函数的定义域和值域练习题解析

函数的定义域和值域练

习题解析

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

函数的定义域和值域

1．函数y＝的定义域是()

A．{x|x<0}B．{x|x>0}

C．{x|x<0且x≠－1}D．{x|x≠0，且x≠－1，x∈R}

解析：依题意有，解得x<0且x≠－1，故定义域是{x|x<0，且x≠－1}．

答案：C

2．下表表示y是x的函数，则函数的值域是()

A.[2,5]B．

解析：函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}．答案：D

3．若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是()

A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)

解析：要使g(x)有意义，则解得0≤x<1，所以g(x)的定义域为[0,1)

答案：B

4．函数y＝的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是()

A．(－∞，0)∪B．(－∞，2]

∪[2，＋∞)D．(0，＋∞)

解析：∵x∈(－∞，1)∪[2,5)，则x－1∈(－∞，0)∪[1,4)．∴∈(－∞，0)∪

答案：A

5．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是()

A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝ax2＋1C．f(x)＝ax2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋1

解析：当a＝0时，f(x)＝ax2＋x＋1＝x＋1，其定义域和值域均为R，所以只有C有可能，而A、B、D均不符合要求，故选C.答案：C

6．设f(x)＝g(x)是二次函数，若f[g(x)]的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是()

A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．(－∞，－1]∪[0，＋∞)

C．[0，＋∞)D．[1，＋∞)

解析：由f(x)≥0可得x≥0或x≤－1，且x≤－1时，f(x)≥1；x≥0时，f(x)≥0.

又g(x)为二次函数，其值域为(－∞，a]或[b，＋∞)型．而f[g(x)]的值域是[0，＋∞)，知g(x)≥0，故选C.答案：C

7．(2012·东北师大附中月考)已知函数y＝f(2sin x)的定义域为(k∈Z)，则函数y＝f(x)的定义域为________．

解析：由于函数y＝f(2sin x)的定义域为

(k∈Z)，所以函数u＝2sin x的值域为[－1,2]，所以函数y＝f(x)的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]

8．(2012·南京模拟)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．解析：若m＝0，则f(x)＝的定义域为R；若m≠0，则Δ＝16m2－12m<0，得0

9．若函数y＝f(x)的值域是，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是________．

解析：令t＝f(x)，则≤t≤3，由g(t)＝t＋在区间上单调递减，在[1,3]上单调递增，所以g＝，g(1)＝2，g(3)＝，故函数g(t)的值域是，即F(x)的值域是.

答案：

10．求下列关于x的函数的定义域和值域：

(1)y＝－；(2)y＝log2(－x2＋2x)；(3)

解：(1)．

∵函数y＝－为减函数，

∴函数的值域为[－1,1]．

(2)要使函数有意义，则－x2＋2x>0，∴0

∴函数的定义域为(0,2)．

又∵当x∈(0,2)时，－x2＋2x∈(0,1]，

∴log2(－x2＋2x)∈(－∞，0]．

即函数的值域为(－∞，0]．

(3)函数定义域为{0,1,2,3,4,5}，

函数值域为{2,3,4,5,6,7}．

11．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，

(1)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；

(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．

解：(1)设x1>x2>0，则x1－x2>0.

x1x2>0，

∵f(x1)－f(x2)＝－

＝－＝>0，

∴f(x1)>f(x2)，因此，函数f(x)是在(0，＋∞)上的单调增函数．

(2)∵f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，

∴f＝，f(2)＝2，即－2＝，－＝2.

解得a＝.

12．已知函数f(x)＝

(1)求f(x)的值域．

(2)设函数g(x)＝ax－2，x∈[－2,2]，若对于任意的x1∈[－2,2]，总存在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求实数a的取值范围．

解：(1)当x∈[－2，－1)时，f(x)＝x＋在[－2，－1)上是增函数，此时f(x)∈；

当x∈时，f(x)＝－2；

当x∈时，f(x)＝x－在上是增函数，

此时f(x)∈.

∴f(x)的值域为∪.

(2)①若a＝0，g(x)＝－2，对于任意的x1∈[－2,2]，

f(x1)∈∪，

不一定存在x0∈[－2,2]使得g(x0)＝f(x1)成立．

②若a>0，g(x)＝ax－2在[－2,2]上是增函数，

g(x)∈[－2a－2,2a－2]，

任给x1∈[－2,2]，f(x1)∈∪，

若存在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，

则∪[－2a－2,2a－2]，

∴a≥；

③若a<0，g(x)＝ax－2在[－2,2]上是减函数，g(x)∈[2a－2，－2a－2]，

∴a≤－.

综上可得，实数a的取值范围是

∪.