2019高中数学必修二：全册作业与测评课时提升作业(一)
2019高中数学必修二：全册作业与测评课时提升作业(九).doc
课时提升作业(九)空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.圆柱的两个底面的位置关系是( )A.相交B.平行C.平行或异面D.相交或异面【解析】选B.圆柱的两个底面无公共点,则它们平行.2.(2015·宜昌高一检测)若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线均与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点【解析】选D.由于直线a不平行于平面α,则a在α内或a与α相交,故A 错;当a⊂α时,在平面α内存在与a平行的直线,故B错;因为α内的直线也可能与a平行或异面,故C错;由已知条件知,D正确.【补偿训练】如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( )A.唯一一条直线不相交B.仅两条相交直线不相交C.仅与一组平行直线不相交D.任意一条直线都不相交【解析】选D.根据直线和平面平行定义,易知排除A,B.对于C,仅有一组平行线不相交,不正确,排除C.与平面α内任意一条直线都不相交,才能保证直线a与平面α平行,所以D正确.3.给出以下结论:①若a⊂α,b⊄α,则a,b无公共点.②若a⊄α,则a∥α或a与α相交.③若a∩α=A,则a⊄α.正确的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.结合直线与平面的位置关系可知,①错误,②③正确.4.(2015·长春高二检测)平面α与平面β平行,且a⊂α,下列四种说法中①a与β内的所有直线都平行;②a与β内无数条直线平行;③a与β内的任意一条直线都不垂直;④a与β无公共点.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.如图,长方体中:平面ABCD∥平面A′B′C′D′,A′D′⊂平面A′B′C′D′,AB⊂平面ABCD,A′D′与AB不平行,且A′D′与AB垂直,所以①③错.5.下列说法中错误的个数是( )①两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行②两条直线没有公共点,则这两条直线平行③两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行.A.4B.3C.2D.1【解析】选 A.①这两条直线平行、相交或异面;②这两条直线平行或异面;③这两条直线平行、相交或异面;④无数条≠任意一条,当直线在平面内时,平面内有无数条直线与这条直线无公共点.所以①②③④的说法都错.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·潍坊高一检测)若直线l上有两点到平面α的距离相等,则直线l 与平面α的关系是.【解析】当这两点在α的同侧时,l与α平行;当这两点在α的异侧时,l与α相交.答案:平行或相交7.已知,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α内的任意一条直线m的位置关系是.【解题指南】先用定义判断直线CD与平面α平行,再将平面内的直线m分与直线CD平行与否判断它与CD的位置关系.【解析】如图,由于ABCD是梯形,AB∥CD,所以AB与CD无公共点,又CD⊄平面α,所以CD与平面α无公共点.当m∥AB时,则m∥DC;当m与AB相交时,则m 与DC异面.答案:平行或异面8.过平面α外一点M,作直线l∥α,则这样的直线l有条.【解析】过平面外一点,可作该平面的无数条平行线,这无数条直线都在过该点且与该平面平行的平面内.答案:无数【补偿训练】一条直线和一个平面平行,过此直线与这个平面平行的平面有个.【解析】假设过此直线与这个平面平行的平面有两个及两个以上,则由平行的传递性知这些平面也平行,矛盾,所以只可以作1个平面.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.简述下列问题的结论,并画图说明:(1)直线a⊂平面α,直线b∩a=A,则b和α的位置关系如何?(2)直线a⊂α,直线b∥a,则直线b和α的位置关系如何?【解析】(1)由图①可知:b⊂α或b∩α=A.(2)由图②可知:b⊂α或b∥α.10.三个平面α,β,γ,如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直线c⊂β,c∥b.(1)判断c与α的位置关系,并说明理由.(2)判断c与a的位置关系,并说明理由.【解析】(1)c∥α.因为α∥β,所以α与β没有公共点,又c⊂β,所以c与α无公共点,则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β,所以α与β没有公共点,又γ∩α=a,γ∩β=b,则a⊂α,b⊂β,且a,b⊂γ,a,b没有公共点.由于a,b都在平面γ内,因此a∥b,又c∥b,所以c∥a.【方法技巧】解答此类问题,首先要正确理解直线与平面的三种位置关系的定义.在直线和平面的三种位置关系中,否定其中两种,其反面是另外一种位置关系.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.平面α∥平面β,直线a∥α,则( )A.a∥βB.a在面β上C.a与β相交D.a∥β或a⊂β【解析】选D.如图(1)满足a∥α,α∥β,此时a∥β;如图(2)满足a∥α,α∥β,此时a⊂β,故选D.2.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行,那么( )A.α∥βB.α与β相交C.α与β重合D.α∥β或α与β相交【解析】选D.显然,当α∥β时满足要求;当α与β相交时,如图,设α∩β=l,则在α内与l平行的直线可以有无数条a1,a2,…,a n,…,它们是一组平行线.这时a1,a2,…,a n,…与平面β都平行,但此时α∩β=l.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·温州高二检测)一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系是.【解析】当三点在另一个平面同侧时,这两个平面平行;当三点在另一个平面异侧时,这两个平面相交.答案:平行或相交【误区警示】解答本题容易漏掉“三点在平面的异侧”的情况,导致判断两个平面平行的错误.4.平面α∩β=c,直线a∥α,a与β相交,则a与c的位置关系是. 【解析】因为a∥α,c⊂α,所以a与c无公共点,不相交.若a∥c,则直线a∥β或a⊂β,这与“a与β相交”矛盾,所以a与c异面. 答案:异面三、解答题(每小题10分,共20分)5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为B1C1,A1D1的中点.求证:平面ABB1A1与平面CDFE相交.【解题指南】只需根据公理3,证明这两个平面有一个公共点即可.【证明】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为B1C1的中点,所以EC与B1B不平行,则延长CE与BB1必相交于一点H,所以H∈EC,H∈B1B,又知B1B⊂平面ABB1A1,CE⊂平面CDFE,所以H∈平面ABB1A1,H∈平面CDFE,故平面ABB1A1与平面CDFE相交.6.试画图说明三个平面可把空间分成几个部分?【解析】三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分.关闭Word文档返回原板块。
高中数学必修二：全册作业与测评课时提升作业(二十六) 4.2.1
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课时提升作业(二十六)直线与圆的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y2=1的位置关系是( )A.相切B.直线过圆心C.直线不过圆心但与圆相交D.相离【解析】选B.圆(x+1)2+y2=1的圆心为(-1,0),点(-1,0)在直线x-y+1=0上,故选B.【补偿训练】直线3x+4y-5=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交且直线不过圆心D.相交且直线过圆心【解析】选D.圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的圆心为,圆心到直线3x+4y-5=0的距离为d==0,所以直线与圆相交且直线过圆心.2.若直线3x+4y+k=0与圆x2+y2-6x+5=0相切,则k的值等于( )A.1或-19B.10或-1C.-1或-19D.-1或19【解析】选A.x2+y2-6x+5=0的圆心为(3,0),半径r=2,由题意得圆心到直线的距离d==2,解得k=-19或1.3.点M(x0,y0)是圆x2+y2=a2(a>0)内不为圆心的一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是( )A.相切B.相交C.相离D.相切或相交【解析】选C.M在圆内,且不为圆心,则0<+< a2,则圆心到直线x0x+y0y=a2的距离为d=>=a,所以相离.4.(2015·广东高考)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )A.2x-y+=0或2x-y-=0B.2x+y+=0或2x+y-=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x+y+5=0或2x+y-5=0【解析】选D.设所求切线方程为2x+y+c=0,依题有=,解得c=±5,所以所求的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.【补偿训练】过点P(2,3)引圆x2+y2-2x+4y+4=0的切线,其方程是( )A.x=2B.12x-5y+9=0C.5x-12y+26=0D.x=2和12x-5y-9=0【解析】选D.点P在圆外,故过P必有两条切线,所以选D.5.在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长等于( )A.3B.2C.D.1【解析】选B.圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线3x+4y-5=0的距离为d==1.所以=2=2=2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·遵义高一检测)已知直线5x+12y+m=0与圆x2-2x+y2=0相切,则m= .