第9章线性规划方法及其应用讲解
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随着电子计算机的发展和计算速度的不断提高，
其适用的领域更加广泛，它已成为必不可少的重要手 段之一。
2020/10/12
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4、1975年库伯曼斯(Koopmans)因对资源最 优分配理论的贡献而获诺贝尔经济学奖；
5、冯•诺伊曼和摩根斯坦1944年发表的 《对 策论与经济行为》涉及与线性规划等价的对策问题 及线性规划对偶理论。
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9.1 线性规划是什么
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9.1 线性规划是什么
我们先通过几个实际问题来认识什么是线性规划. 1. 利润最大化问题
【例9.1】 某企业生产 A1, A2, A3 三种产品，这些产品分别需要 甲、乙两种原料.生产每种产品一吨所需原料和每天原料总限 量及每吨不同产品可获利润情况如表9.1所示.
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9.1 线性规划是什么
模型中 c1, c2 , , cn , bi , aij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 的都是实际 问题给定的常数；未知量 x1, x2 ,, xn为决策变量.这类决策问 题的应用领域非常广泛.
注 本章的数学模型均可用软件求解。
表9.1 企业生产数据表
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9.1 线性规划是什么
试问：该企业怎样安排生产才会使每天的利润最大？
解 设该企业每天生产产品 A1, A2 , A3 的数量分别为 x1, x2 , x3 （单位：吨），则总利润的表达式为
f 4x1 3x2 7x3
我们希望在现有资源条件下总利润最大.现有资源的限制为
第9章 线性规划方法及其应用
2020/10/12
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线性规划（Linear Programming）作为运筹学的一个重要分支， 是研究较早、理论较完善、应用最广泛的一个学科。它所研 究的问题主要包括两个方面：一是在一项任务确定后，如何 以最低成本（如人力、物力、资金和时间等）去完成这一任 务；二是如何在现有资源条件下进行组织和安排，以产生最 大收益。因此，线性规划是求一组变量的值，使它满足一组 线性式子，并使一个线性函数的值最大（或最小）的数学方 法。线性规划不仅仅是一种数学理论和方法，而且已成为现 代管理工作中帮助管理者做出科学决策的重要手段。
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线性规划方法是数学规划中发展较快、 应用较广和比较成熟的一个分支。
最优化/运筹学的最基本的方法之一， 网络规划，整数规划，目标规划和多目 标规划都是以线性规划为基础的。
解决稀缺资源最优分配的有效方法，使 付出的费用最小或获得的收益最大。
线性规划的基础是线性变换。
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1、康托洛维奇生产组织与计划中的数学方法,一 本小册子，1939;
2、康托洛维奇“最佳资源利用的经济计算”— —1942完成、1959发表的著作 ；
3、自1947年丹兹格（G.B.Dantzing）提出求解 线性规划问题的一般方法--单纯形法之后，线性规划 在理论上趋于成熟，应用日益广泛与深入；
max f 4x1 3x2 7x3 s.t. x1 2x2 2x3 100,
3x1 x2 3x3 100, xj 0 ( j 1, 2,3).
其中s.t. 为英文“subject to”的缩写，表示决策变量xj ( j 1, 2,3) 受 它后面的条件约束. 最优解为x1 0, x2 25, x3 25 （具体解法后面 介绍），代入总利润的表达式f 4x1 3x2 7x3 得对应的目标函 数最大值为250.由此得到该企业在现有资源条件下，日生产的最 优安排是：产品A1 不生产A，2 生产25吨A，3 生产25吨，可实现最大 利润250千元/日.
