常微分方程学习活动6 第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习 全解

常微分方程学习活动6

第三章一阶线性方程组、第四章n 阶线性方程的综合练习

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．

要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题

1．若A (x )在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组Y A Y

)(d d x x

=，n R Y ∈的任一非零解在1

+n R

空间 不能 与x 轴相交．

2．方程组

n x x x

R Y R Y F Y

∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n + 1 维空间中的一条积分曲线．

3．向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的 必要 条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0．

4．线性齐次微分方程组n x x x

R Y R Y A Y

∈∈=,,)(d d ，的一个基本解组的个数不能多于 n + 1 个．

5．若函数组)()(21x x ϕϕ，在区间),(b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上 恒等于零 ．

6．函数组⎩⎨⎧==x y x

y cos sin 2

1的朗斯基行列式)(x W 是 x x x x x W sin cos cos sin )(-=

7．二阶方程02

=+'+''y x y x y 的等价方程组是 ⎪⎩⎪

⎨⎧--='='y

x xy y y y 2

111

8．若)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们 没有 共同零点．

9．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） ．

10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 n 个．

11．在方程y″+ p (x )y′+q (x )y = 0中，p (x ), q (x )在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy 平面上 可以 与x 轴横截相交．

12．二阶线性方程20y y y '''++=的基本解组是 e ,e

x x

x -- ．

13．线性方程0y y ''+=的基本解组是 cos ,sin x x ． 14．方程02=+'+''y x y x y 的所有解构成一个 2 维线性空间． 15．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 n 维线性空间．

二、计算题

1．将下列方程式化为一阶方程组

（1）0)()(=++x g x x f x &&&

解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==)()(d d d d x g y x f t

y y t

x

（2）

)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y

解 ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧---===0312212

2

11)()()(d d d d d d y x a y x a y x a x y y x y

y x y

2．求解下列方程组：

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=x y t

y x y t

x

54d d 45d d

解 方程组的系数阵为54A ⎡=⎢⎣

45⎤

⎥⎦

特征方程为： det(A-λE)=

54

λ-

45λ

-=(1)(9)0λλ--=，

其特征根为 121,9λλ==.

当11λ=时,11t y a e z b ⎡⎤⎡⎤

=⎢

⎥

⎢⎥⎣⎦⎣⎦

， 其中a , b 满足 (A-λE)a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=44⎡⎢⎣

44⎤⎥⎦a b ⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

= 0, 则有a + b = 0． 取a = 1, b =-1, 则得一特解1111t y e z ⎡⎤⎡⎤

=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

同理,当29λ=时，29211t y e z ⎡⎤⎡⎤

=⎢

⎥

⎢⎥⎣⎦⎣⎦

所以方程组的解为9129()()t t t t y t e e C C z t e e -⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=y x t

y y x t

x

αββαd d d d

解 方程组的系数阵为 A αβ⎡=⎢

-⎣ βα⎤

⎥⎦

. 特征方程为: det(A-λE)= αλβ-- βαλ

-=22

()0λαβ-+= 特征根为 λαβ=±i .

当1i λαβ=+时,11i x a e y b αβ+⎡⎤⎡⎤=⎢

⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

其中a , b 满足 (A-λE)a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=i ββ-⎡⎢-⎣

i ββ⎤

⎥-⎦

a b ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

=0, 故有0

ai b a bi -+=⎧⎨

--=⎩ 即 b ai =.

取1,a b i ==，于是方程组对应于

*1*11i x e i y αβ+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

=cos sin sin cos t t i t e t i t αββββ+⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦ 故特征根i λαβ=±所对应的实解为