【解析】由题意,得圆心C(1,0),半径r=1,则=1,解得m=8或-18.答案:8或-18【延伸探究】若本题中直线与圆相交,如何求m的范围?【解析】由题意,得圆心C(1,0),半径r=1,则<1,解得-18<m<8.7.过点G(0,1)的直线与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则|AB|的最小值为.【解析】当圆心到直线距离最大时,弦长最短,易知当圆心与定点G(0,1)的连线与直线AB垂直时,圆心到直线AB的距离取得最大值,即d==1,此时弦长最短,即≥=⇒|AB|≥2.故|AB|的最小值为2.答案:28.由直线y=x+1上的点向圆C:x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为.【解析】直线y=x+1上点P(x0,y0)到圆心C的距离与切线长d满足d====≥.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·许昌高一检测)已知点P(x,y)是圆C:(x+2)2+y2=1上任意一点.求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值.【解析】圆心C(-2,0)到直线3x+4y+12=0的距离为d==.所以P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=+1=,最小值为d-r=-1=.10.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切.(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=2时,求直线l的方程.【解析】将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有=2.解得a=-.(2)过圆心C作CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,得解得a=-7或a=-1.故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.【拓展延伸】数形结合思想方法的应用数形结合是一种重要的解题思想方法,直线和圆的方程将数(方程)与形(直线或圆)有机地结合起来,因此常用直线与圆的图形解决一些代数问题.【补偿训练】求与直线x+2y-1=0切于点A(1,0),且过点B(2,-3)的圆的方程.【解析】设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心O的坐标为(a,b),半径为r.由直线x+2y-1=0与圆O相切,可得直线AO与x+2y-1=0垂直.因为x+2y-1=0的斜率为-,所以直线AO的斜率。
【最新】高中数学必修二：全册作业与测评课时提升作业(三)
课时提升作业(三)中心投影与平行投影空间几何体的三视图(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( )A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆台【解析】选D.由俯视图可排除A,B,由正视图可排除C,故选D.【补偿训练】如图所示的是一个立体图形的三视图,此立体图形的名称为( )A.圆锥B.圆柱C.长方体D.圆台【解析】选 B.由俯视图可知几何体的上、下底面是全等的圆,结合正视图和侧视图,可知其为圆柱.2.(2015·汕头高一检测)一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( )【解析】选 C.本题中给出了正视图与侧视图,故可以根据正视图与俯视图长对正,侧视图与俯视图宽相等来找出正确选项.A中的视图满足三视图的作法规则;B中的视图满足三视图的作法规则;C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等,故其为错误选项;D中的视图满足三视图的作法规则.二、填空题(每小题5分,共10分)3.如图所示的几何体中,正视图与侧视图都是长方形的是.【解析】②的侧视图是三角形,⑤的正视图和侧视图都是等腰梯形,其余的都符合条件.答案:①③④4.(2015·深圳高一检测)一物体及其正视图如图:则它的侧视图与俯视图分别是图形中的.【解析】侧视图是矩形中间有条实线,应选③;俯视图为矩形中间两条实线,且为上下方向,应选②.答案:③②【补偿训练】如图,图(1)、(2)、(3)是图(4)表示的几何体的三视图,其中图(1)是,图(2)是,图(3)是(说出视图名称).【解析】由几何体的位置知,(1)为正视图,(2)为侧视图,(3)为俯视图.答案:正视图侧视图俯视图三、解答题5.(10分)如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的.(1)判断该几何体是否为棱柱.(2)画出它的三视图.【解析】(1)是棱柱.因为该几何体的前、后两个面互相平行,其余各面都是矩形,而且相邻矩形的公共边都互相平行.(2)该几何体的三视图如图:(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·洛阳高二检测)如图所示,画出四面体AB1CD1三视图中的正视图,以面AA1D1D为投影面,则得到的正视图可以为( )【解题指南】依次确定四面体AB1CD1的每一条棱在面AA1D1D上的投影即可. 【解析】选A.显然AB1,AC,B1D1,CD1分别投影得到正视图的外轮廓,B1C为可见实线,AD1为不可见虚线.故A正确.【补偿训练】下列命题:①如果一个几何体的三视图是完全相同的,则这个几何体是正方体;②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形,则这个几何体是长方体;③如果一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体;④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形,则这个几何体是圆台.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选 B.①错误,也可以是球;②错误,也可以是横放的圆柱;③正确;④错误,也可以是棱台.2.一个不透明圆锥体的正视图和侧视图为两全等的正三角形.若将它倒立放在桌面上,则该圆锥体在桌面上从垂直位置倒放到水平位置的过程中(含起始位置和最终位置),其在水平桌面上的正投影不可能是( )【解析】选 C.观察四个选项,知该圆锥体在桌面上从垂直位置倒放到水平位置的过程中(含起始位置和最终位置),它在水平桌面上正投影不可能是C,因为圆锥要出现投影是半圆的话,投影圆直径和实物直径是一样长的.当它向水平倾斜的时候,如果看成是一个正三角形的话,只有在三角形完全水平的时候才会出现三边投影一样长,而圆锥是不可能达到这种情况的.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·镇江高一检测)如图,正方形ABCD的边长为3 cm,以直线AB为轴,将正方形旋转一周,所得几何体的正视图的周长是cm.【解题指南】将正方形旋转一周,所得几何体是圆柱体,正视图是圆柱的轴截面. 【解析】正方形旋转一周,所得几何体是圆柱,正视图是矩形,矩形的长是6 cm,宽是3 cm.因此,所得几何体的正视图的周长为6+6+3+3=18(cm).答案:184.(2015·贵阳高二检测)若一个正三棱柱(底面为正三角形,侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示,则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为、.【解析】侧视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长,尺寸2为俯视图正三角形的高,所以正三棱柱的底面边长为4.答案:2 4三、解答题5.(10分)如图是一个棱柱的三视图,请根据三视图的作图原则,求出x,y的值.【解题指南】正视图所看到的是棱柱的高和长,侧视图所看到的是棱柱的高和宽,俯视图所看到的是棱柱的宽和长,从而列出方程组.【解析】棱柱的底面是一个直角三角形,根据“长对正,高平齐,宽相等”的原则可知两直角边分别为x+y-2(或8)和x-y+5(或3y),则即解得,x=7,y=3.关闭Word文档返回原板块。
2019高中数学必修二：全册作业与测评课时提升作业(四).doc
课时提升作业(四)空间几何体的直观图(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.如图,已知等腰三角形ABC,则如图所示的四个图中,可能是△ABC的直观图的是( )A.①②B.②③C.②④D.③④【解析】选D.原等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,③④两图可以是△ABC的直观图.2.如图,△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( )A.ABB.ACC.BCD.AD【解析】选B.由直观图可知△ABC是以∠B为直角的三角形,所以斜边AC最长.【补偿训练】AB=2CD,AB∥x轴,CD∥y轴,已知在直观图中,AB的直观图是A′B′,CD的直观图是C′D′,则( )A.A′B′=2C′D′B.A′B′=C′D′C.A′B′=4C′D′D.A′B′=错误！未找到引用源。
C′D′【解析】选C.因为AB∥x轴,CD∥y轴,所以AB=A′B′,CD=2C′D′,故A′B′=4C′D′.3.(2015·温州高二检测)如图Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图,若O′B′=错误！未找到引用源。
,则这个平面图形的面积是( )A.1B.错误！未找到引用源。
C.2错误！未找到引用源。
D.4错误！未找到引用源。
【解析】选C.由已知中Rt△O′A′B′,直角边O′B′=错误！未找到引用源。
,则Rt△O′A′B′的面积S=1,由原图的面积与直观图面积之比为1∶错误！未找到引用源。
,可得原图形的面积为2错误！未找到引用源。
