2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知全集，集合，那么集合

A. B.

C. D.

2.i为虚数单位，满足的复数z的虚部是

A. 1

B. i

C.

D.

3.的展开式中的常数项为

A. B. C. D. 9

4.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是如果

两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，若棱锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为

A. B. 1 C. D.

5.某商场每天的食品销售额万元与该商场的总销售额万元具有相关关系，且回归方程为

已知该商场平均每天的食品销售额为8万元，估计该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为

A. B. C. D.

6.已知为等比数列的前n项和，且是与的等差中项，则数列的公比为

A. B. C. D. 或1

7.某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布，成绩

在之外的人数估计有

附：若X服从，则，

A. 1814人

B. 3173人

C. 5228人

D. 5907人

8.以为焦点的椭圆与直线有公共点，则满足条件的椭圆中

长轴最短的为

A. B. C. D.

9.已知某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多

于1次的概率为，则

A. B. C. D.

10.已知函数和函数的图象分别为曲线，，直线与，分

别交于M，N两点，P为曲线上的点．如果为正三角形，则实数k的值为

A. B. C. D.

11.将一枚骰子抛掷3次，则最大点数与最小点数之差为3的概率是

A. B. C. D.

12.已知函数，若方程有7个不同

的实数解，则的取值范围

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围是

______．

14.已知点P为圆上任一点，，分别为椭圆的两个焦点，

求的取值范围______．

15.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．

16.已知双曲线的焦距为2c，，是实轴顶点，以为直径的圆与

直线在第一象限有两个不同公共点，则双曲线离心率e的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

若，求C的大小；

若AC边上的中线BM的长为，求面积的最大值．

18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，

，，点M是AC与BD的交点．

求二面角的余弦值；

若点N在线段PB上且平面PDC，求直线MN与平面PAC

所成角的正弦值．

19.哈三中总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”

和“非优质产品”的方法．某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品．并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为，和为了购买该品牌的粉笔，校总务主任设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔，随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买．设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有i件非优质产品”为事件1，．求，，；

随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设X为非优质产品的盒数，求X的分布列及期望；

若购买100箱该品牌粉笔，如果按照主任所设计方案购买的粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10，则所设计的方案有效．讨论该方案是否有效．

20.已知函数．

讨论在定义域内的极值点的个数；

若对，恒成立，求实数m的取值范围；

证明：若，不等式成立．

21.过x轴正半轴上一点做直线与抛物线E：交于，，

两点，且满足，过定点与点A做直线AC与抛物线交于另一点C，过点与点B做直线BD与抛物线交于另一点设三角形AMN的面积为，三角形DMN的面积为．

求正实数m的取值范围；

连接C，D两点，设直线CD的斜率为；

当时，直线AB在y轴的纵截距范围为，则求的取值范围；

当实数m在取到的范围内取值时，求的取值范围．

22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴

的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的参数方程为，为参数．

写出曲线C的极坐标方程以及直线l的普通方程；f

若点，直线l与曲线C交于P，Q两点，弦P，Q的中点为M，求的值．

23.设函数．

求的解集；

若，使恒成立的m的最大值为正数a，b满足，求的最小值．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析：解：因为集合或，，则

，

那么集合，

故选：B．

首先解不等式求出集合A，B，由补集的运算求出，再由交集的运算求出．

本题考查了解不等式和集合交、补集的混合运算，属于基础题．

2.答案：C

解析：解：由，得，

复数z的虚部是．

故选：C．

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3.答案：C

解析：解：的展开式中的通项公式为，令，

求得，

可得常数项为，

故选：C．

先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．

本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4.答案：D

解析：解：现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，棱锥的体积为，

圆锥的体积为，

圆锥的侧面展开图是半圆，

设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，

即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是，

圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，

设圆锥的底面半径是r，则得到，，

圆锥的高，

圆锥的体积．

解得，则圆锥的母线长为．

故选：D．

推导出圆锥的体积为，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的

弧长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则，圆锥的高，由此能求出圆锥的母线长．

本题考查圆锥的母线长的求法、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

5.答案：A

解析：解：商场每天的食品销售额万元与该商场的总销售额万元的线性回归方程为，

当商场平均每天的食品销售额为8万元时，该商场平均每天的总销售额为，该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为：，

