圆的标准方程练习题
圆的一般方程练习
• [解析] 化圆的标准方程为(x－1)2＋(y－ 2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x－y＋a＝0距 离为，得＝，∴a＝2或0.
4．若点(2a，a－1)在圆x2＋y2－2y －5a2＝0的内部，则a的取值范围是
()
• A．(－∞，] B．(－，) • C．(－，＋∞) D．(，＋∞)
时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若 D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准” 形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．
• (2)在书写本题结果时，易出现r＝(m－2)的错误结果，导致这种错误的原因 是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．
2．两圆x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2 －6x＝0的圆心连线方程为( )
• A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 • C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
[答案] C [解析] 两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y＝(x－3)即 3x－y－9＝0，故选C．
3．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到 直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值
10．已知圆经过点(4,2)和(－2，－
6)，该圆与两坐标轴的四个截距之
和为－2，求圆的方程．
• [解析] 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
• ∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)， • 代入圆的一般方程，得
• 设根程(－圆，yE2＋)在得＝Exx－y轴1＋＋2上x，F2＝的＝即0截－D的距＋D两．为E个－设x1根2、圆＝，x在02得，.y轴y它1③＋上们y的是2＝截方－距程E为x.由2y＋1已、D知xy＋2，，F得它＝－们0的D是＋两方个 • 由①②③联立解得D＝－2，E＝4，F＝－20. • ∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
第8节 圆的标准方程
（）
A．（x﹣1）2+y2=5
B．x2+（y﹣1）2=5
C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5
D．（x﹣1）2+（y+1）2=5
解：设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 则点 A（0，2）和 B（﹣1，1）在圆上， ∴4+2E+F=0，…①；2﹣D+E+F=0，…②；又圆心（﹣ ，﹣ ）在直线 x﹣y﹣1=0
） D．（2，﹣3），
练习：若直线 y=ax+b 通过第一、二、四象限，则圆（x+a）2+（y+b）2=1 的圆心 位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵直线 y=ax+b 通过第一、二、四象限，则
，∴﹣a＞0、﹣b
＜0， 故圆（x+a）2+（y+b）2=1 的圆心（﹣a，﹣b）在第四象限， 故选：D．
例 3：（1）已知圆心在点 P（﹣2，3），并且与 y 轴相切，则该圆的方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y+3）2=4
圆的方程.直线与圆的方程
练习
平面上三个定点 A(－2 3， 0)，B( 2 3 ,0) C(4 3 ,6), 点P是平面上满足 APB ＝ 的一 3 个动点，求线段 PC 的长的最小值及点 P的坐标
再
见！
3、圆的参数方程
x a r cos (为参数) y b rsim
4、直线与圆的关系 １）直线L：y = k x + b 和圆 x2 + y2 = r2 相切、相交、相离 ２）过圆x2 + y2 ＝ r2上点Ｐ（x０，y０）的切线方 程：x０ x＋y０ y＝r2 3）直线被圆所截曲线方程：F1(x,y)=0和F2(x,y)=0，它们的交 点是P(x0,y0)求证：方程 F1(x,y)+λF2(x,y)=0 的曲线也经过点P（ λ是任意实数 ）
练习6.求经过两圆x2 +y2 +6x–4=0 和x2 + y2 +6y–28 = 0
的交点，且圆心在直线x – y – 4 = 0上的圆方程
练习2.如果直线L将圆x2 + y2 -2x-4y=0平分，且不过第 四象限，那么L的斜率的取值范围是＿＿＿
(全国高考题)
例2.求当点(x,y)在以原点为圆心，a为半径的
圆上运动时，点(x+y,xy)的轨迹方程
练习3.求由曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的图形 的面积
例3.如果直线l：y = x + b与曲线C： y 1 x 2 只有
圆方程及直线与 圆的位置关系
一、基本概念
１、圆的标准方程 以（a，b）为圆心，r为半径的圆的标准方程为： (x - a)2+(y - b)2 = r2
２、圆的一般方程：
x2 + y2 +D x + E y + F = 0
高二数学圆的方程练习-(附答案)