.二、填空题(每小题4分,共8分)4.斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′,则点M′的坐标为.【解析】在x′轴的正方向上取点M1,使O′M1=4,在y′轴上取点M2,使O′M2=2,过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线,则交点就是M′.答案:(4,2)5.(2015·蚌埠高一检测)如图所示,水平放置的△ABC在坐标系中的直观图,其中D′是A′C′的中点,且∠ACB≠30°,则原图形中与线段BD的长相等的线段有条.【解析】△ABC为直角三角形,因为D为AC中点,所以BD=AD=CD.所以与BD 的长相等的线段有2条.答案:2三、解答题6.(10分)如图,已知某几何体的三视图如图(单位:cm).画出这个几何体的直观图(不要求写画法).【解析】由该几何体的三视图可知,此几何体是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的组合体,其直观图如图所示.【延伸探究】由几何体的三视图画直观图的方法(1)要认清几何体的形状与大小,这是解决此类问题的关键.(2)按斜二测画法的规则及步骤作出直观图.(3)对于复杂的组合体,有时需要建立多个辅助坐标系,这时只要逐个解决即可.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·济南高一检测)水平放置的△ABC有一边在水平线上,它的斜二测直观图是正△A′B′C′,则△ABC为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能【解析】选C.用斜二测画法,原图的直角变成45°,直观图中的正△A′B′C′的角度是60°,60°>45°.所以原图是钝角三角形.2.(2015·开封高二检测)已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A.2 cmB.3 cmC.2.5 cmD.5 cm【解题指南】空间图形的直观图中,与z轴平行的线段的长度保持不变. 【解析】选 D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间的距离为2+3=5(cm),在直观图中与z轴平行的线段长度不变,仍为5cm.【补偿训练】水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A′C′=3, B′C′=2,则AB边上的中线的实际长度为.【解析】由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC=A′C′=3,BC=2B′C′=4,计算得AB=5,所求中线长为2.5.答案:2.5二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·广州高二检测)如图所示,正方形O′A′B′C′的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是.【解析】原图形如图.OABC为平行四边形,OA=1,AB=错误！未找到引用源。
2019届(北师大版)数学必修二课时作业：1.2直观图(含答案)
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课时提升作业(二)直观图一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·绍兴高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1的直观图中，底面ABCD的直观图一定是( )A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形【解析】选D.底面ABCD是正方形，在直观图中角与边的长度会改变，但对边的平行性不变，一定是平行四边形.2.(2014·亳州高一检测)如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )【解析】选C.直观图中有一条边与y′轴平行，两条边与x′轴平行，所以该图形为直角梯形.3. (2014·锦州高一检测)如图，△ABC的斜二测直观图为等腰Rt△A′B′C′，其中A′B′=2，则△ABC的面积为( )A.2B.4C.2D.4【解题指南】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且直角边长是2，求出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2倍，得到结果.【解析】选D.因为等腰Rt△C′A′B′是一平面图形的直观图，直角边长为A′B′=2，所以直角三角形的面积是×2×2=2，因为平面图形与直观图的面积的比为2∶1，所以原平面图形的面积是2×2=4.4.水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形【解析】选C.直观图是正三角形，三角形的底角为60°，大于45°，原图中有一个角大于90°，是钝角三角形.5.(2014·榆林高一检测)如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )【解析】选A.直观图中正方形的边长为1，故对角线长为，所以在原图中一对角线的长为2.【举一反三】本例条件不变，则原图的周长为__________.【解析】原图中一条边长为1，另一条边长为=3，故周长为(1+3)×2=8.答案：86.(2014·银川高一检测)如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′=2，则△AOB的边OB上的高为( )A.2B.4C.2D.4【解析】选D.因为直观图与原图形中边OB长度不变，S原图形=2S直观图，所以有·OB·h=2××2·O′B′，所以h=4.7.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5m，10 m，四棱锥的高为8m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为______________.【解析】根据斜二测画法规则求解.答案：4cm，0.5cm，2cm，1.6cm8.(2014·聊城高一检测)已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为______________.【解析】圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2+3=5(cm).在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5cm.答案：5cm9.已知△ABC的水平放置的直观图是等腰的Rt△A′B′C′，且∠A′=90°，A′B′=(如图)，则△ABC的面积是________.【解析】根据斜二测画法的规则，画出△ABC，如图所示，其中BC=B′C′=2，AB=2A′B′=2，∠ABC=90°，所以S△ABC=×2×2=2.答案：210.(2014·济宁高一检测)用斜二测画法作出长为4，宽为3的矩形的直观图. 【解析】画法：(1)如图①在已知矩形ABCD中，取AB，AD所在边为x轴、y 轴，相交于O点(O与A重合)；画对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′=45°，如图②.(2)在x′轴上取点A′(A′与O′重合)，B′使A′B′=AB，在y′轴上取D′，使A′D′=AD，过D′作D′C′平行于x′轴，且等于A′B′的长.(3)去掉辅助线，连接C′B′所得四边形A′B′C′D′就是矩形ABCD的直观图.11.(2014·丽水高一检测)有一棱柱，其底面为边长为3cm的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4cm，试画出此棱柱的直观图.【解析】(1)画轴.如图(1)所示，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy= 45°，∠xOz=90°.(2)画底面.以点O为中点，在x轴上画MN=3cm，在y轴上画PQ=cm，分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱柱的底面.(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，A′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到棱柱的直观图，如图(2)所示.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·佛山高一检测)下列说法正确的是( )A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B.梯形的直观图可能是平行四边形C.矩形的直观图可能是梯形D.正方形的直观图是平行四边形【解析】选D.对于A.若两条直线中一条平行于x轴，一条平行于y轴，则直观图中两直线的夹角为45°，故A错，原图中平行的线段在直观图中也平行，故B，C错.2.(2014·北京高一检测)一个三角形在其直观图中对应一个边长为4的正三角形，则原三角形的面积为( )A.8B.8C.4D.4【解题指南】利用直观图面积与原图面积比为∶4解答.【解析】选A.S直观图=×4×4×=4.由=，得S原图=8.【变式训练】若一个正三角形的边长为4，则其直观图的面积为________. 【解析】S原图=×4×4×=4，由=，得S直观图=4×=.答案：3.如图，矩形A′B′C′D′是水平放置的图形ABCD的直观图，其中A′B′=6，A′D′=2，则图形ABCD为( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【解析】选C.将直观图还原如图所示，AB=A′B′=6，AE=2A′E′=4，DE=D′E′=2，DC=6，则在Rt△ADE中，AD==6，所以四边形ABCD为菱形.【误区警示】本题学生易由于只看到AB CD，忘了判断AD与AB的关系得四边形ABCD为平行四边形而出错.4.(2014·宿州高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC=45°，AB=AD=1，OC⊥DC，原平面图形的面积为( )A.1+B.2+C.2+D.1+【解题指南】解答本题的关键是求原梯形的高，下底边长，故应过A作AE⊥BC 于E.【解析】选C.过A作AE⊥BC，垂足为E，由题意知DC∥AE，AD∥EC，所以四边形ADCE为矩形.所以EC=AD=1，由∠ABC=45°，AB=AD=1知BE=，所以原平面图形是梯形且上下两底长分别为1和1+，高为2，所以原平面图形的面积为××2=2+.二、填空题(每小题4分，共12分)5.(2014·蚌埠高二检测)△ABC的面积为10，以它的一边所在直线为x轴画直观图后，其直观图的面积为__________.