的图象和性质来求解.而有时采用该方法来解题较为困难，需将函数式转化为一元二次方程，借助一元二次方程的根的判别式来求最值.在运用判别式法解题时，我们需先根据题意构造出一元二次方程ax2+bx+c-y=0()x∈R，a>0，然后将y看作方程中的参数，根据方程有解建立关系式∆=b2-4a()c-y≥0，求得y的取值范围，便可得到函数的最值.将二次函数最值问题转化为方程问题来求解，能达到事半功倍的效果.下面通过实例来进一步探究运用这种方法求二次函数最值的思路.例1.沿着与正三角形的一条边平行的直线进行切割，将该三角形分成两部分，其中一部分是梯形.已知正三角形的边长为1m，记s=()梯形的周长2()梯形的面积，那么s的最小值为______.解：设梯形的下底长是x，由题意可知x∈()0,1，那么梯形的周长就是3-x，根据梯形的面积公式可得梯形的面积为)1-x2，因此s=43∙()3-x21-x2，将上式进行变形可得(4+3)x2-24x+36-3s=0，而这个方程是有实数根的，因此∆=242-4∙(4+3s)∙(36-3解得s≥s≤0（不合题意，舍去）.当s时，方程的根x=13，与题意相符，因此s的最小值就为.值得注意的是，若已知条件对自变量x的取值范围有限制，那么就不用判别式法来求二次函数的最值了.例2.已知正整数n和正数M，对任意等差数列a1,a2，a3，⋯都满足M=a12+a n+12，求S=a n+1+a n+2+⋯+a2n+1的最大值.解：由等差数列的性质可得3a2n+1=2a n+1-a1，根据等差数列的求和公式可知该数列的前n项和是S=an+1+a2n+12()n+1=n+12()3a n+1-a1，要求S的最大值，只需求3a n+1-a1的最大值.令t=3a n+1-a1，则a n+1=t+a13，将其代入a12+a n+12=M中可得10a12-2ta1+t2-9M=0，很明显该方程是有解的，则∆=b2-4ac=4t2-40()t2-9M≥0，解得10M≥||t，因此前n项和S的最大值就是)n+1M.我们需根据题意求出目标式，然后通过换元来简化运算，构造出关于a1的一元二次方程，再利用根的判别式∆=b2-4ac≥0来求得S.例3.若0<a<2，0<b<2+1b=2，求a+b-a2+b2的最大值.解：设s=a+b-a2+b2，将该式左右两边平方并移项，可得2ab-2as-2bs+s2=0而+1b=2,则b，将其代入上式可得()2-4s a2+2s(s+3-1)a-3a2=0，根据根的判别式可得∆=4s2()s+3-12+4(2-4s)∙3s2≥0，解得s≥3+1+124（舍）或者s≤3+1-124.所以a+b-a2+b2的最大值为3+1-124.当遇到含有根式的二次函数最值问题时，我们一般要先将目标式平方，以便去掉根号，然后构造出一元二次方程，根据根的判别式∆=b2-4ac≥0进行求解.在求出不等式的解后，要记得根据已知条件检验所得的结果是否符合题意，并将不符合题意的结果舍去.在运用判别式法求二次函数的最值时，要想办法将函数转化成为只含有一个未知数的方程，若有其他未知量，需将其他未知量看作参数，再利用一元二次方程的根的判别式建立关系式求函数的最值.（作者单位：福建省泉州第十七中学）思路探寻48Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
二次函数最大值最小值公式
二次函数最大值最小值公式
二次函数应用范围很广泛，其函数曲线特性让它成为研究高等教育及资格考试
的重要分析工具。
学生可以通过分析二次函数的最大值最小值公式，实现梯度优化，进而改善成绩。
二次函数最大值最小值公式指的是求解一般格式为y=ax²+bx+c的函数中最小
和最大值的方法。
在该公式中，a,b,c都是整数，表示常数项；x是变量，表示函
数参数；y是函数值。
求解二次函数的最大值最小值的步骤如下:
1.先在表达式中观察：“若a>0，则该函数图像形式为顶点朝上的双曲线；若
a<0，则该函数图像形式为顶点朝下的双曲线”；
2.将表达式化简为二元一次方程，对其解析解，得到函数的最值；
3.将二元一次方程得出的极值代入原式，求得函数最值y。
解析上述步骤可以有效提升学生的学习效果，使其取得更优秀的成绩。
有针对
性的解析题，其优化的空间就会宽敞的多，且学习的效果也会有很大的提高，可以有效的掌握高校的学习离不开详细的解析。
二次函数的最大最小值可以帮助学生对概念有更深入的理解，让学生更加全面
的融入现代的高校学习环境，从而发挥出自我价值，从而实现学生的多元化发展。
尤其是在把握大考前的梯度优化中，利用二次函数的最大最小值，可以让学生在考试前进行有针对性地备考，使学习成绩得以提升，及时进入到理想的高校学习环境中。
初三数学上册【二次函数】最值4种解法,压轴题常考,期中复习必看