高二数学圆的方程练习【同步达纲练习】A 级一、选择题1.若直线4x-3y-2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y+a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A.-3＜a ＜7B.-6＜a ＜4C.-7＜a ＜3D.-21＜a ＜192.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y+3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1)D.(2 +2，2-3)4.若直线x+y=r 与圆x 2+y 2=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A.22B.1C.2D.25.直线x-y+4=0被圆x 2+y 2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( ) A.8B.4C.22D.42二、填空题6.过点P(2，1)且与圆x 2+y 2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .7.设集合m={(x,y)x 2+y 2≤25,N={(x,y)｜(x-a)2+y 2≤9}，若M ∪N=M ，则实数a 的取值范围是 .8.已知P(3，0)是圆x 2+y 2-8x-2y+12=0内一点则过点P 的最短弦所在直线方程是 ，过点P 的最长弦所在直线方程是 .三、解答题9.已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ(O 是原点)，求m 的值.10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C ：y=1+24x 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围.AA 级一、选择题1.圆(x-3)2+(y+4)2=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( )A.(x+3)2+(y-4)2=2B.(x-4)2+(y+3)2=2C.(x+4)2+(y-3)=2D.(x-3)2+(y-4)2=22.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( )A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51 C.｜a ｜＜121D.｜a ｜＜1313.关于x,y 的方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是( )A.B=0，且A=C ≠0B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0C.B=0且A=C ≠0，D 2+E 2-4AF ≥0D.B=0且A=C ≠0,D 2+E 2-4AF ＞0 4.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0)D.(5，-1)5.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部，则k 的范围是( )A.-51＜k ＜-1 B.-51＜k ＜1 C.- 31＜k ＜1D.-2＜k ＜2二、填空题6.圆x 2+y 2+ax=0(a ≠0)的圆心坐标和半径分别是 .7.若方程a 2x 2+(2a+3)y 2+2ax+a+1=0表示圆，则实数a 的值等于 .8.直线y=3x+1与曲线x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标是 . 三、解答题9.求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.10.光线l 从点P(1，-1)射出，经过y 轴反射后与圆C ：(x-4)2+(y-4)2=1相切，试求直线l 所在的直线方程.【素质优化训练】一、选择题1.直线3x+y-23=0截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角为(全国高考题)( )A.6πB.4π C.3π D.2π 2.对于满足x 2+(y-1)2=1的任意x,y ，不等式x+y+d ≥0恒成立，则实数d 的取值范围是( )A.［2-1，+∞］B.(-∞，2-1)C.［2 +1,+∞］D.(-∞, 2 +1)3.若实数x ，y 满足x 2+y 2=1,则12--y y 的最小值等于( )A.41 B.43C.23 D.24.过点P(1，2)的直线l 将圆x 2+2-4x-5=0分成两个弓形，当大、小两个弓形的面积之差最大时，直线l 的方程是( )A.x=1B.y=2C.x-y+1=0D.x-2y+3=05.一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )A.1.8米B.3米C.3.6米D.4米 二、填空题6.若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是 .7.若集合A={(x 、y)｜y=-｜x ｜-2}，B={(x,y)｜(x-a)2+y 2=a 2}满足A ∩B= ，则实数a 的取值范围是 .8.过点M(3，0)作直线l 与圆x 2+y 2=16交于A 、B 两点，当θ= 时，使△AOB 的面积最大，最大值为 (O 为原点).三、解答题9.令圆x 2+y 2-4x-6y+12=0外一点P(x,y)向圆引切线，切点为M ，有｜PM ｜=｜PO ｜,求使｜PM ｜最小的P 点坐标.10.已知圆C ：(x+4)2+y 2=4和点A(-23，0)，圆D 的圆心在y 轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D 与y 轴交于点M 、N ，求证：∠MAN 为定值.11.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.12.自点A(-3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线l 与m 所在直线方程.13.AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜=2a,M 是圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜=｜MN ｜，求点P 的轨迹.参考答案：【同步达纲练习】A 级1.B2.C3.B4.D5.C6.x=2或3x-4y-2=07.-2≤a ≤28.x+y-3=0，x-y-3=09.m=3 10.(125,43) AA 级1.B2.D3.D4.D5.B6.(- 2a ,0), 2a7.-18.(- 103，101)9.(x-2)2+(y-1)2=10 10.3x+4y+1=0或4x+3y-1=0【素质优化训练】1.C2.A3.B4.D5.C6.107.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)8.θ=arccot22 或π-arccot22, 89.P(1312,1318) 10.60° 11.M 的轨迹方程为(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(1+4x 2)=0，当λ=1时，方程为直线x=45. 当λ≠1时，方程为(x-1222-λλ)2+y 2=222)1(31-+λλ它表示圆，该圆圆心坐标为(1222-λλ,0)半径为13122-+λλ12.l 的方程为：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 M 的方程为3x-4y-3＝0或4x-3y+3＝0 13.x 2+(y ±2a )2=(2a )2轨迹是分别以CO ，CD 为直径的两个圆.。
