《导数》单元练习题- 教师版

《导数》单元练习题 一、选择题：(满分10×5=50分，每小题只有一个正确选项) 1.设曲线11xyx在点(3，2)处的切线与直线axy10垂直，则a= ( )

A.2 B. 12 C.―12 D. ―2 【答案】D 【解析】试题分析：因为11xyx，22(1)(1)2'(1)(1)xxyxx，所以，曲线11xyx在点(3，2)处的切线斜率为33221'||(1)2xxyx，又切线与直线10axy垂直，所以a=-2. 2.若曲线f(x)＝lnx＋ax存在与直线2x-y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞，2] B.(-∞，2) C.(2，＋∞) D.(0，＋∞) 【答案】B 3.已知函数f(x)的导函数为)(xf, 且满足xefxxfln)(2)(,则)(ef = ( ) A. 1 B. -1 C.-e-1 D. –e 【答案】C

4.等差数列na中的1a、4025a是函数321f(x)x4x6x13的极值点，则22013loga ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

5.已知函数f(x)x(lnxax)有两个极值点，则实数a的取值范围是 ( ) A.(,0) B.1(0,)2 C.(0,1) D.(0,) 【答案】B 6.已知函数()fx的导函数图象如图所示，若ΔABC为锐角三角形，则一定成立的是 ( ) A.(cos)(cos)fAfB B.(sin)(cos)fAfB C.(sin)(sin)fAfB D.(sin)(cos)fAfB 1x

y O  7.若函数f(x)＝x2＋ax＋1x 在 12，＋∞ 是增函数，则a的取值范围 ( ) A.[-1，0] B.[-1，＋∞) C.[0，3] D.[3，＋∞) [解析] f′(x)＝2x＋a-1x2≥0在12，＋∞上恒成立，即a≥1x2-2x在12 ，＋∞上恒成立，由于y＝1x2

-2x在12，＋∞上单调递减，所以y<3，故只要a≥3. D 8.已知函数()yfx对任意的(,)22x满足'()cos()sin0fxxfxx(其中'()fx是函数()fx的导函数)，则下列不等式成立的是 ( ) A.，1 B.2()()34ff C.(0)2()3ff D.(0)2()4ff

9.设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝exx，f(2)＝e28，则x>0时，f(x) ( ) A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 [解析] 因为函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝[x2·f(x)]′＝exx，所以当x>0时，[]x2·f（x）′＝exx>0，令函数g(x)＝x2·f(x)，所以g(x)在x>0时递增.由f(2)＝e28，得g(2)＝e22.又f(x)＝g（x）x2，所以f′(x)＝g′（x）·x2－g（x）·（2x）x4＝x·g′（x）－2g（x）x3＝ex－2g（x）x3，x>0.令h(x)＝ex-2g(x)，则h′(x)＝ex1－2x，故当x∈(0，2)时，h′(x) <0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(2)＝e2-2g(2)＝0.所以f′(x)＝ex－2g（x）x3≥0，故f(x)在(0，∞)单调递增.所以当x∈(0，＋∞)时，f(x)即无极大值也无极小值.选D. 10.函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2，对任意x∈R，f '(x)＞2，则f(x)＞2x+4的解集为( ) A.(-1，1) B.(-1，+) C.(-，-1) D.(-，+)答案： B 解析：设g(x)= f(x)-(2x+4), g'(x)= f'(x)-2.因为对任意xR，f '(x)＞2，所以对任意xR，g'(x)>0，则函数g(x)在R上单调递增.又因为g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0，故g(x)>0,即f(x)＞2x+4的解集为(-1，+). 二、填空题：(满分5×5=25分，将答案的最简形式填写在题中横线上) 11. 曲线y=x(3lnx+1)在点)1,1(处的切线方程为_________________. 【解析】函数的导数为4ln331ln3)('xxxxxf，所以在)1,1(的切线斜率为4k，所以切线方程为)1(41xy，即34xy. 12.已知某物体运动位移()St与时间t的函数关系是321()3Sttt(0)t，记这物体在t时

刻的运动速度为()vt，则不等式()8vt的解是 .

