【新教材】新人教A版必修一 对数函数 教案

2019—2020学年新人教A版必修一对数与对数函数教案对数函数图象及应用｜

（1)(2016·福州模拟)函数y＝lg｜x－

1｜的图象是（）

[解析]因为y＝lg|x－1|＝错误!

当x＝1时，函数无意义,故排除B、D.

又当x＝2或0时,y＝0，所以A项符合题意．

［答案]A

（2)当0＜x≤错误!时,4x＜log a x，则a的取值范围是()

A.错误!B。错误!

C．(1，错误!）D．（错误!，2)

[解析］法一：构造函数f(x)＝4x和g(x）＝log a x,当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在错误!上的图象,可知，f错误!＜g

错误!，即2＜log a错误!，则a＞错误!，所以a的取值范围为错误!。

法二:∵0＜x≤错误!,∴1＜4x≤2，∴log a x＞4x＞1，

∴0＜a＜1，排除选项C，D；取a＝错误!,x＝错误!，

则有4错误!＝2,log错误!错误!＝1,显然4x＜log a x不成立，排除选项A.

[答案]B

应用对数型函数的图象可求解的两类问题

（1）对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域(最值）、零点时,常利用数形结合思想．

(2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

1．已知函数f（x）＝错误!若a，b，c互不相等，且f(a）＝f(b)＝f（c）,则abc的取值范围是（)

A．(1,10) B．（5，6)

C．(10，12）D．（20,24）

解析：作出f（x)的大致图象，不妨设a＜b＜c,因为a，b,c互不

相等,且f(a）＝f（b）＝f（c)，由函数的图象可知10＜c＜12，且｜lg a｜

＝｜lg b｜，因为a≠b,所以lg a＝－lg b，可得ab＝1，所以abc＝c∈(10,12)．答案：C

考点三对数函数性质及应用｜

已知函数f(x)＝log a（x＋1)－log a（1－x),a＞0且a≠1。

（1）求f（x）的定义域；

(2）判断f（x)的奇偶性并予以证明;

（3）当a＞1时，求使f(x）＞0的x的解集．

[解］(1）要使函数f（x）有意义，

则错误!解得－1＜x＜1。

故所求函数f(x）的定义域为(－1，1)．

(2)由(1)知f（x)的定义域为(－1，1），

且f（－x）＝log a(－x＋1）－log a（1＋x）

＝－［log a（x＋1）－log a(1－x）]＝－f(x),

故f(x)为奇函数．

（3)因为当a＞1时,f（x）在定义域(－1,1）内是增函数，

所以f（x)＞0⇔错误!＞1,解得0＜x＜1.

所以使f(x)＞0的x的解集是（0,1)．

利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点:一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．

2．已知函数f(x)＝log a(8－ax)（a＞0，a≠1），若f(x)＞1在区间［1,2]上恒成立,求实数a的取值范围．

解：当a＞1时，f(x)＝log a（8－ax)在［1,2］上是减函数,

由f（x)＞1恒成立，

则f（x)min＝log a（8－2a)＞1，

解之得1＜a＜错误!。

若0＜a＜1时,f（x)在x∈［1，2］上是增函数，

由f(x)＞1恒成立，

则f（x）min＝log a(8－a）＞1，

且8－2a＞0,

∴a＞4，且a＜4，故不存在．

综上可知，实数a的取值范围是错误!.

5.插值法比较幂、对数大小

【典例】(1)设a＝0.50。5,b＝0。30.5，c＝log0.30.2,则a,b,c的大小关系是（)

A．c＜b＜a B．a＜b＜c

C．b＜a＜c D．a＜c＜b

（2)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝错误!log30。3，则()

A．a＞b＞c B．b＞a＞c

C．a＞c＞b D．c＞a＞b

(3）已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈（－∞，0)时,f(x)＋xf′(x)＜0成立,a ＝（20。2)·f(20.2）,b＝(logπ3)·f（logπ3），c＝（log39)·f（log39)，则a，b，c的大小关系是(）A．b＞a＞c B．c＞a＞b

C．c＞b＞a D．a＞c＞b

［思路点拨］(1）利用幂函数y＝x0。5和对数函数y＝log0.3x的单调性,结合中间值比较a，b，c的大小；

（2)化成同底的指数式，只需比较log23.4、log43.6、－log30。3＝log3错误!的大小即可,可以利用中间值或数形结合进行比较；

（3）先判断函数φ（x)＝xf（x)的单调性,再根据20.2,logπ3,log39的大小关系求解．

［解析](1)根据幂函数y＝x0。5的单调性，

可得0.30。5＜0。50.5＜10。5＝1,即b＜a＜1；

根据对数函数y＝log0。3x的单调性,

可得log0.30。2＞log0。30。3＝1，即c＞1.

所以b＜a＜c。

（2)c＝错误!log30.3＝5－log30.3＝5log3错误!。

法一：在同一坐标系中分别作出函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x的图象,如图所示．由图象知:

log23。4＞log3错误!＞log43。6.

法二:∵log3错误!＞log33＝1，且错误!＜3。4,

∴log3错误!＜log33。4＜log23。4.

∵log43。6＜log44＝1，log3错误!＞1，

∴log43.6＜log3错误!。

∴log23。4＞log3错误!＞log43.6.

由于y＝5x为增函数，∴5log23.4＞5log310

＞5log43.6。

3

即5log23.4＞错误!log30.3＞5log43。6，故a＞c＞b。

(3）因为函数y＝f(x）关于y轴对称，

所以函数y＝xf（x）为奇函数．

因为[xf（x)]′＝f(x）＋xf′(x)，且当x∈(－∞，0)时,

［xf（x)］′＝f（x）＋xf′(x)＜0，

则函数y＝xf（x)在（－∞，0)上单调递减;

因为y＝xf（x)为奇函数，

所以当x∈（0,＋∞）时,函数y＝xf(x）单调递减．

因为1＜20。2＜2，0＜logπ3＜1,log39＝2，

所以0＜logπ3＜20.2＜log39，所以b＞a＞c,选A。

[答案］(1)C(2)C(3）A