专题05 圆的标准方程与一般方程(重难点突破)原卷版
专题05 圆的标准方程与一般方程 一、考情分析 二、考点梳理 知识点一圆的定义及方程 定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r ＞0) 圆心C ：(a ，b ) 半径：r 一般方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0) 圆心：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 半径：r ＝D 2＋E 2－4F 2 知识点二点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．(2)三种情况圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)．①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上；②(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外；③(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内．三、题型突破重难点1 圆的方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．〔1〕由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． 〔2〕由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心〔a ，b 〕是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．例1．〔1〕〔2021·江苏高二专题练习〕〔多项选择〕点()1,1在圆()()224x a y a -++=的内部，那么a 的取值不可能是〔〕A ．2-B ．12-C ．12D ．2〔2〕．〔2021福建莆田一中高二月考〕过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是〔〕A ．()()22314x y -++=B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-= D ．()()22114x y +++= 〔3〕．〔2021·河南许昌市·高一期末〕以点(3,4)A -为圆心，且与y 轴相切的圆的标准方程为〔〕 A ．22(3)(4)16x y ++-=B ．22(3)(4)16x y -++=C ．22()(34)9x y ++-=D ．22(3)(4)9x y -++=〔4〕．〔2021·湖北〕以()3,1A --，()5,5B 两点为直径端点的圆的方程是〔〕A ．()()2212100x y -++=B ．()()221225x y +++= C ．()()2212100x y -+-= D ．()()221225x y -+-= 【变式训练1】．〔1〕〔2021·全国高二课时练习〕圆224630x y x y ++--=的标准方程为〔〕A ．22(2)(3)16x y -+-=B ．22(2)(3)16x y -++=C ．22(2)(3)16x y ++-=D ．22(2)(3)16x y +++=〔2〕．〔2021·全国高二课时练习〕过点(4,1)A 的圆C 与直线10x y --=相切于点(2,1)B ，那么圆C 的方程是〔〕A ．22(5)2x y -+=B ．22(3)4x y -+=C ．22(5)4x y -+=D ．22(3)2x y -+=例 2．〔2021·全国高二课时练习〕求以下各圆的方程：〔1〕圆心为()5,3M -且过点()8,1A --；〔2〕过()2,4A -，()1,3B -，()2,6C 三点；〔3〕圆心在直线350x y +-=上，且经过原点和点()3,1-．【变式训练2-1】．〔2021·全国高二课时练习〕分别根据以下条件，求圆的方程：〔1〕过点(4,0),(0,2)A B -和原点；〔2〕与两坐标轴均相切，且圆心在直线2350x y -+=上.重难点2 直线与圆的位置关系 判定直线与圆位置关系的常用方法：〔1〕几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系判断．〔2〕代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断．〔3〕直线系法：假设动直线过定点P ，那么点P 在圆内时，直线与圆相交；当P 在圆上时，直线与圆相切或相交；当P 在圆外时，直线与圆位置关系不确定．例3．〔1〕〔2021·全国高二课时练习〕直线l ：10x y -+=与圆C ：224210x y x y +--+=交于A 、B 两点，那么||AB =〔〕A ．2B ．22C ．4D ．42〔2〕．〔2021·全国高二单元测试〕〔多项选择题〕圆22410x y x +--=，那么以下说法正确的有〔〕 A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线0y =对称C ．关于直线320x y +-=对称D ．关于直线20x y -+=对称〔3〕．〔2021·全国高二单元测试〕圆C ：224210x y x y +--+=上的点到直线2140x y +-=距离的最大值为______.【变式训练3-1】．假设直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，那么m 的值为()A ．1B ．－3C ．1或－3D ．2【变式训练3-2】．圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．【变式训练3-3】．〔2021·上海高二课时练习〕假设圆22(1)(4)5x y -+-=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22，那么a 的值为_________. 例4．〔2021·全国高二课时练习〕圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=．〔1〕当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；〔2〕当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且22AB =时，求直线l 的方程．