5
运筹学的主要内容
数
非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
wk.baidu.com
划
多目标规划
学
双层规划
科
组
最优计数问题
合 网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论 随 排队论 机 优 库存论 化 决策分析
可靠性分析
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9.1 线性规划是什么 9.2 建立线性规划模型的一般步骤 9.3 线性规划问题的图解法 9.4 线性规划问题解的性质 9.5 解线性规划问题的单纯形法 9.6 线性规划的应用
的计划产量分别为 x1, x2 , , xn 单位，则问题的数学模型
为
max f c1x1 c2 x2 cn xn s.t. a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21x1 a22 x2 a2n xn b2 , ........................................... am1x1 am2 x2 amn xn bm , x j 0 ( j 1, 2, , n).
x1 2x2 2x3 100 （原料甲的限制） 3x1 x2 3x3 100 （原料乙的限制）
此外，由于未知数（我们称之为决策变量）x1, x2 , x3 是计划产量，
应有为非负的限制，即 x j ≥0, j = 1,2,3
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9.1 线性规划是什么
由此得到问题的数学模型为
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9.1 线性规划是什么
类似于例9.1的这类问题称为最优生产计划问题.其一般描述是利
用 m 种资源 B1, B2 资源 Bi 的限制，c
,
j
, Bm 组织生产 n 种产品 A1,
表示产品 Aj 的单位利润，a
A2 , , An.以 bi 表示 ij 表示单位产品 A j
( j 1, 2, , n) 消耗资源 Bi (i 1, 2, , m) 的数量（代表该企业当
前的技术水平），情况如表9.2所示. 现在的问题是：如果该企
业生产的这 n 种产品 A1, A2 ,..., An 都可以卖出，如何合理充分地 利用现有的资源，给出一个使总利润达到最大的产品生产计划？
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9.1 线性规划是什么
有了解决上述问题的经验，我们可以假设产品 A1, A2 , , An
2. 成本最小化问题
【例9.2】 某钢铁厂熔炼一种新型不锈钢，需要4种合金 T1,T2,T3,T4 为原料经测定这4种原料关于元素铬（Cr）、锰（Mn）和镍（Ni） 的质量分数（%）、单价以及这种新型不锈钢所需铬、锰和镍的最 低质量分数，情况如表9.3所示. 假设熔炼时质量没有损耗，问： 要熔炼100吨这样的不锈钢，应选用原料T1,T2,T3,T4 各多少吨，能 够使成本最小？
其适用的领域更加广泛，它已成为必不可少的重要手 段之一。
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4、1975年库伯曼斯(Koopmans)因对资源最 优分配理论的贡献而获诺贝尔经济学奖；
5、冯•诺伊曼和摩根斯坦1944年发表的 《对 策论与经济行为》涉及与线性规划等价的对策问题 及线性规划对偶理论。
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9.1 线性规划是什么
我们先通过几个实际问题来认识什么是线性规划. 1. 利润最大化问题
【例9.1】 某企业生产 A1, A2, A3 三种产品，这些产品分别需要 甲、乙两种原料.生产每种产品一吨所需原料和每天原料总限 量及每吨不同产品可获利润情况如表9.1所示.
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9.1 线性规划是什么
模型中 c1, c2 , , cn , bi , aij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 的都是实际 问题给定的常数；未知量 x1, x2 ,, xn为决策变量.这类决策问 题的应用领域非常广泛.