13.设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________. [解析] f(ex)＝x＋ex，利用换元法可得f(x)＝ln x＋x，f′(x)＝1x＋1，所以f′(1)＝2. 14.函数f(x)对R上的任意x都有f(2-x)=f(x)，且当1x时其导函数'()fx满足'()'()xfxfx，若12a，则2(2),(2),(log)afffa从小到大的顺序是__________________. 2(log)(2)(2)afaff 15.已知yfx是定义在R上的奇函数，且当0x时不等式fxxf'x0成立，若0.30.333af

，log3log3bf，3311loglog99cf，则 , , abc大小关系是 cba. 三.解答题：(满分75分)

16.(本题满分12分)求函数f(x)＝5x＋2x34x的值域.

解析：由3040xx≥≥得f(x)的定义域为-3≤x≤4，原问题转化为求f(x)在区间[-3, 4]上的最值问题。

∵ y'＝f '(x)＝115324xx, 在[-3，4]上f ’(x)＞0恒成立, ∴ f(x)在[-3，4]上单调递增. ∴ 当x＝-3时ymin＝-15-7，当x=4时ymax=20＋27，∴函数的值域为[-15-7，20＋27]. 17.(本题满分12分)设32a、b的值. 解析：f '(x)=3x2-3ax=3x(x-a)，当x变化时，f '(x), f(x)的变化情况列表如下：

当x=0时, f(x)取极大值b，而f(0)>f(a)，f(-1)∵ f(0)-f(1)＝23a-1>0，∴ f(x)的最大值为f(0)＝b-1，又f(-1)-f(a)=21(a3-3a-2)=21(a+1)2(a-)<0，

∴ f(x)|min=f(-1)，∴ -23a-1+b=-23a=-62, ∴ a=63，b=1. 18.(本题满分12分)已知函数21()ln(1)().2fxaxxaxaR (1)当01a时，求函数()fx的单调区间； (2)已知命题P：f(x)0对定义域内的任意x恒成立，若命题P成立的充要条件是{|}aat，求实数t的值.

解：xaxxxaxaxaxxaxf1112

(Ⅰ)当10a时，xfxf、的变化情况如下表： x a，0 a 1,a 1

，1

xf + 0 - 0 +

xf 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数xf的单调递增区间是,1,,0a，单调递减区间是1,a. (Ⅱ)由于af211，显然0a时，01f，此时0xf对定义域内的任意x不是恒成立的，当0a时，易得函数xf在区间，0的极小值、也是最小值即是af211，

此时只要01f即可，解得21a，实数a的取值范围是21--，.P成立的充要条件为21--，.故21t. 19.(本题满分13分)设()(1)xfxeax. (Ⅰ)若0,()0afx对一切xR恒成立，求a的最大值.

(Ⅱ)设()()xagxfxe，且112212(,),(,)()AxyBxyxx是曲线()ygx上任意两点，若对任意的1a，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；

20.(本题满分13分)已知函数321()2,3fxxbxxa 2x是()fx的一个极值点. (1)求函数()fx的单调区间； (2)若当[1,)x时，22()3fxa恒成立，求a的取值范围. 即2001aaa. ………………12分 21.(本题满分13分)设函数22()ln,().fxaxxgxax (I)当1,()ayfx时求函数图像上的点到直线30xy距离的最小值； (II)是否存在正实数a，使()()fxgx对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 21.解：(Ⅰ)由xxxxfxxxxf111)(',0ln)(知 )(,0)(',),1(;)(,0)(',)1,0(xfxfxxfxfx时为增时为减函数

1)1(max)(fxf则令21,1)('xxf得, 所求距离的最小值即为))21(,21(fP

到直线03yx的距离)2ln4(222|3)2ln21(21|d (Ⅱ)假设存在实数a满足条件，令)0)(()()(xxgxfxF则0max)(xF, 由axxaxaxF1,021)('2得)(,0)(',1xFxFax时当为减函数;

当)(,0)(',10xFxFax时为增函数,aaFxF1ln)1(max)(, 1,01lnaaa

的取值范围为,1

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