数学物理方法第二章

zk 1
o
x
6
关于定义的说明: (1) 如果 l 是闭曲线, 那么沿此闭曲线的积分
记为 f (z)dz.
l
(2) 如果 l 是 x 轴上的区间 a x b, 而 f (z)
= u( x),这个积分定义就是一元 实变函数
定积分的定义 . （三） 存在的条件和计算法
1.存在的条件
如果 f (z) 是连续函数而 l 是光滑曲线时 ,
设l为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如 果选定l的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把l理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线.
y
如果A到B作为曲线l的正向,
那么B到A就是曲线l的负向,记为l -.
A
正方向总是指从起点到终点的方向. o
B
x
3
简单闭曲线正向的定义:
简单闭曲线l的正 向是指当曲线上的点P 顺此方向前进时, 邻近P
l
l1
l2
由l1和l2组成的 全路径上的积分等于各段上积分之和
(5) l f (z)dz l f (z) d z
10
特别地，若在l上有 f (z) ，M l的长记为l，则性 质(5)成为
(6) l f (z)dz Ml
注意：数学分析中的积分中值定理不能推广到 复变函数积分上来，例如：
2 ei d = 1 ei 2 = 0
1
zdz = (3 4i)2 tdt
l
0
= (3 4i)2
1
tdt
0
= (3 4i)2 . 2
y
4i
3, 4
o
3
x
12
例2 计算 z dz, 其中 l 为 : 圆周 z = 2. l
解 积分路径(圆心在原点圆)的参数方程为
l z = z = 2ei (0 2π),
f z = z = 2ei , dz = 2iei d
y
P
P P
点的曲线的内部始终位
于P点的左方.
与之相反的方向就
o
P
x
是曲线的负方向.
4
（二）积分的定义:
设函数 w = f (z) 定义在区域 D内, l 为区域
D内起点为 A 终点为 B的一条光滑的有向曲线 ,
把曲线 l 任意分成 n 个弧段, 设分点为 A = z0 , z1, L , zk1, zk ,L , zn = B,
1
学习要求与内容提要
目的与要求：掌握复变函数积分的概念、基本性 质及运算；柯西定理、不定积分、柯西公式。 重点： 1. 复积分的基本定理；
2. 柯西积分公式与高阶导数公式。 难点：复合闭路定理与复积分的计算。
2
2.1复变函数的积分
——复平面上的线积分
(与实函数积分相似，定义为和的极限)
（一）有向曲线:
l
分段积分 如果 l 是由 l 1, l 2 , L , l n 等光滑曲线依次
相互连接所组成的按段 光滑曲线, 则
f (z)dz = f (z)dz f (z)dz L f (z)dz.
l
l1
l2
ln
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的,
曲线l是按段光滑的.
9
(三)性质：
设l是简单逐段光滑曲线，f,g在l上连续，则
z dz = 2π 2 2iei d
l
0
( 因为 z = 2 )
2π
= 4i0 (cos i sin )d
= 0.
y
f z= z
o
r
z
=
z
e i
x
13
例3 求
1 l (z z0 )n1 dz , l
为以 z0 为中心, r 为半
y
z
径的正向圆周, n 为整数.
解 积分路径的参数方程为
z0 r
(1) f (z)dz = f (z)dz; 反转积分路径，积分反号
l
l
(2)l Rf (z)dz = Rl f (z)dz, 其中R为复常数
常数因子可以移到积分号外
(3)l f (z) g(z)dz = l f (z)dz l g(z)dz;
函数的和的积分等于各函数积分之和
(4) f (z)dz = f (z)dz f (z)dz, 其中l是
在每个弧段 zk1zk (k = 1,2,L ,n)
上任意取一点 k ,
y
B
1 A
2
z1
z2
l
zn1 k zk zk 1
o
x
5
n
n
作和式 Sn = f ( k ) (zk zk1 ) = f ( k ) zk ,
k =1
k =1
这里 zk = zk zk1, sk = zk1zk的长度,
l z = z0 rei
(0 2π),
o
x
Ñ l
1 dz =
(z z0 )n1
2π 0
ire i r n1ei(n1)
d
=
i rn
2π ein d ,
0
14
当 n = 0时,
y
z
Ñ 1
dz = i
2π
d
= 2i;
l (z z0 )
0
z0 r
当 n 0时,
o
x
Ñ l
1
i
(z
z )n1 0
极限
n
i [v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
k =1
l f (z)dz =
udx vdy i
l
vdx udy
l
8
积分的计算法2:参数方程法
设路径l的方程（参数方程）为: z=z(t) (α≤t≤β) 由求导法则， dz=z’(t) dt, 则有
f (z)dz = f [z(t)]z(t )dt
0
i0
而
ei0 (2 0) 0 (0 0 2 )
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例1 计算 l zdz, l : 从原点到点 3 4i 的直线段.
解
直线方程为
x y
= =
3t, 4t,
0 t 1,
l z = z=(3 4i)t,
在l上，f z = z = (3 4i)t, dz = (3 4i)dt,
记 d = m1kaxn{sk }, 当 n 无限增加且 d 0 时,
如果不论对 l 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯
一极限, 那么称这极限值为
y
B
函数 f (z) 沿曲线 l 的积分, 记为
n
Cl zn1
k zk
l
f
(z)dz
= lim n k=1
f
( k ) zk .
1 A
2
z1 z2
dz
=
rn
2π (cos n i sin n )d
0
= 0;
所以
z z0
=r
(
z
1 z0
)n1
dz
=
2i, 0,
积分 l f (z)dz 一定存在.
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2.积Hale Waihona Puke Baidu的计算法
积分的计算法1:化为二元实函数的第二型曲线积分
注意到：
f k = u k iv k ;zk = xk iyk
k = k ik
n
n
f ( k )zk = [u(k ,k )xk v(k ,k )yk ]
k =1
k =1
Δzk0， 唯一