故选：A．

根据线性回归方程得到该商场平均每天的总销售额，从而求出该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值．

本题主要考查了函数的实际应用，以及线性回归方程的应用，是基础题．

6.答案：A

解析：解：是与的等差中项，即为，

若公比，则，即有，即，显然不成立，

故，则，

化为，即，解得或舍去，

故选：A．

由等差数列的中项性质和等比数列的求和公式，解方程可得所求公比，注意公比为1的情况．

本题考查等比数列的求和公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．7.答案：A

解析：解：由数学分数服从正态分布，得，．

则

．

则成绩在之内的人数估计有8183，

成绩在之外的人数估计有1817，与1814最接近．

故选：A．

由已知可得，，则

，求出概率，乘以10000可得成绩在之内人数的近似值，再由10000减去该近似值得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．

8.答案：C

解析：解：以为焦点的椭圆，

设椭圆方程为，

由得，

由题意，a有解，，

，或舍，

，此时椭圆方程是：．

故选：C．

先设椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，再根据该方程组有解即可求出a的最小值，则问题解决．

本题主要考查由代数方法解决直线与椭圆交点问题，是中档题．

9.答案：C

解析：解：某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，

该同学射箭3次射中多于1次的概率为，

则，

解得．

故选：C．

利用n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式能求出结果．

本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10.答案：B

解析：解：由已知可设，

，则P点横坐标为，

又因为点P在函数的图象上，

所以，

因为为正三角形，则

，故直线PM的斜率等于

，

，即

，，

即，，

故选：B．

由已知条件设出M，N，P的坐标，利用直线PM的倾角是，即斜率为，利用斜率的坐标公

式列出关于K的方程，解指对数方程即可

本题主要考查对数函数的图象和性质应用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于中档题．

11.答案：D

解析：解：将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数，

最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：

取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为，取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为，取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为，则最大点数与最小点数之差为3的概率是：

．

故选：D．

将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数，最大点数与最小点数之差为3包含三种

情况：取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为，取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为，取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为，由此能求出最大点数与最小点数之差为3的概率．

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

12.答案：C

解析：解：当时，，令，解得，

故在上单调递增，在上单调递减，且，时，，

作出函数的图象如下图所示，

令，则有两个不同的实数根，，

要使方程有7个不同的实数解，则，，

，即，

作出上述不等式组表示的可行域如下图所示，

由可行域可知，当取点时，最小，且最小值为2；

当取点时，最大，且最大值为12．

故的取值范围为．

故选：C．

利用导数研究函数的性质，可作出的草图，观察图象，结合题设条件可得方程

有两个不同的实数根，，且，，利用二次函数根的分布，可以得到m，n满足的约束条件，由此作出可行域，再根据的几何意义，求得取值范围．本题考查分段函数的综合运用，涉及了利用导数研究函数的性质，“套套”函数，二次函数根的分布，简单的线性规划等知识点，考查换元思想，数形结合思想，函数与方程思想等数学思想，考查逻辑推理能力，运算求解能力，直观想象等数学能力，属于较难题目．