初三数学上册【二次函数】最值4种解法，压轴题常考，期中复习必看题目如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点。
(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。
解答：(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)Q(－1，2)；下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。
方法一如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．方法二如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3<x<0)．（下略．）“铅垂高，水平宽”面积法如图5，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
根据上述方法，本题解答如下：解如图6，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．设P点（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0）．∴点P坐标为（－3/2，15/4）若要使△PBC的面积最大，只需使BC上的高最大．过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC上的高最大，此时△PBC的面积最大，于是，得到下面的切线法。
解如图7，直线BC的解析式是y＝x＋3，过点P作BC的平行线l，从而可设直线l的解析式为：y＝x＋b．三角函数法本题也可直接利用三角函数法求得．解如图8，作PE⊥x轴交于点E，交BC于点F，作PM⊥BC于点M．设P点（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0），则F(x，x＋3)．从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解。
二次函数求最值方法总结
若 ，二次函数在 时的函数图像是递减的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
2、当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得 的最值：
1)当 时， 时， 取最大值： ； 的最小值在 或 处取到。
2)若 ，二次函数在 时的函数图像是单调递减的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
若 ，二次函数在 时的函数图像是单调递增的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
二、二次函数最值问题常见四种考察题型：
1)对称轴定、 取值范围定；
2)对称轴定、 取值范围动；
3)对称轴动、 取值范围定；
4)对称轴动、 取值范围动。
【例题解析】
例1．当 时，求函数 的最大值和最小值．
分析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值．
分析：由于 所给的范围随着 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数 的对称轴为 ．画出其草图．
(1)当对称轴在所给范围左侧．即 时：当 时， ；
(2)当对称轴在所给范围之间．即 时：
当 时， ；
(3)当对称轴在所给范围右侧．即 时：
当 时， ．
综上所述：
【变式训练】
变式2、当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)．
解：作出函数的图象．当 时， ，当 时， ．
【变式训练】
变式1、当 时，求函数 的最大值和最小值．
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值．
二次比一次函数求最值
二次比一次函数求最值二次函数和一次函数是两种常见的函数类型。
其中，一次函数的形式为y=ax+b，其中a和b都是实数，并且a不为0。
而二次函数的形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c都是实数，并且a不为0。
在求最值时，我们可以借助二次函数的性质以及一些数学方法来解决。
下面我将详细介绍二次函数求最值的方法，并进行一些相关的推导和证明。