【解析】如图所示为△ABC的原图形和直观图.作A′D′⊥B′C′于D′，则A′D′为直观图B′C′边上的高，易求得A′D′=AO，所以S△A′B′C′=S△ABC=×10=.答案：6.如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是________.【解题指南】可大致画出其直观图进行判断，首先由三角形形状进行直观判断，形状确定后可求出相应角度、长度判断.【解析】根据斜二测画法知在(1)(2)(4)中，正三角形的顶点A，B都在x轴上，点C由AB边上的高线确定，所得直观图是全等的；对于(3)，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的边长，但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等.答案：(3)三、解答题 (每小题12分，共24分)7.如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出它的直观图.【解析】画法：(1)以AB边所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，两轴相交于点O(如图(1))，画相应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°(如图(2)).(2)在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上截取A′B′=AB；分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′=AE，B′C′=BC；在y′轴上截取O′D′=OD.(3)连接E′D′，D′C′，C′E′，并擦去辅助线x′轴和y′轴以及O′点，便得到平面图形水平放置的直观图(如图(3)).8.画出一个正四棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为6cm，8cm，高为4cm的正四棱台).【解题指南】先画出上、下底面(正方形)的直观图，然后画出整个正四棱台的直观图.【解析】(1)画下底面，画x轴，y轴，使∠xOy=45°，以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF=8cm.在y轴上取线段GH，使得GH=EF，GH的中点为O，再过G，H分别作AB∥EF，CD∥EF，AB=EF=CD=8cm，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面的直观图.(2)画z轴.三轴相交于点O，使z轴与x轴成90°.(3)画上底面，在z轴上截取线段OO1=4cm，过O1点作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，则∠x′O1y′=45°.建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中画出上底面的直观图A1B1C1D1.(4)再连接AA1，BB1，CC1，DD1，并擦去辅助线及相关点，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(图②).关闭Word文档返回原板块。
人教A版2019必修二第4章《圆与方程》课时作业与单元检测(含答案)章末检测(A)
人教版高中数学必修精品教学资料第四章 章末检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于y 轴对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝52．方程y ＝－25－x 2表示的曲线( )A ．一条射线B ．一个圆C ．两条射线D ．半个圆3．两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离4．以点P (2,－3)为圆心,并且与y 轴相切的圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝4B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝9C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝4D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝95．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0,则过点P (1,2)的最短弦所在直线l 的方程是( )A ．3x ＋2y －7＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x －2y －3＝0D ．x －2y ＋3＝06．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位,所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切,则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或117．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称,则k 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．38．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2),则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．5B ．10C ．252D ．2549．空间直角坐标系中,点A (－3,4,0)和B (x ,－1,6)的距离为86,则x 的值为( )A ．2B ．－8C ．2或－8D ．8或－210．与圆C ：x 2＋(y ＋5)2＝9相切,且在x 轴与y 轴上的截距都相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条11．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ,F 两点,则△EOF (O 是原点)的面积为( )A ．32B ．34C ．2 5D ．65512．从直线x －y ＋3＝0上的点向圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0引切线,则切线长的最小值为( )A ．322B ．142C ．324D ．322－1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．在空间直角坐标系Oxyz 中,点B 是点A (1,2,3)在坐标平面yOz 内的正射影,则OB ＝______．14．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程是______________．15．若x ∈R ,y 有意义且满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0,则y x的最大值为________． 16．对于任意实数k ,直线(3k ＋2)x －ky －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是________．三、解答题(本大题共6小题,共70分)17．(10分)已知一个圆和直线l ：x ＋2y －3＝0相切于点P (1,1),且半径为5,求这个圆的方程．18．(12分)求圆心在直线y ＝－4x 上,且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3,－2)的圆的方程．19．(12分)圆x 2＋y 2＝8内有一点P (－1,2),AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝3π4时,求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时,写出直线AB 的方程．20．(12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上,且与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22,求圆的方程．21．(12分)求与两平行直线x＋3y－5＝0和x＋3y－3＝0相切,圆心在2x＋y＋3＝0上的圆的方程．22．(12分)已知坐标平面上点M(x,y)与两个定点M1(26,1),M2(2,1)的距离之比等于5．(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为C,过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8,求直线l的方程．第四章 圆与方程(A)答案1．A [(x ,y )关于y 轴的对称点坐标(－x ,y ),则得(－x ＋2)2＋y 2＝5．]2．D [化简整理后为方程x 2＋y 2＝25,但还需注意y ≤0的隐含条件．]3．B [将两圆化成标准方程分别为x 2＋y 2＝1,(x －2)2＋(y ＋1)2＝9,可知圆心距d ＝5,由于2<d <4,所以两圆相交．]4．C [圆心为(2,－3),半径为2,故方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝4．]5．D [化成标准方程(x －2)2＋y 2＝9,过点P (1,2)的最短弦所在直线l 应与PC 垂直,故有k l ·k PC ＝－1,由k PC ＝－2得k l ＝12,进而得直线l 的方程为x －2y ＋3＝0．] 6．A [直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位得2x －y ＋λ＋2＝0,圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为C (－1,2),r ＝5,d ＝|－2＋λ|5＝5,λ＝－3,或λ＝7．] 7．A [将两方程联立消去y 后得(k 2＋1)x 2＋2kx －9＝0,由题意此方程两根之和为0,故k ＝0．]8．D [因为点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上,故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5,令x ＝0得y ＝52． 