【变式训练4-1】．〔2021·全国高二单元测试〕直线:340l x y +-=，圆C 的圆心在x 轴的负半轴上，半径为3，且圆心C 到直线l 的距离为3105. 〔1〕求圆C 的方程；〔2〕由直线l 上一点Q 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，假设120MQN ︒∠=，求点Q 的坐标. 重难点3 直线、圆方程的综合应用〔1〕判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想．〔2〕假设,()P x y 是定圆222()()Cx a y b r -+-=：上的一动点，那么m x n y +和这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法． ①几何法．m x n y +的最值：设m x n y t +=，圆心(,)C a b 到直线mx n y t +=的距离为22||m a n b t d m n +-=+，由d r =即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：即点P 与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值．②代数法．m x n y +的最值：设m x n y t +=，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值．的最值：设y t x=，那么y tx =，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值．例5．〔2021·江苏南京师大附中高二开学考试〕〔多项选择题〕点A 〔2,0〕，圆22:(1)(3)1C x a y a --+-=，圆上的点P 满足2210PA PO +=，那么a 的取值可能是〔〕A ．1B ．-1C ．12D ．0【变式训练5-1】．〔2021·全国高二专题练习〕圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的内公切线有且仅有〔〕A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【变式训练5-2】．〔2021·全国高二专题练习〕以圆1C ：22410x y x +++=与圆2C ：222210x y x y ++++=相交的公共弦为直径的圆的方程为〔〕A ．22(1)(1)1x y -+-=B ．22(1)(1)1x y +++=C ．22364555x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22364555x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例6．〔2021·全国高二课时练习〕()M m n ，为圆C ：22414450x y x y +--+=上任意一点.(1)求2m n +的最大值；(2)求32n m -+的最大值和最小值； (3)求22m n +的最大值和最小值. 【变式训练6-1】．〔2021·全国高二课时练习〕实数x ，y 满足方程22(2)3x y -+=. 〔1〕求y x的最大值和最小值； 〔2〕求y x -的最大值和最小值；〔3〕求22x y +的最大值和最小值.四、定时训练〔30分钟〕1．〔2021·全国高二专题练习〕圆()()22232x y -++=的圆心和半径分别是〔〕 A ．()2,3,1- B ．()2,3,3- C ．()2,3,2- D ．()2,23,- 2．〔2021·全国高三专题练习〕〔多项选择题〕曲线22:0C Ax By Dx Ey F ++++=〔〕 A ．假设1A B ==，那么C 是圆B ．假设0A B =≠，22 40D E AF +->，那么C 是圆C ．假设0A B ==，220DE +>，那么C 是直线D ．假设0A ≠，0B =，那么C 是抛物线3．〔2021·全国高二专题练习〕假设圆C 1：22(1)(1)1x y -+-=与圆C 2：222(2)(3)x y r +++=外切，那么正数r 的值是〔〕A ．2B ．3C ．4D ．6 4．〔2021·安徽省舒城中学〔文〕〕点(,)P x y 是圆22(2)1x y -+=上任意一点，那么y x 的最大值是〔〕 A ．3 B ．33 C ．12 D ．325．〔2021·全国高二单元测试〕假设圆2221:24C x y mx m +-+=和2222:2484C x y x my m ++-=-相交，那么m的取值范围是〔〕A ．02m <<B ．1225m -<<C ．0m >或25m <-D ．02m <<或12255m -<<-6．〔2021·重庆复旦中学高二月考〕直线0ax by -=与圆22220x y ax by +-+=的位置关系是〔〕 A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定7．〔2021·全国高二课时练习〕圆221:20C x y x +-=与圆222:40C x y y ++=的公共弦所在的直线方程为〔〕A ．x +2y =0B ．x －2y =0C ．y －2x =0D ．y +2x =0 8．〔2021·全国高二课时练习〕对任意实数m ，圆2224620x y mx my m +--+-=恒过定点，那么其坐标为______.9．〔2021·全国高二课时练习〕圆221:1C x y +=，圆222:(4)25C x y -+=，那么两圆公切线的方程为________.10．〔2021·全国高二课时练习〕圆222x y +=与圆224440x y x y +-+-=的公共弦长为________．11．〔2021·全国高二专题练习〕圆221:5C x y +=与圆222:430C x y x +-+=相交于A 、B 两点.〔1〕求过圆1C 的圆心与圆2C 相切的直线方程；〔2〕求圆1C 与圆2C 的公共弦长||AB .12．〔2021·全国高二专题练习〕点()()1,2,1,4A B --，求〔1〕过点A,B 且周长最小的圆的方程；〔2〕过点A,B 且圆心在直线240x y --=上的圆的方程．13．〔2021·全国高二课时练习〕点(,)P x y 满足方程2266160x y x y +--+=. 〔1〕求31x y x +--的取值范围； 〔2〕求21x y +-的取值范围.。
2014圆与方程专题练习题