首先，我们先来看一下二次函数的图像。
二次函数的图像一般是一个抛物线，具体的形状取决于系数a的正负和大小。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
这个性质对于求最值有很重要的作用。
接下来，我们来解决求二次函数最值的问题。
设二次函数为y=ax^2+bx+c，其中a不为0。
我们要求这个二次函数的最大值或最小值。
1.求最值的方法之一是利用二次函数的顶点坐标。
二次函数的顶点坐标可以通过公式x=-b/(2a)求得，带入函数中即可得到y的值。
这个顶点坐标就是二次函数的最值点。
当a>0时，二次函数的最小值为顶点坐标的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值为顶点坐标的纵坐标。
2. 另一种求最值的方法是通过化简二次函数。
我们可以将二次函数进行配方（即将ax^2+bx+c写成a(x-h)^2+k的形式，其中(h,k)为顶点坐标），然后根据二次函数的性质判断最值。
当a>0时，最小值为k；当a<0时，最大值为k。
3.还有一种方法是利用二次函数的对称性。
二次函数的轴对称线为x=-b/(2a)，这个线将函数分成两部分，并且两部分关于该线对称。
我们可以利用这个对称性来确定最值。
当a>0时，函数在轴对称线左右两侧分别增加或减小，最小值出现在轴对称线上；当a<0时，函数在轴对称线左右两侧分别减小或增加，最大值出现在轴对称线上。
除了上述方法外，我们还可以应用一些数学的推导和证明技巧来求解二次函数的最值。
1.利用导数求最值：我们可以求出二次函数的导函数，然后令导函数为0，解得的解即为最值点的横坐标。
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二次函数求最值的方法
二次函数是一种具有形如f(x)=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
二次函数图像呈现出抛物线的形状，我们可以利用二次函数的性质来求解其最值。
首先，我们可以将二次函数转化为标准形式或顶点形式。
标准形式表示为
f(x)=a(x-h)²+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。
顶点形式表示为
f(x)=a(x-p)(x-q)，其中p和q为抛物线的两个x坐标。
通过观察函数的系数a的正负可以大致判断函数的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
以标准形式为例，下面介绍二次函数求最值的方法：
方法一：利用抛物线的对称性
由于抛物线具有轴对称性，即抛物线关于顶点对称。
如果我们求出了抛物线的顶点坐标，那么最值对应的x值就是顶点的横坐标，最值的y值就是顶点的纵坐标。
求顶点坐标的方法如下：
1. 将二次函数转化成顶点形式，并确定顶点的x坐标；
2. 将顶点的x值代入二次函数中求出对应的y值。
例如，对于函数f(x)=2x²-4x+3，可以将其转化为顶点形式：f(x)=2(x-1)²+1。
因此，顶点的x坐标为1。
将x=1代入二次函数中，可以求得对应的y值：f(1)=2(1-1)²+3=3。
所以，对于函数f(x)=2x²-4x+3，其顶点坐标为(1,3)。
其中，最值的x值为1，对应的最值y值为3。
方法二：利用二次函数的对称轴
二次函数的对称轴是过顶点的一条线，可以利用对称轴求最值。
对于标准形式的函数f(x)=a(x-h)²+k，它的对称轴的方程为x=h。
例如，对于函数f(x)=2x²-4x+3，可以直接观察到二次函数的对称轴方程为x=1。
我们可以代入对称轴的x值，计算得到对应的y值：f(1)=2(1)²-4(1)+3=1。
所以，对于函数f(x)=2x²-4x+3，其对称轴方程为x=1。
其中，最值的x值为1，对应的最值y值为1。
方法三：利用导数
可以通过求二次函数的导数，来判断函数的增减性，并进一步求出极值点和最值点。
1. 首先，对二次函数f(x)=ax²+bx+c求导得到f'(x)=2ax+b。
2. 令f'(x)=0，求出x的值。
3. 将x的值带入原二次函数f(x)中求出对应的y值。
例如，对于函数f(x)=2x²-4x+3，求导得到f'(x)=4x-4。
令f'(x)=0，解方程4x-4=0，得到x=1。
将x=1代入原函数中，求得对应的y值：f(1)=2(1)²-4(1)+3=1。
所以，对于函数f(x)=2x²-4x+3，其极值点的x坐标为1，对应的最值y值为1。
综上所述，我们可以通过三种方法来求解二次函数的最值。
无论是通过对称性、对称轴还是导数，只要我们掌握了二次函数的性质，就能够轻松求解二次函数的最值。