令y ＝0得x ＝5,故S △＝12×52×5＝254．] 9．C [由距离公式得(x ＋3)2＋52＋62＝86,解得x ＝2或－8．]10．D [依题意画图如图所示,可得有4条．]11．D [弦长为4,S ＝12×4×35＝655．] 12．B [当圆心到直线距离最短时,可得此时切线长最短．d ＝322,切线长＝⎝⎛⎭⎫3222－12＝142．] 13．13解析 易知点B 坐标为(0,2,3),故OB ＝13．14．x －2y －1＝0(x ≠1)解析 圆心为(2m ＋1,m ),r ＝|m |,(m ≠0),令x ＝2m ＋1,y ＝m 消去m 即得方程． 15． 3解析 x 2＋y 2－4x ＋1＝0(y ≥0)表示的图形是位于x 轴上方的半圆,而y x的最大值是半圆上的点和原点连线斜率的最大值,结合图形易求得最大值为3．16．相切或相交解析 直线恒过(1,3),而(1,3)在圆上．17．解 设圆心坐标为C (a ,b ),则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25．∵点P (1,1)在圆上,∴(1－a )2＋(1－b )2＝25．又∵CP ⊥l ,∴b －1a －1＝2, 即b －1＝2(a －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝2(a －1)，(a －1)2＋(b －1)2＝25， 得⎩⎨⎧ a ＝1＋5，b ＝1＋25，或⎩⎨⎧ a ＝1－5，b ＝1－2 5.故所求圆的方程是(x －1－5)2＋(y －1－25)2＝25或(x －1＋5)2＋(y －1＋25)2＝25．18．解 由于过P (3,－2)垂直于切线的直线必定过圆心,故该直线的方程为 x －y －5＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －5＝0，y ＝－4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4， 故圆心为(1,－4),r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22,∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8． 19．解 (1)∵α＝3π4,k ＝tan 3π4＝－1,AB 过点P , ∴AB 的方程为y ＝－x ＋1．代入x 2＋y 2＝8,得2x 2－2x －7＝0,|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝30．(2)∵P 为AB 中点,∴OP ⊥AB ．∵k OP ＝－2,∴k AB ＝12． ∴AB 的方程为x －2y ＋5＝0．20．解 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2,∵圆上的点A (2,3)关于x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上,∴圆心(a ,b )在直线x ＋2y ＝0上, 即a ＋2b ＝0．①圆被直线x －y ＋1＝0截得的弦长为22,∴⎝⎛⎭⎪⎫|a －b ＋1|22＋(2)2＝r 2．② 由点A (2,3)在圆上得(2－a )2＋(3－b )2＝r 2．③由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.∴圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244．21．解 设所求圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． 由题意知,两平行线间距离d ＝|5－3|10＝210, 且(a ,b )到两平行线x ＋3y －5＝0和x ＋3y －3＝0的距离相等,即|a ＋3b －5|10＝|a ＋3b －3|10,∴a ＋3b －5＝－(a ＋3b －3)或a ＋3b －5＝a ＋3b －3(舍)． ∴a ＋3b －4＝0．①又圆心(a ,b )在2x ＋y ＋3＝0上,∴2a ＋b ＋3＝0．②由①②得a ＝－135,b ＝115． 又r ＝12d ＝110． 所以,所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋1352＋⎝⎛⎭⎫y －1152＝110． 22．解 (1)由题意,得|M 1M ||M 2M |＝5． (x －26)2＋(y －1)2(x －2)2＋(y －1)2＝5, 化简,得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0．即(x －1)2＋(y －1)2＝25．∴点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25,轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆．(2)当直线l 的斜率不存在时,l ：x ＝－2,此时所截得的线段的长为252－32＝8,∴l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y －3＝k (x ＋2),即kx －y ＋2k ＋3＝0,圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1, 由题意,得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52, 解得k ＝512． ∴直线l 的方程为512x －y ＋236＝0． 即5x －12y ＋46＝0．综上,直线l 的方程为x ＝－2,或5x －12y ＋46＝0．。
【最新】高中数学必修二：全册作业与测评课时提升作业(十六)
课时提升作业(十六)平面与平面垂直的性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.平面α⊥平面β,直线a∥α,则( )A.a⊥βB.a∥βC.a与β相交D.以上都有可能【解析】选 D.因为a∥α,平面α⊥平面β,所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能.2.已知三个平面α,β,γ,若β⊥γ,且α与γ相交但不垂直,则( )A.存在a?α,a⊥γB.存在a?α,a∥γC.任意b?β,b⊥γD.任意b?β,b∥γ【解析】选 B.因为三个平面α,β,γ,若β⊥γ,且α与γ相交但不垂直,则可知存在a?α,a∥γ.3.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n?α,要使n⊥β,则应增加的条件是( )A.m∥nB.n⊥mC.n∥αD.n⊥α【解析】选B.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n?α,应增加的条件n⊥m,才能使得n⊥β.4.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β【解析】选 D.如图,AB∥l∥m,AC⊥l,m∥l?AC⊥m,AB∥l?AB∥β.5.(2015·郑州高一检测)已知平面α,β,γ,则下列命题中正确的是( )A.α⊥β,β⊥γ,则α∥γB.α∥β,β⊥γ,则α⊥γC.α∩β=a,β∩γ=b,α⊥β,β⊥γ,则a⊥bD.α⊥β,α∩β=a,a⊥b,则b⊥α【解析】选B.A中α,γ可以相交;C中如图:a与b不一定垂直;D中b仅垂直于α的一条直线a,不能判定b⊥α.二、填空题(每小题5分,共15分)6.平面α⊥平面β,α∩β=l,n?β,n⊥l,直线m⊥α,则直线m与n的位置关系是.【解析】因为α⊥β,α∩β=l,n?β,n⊥l,所以n⊥α.又m⊥α,所以m∥n. 答案:平行7.(2015·太原高一检测)已知平面α,β,γ,直线l,m满足:α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,那么①m⊥β;②l⊥α;③β⊥γ;④α⊥β.由上述条件可推出的结论有.(请将你认为正确的结论的序号都填上)【解析】因为γ∩β=l,所以l?γ,因为α⊥γ,γ∩α=m,l⊥m,所以l⊥α,又l?β,所以α⊥β.由于β可以绕l转动,位置不定,所以m⊥β和β⊥γ不一定成立.即②④正确,①③错误.答案:②④【误区警示】应用面面垂直定理时,注意三点(1)两个平面垂直是前提条件.(2)直线必须在其中一个平面内.(3)直线必须垂直于它们的交线.8.(2015·大同高一检测)如图,空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是.【解析】过A作AO⊥BD于O点,因为平面ABD⊥平面BCD,所以AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.因为∠BAD=90°,AB=AD,所以∠ADO=45°.答案:45°三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·临沂高一检测)如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC⊥底面ABCD,求证:平面SCD⊥平面SBC.【证明】因为底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD.又平面SDC⊥平面ABCD,平面SDC∩平面ABCD=CD,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面SCD.又因为BC?平面SBC,所以平面SCD⊥平面SBC.【补偿训练】如图,α⊥β,α∩β=l,AB?α,AB⊥l,BC?β,DE?β,BC⊥DE.求证:AC⊥DE.【证明】因为α⊥β,α∩β=l,AB?α,AB⊥l,所以AB⊥β.因为DE?β,所以AB⊥DE.因为BC⊥DE,AB∩BC=B,所以DE⊥平面ABC.因为AC?平面ABC,所以AC⊥DE.10.如图,已知平面α⊥平面β,在α与β的交线上取线段AB=4cm,AC,BD分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=3cm,BD=12cm,求CD的长.【解析】连接BC.因为α⊥β,α∩β=AB,BD⊥AB,所以BD⊥平面α.因为BC?α,所以BD⊥BC,在Rt△BAC中,BC===5,在Rt△DBC中,CD===13,所以CD长为13cm.【补偿训练】已知在四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB=AD=1,SD=2,BC ⊥BD,AD⊥AB,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC.证明:(1)DE⊥平面SBC.(2)SE=2EB.【证明】(1)如图,因为SD⊥平面ABCD,故BC⊥SD,又BC⊥BD,所以BC⊥平面BDS,所以BC⊥DE.作BK⊥EC,K为垂足,由平面EDC⊥平面SBC,平面EDC∩平面SBC=EC,故BK⊥平面EDC.又DE?平面EDC,所以BK⊥DE.又因为BK?平面SBC,BC?平面SBC,BK∩BC=B,所以DE⊥平面SBC.(2)由(1)知DE⊥SB,DB==,所以SB===.在直角三角形SDB中,由等积法知SD·DB=SB·DE,所以DE==.EB==,SE=SB-EB=.所以SE=2EB.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为和.过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A′、B′,则AB∶A′B′等于( )A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶3【解析】选 A.如图,由已知得AA′⊥β,∠ABA′=,BB′⊥α,∠BAB′=,设AB=a,则BA′=a,BB′=a,在Rt△BA′B′中,A′B′=a,所以=.2.(2015·聊城高一检测)如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是( )A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点【解析】选 D.因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC?平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.又因为BC?平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°,所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,除去A和B两点.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·安庆高一检测)α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同的直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: .【解析】利用面面垂直的判定,可知①③④?②为真;利用面面垂直的性质,可知②③④?①为真.所以应填“若①③④则②”,或“若②③④则①”.答案:若①③④则②(或若②③④则①)4.(2015·合肥高一检测)如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为.【解析】因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD.所以平面ABC⊥平面BCD,因为AB⊥BD,AB∥CD,所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD,所以平面ACD⊥平面ABD,共3对.答案:3【延伸拓展】在垂直的判定定理和性质定理中,有很多限制条件,如“相交直线”“线在面内”“平面经过一直线”等.这些条件一方面有很强的约束性,另一方面又为证明指出了方向.在利用定理时,既要注意定理的严谨性,又要注意推理的规律性.三、解答题(每小题10分,共20分)5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA⊥PD,底面ABCD 是直角梯形,其中BC∥AD,∠BAD=90°,AD=3BC,O是AD上一点.(1)若CD∥平面PBO,试指出点O的位置.(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.【解析】(1)因为CD∥平面PBO,CD?平面ABCD,且平面ABCD∩平面PBO=BO,所以BO∥CD.又BC∥AD,所以四边形BCDO为平行四边形.则BC=DO,而AD=3BC,所以AD=3OD,即点O是靠近点D的线段AD上的一个三等分点.(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,AB?底面ABCD,且AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD,所以AB⊥PD.又PA⊥PD,且PA?平面PAB,AB?平面PAB,AB∩PA=A,所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.6.如图,已知V是△ABC所在平面外一点,VB⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VAC,求证:△ABC是直角三角形.【证明】过B作BD⊥VA于D,因为平面VAB⊥平面VAC,所以BD⊥平面VAC,所以BD⊥AC,又因为VB⊥平面ABC,所以VB⊥AC,VB∩BD=B,所以AC⊥平面VAB,所以AC⊥BA,即△ABC是直角三角形.【拓展延伸】垂直关系的知识总结线面垂直的关键,定义来证最常见;判定定理也常用,它的意义要记清;平面之内两直线,两线交于一个点;面外还有一条线,垂直两线是条件.面面垂直要证好,原有图中去寻找;若是这样还不好,辅助线面是个宝.先作交线的垂线,面面转为线和面;再证一步线和线,面面垂直即可见.借助辅助线和面,加的时候不能乱;以某性质为基础,不能主观凭臆断.判断线和面垂直,线垂面中两交线.两线垂直同一面,相互平行共伸展.两面垂直同一线,一面平行另一面.要让面和面垂直,面过另面一垂线.面面垂直成直角,线面垂直记心间.关闭Word文档返回原板块。
高中数学必修二：全册作业与测评课时提升作业(二十四) 4.1.1
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课时提升作业(二十四)圆的标准方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径分别为( )A.(-1,5),B.(1,-5),C.(-1,5),3D.(1,-5),3【解析】选B.由圆的标准方程可知,圆心为(1,-5),半径为.【补偿训练】以(2,-1)为圆心,4为半径的圆的方程为( )A.(x+2)2+(y-1)2=4B.(x+2)2+(y+1)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=16D.(x-2)2+(y-1)2=16【解析】选C.由题意知圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=16.2.(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2【解析】选D.半径r==,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.3.(2015·宁波高一检测)点与圆x2+y2=的位置关系是( )A.在圆上B.在圆内C.在圆外D.不能确定【解析】选C.将点的坐标代入圆方程,得+=1>,所以点在圆外.【补偿训练】已知以点A(2,-3)为圆心,半径长等于5的圆,则点M(5,-7)与圆的位置关系是( )A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.无法判断【解析】选B.点M(5,-7)到圆心A(2,-3)的距离为5,恰好等于半径长,故点在圆上.4.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是( )A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1【解析】选A.设圆心坐标(0,b),则由=1解得b=2,则圆的方程为x2+(y-2)2=1.【延伸探究】若将本题中的“过点(1,2)”改为“过点(-1,2)”,其他不变,又如何求解?【解析】设圆心坐标(0,b),则由=1解得b=2,则圆的方程为x2+(y-2)2=1.5.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+2)2=1D.(x+1)2+(y-2)2=1【解析】选A.圆心(-2,1)关于原点的对称点为C(2,-1),半径相等为r=1,所以圆C的方程是(x-2)2+(y+1)2=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是.【解析】由圆的标准方程可知,其半径为,周长为2π.答案:2π7.(2015·苏州高一检测)已知点P(1,-5),则该点与圆x2+y2=25的位置关系是.【解析】由于12+(-5)2=26>25,故点P(1,-5)在圆的外部.答案:在圆的外部【补偿训练】若原点在圆(x-1)2+(y+2)2=m的内部,则实数m的取值范围是.【解析】依题意,得1+4<m,所以m>5.答案:m>58.(2015·萍乡高一检测)当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程是.【解题指南】先将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0,从而求出定点的坐标,又知该圆的半径为,从而写出圆的标准方程.【解析】将直线方程整理为:(x+1)a-(x+y-1)=0,不论a取何实数,当x+1=0,即x=-1时,则有x+y-1=0,即-1+y-1=0,所以y=2,故直线(a-1)x-y+a+1=0不论a为何实数,恒过定点C(-1,2),则以C(-1,2)为圆心,为半径的圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.答案:(x+1)2+(y-2)2=5三、解答题(每小题10分,共20分)9.求圆(x+2)2+(y-6)2=1关于直线3x-4y+5=0的对称图形的方程.。
2019_2020学年高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积课时作业(含解析)新人教A版必修2