1．圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（.A 相离 .B 相交.C 外切 .D 内切2．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是（ ）A ．4B ．5C ．1D ．3．若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+ 的最小值为A ．1B ．5C ．D ．3+4．已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ． 22(1)(1)2x y -++=C ． 22(1)(1)2x y -+-=D ． 22(1)(1)2x y +++= 5．设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是（ ） A ．35r << B ．46r << C ．4r > D ．5r >6．已知圆O 的半径为1，PA.PB 为该圆的两条切线，A.B 为两切点，那么⋅的最小值为（ ）A ． 4-+B ．3-+C ． 4-+D ．3-+ 9．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝17．若直线2x －y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－2－5，－2＋5)B ．[－2－5，－2＋5]C ．[－5，5]D ．(－5，5)8．实数x 、y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为( )A ．30＋226B ．30＋426C ．30＋213D ．30＋4139．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5)C.5，4－5D.12(5＋2)，12(5－2) 10．一条线段AB 长为2，两端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．圆D ．半圆11．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 12．圆心在曲线y ＝3x (x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为A ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －2)2＋(y －32)2＝9D ．(x －3)2＋(y －3)2＝9 13．若原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝8的内部，则实数m 的取值范围是A ．－22<m <2 2B ．0<m <22C ．－2<m <2D ．0<m <2 14．曲线x 2＋y 2＋22x －22＝0关于( ) A ．直线x ＝2轴对称B ．直线y ＝－x 轴对称C ．点(－2，2)中心对称D ．点(－2，0)中心对称15．一动点在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点轨迹是A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝1 D ．(2x －3)2＋4y 2＝116．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A ．(－23，4)B ．[－23，4]C ．[－4,4]D ．[－4,23]17．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A ．(－∞，14]B ．(0，14]C ．(－14，0) D ．(－∞，14) 18.已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6 B ．206C ．30 6 D ．40 61．点(a ，b)为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，ab 的最大值为________．2．已知圆x 2＋y 2＝r 2在曲线|x|＋|y|＝4的内部(含边界)，则半径r 的范围是________．3．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)．P 是圆C 上的动点，当|PA |2＋|PB |2取最大值时，点P 的坐标是________．4．已知对于圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________．5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为________． 6．设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a>0）的公共弦的长为=a ___________ 。
圆与方程+练习题-2023届高考数学一轮复习
高考数学一轮复习《圆与方程》练习题（含答案）一、单项选择题1．已知圆221:1C x y +=与圆()()222:121C x y -++=，则圆1C 与2C 的位置关系是（ ）A ．内含B ．相交C ．外切D ．外离2．已知点（1，1）在圆（x ﹣a ）2+（y +a ）2＝4的内部，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．{1，﹣1}3．以点A （-5，4）为圆心，4为半径的圆的方程是 A ． B ． C ．D ．4．在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线l 与圆O ：221x y +=相切，且直线l 与圆C ：()(22433x y -+=相交于A ，B 两点，则AB =（ ）A 5B 3C ．2D 25．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，(),0B m ，()0m >.若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最小值和最大值分别为（ ） A ．4，7B ．4，6C ．5，7D ．5，66．若虚数．．i,,z x y x y R =+∈，且1|1|2z -=，则yx的取值范围为（ ） A ．33⎡⎢⎣⎦B ．330,3⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦C ．[3,3]D ．[3,0)3]-⋃7．已知两定点(3,0),(3,0)A B -，点P 在直线230x y --=上，使得PA PB ⊥，则这样的P 点个数有（ ）A ．0个B ．1 个C ．2个D ．3个8．