13.答案：

解析：解：依题意，函数，上的图象与直线有两个不同的

交点，

，

又，

，

，

函数的图象如下，

由图可知，．

故答案为：．

依题意，函数，上的图象与直线有两个不同的交点，化简

，作出函数在上的图象，观察图象即可得到m的取值范围．

本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及化简求解能力，属于中档题．

14.答案：

解析：解：如图，椭圆的焦点，，

设，

则，，

则

，

的取值范围是．

故答案为：．

由椭圆方程求出焦点坐标，设，得到与的坐标，写出数量积，再由

三角函数求最值可得的取值范围．

本题考查圆与椭圆综合，考查平面向量的数量积运算，训练了利用三角函数求最值，是中档题．15.答案：1或

解析：解：设与和的切点分别为、；

由导数的几何意义可得，

曲线在处的切线方程为，

即，

曲线在点处的切线方程为，

即，

则，

，

解得，或．

当时，切线方程为，即，

当时，切线方程为，即，

或．

故答案为：1或．

分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得答斜率和截距相等，从而求得切线方程得答案．

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．

16.答案：

解析：解：由题意如图，要使以为直径的圆与直线

在第一象限有两个不同公共点，

可得直线在x，y轴的交点分别为：，，

则O到直线的距离小于半径，且，

即，，整理可得：，即

，解得，

故答案为：

由题意可得O到直线的距离小于半径，且，可得a，c的关系，进而求出离心率的范围．

本题考查双曲线的性质及点到直线的距离公式，属于中档题．

17.答案：解：．

由正弦定理可得，

，

由，可得，由，可得，

由题意，

，

，

，，

，

，

由可得，

由向量的中点表示可得，

两边平方可得：，可得：，可得：，

，解得，当且仅当时取等号，

的面积，当且仅当时取等号，即面积的最大值是．

解析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式可得，结合，可得，结合范围，可得，进而利用二倍角公式，两角差的余弦函数公式化简已知等式可得，结合范围C，，可得，即可得解．

由已知运用向量的中点表示可得，利用向量的模的平方即为向量的平方以及基本不等式即可得到ac的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．

本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式，基本不等式，三角形的面积公式以及平面向量的运算，考查了转化思想，属于中档题．

18.答案：解：在中，

，

，则．

在中，，则

，

在中，，则，

，，

平面ABCD，

分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

0，，，0，，0，，0，，，0，，，，，

设平面ACP的法向量y，，

则，取，则，

设平面BCP的法向量b，，

则，取，得，

则，

二面角的余弦值为．

设平面PCD的法向量n，，

，1，，

则，取，得，

设y，，且，，满足，

则0，，，

点N在线段PB上且平面PDC，

，解得．

，

平面ACP的法向量，．

直线MN与平面PAC所成角的正弦值为．

解析：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，求出平面APC的法向量、平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角的正切值．先根据条件求出点N的具体位置，再利用向量法能求出直线MN与平面PAC所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

19.答案：解：由已知，

，

．

的可能取值为0，1，2，

，

，

，

随机变量X的分布列为：

X 0 1 2

P

．

由知，

按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为：

，

，

该方案无效．

解析：利用古典概型概率计算公式能求出，，

的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．由，得到按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为，由，得到该方

案无效．

本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查方案是否有效的判断与求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20.答案：解：，对于方程，

，

当时，，，此时没有极值点；

当时，方程的两根为，，不妨设，则

，

当或时，，当时，，

此时，是函数的两个极值点；

当时，方程的两根为，，且，故，

，

当时，，故没有极值点；

综上，当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点；

，即，则

，

设，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

则，故；

证明：由知当时，恒成立，即

，

欲证，只需证，设，

当时，，单调递减，当，，单调递增，

，故，

对，不等式成立．

解析：函数的定义域为，求导后研究方程，分类讨论得出函数的单调性情况，进而得出极值点情况；

问题等价于，设，利用导数求函数的最小值即

可；

由知，恒成立，则问题转化为证明，设

，利用导数证明恒成立即可．

本题考查利用导数研究函数的极值，以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想以及推理论证能力，属于较难题目．

21.答案：解：设直线AB方程为，联立直线AB与抛物线方程得，解得，

则且，

又，

，解得，

正实数m的取值范围为；

设，设过点的直线为，过点的直线为，

由，联立解得，

由，联立解得，

，

，

直线AB在y轴上的纵截距取值范围为，

，

，即；

，

由和可知，，

．

解析：设直线AB方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理可得，再结合已知条件，即可求得正实数m的取值范围；

设，设过点的直线为，过点的直线为，与抛物线方程联立后，可得，进而求得，由题意

可知，，进而得到；易知，结合中m的范围即得解．

本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查逻辑推理能力及运算求解能力，对计算能力要求较高，属于中档题．

22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为

．

直线l的参数方程为，为参数转换为直角坐标方程为．把直线的参数方程，为参数，代入，得到

，

所以，，

所以，即，，

所以．

解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和二次函数性质的应用求出结果．

本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

23.答案：解：等价为或或

，

解得或或，

则原不等式的解集为；

若，使恒成立，即为，

由，当时，取得等号，

则的最小值为4，可得，

则，即，

由，，可得

，

当且仅当，即时取得等号，

则的最小值为1．

解析：由零点分区间法，结合绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；

由题意可得，运用绝对值的性质可得其最小值，进而得到m的最大值，再由乘1法和基本不等式，可得所求最小值，注意运用的变形．

本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用：求最值，化简整理的运算能力，属于中档题．