高一数学必修 不等式知识点总结

不等式

一、基本不等式

1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -

2、不等式的性质：

①a b b a >?<；②,a b b c a c >>?>；③

a b a c b c >?+>+；④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+；⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >；⑧()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >．

3、设a 、b 是两个正数，则

2

a b +称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数．4、均值不等式定理：若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即

2a b ab +≥．5、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22

,2

a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +??≤>> ???；④()2

22,22a b a b a b R ++??≥∈ ???

．6、极值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2

4

s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ．

例：（13-14耀华7）若2-m 与|m |-3异号，则m 的取值范围是

A、m >3

B、-3

C、2

D、-33

解析：由题.323,03020302><<-∴?

??>-<-???<->-m m m m m m 或或得答案：D

例：（13-14蓟县11）已知实数的最小值为则且、y

x y x R y x 12,1,+=+∈解析：22323))(12(12+≥++=++=+y

x x y y x y x y x 当且仅当222y x =

答案：2

23+二、一元二次不等式

1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．

2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac

?=-0?>0?=0

?<二次函数2y ax bx c

=++()0a >的图象

一元二次方程2ax bx +0c +=()0a >的根有两个相异实数根

1,22b x a -±?=()12x x <有两个相等实数根122b x x a ==-没有实数根

一元二次

不等式的

解集20

ax bx c ++>()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ??≠-????R

20ax bx c ++<()0a >{}12x x x x <

若二次项系数为负，先变为正

例：(12-13南开区17)已知不等式2230x x --<的解集为A，不等式260x x +-<的解集是B．

(I)求A B ；

(Ⅱ)若不等式20x ax b ++<的解集是A B ，求20ax x b ++<的解集．.

,022

1,0240-1(-1,2)0(2)(-1,2)

).

2,3(23-06(-1,3)

,31-032)1(2222R x x b a b a b a b ax x B A B x x x A x x x 解得解集为解得，

的解集是由，得解得解解：<-+-∴???-=-=???=++=+∴<++=∴-=∴<<<-+=∴<<<--

3、???

?????????图像法（数形结合）根的分布分离参数法恒成立问题：分类讨论（因式分解）含参一元二次不等式：例：（13-14红桥区17）解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<．

.

1;11,111;11,1110;110)1)(1(00)1)(1(0;

10 时，不等式的解为当不等式的解为时，当不等式的解为时，当或，不等式的解化为时，原不等是等价于当时，因式分解为当时，不等式解为解：当=<<>><<<<<<><--<>--≠>=a x a

a a a

x a a a

x x x a x a x a

x a a x a 例：（13-14蓟县13)已知一元二次不等式02

122≥+

+kx kx 对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为解析:400

40,002

1,02≤≤???≤-=?≥≠≥=k k k k k k 得则若，成立；则不等式化为若综上可得4

0≤≤k 答案：[]

4,0例：(12-13南开12)己知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R，则实数m 的取值范围是_________________.

解析：

22,

2064(2)4(2)0

m m m m m ≠-≥?<

答案：(2,6)

三、线性规划

1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解

2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

3．解线性规划实际问题的步骤：

（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；

（4）验证所求解是否在可行域内。

例：（13-14耀华11）x 、y 满足条件01,02,2 1.x y y x ≤≤??≤≤??-≥?

，设224z y x =-+，则z 的最小值是；解析：由题得可行域（阴影部分）：

目标函数可化为：z x y 212+

-=所以在（1,1）处取得最小值为4答案：4