1.3.2 球的体积和表面积[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知两个球的半径之比为1：3，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．1：9 B ．1：27 C ．1：3 D ．1：1解析：设两球的半径分别为r 1，r 2，表面积分别为S 1，S 2， ∵r 1：r 2＝1：3，∴S 1：S 2＝4πr 21：4πr 22＝r 21：r 22＝1：9.故选A.答案：A2．[2019·安徽省合肥市检测]平面α截球O 所得截面圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D．63π 解析：球的半径R ＝12＋22＝3，所以球的体积V ＝43π×(3)3＝43π.答案：B3．两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则大球与小球的半径之差是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设大球半径为R ，小球半径为r ，所以⎩⎪⎨⎪⎧43πR 3＋43πr 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2r ＝1，所以R －r ＝2－1＝1.答案：A4．已知一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B．6π C ．4π D．π解析：设该正方体的棱长为a ，内切球的半径为r ，则a 3＝8，∴a ＝2，∴正方体的内切球直径为2，r ＝1，∴内切球的表面积S ＝4πr 2＝4π.答案：C5．半径为336π的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为( )A ．44B ．54C ．88D ．108解析：由题意知，球的半径R ＝336π，故球的体积为43πR 3＝43π·36π＝48，则长方体的高为48÷6÷4＝2，故长方体的表面积为2×(6×4＋4×2＋6×2)＝88.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，三棱锥P －ABC 的体积为________．解析：依题意有，三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·|PA |＝13×34×22×3＝ 3. 答案： 37．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________ cm.解析：设大铁球的半径为R cm ，由43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫823＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1023，得R 3＝216，得R ＝6.答案：68．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm ，深为1 cm 的空穴，则该球半径是________ cm ，表面积是________ cm 2.解析：设球心为O ，OC 是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D ，AB 为小圆D 的一条直径，设球的半径为R ，则OD ＝(R －1) cm ，则(R －1)2＋32＝R 2， 解之得R ＝5 cm ，所以该球表面积为S ＝4πR 2＝4π×52＝100π(cm 2)．答案：5 100π三、解答题(每小题10分，共20分)9．若三个球的表面积之比为1：4：9，求这三个球的体积之比． 解析：设三个球的半径分别为R 1，R 2，R 3， ∵三个球的表面积之比为1：4：9，∴4πR 21：4πR 22：4πR 23＝1：4：9，即R 21：R 22：R 23＝1：4：9，∴R 1：R 2：R 3＝1：2：3， ∴V 1：V 2：V 3＝43πR 31：43πR 32：43πR 33＝R 31：R 32：R 33＝1：8：27.10．已知球心O 到过球面上三点A ，B ，C 的截面的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ，求球的体积．解析：如图所示，设过A ，B ，C 三点的截面为圆O ′，连接OO ′，AO ，AO ′， 因为AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ， 所以O ′为正三角形ABC 的中心， 且AO ′＝33AB ＝ 3 cm. 设球的半径为R ，则OO ′＝12R .由球的截面性质，知△OO ′A 为直角三角形， 所以AO ′＝OA 2－OO ′2＝R 2－14R 2＝32R ，所以R ＝2 cm. 所以V 球＝43πR 3＝323π (cm 3)．[能力提升](20分钟，40分)11．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB.3π4C.π2 D.π4解析：设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4.故选B. 答案：B12．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球的表面积为________．解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x 、y 、z ，则由已知得⎩⎨⎧xy ＝3，yz ＝5，zx ＝15，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，z ＝5所以球的半径R ＝12x 2＋y 2＋z 2＝32.所以S 球＝4πR 2＝9π.答案：9π13．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解析：设正方体棱长为a ，三个球的半径依次为R 1，R 2，R 3，则有2R 1＝a ，R 1＝a2，2a＝2R 2，R 2＝22a ，3a ＝2R 3，R 3＝32a ，所以R 1：R 2：R 3＝1：2： 3.所以S 1：S 2：S 3＝R 21：R 22：R 23＝1：2：3. 即这三个球的表面积之比为1：2：3.14．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥内切球的体积．解析：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB 内接于圆O ，而圆O 1内切于△SAB . 设圆O 的半径为R ，则有43πR 3＝972π，所以R 3＝729，R ＝9， 所以SE ＝18.又因为SD ＝16，所以ED ＝2. 连接AE ，因为SE 是直径，所以SA ⊥AE ，SA 2＝SD ·SE ＝16×18＝288， 所以SA ＝12 2.因为AB ⊥SD ，所以AD 2＝SD ·DE ＝16×2＝32，AD ＝4 2. 所以S 圆锥侧＝π×42×122＝96π. (2)设内切球O 1的半径为r ，因为△SAB 的周长为2×(122＋42)＝322， 所以S △SAB ＝12r ×322＝12×82×16，所以r ＝4.所以内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π.。
2019-2020学年人教版高中数学必修二检测：第四章 圆与方程 课后提升作业 二十九 4.3.1 Word版含解析
温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 课后提升作业二十九
空间直角坐标系 (45分钟 70分) 一、选择题(每小题5分，共40分) 1.点P(0，1，4)位于 ( ) A.y轴上 B.x轴上 C.xOz平面内 D.yOz平面内 【解题指南】根据点P的横坐标、纵坐标、竖坐标的特点来判断. 【解析】选D.因为点P的横坐标为0，纵坐标与竖坐标不为0，所以点P位于yOz平面内. 2.在空间直角坐标系中，P(2，3，4)，Q(-2，-3，-4)两点的位置关系是 ( ) A.关于x轴对称 B.关于yOz平面对称 C.关于坐标原点对称 D.以上都不对 【解析】选C.三坐标均相反时，两点关于原点对称. 3.点P(2，-3，1)关于坐标原点的对称点是 ( ) A.(-2，-3，-1) B.(-2，3，-1) C.(2，-3，-1)D.(-2，3，1) 【解析】选B.点P(2，-3，1)关于坐标原点的对称点是(-2，3，-1). 4.已知点A(1，-3，4)，则点A关于y轴的对称点的坐标为 ( ) A.(-1，-3，-4) B.(-4，1，-3) C.(3，-1，-4) D.(4，-1，3) 【解析】选A.关于y轴的对称点的坐标的特点是横坐标、竖坐标是原来的相反数，纵坐标不变. 5.已知点A(-3，1，5)与点B(3，1，-5)，则AB的中点位于 ( ) A.y轴上 B.x轴上 C.xOy平面内 D.yOz平面内 【解析】选A.因为AB的中点为(0，1，0)，故AB的中点位于y轴上. 6.如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，棱长为1，|BP|=|BD′|，则P点的坐标为 ( )
A.B. C.D. 【解析】选D.连接BD，点P在xDy平面的射影落在BD上， 因为|BP|=|BD′|，所以Px=Py=，Pz=， 故P. 7.(2016·广州高一检测)在空间直角坐标系中，点P的坐标为(1，，)，过点P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标是 ( ) A.(0，，) B.(，0，) C.(，，0) D.(1，，) 【解题指南】过点P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q即为点P在平面yOz内的投影，故横坐标为零，纵坐标和竖坐标与点P的一致. 【解析】选A.过点P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q即为点P在平面yOz内的投影，此时横坐标为零，纵坐标和竖坐标与点P的相等，故Q的坐标是(0，，). 8.(2016·济南高一检测)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2).给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为 ( )
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课时提升作业(一)
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列几何体中棱柱有 ( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【解析】选D.由棱柱的三个结构特征知,①③为棱柱.
