高数考试试卷及答案

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东北大学

课程名称：高等数学试卷:A答案考试形式：闭卷试卷：共2页

授课专业：管理、电子商务、计工、自动化、材料、环境

考试日期：2009年12月29日

题号

-一一-二二-三四总分

得分

阅卷人

、填空题(每题4分，共24 分)

1、极限

n

im[厂n2 2 L

n 1

n2 n]__2 -----

x

?厂e 1 x

2、已知lim 1,则a

x 0 VT^X21

x 2t arctant 3

3、曲线y 2 3t ln(1 t2)在t°处的切线方程为__x y 5

4、已知函数f(x) (x 1)(x 2)(x 3)，则f'(x) 0的实根个数为2

5、曲线y 3x 的拐点为_(0,0) _

6、定积分.1 x2(1 si nx)dx

1 '—

2 —

二、选择题(每题 3分，共21分)

1、极限lim x sinx[ B ]

x 0

(A). 0 (B)

1

(C)e (D) e

x x 0,

1 ,

2、函数f(X) 1 / 在x 0 处[B ]

0, 其它?

(D)可导

(A)极限不存在(B) 连续不可导(C) 极限存在不连续

3、设x°是f (x)的极值点，贝U [ C ]

(A) f(X。) 0(B) f (x0)不存在(C) f (x0) 0或不存在(D) f (x°) c(c 0)

4、函数y

1 、、、、

x 的单调减区间为[

x

B ]

(A) (

,0

)

(B) [ 1,0) U (0,1] (C)( ,1]U[1, ) (D) [1, )

5、曲线y

x p L 1

xe [ B ]

(A)在( (B)在( ,2)是凸的，在(2

,

)是凹的

,2)是凹的，在(2,)是凸的

(C)在( )是凸的(D)在( )是凹的

6、设F(x)为f (x)的一个原函数，则下列正确的是[

(A) d

(C) F

7、已知

1

(A) e

f(x)dx F(x)

(x)dx f(x)

f (x)dx 1，其中

(B);

三、计算题(39分)

1、(8分)讨论函数f (x) li

m

n

(B) F (x)dx f (x)

d

(D)恳f(x)dx f(x)

f(x

)

ce x

,

0,

0x1,

其它?

(C) 1 (D) 1 e

2n

x

2n

x

的连续性，若有间断点，判别其类型

1 2n x 解：f(x) n im —2n

n 1 x

在x 1 处，lim

x 1

f(x)

x, x 1,

0, |x 1, , -------- 4 分

x, x 1.

lim ( x) 1,

x 1

arctan xdx 2 t arctantdt arctantdt2

2

t arctant

t2

arctant

2

t d arctant

lim f(x) lim x 1,

x 1 x 1

lim f (x) lim f (x) ---------- 6 分

x 1 x 1

所以x 1为第一类跳跃间断点?

在x 1 处，lim f (x) lim x 1,

X 1 x 1

lim f (x) lim( x) 1,

x 1 x 1

lim f (x) lim f (x)

x 1 x 1

所以x 1为第一类跳跃间断点. -------------------- 8分

xy t 2、（7分）求由方程0e dt x

costd

t

0所确定的隐函数的导数鱼.

dx

4、（8 分）

解：设x

2

0 f(x 1)dx

2

t arctant

1

(x 1)arcta n、、

x

丄dt

1 t2

1 t

2 1

2 dt

t

X

2

t arctant t arcta n t

2

o f (x 1)dx，其中

t,则dx dt，从而

1

1 f(t)dt

°te

t2

1

dt

f(x)

1

2 ,

1 x

x2

xe ,

x 0,

1 f(t)dt

1 ^dt

01 t2

f

(t)dt

xy + 解：对方程e t dt

x

costdt 0左右两边同时对x求导得

1 t2

e

2

arcta

nt

xy

e (y xy) cosx 0 -------- 5 分

5、（ 8分）求常数k的值使得曲线 2

与直线x k, x k 2, y

0所围图形的面积最小。

即业dx

xy

ye cosx

xe xy

---------- 7分

解：选x为积分变量，变化区间为k,k 2 ,面积元素dA x dx,所求面积为

3、（ 8分）计算不定积分arctan^xdx

'\2dx k

解：设x t ,则x t2,即dx 2tdt，从而----------------2分要求k使A

dA

取最小值，A k是积分上（下）限函数，故廿

dk

22 k2 4k 1 ,令坐0,

dk

解得驻点k 1,

因为吐4

dk20,则k 内唯一极小值点，即当k 1时,所围成图形的面积最小.

四、证明题(16分)

1、( 8分)设函数f(x), g(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且f (a) f(b) 0 , 证明存在(a,b)，使得f( ) f( )g( )o.

证明：做辅助函数F(x) f (x)e g(x)，则——4 分

F(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且F(a) F(b)，—--6 分

由罗尔中值定理得存在(a,b)，使得F'( )f '()e g() f( )g'( )e g() 0. 而e g()0,从而f'() f( )g'( ) 0

------8

分

2、(8分)设函数F(x) x

0(x 2t)f(t)dt ，其中

f(x)在(

7

)上连续，且单调减

少，证明

F(x)单调增加.

x x

证明：F(x) X。f(t)dt 2 0 tf (t )dt ,则-- 2分

F'(x) x

f(t)dt xf(x) 2xf (x) 5 分

x

0 f(t)dt xf(x)

x

0[f(t) f(x)]dt

7分

x[f() f(x)] 0(0 x) 8分故F(x)单调增加.