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图，AB 是圆O 的一条直径，且 4.,AB C D =是圆O 上的任意两点，2CD =，点P 在线段CD 上，则PA PB ⋅的取值范围是（ ）A ．3,2⎡⎤⎣⎦B ．[]1,0-C ．[]3,4D ．[]1,29．已知直线20x y ++=和圆22220x y x y a ++-+=相交于,A B 两点．若||4AB =，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．-4C ．-6D ．-810．设过点1,0A 的直线l 与圆()()22:344C x y -+-=交于,E F 两点，线段EF 的中点为M .若l 与y 轴的交点为N ，则AM AN的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．160,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．162,5⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．162,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．圆221:(1)(1)28O x y -+-=与222:(4)18O x y +-=的公共弦长为（ ）A ．23B ．26C ．32D ．6212．平面直角坐标系中，动圆T 与x 轴交于两点A ，B ，与y 轴交于两点C ，D ，若|AB |和CD 均为定值，则T 的圆心轨迹一定是（ ） A ．椭圆（或圆）B ．双曲线C ．抛物线D ．前三个答案都不对二、填空题13．以双曲线C ：()222103x y a a -=>的一个焦点F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为________．14．过点()1,2M -作圆225x y +=圆的切线l ，则l 的方程是___________.15．若圆222430x y x y +++-=上到直线20x y a ++= 2 的点恰有3个，则实数a 的值为___________.16．已知()11,A x y 、()22,B x y 为圆22:4M x y +=上的两点，且121212x x y y +=-，设00(,)P x y为弦AB 的中点，则00|3410|x y +-的最小值为________.三、解答题17．求经过三点()0,0A ，()3,0B ，()1,2C -的圆的方程.18320x y +-=与圆2220x y y =++的位置关系．19．已知圆C ：22230x y y ++-=，直线l ：30x y ++=. (1)求圆C 的圆心及半径；(2)求直线l 被圆C 截得的弦AB 的长度.20．已知圆221:(6)(7)25C x y -+-=及其上一点()2,4A .(1)设平行于OA 的直线l 与圆1C 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程； (2)设圆2C 与圆1C 外切于点A ，且经过点()3,1P ，求圆2C 的方程.21．已知圆C ：2240x y mx ny ++++=的圆心在直线10x y ++=上，且圆心C 在第四象限，半径为1.(1)求圆C 的标准方程；(2)是否存在直线与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.22．已知抛物线E ：22x py =过点()1,1，过抛物线E 上一点()00,P x y 作两直线PM ，PN 与圆C ：()2221x y +-=相切，且分别交抛物线E 于M 、N 两点． （1）求抛物线E 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）若直线MN 的斜率为3-P 的坐标．23．已知椭圆E ：2213x y +=上任意一点P ，过点P 作PQ y ⊥轴，Q 为垂足，且33QM QP =.(1)求动点M 的轨迹Γ的方程；(2)设直线l 与曲线Γ相切，且与椭圆E 交于A ，B 两点，求OAB 面积的最大值（O 为坐标原点）.24．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>330x y -=过E 的上顶点A 和左焦点1F .(1)求E 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 相切，又与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点（O 为坐标原点），求OMN面积的最大值，并求出此时直线l 的方程。
圆的方程数学知识点与练习
圆的方程●圆的方程的三种形式 （1）圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2，方程表示圆心为(a,b)，半径为r 的圆. （2）圆的一般方程对于方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0①当D 2+E 2-4F ＞0时，表示圆心为（-D 2,-E 2），半径为12②当D 2+E 2-4F=0时，表示一个点（-D 2，-E2）；③当D 2+E 2-4F ＜0时，它不表示任何图形.（3）圆的参数方程x a rcos ,y b rsin θθ=+⎧⎨=+⎩，圆心(a,b ），半径r ＞0，θ∈R. ●点与圆的位置关系圆的标准方程（x-a ）2+(y-b)2=r 2,圆心A （a,b ），半径r ，若点M （x 0,y 0）在圆上，则(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2; 若点M （x 0,y 0）在圆外，则(x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2; 若点M （x 0,y 0）在圆内，则(x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2. ●确定圆的方程的方法（1）确定圆的方程的主要方法是待定系数法.如果选择标准方程，一般步骤为： ①根据题意，设所求圆的标准方程为（x-a ）2+(y-b)2=r 2; ②根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；③解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求方程. 求圆的标准方程时，尽量利用圆的几何性质，可以大大地减少计算量. (2)如果已知条件中圆心的位置不能确定，可考虑选择圆的一般方程，圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法.