2.(2015·吉林高二检测)下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是 ( )
【解析】选D. A,B,C中底面多边形的边数与侧面数不相等.故符合条件的是D.
【补偿训练】下列图形中,不能折成三棱柱的是 ( )
【解析】选C.C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱.其他各项均能折成
三棱柱.
3.(2015·长春高二检测)有两个面平行的多面体不可能是 ( )
A.棱柱 B.棱锥
C.棱台 D.长方体
【解析】选B.棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不可能是棱
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锥.
【补偿训练】(2015·青岛高一检测)棱台不具有的性质是 ( )
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱长都相等
D.侧棱延长后交于一点
【解析】选C.棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的,所以两底面相似,
侧棱延长后交于一点,侧面都是梯形,故A,B,D选项都正确.
【拓展延伸】棱台定义的应用
(1)为保证侧棱延长后交于一点,可以先画棱锥再画棱台.
(2)如果解棱台问题遇到困难,可以将它还原为棱锥去看,因为它是由棱锥截来
的.
(3)可以利用两底是相似多边形进行有关推算.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.(2015·深圳高一检测)如图,正方形ABCD中,E,F分别为CD,BC的中点,沿
AE,AF,EF将其折成一个多面体,则此多面体是 .
【解析】此多面体由四个面构成,故为三棱锥,也是四面体.
答案:三棱锥(四面体)
5.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60cm,则每条侧棱长为 cm.
【解析】是五棱柱,侧棱长相等,为60÷5=12(cm).
答案:12
【补偿训练】多面体最少有几个面,几个顶点,几条棱?
【解析】多面体最少有4个面,4个顶点,6条棱(即三棱锥).
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三、解答题
6.(10分)试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空
间几何体,并且用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥.
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.
(3)三棱柱.
【解题指南】(1)根据正方体的棱相等,面对角线都相等,可连对角线得到.(2)根
据正方体的特征,只能由对角线连接而成.(3)根据棱柱底面平行可在相邻侧面
上画平行线截得.
【解析】(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).
(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).
(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).
(15分钟 30分)
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一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·日照高一检测)如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个
小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是 ( )
A.棱柱 B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体 D.不能确定
【解析】选A.长方体水槽固定底面一边后倾斜,水槽中的水形成的几何体始终有
两个互相平行的平面,而其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边
互相平行,这符合棱柱的定义.
2.(2015·天津高一检测)一个棱柱的底面是正六边形,侧面都是正方形,用至少
过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱,所得截
面的形状不可以是 ( )
A.等腰三角形 B.等腰梯形
C.五边形 D.正六边形
【解析】选D.如图,由图可知,截面ABC为等腰三角形,选项A
可能,截面ABEF为等腰梯形,选项B可能,
截面ADE为五边形,选项C有可能,
选项D不可能.
【补偿训练】(2015·嘉兴高一检测)如图都是正方体的表面
展开图,还原成正方体后,其中两个完全一样的是 ( )
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A.(1)(2) B.(2)(3)
C.(3)(4) D.(1)(4)
【解题指南】让其中一个正方形不动,其余各面沿这个正方形的各边折起,进行
想象后判断.
【解析】选B.在图(2)、(3)中,⑤不动,把图形折起,则②⑤为对面,①④为对面,
③⑥为对面,故图(2)、(3)完全一样,而(1)、(4)则不同.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·成都高二检测)以三棱台的顶点为三棱锥的顶点,这样可以把一个三棱
台分成 个三棱锥.
【解题指南】在原棱台中适当添加辅助线是正确分割此几何体的关键.
【解析】如图所示,在三棱台ABC-A1B1C1中,分别连接A1B,A1C,BC1,则将三棱台分
成3个三棱锥,即三棱锥A-A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.
答案:3
4.(2015·北京高一检测)一个正方体的六个面上分别标有字母A,B,C,D,E,F,如
图是此正方体的两种不同放置,则与D面相对的面上的字母是 .
【解析】由此正方体的两种不同放置可知:与C相对的是F,因此D与B相对.
答案:B
三、解答题
5.(10分)根据如图所示的几何体的表面展开图,画出立体图形.
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【解题指南】把图中相同的点重合,沿虚线折叠成立体图形.
【解析】图1是以ABCD为底面,P为顶点的四棱锥.
图2是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱.
其图形如图所示.
【拓展延伸】解多面体的表面展开图问题的关键
解多面体的表面展开图问题的关键是弄清楚展开图与原图的关系.由展开图还
原为空间图形时,可以固定其中一个面(如棱柱、棱锥的底面),翻折其他面.另外,
动手做模型进行实际操作也是很好的方法.
【补偿训练】长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从点A出发沿
表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线.
【解析】沿长方体的一条棱剪开,使A和C1展在同一平面上,求线段AC1的长即可,
有如图所示的三种剪法:
(1)若将C1D1剪开,使面AB1与面A1C1共面,可求得
AC1=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
(2)若将AD剪开,使面AC与面BC1共面,可求得
AC1=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
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(3)若将CC1剪开,使面BC1与面AB1共面,可求得
AC1=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为错误！未找到引用源。.
【拓展延伸】空间几何体中的最短路线问题的解法
空间几何体中的最短路线问题通常是以“平面内连接两点的线中,线段最短”为
原则引出来的,解题策略通常是用“转化的方法”,应用侧面展开图把空间图形
展开成平面图形,从而把空间问题归为平面问题.
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