2019高中数学必修二：全册作业与测评课时提升作业(一)

课时提升作业(一)

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

(15分钟30分)

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.下列几何体中棱柱有( )

A.5个

B.4个

C.3个

D.2个

【解析】选D.由棱柱的三个结构特征知,①③为棱柱.

2.(2015·吉林高二检测)下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )

【解析】选D. A,B,C中底面多边形的边数与侧面数不相等.故符合条件的是D. 【补偿训练】下列图形中,不能折成三棱柱的是( )

【解析】选C.C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱.其他各项均能折成三棱柱.

3.(2015·长春高二检测)有两个面平行的多面体不可能是( )

A.棱柱

B.棱锥

C.棱台

D.长方体

【解析】选B.棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不可能是棱

锥.

【补偿训练】(2015·青岛高一检测)棱台不具有的性质是( )

A.两底面相似

B.侧面都是梯形

C.侧棱长都相等

D.侧棱延长后交于一点

【解析】选C.棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的,所以两底面相似,侧棱延长后交于一点,侧面都是梯形,故A,B,D选项都正确.

【拓展延伸】棱台定义的应用

(1)为保证侧棱延长后交于一点,可以先画棱锥再画棱台.

(2)如果解棱台问题遇到困难,可以将它还原为棱锥去看,因为它是由棱锥截来的.

(3)可以利用两底是相似多边形进行有关推算.

二、填空题(每小题4分,共8分)

4.(2015·深圳高一检测)如图,正方形ABCD中,E,F分别为CD,BC的中点,沿AE,AF,EF将其折成一个多面体,则此多面体是.

【解析】此多面体由四个面构成,故为三棱锥,也是四面体.

答案:三棱锥(四面体)

5.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60cm,则每条侧棱长为cm. 【解析】是五棱柱,侧棱长相等,为60÷5=12(cm).

答案:12

【补偿训练】多面体最少有几个面,几个顶点,几条棱?

【解析】多面体最少有4个面,4个顶点,6条棱(即三棱锥).

三、解答题

6.(10分)试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.

(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥.

(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.

(3)三棱柱.

【解题指南】(1)根据正方体的棱相等,面对角线都相等,可连对角线得到.(2)根据正方体的特征,只能由对角线连接而成.(3)根据棱柱底面平行可在相邻侧面上画平行线截得.

【解析】(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).

(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).

(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).

(15分钟30分)

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(2015·日照高一检测)如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )

A.棱柱

B.棱台

C.棱柱与棱锥的组合体

D.不能确定

【解析】选A.长方体水槽固定底面一边后倾斜,水槽中的水形成的几何体始终有两个互相平行的平面,而其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,这符合棱柱的定义.

2.(2015·天津高一检测)一个棱柱的底面是正六边形,侧面都是正方形,用至少过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱,所得截面的形状不可以是( )

A.等腰三角形

B.等腰梯形

C.五边形

D.正六边形

【解析】选D.如图,由图可知,截面ABC为等腰三角形,选项A

可能,截面ABEF为等腰梯形,选项B可能,

截面ADE为五边形,选项C有可能,

选项D不可能.

【补偿训练】(2015·嘉兴高一检测)如图都是正方体的表面

展开图,还原成正方体后,其中两个完全一样的是( )

A.(1)(2)

B.(2)(3)

C.(3)(4)

D.(1)(4)

【解题指南】让其中一个正方形不动,其余各面沿这个正方形的各边折起,进行想象后判断.

【解析】选B.在图(2)、(3)中,⑤不动,把图形折起,则②⑤为对面,①④为对面,③⑥为对面,故图(2)、(3)完全一样,而(1)、(4)则不同.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.(2015·成都高二检测)以三棱台的顶点为三棱锥的顶点,这样可以把一个三棱台分成个三棱锥.

【解题指南】在原棱台中适当添加辅助线是正确分割此几何体的关键.

【解析】如图所示,在三棱台ABC-A1B1C1中,分别连接A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成3个三棱锥,即三棱锥A-A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.

答案:3

4.(2015·北京高一检测)一个正方体的六个面上分别标有字母A,B,C,D,E,F,如图是此正方体的两种不同放置,则与D面相对的面上的字母是.

【解析】由此正方体的两种不同放置可知:与C相对的是F,因此D与B相对. 答案:B

三、解答题

5.(10分)根据如图所示的几何体的表面展开图,画出立体图形.

【解题指南】把图中相同的点重合,沿虚线折叠成立体图形.

【解析】图1是以ABCD为底面,P为顶点的四棱锥.

图2是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱.

其图形如图所示.

【拓展延伸】解多面体的表面展开图问题的关键

解多面体的表面展开图问题的关键是弄清楚展开图与原图的关系.由展开图还原为空间图形时,可以固定其中一个面(如棱柱、棱锥的底面),翻折其他面.另外,动手做模型进行实际操作也是很好的方法.

【补偿训练】长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线.

【解析】沿长方体的一条棱剪开,使A和C1展在同一平面上,求线段AC1的长即可,有如图所示的三种剪法:

(1)若将C1D1剪开,使面AB1与面A1C1共面,可求得

AC1=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.

(2)若将AD剪开,使面AC与面BC1共面,可求得

AC1=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.

(3)若将CC1剪开,使面BC1与面AB1共面,可求得

AC1=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.

比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为错误！未找到引用源。.

【拓展延伸】空间几何体中的最短路线问题的解法

空间几何体中的最短路线问题通常是以“平面内连接两点的线中,线段最短”为原则引出来的,解题策略通常是用“转化的方法”,应用侧面展开图把空间图形展开成平面图形,从而把空间问题归为平面问题.

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