设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由三个条件得到关于D 、E 、F 的一个三元一次方程组，解方程组,求出参数D 、E 、F 的值即可.(3)以A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)为直径的两端点的圆的方程为（x-x 1）(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0. （4）在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线. ●与圆有关的最值问题（1）求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代 数式的几何意义进行转化.如①形如m=y bx a--的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t=ax+by 的最值问题，可转化为直线在y 轴上的截距的最值问题；③形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题. (2)特别要记住下面两个代数式的几何意义：yx表示点（x,y ）与原点（0,0）连线的直线斜率表示点（x,y ）与原点的距离. 1.方程x 2+y 2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( )A.14＜m＜1 B.m＞1 C.m＜14D.m＜14或m＞1解析：若方程表示圆，则(4m)2+(-2)2-4×5m＞0，解得m＜14或m＞1.答案：D2.若点（4a-1,3a+2）不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部，则a的取值范围是( )A.|a|B.|a|＜1C.|a|D.|a|≤1解析：点（4a-1,3a+2）不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部，则(4a-1+1)2+(3a+2-2)2≤25，即|a|≤1. 答案：D3.圆(x+2)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5解析：圆(x+2)2+y2=5的圆心(-2，0)关于y=x对称的点的坐标为(0,-2)，所以，所求圆的方程是x2+(y+2)2=5.答案：D4.已知x、y满足x2+y2-4x-6y+12=0，则x2+y2的最小值为__________.解析：点（x,y）在圆(x-2)2+(y-3)2=1上，故点(x,y)到原点距离的平方即x2+y2的最小值为2答案：5.已知圆x2+y2+kx+2y=-k2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为__________.答案：(0,-1)自我诊断①若圆x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0关于直线x-y+1=0对称，则实数a的值为__________.答案：3自我诊断②以点A（-3，0），B（0，-3），C（157，247）为顶点的三角形与圆x2+y2=R2（R＞0）没有公共点，则圆半径R的取值范围是（）)∪,+∞) B.( ) )∪(3,+∞)D.(,3)2解析：如图，若圆与△ABC没有公共点，需考虑两种情况，①圆在三角形内部；②圆在三角形外部.当圆在三角形内部时，圆与BC；当圆在三角形外部时，圆过点C，所以选A.答案：A题型一圆的方程的求法【例1】根据下列条件求圆的方程：（1）经过点P（1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；（2）圆心在直线y=-4x上，且与直线l:x+y-1=0相切于点P（3，-2）；（3）过三点A（1，12），B（7，10），C（-9，2）.规律方法：求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：（1）几何法，通过研究圆的性质而求出圆的基本量；（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 创新预测1根据下列条件求圆的方程：（1）已知一圆过P（4，-2）、Q（-1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为（2，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为题型二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求yx的最大值和最小值；（2）求y-x的最大值和最小值；（3）求x2+y2的最大值和最小值.规律方法：化x、y满足的关系式为(x-2)2+y2=3，明确yx、y-x、x2+y2的几何意义，数形结合求解.创新预测2已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y2x1++的最大值和最小值.（2）求x-2y的最大值和最小值.（3）求点P（x,y）到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值.题型三与圆有关的轨迹问题【例3】设定点M（-3，4），动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.\规律方法：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性质列方程；代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.创新预测3 已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点. （1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90°，求PQ中点的轨迹方程.题型四与圆有关的实际应用问题【例4】有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍.已知A、B两地距离为10 km，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点.规律方法：审清题意，根据题意求轨迹方程.求方程前必须建立平面直角坐标系，否则曲线就不能转化为方程，坐标系选取得当，可使运算过程简单，所得方程也较简单.创新预测4 设有一个半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进.A出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与B相遇.