注 本章的数学模型均可用软件求解。
表9.1 企业生产数据表
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9.1 线性规划是什么
试问：该企业怎样安排生产才会使每天的利润最大？
解 设该企业每天生产产品 A1, A2 , A3 的数量分别为 x1, x2 , x3 （单位：吨），则总利润的表达式为
f 4x1 3x2 7x3
我们希望在现有资源条件下总利润最大.现有资源的限制为
第9章 线性规划方法及其应用
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线性规划（Linear Programming）作为运筹学的一个重要分支， 是研究较早、理论较完善、应用最广泛的一个学科。它所研 究的问题主要包括两个方面：一是在一项任务确定后，如何 以最低成本（如人力、物力、资金和时间等）去完成这一任 务；二是如何在现有资源条件下进行组织和安排，以产生最 大收益。因此，线性规划是求一组变量的值，使它满足一组 线性式子，并使一个线性函数的值最大（或最小）的数学方 法。线性规划不仅仅是一种数学理论和方法，而且已成为现 代管理工作中帮助管理者做出科学决策的重要手段。
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线性规划方法是数学规划中发展较快、 应用较广和比较成熟的一个分支。
最优化/运筹学的最基本的方法之一， 网络规划，整数规划，目标规划和多目 标规划都是以线性规划为基础的。
解决稀缺资源最优分配的有效方法，使 付出的费用最小或获得的收益最大。
线性规划的基础是线性变换。
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1、康托洛维奇生产组织与计划中的数学方法,一 本小册子，1939;
2、康托洛维奇“最佳资源利用的经济计算”— —1942完成、1959发表的著作 ；
3、自1947年丹兹格（G.B.Dantzing）提出求解 线性规划问题的一般方法--单纯形法之后，线性规划 在理论上趋于成熟，应用日益广泛与深入；
max f 4x1 3x2 7x3 s.t. x1 2x2 2x3 100,
3x1 x2 3x3 100, xj 0 ( j 1, 2,3).
其中s.t. 为英文“subject to”的缩写，表示决策变量xj ( j 1, 2,3) 受 它后面的条件约束. 最优解为x1 0, x2 25, x3 25 （具体解法后面 介绍），代入总利润的表达式f 4x1 3x2 7x3 得对应的目标函 数最大值为250.由此得到该企业在现有资源条件下，日生产的最 优安排是：产品A1 不生产A，2 生产25吨A，3 生产25吨，可实现最大 利润250千元/日.
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运筹学的主要内容
数
非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
wk.baidu.com
划
多目标规划
学
双层规划
科
组
最优计数问题
合 网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论 随 排队论 机 优 库存论 化 决策分析
可靠性分析
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9.1 线性规划是什么 9.2 建立线性规划模型的一般步骤 9.3 线性规划问题的图解法 9.4 线性规划问题解的性质 9.5 解线性规划问题的单纯形法 9.6 线性规划的应用
的计划产量分别为 x1, x2 , , xn 单位，则问题的数学模型
为
max f c1x1 c2 x2 cn xn s.t. a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21x1 a22 x2 a2n xn b2 , ........................................... am1x1 am2 x2 amn xn bm , x j 0 ( j 1, 2, , n).
x1 2x2 2x3 100 （原料甲的限制） 3x1 x2 3x3 100 （原料乙的限制）
此外，由于未知数（我们称之为决策变量）x1, x2 , x3 是计划产量，
应有为非负的限制，即 x j ≥0, j = 1,2,3
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9.1 线性规划是什么
由此得到问题的数学模型为
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9.1 线性规划是什么
类似于例9.1的这类问题称为最优生产计划问题.其一般描述是利
用 m 种资源 B1, B2 资源 Bi 的限制，c
,
j
, Bm 组织生产 n 种产品 A1,
表示产品 Aj 的单位利润，a
A2 , , An.以 bi 表示 ij 表示单位产品 A j
( j 1, 2, , n) 消耗资源 Bi (i 1, 2, , m) 的数量（代表该企业当
前的技术水平），情况如表9.2所示. 现在的问题是：如果该企
业生产的这 n 种产品 A1, A2 ,..., An 都可以卖出，如何合理充分地 利用现有的资源，给出一个使总利润达到最大的产品生产计划？
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9.1 线性规划是什么
有了解决上述问题的经验，我们可以假设产品 A1, A2 , , An
2. 成本最小化问题
【例9.2】 某钢铁厂熔炼一种新型不锈钢，需要4种合金 T1,T2,T3,T4 为原料经测定这4种原料关于元素铬（Cr）、锰（Mn）和镍（Ni） 的质量分数（%）、单价以及这种新型不锈钢所需铬、锰和镍的最 低质量分数，情况如表9.3所示. 假设熔炼时质量没有损耗，问： 要熔炼100吨这样的不锈钢，应选用原料T1,T2,T3,T4 各多少吨，能 够使成本最小？