设A、B 两人的速度都一定，其比为3∶1，问:两人在何处相遇？精品作业自我测评·技能备考一、选择题：每小题6分，共36分.1.（2009·许昌模拟）P（x,y）是圆x2+y2=1与直线x+y+2m=0(m＞0)的公共点，则直线008=0的倾斜角的最大值为( )A.45°B.60°C.90°D.135°答案：A2.（2009·天津汉沽模拟）已知两点A(-2,0)，B(0,2),点C 是圆x 2+y 2-2x=0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )C.3-2D.32 答案：A3.（2009·山东临沂模拟）若直线ax+2by-2=0(a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2-4x-2y-8=0的周长，则1a +2b的最小值为( )A.1B.5 答案：D4.（2008·山东）已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )答案：B5.（2009·湖北沙市模拟）直线l:4x-3y-12=0与x、y轴的交点分别为A、B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为( )A.(x-1)2+(y+1)2=1B.(x-1)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+1)2D.(x-1)2+(y+1)2=2 答案：A解析：A(3,0),B(0,-4)，O（0，0），∴内切圆的半径r=OA OB AB2+-=1，由图象知，圆心为(1,-1),∴方程为(x-1)2+(y+1)2=1，故选A.6.（2009·西南师大附中模拟）已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )A.3B.2C.22D.2 答案：D二、填空题：每小题6分，共18分.7.（2009·江苏江宁高级中学3月模拟）直线ax+by=1过点A(b,a)，则以坐标原点O为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是______.答案：π解析：直线过点A(b,a)，∴ab=12，圆面积S=πr2=π(a2+b2)≥2πab=π.8.（2009·广东华南师大附属中学测试）从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向这个圆引切线，则切线长为____________.答案：2解析：圆心(1,1)，则|PC|2=5，∴切线长9.（2009·浙江金华模拟）已知圆O的方程为x2+y2=4，P是圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域|x|+|y|≥a覆盖，则实数a的取值范围是_____________.答案：a≤1解析：易知OP的垂直平分线即为单位圆的切线，当a≤0时，平面区域即坐标平面，显然满足题意；当a＞0时，由图象易知0＜a≤1，综上，a≤1.三、解答题：10、11题每题15分，12题16分，共46分.10.（2009·江苏通州调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)(a＞0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4)，设△AOB的外接圆圆心为E.(1)若⊙E与直线CD相切，求实数a的值.(2)设点P在⊙E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问：这样的⊙E是否存在？若存在，求出⊙E的标准方程；若不存，说明理由.11.（2009·江苏盐城模拟）已知以点C(t,2t)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点.(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程.\12.设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x-6y+1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP ·OQ =0.(1)求m 的值；(2)求直线PQ 的方程.。
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圆的标准方程练习题
在解决圆的问题时，我们经常使用到的一个重要工具就是圆的标准
方程。
通过掌握圆的标准方程的用法，我们可以更方便地进行圆的解
析几何运算。
接下来，我将为大家提供一些圆的标准方程练习题，帮
助大家加深对这一概念的理解。
练习题一：给定圆心和半径，求标准方程
1. 已知圆心为 (2, 3)，半径为 5，求圆的标准方程。
解析：设圆的标准方程为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中 (a, b) 为圆心坐标，r 为半径。
将已知数据代入方程，得到：(x-2)² + (y-3)² = 5²，即 (x-2)² + (y-3)² = 25。
练习题二：给定标准方程，求圆心和半径
1. 已知圆的标准方程为 x² + y² - 6x + 8y + 9 = 0，求圆的圆心和半径。
解析：观察标准方程可得出：(x-3)² + (y+4)² = 16。
由此可知圆的圆
心为 (3, -4)，半径为 4。
练习题三：给定圆上一点，求标准方程
1. 已知圆上一点为 (5, 2)，圆心为 (3, 4)，求圆的标准方程。
解析：设圆的标准方程为(x-a)²+ (y-b)²= r²。
将已知数据代入方程，可得到：(x-3)² + (y-4)² = r²。
由于圆上一点为 (5, 2)，代入方程得到 (5-3)² + (2-4)² = r²，化简得 4 + 4 = r²，即 8 = r²。
所以圆的标准方程为 (x-3)² + (y-4)² = 8。
通过以上几道练习题，我们对圆的标准方程的应用有了更深入的了解。
掌握了圆的标准方程的求解方法，我们在解决与圆相关的数学问
题时，就能更加得心应手。
不过，还需要注意的是，在使用圆的标准方程时，我们需要确保给
定的数据准确无误。
任何一个错误的数据都有可能导致最后的结果出
现偏差。
因此，在做题时，务必要仔细核对给定的数据，确保准确性。
结束语
本文通过圆的标准方程练习题的形式，对圆的标准方程进行了简要
说明。
通过这些例题的练习，我们可以更好地掌握圆的标准方程的求
解方法，为我们解决与圆相关的问题提供了更强大的数学工具。
希望
本文对大家学习圆的标准方程有所帮助！。