河北省邯郸市荀子中学2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018年河北省邯郸市高一上学期数学期中试卷带答案
2017-2018学年河北省邯郸市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|0＜x＜4}，则A∪（∁R B）=（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1）∪[4，+∞） C．[0，1） D．（﹣∞，0）∪[4，+∞）2．（5分）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．f（x）=x2+1 B．f（x）=x3C．f（x）=D．f（x）=3x+3﹣x3．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（f（3））=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．（5分）设偶函数f（x）在（0，+∞）上的解析式为f（x）=lnx+，则f（﹣e）=（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）已知集合M={x|2＜x＜8}，N={y|1＜y＜3}，则下列不表示从M到N 的映射的是（）A．f：x→y=（x+1）B．f：x→y=x2﹣1 C．f：x→y=D．f：x→y=log2x 6．（5分）若函数f（2﹣x）=x﹣x2，则f（x）在[0，1]上的最大值与最小值之和为（）A．﹣2 B．﹣ C．0 D．7．（5分）某企业准备投入适当的广告费经甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为，已知生产此批产品的年固定投入为4万元，即生产1万件此产品仍投入30万元，且能全部售完，若每件甲产品售价（元）定为“平均每件甲产品所占成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”即当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为（）A．30.5万元B．31.5万元C．32.5万元D．33.5万元8．（5分）若幂函数y=f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=f（x）+x ﹣4的一个零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）9．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=（4x+4﹣x）|x|B．f（x）=（4x﹣4﹣x）log2|x|C．f（x）=（4x+4﹣x）log 2|x|D．f（x）=（4x+4﹣x）log|x|10．（5分）若函数f（2x）的定义域为（2，4），则函数f（lgx）的定义域为（）A．（1，10）B．（10，102）C．（102，104） D．（104，108）11．（5分）设a=log38，b=log0.50.2，c=log424，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a12．（5分）已知a（a+1）≠0，若函数f（x）=log2（ax﹣1）在（﹣3，﹣2）上为减函数，且函数g（x）=在R上有最大值，则a的取值范围为（）A．[﹣，﹣]B．（﹣1，﹣] C．[﹣，﹣）D．[﹣，0）∪（0，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）函数f（x）=2a x﹣4+3（a＞0且a≠1）恒过一个定点，则该点的坐标为．14．（5分）函数y=的零点的个数为．15．（5分）函数y=的值域为．16．（5分）已知函数f（x）=alog3x+1﹣2a，若不等式f（x）＞0对a∈[﹣1，1]恒成立，则x的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（10分）（1）求值：81+（ln2）0﹣0.001；（2）设lg2=a，lg3=b．试用a，b表示log536．18．（12分）已知集合A={x|a≤x＜a+2}，B={x|4＜2x＜64}．（1）若A∩B=A，求a的取值范围；（2）若关于x的不等式（）x﹣1﹣m+1＜0的解集包含B，求m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣x（a＜0），当﹣2＜x1＜x2＜﹣1时，f（x1）＞f（x2）．（1）求a的取值范围；（2）当a取得最小值时，求函数g（x）=f（x）+x+x4（0≤x≤1）的最大值与最小值．20．（12分）已知函数f（x）=．（1）求方程f（x）=3f（2）的解集；（2）讨论函数g（x）=f（x）﹣a（a∈R）的零点的个数．21．（12分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），已知该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在33℃的保鲜时间是24小时（1）求k的值（2）该食品在11℃和22℃的保鲜时间．22．（12分）设[x]表示不大于x的最大整数，如[1.2]=1，[﹣]=﹣2，已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的值域．2017-2018学年河北省邯郸市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|0＜x＜4}，则A∪（∁R B）=（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1）∪[4，+∞） C．[0，1） D．（﹣∞，0）∪[4，+∞）【解答】解：集合A={x|x＜1}，B={x|0＜x＜4}，∁R B={x|x≤0或x≥4}，∴A∪（∁R B）={x|x＜1或x≥4}=（﹣∞，1）∪[4，+∞）．故选：B．2．（5分）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．f（x）=x2+1 B．f（x）=x3C．f（x）=D．f（x）=3x+3﹣x【解答】解：函数f（x）=x2+1是偶函数；函数f（x）=x3是奇函数；函数f（x）=的定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数；函数f（x）=3x+3﹣x是偶函数；故选：C．3．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（f（3））=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：由题意f（3）=1，f（f（3））=f（1）=﹣1．故选：A．4．（5分）设偶函数f（x）在（0，+∞）上的解析式为f（x）=lnx+，则f（﹣e）=（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣e）=f（e）=lne+1=2，故选：C．5．（5分）已知集合M={x|2＜x＜8}，N={y|1＜y＜3}，则下列不表示从M到N 的映射的是（）A．f：x→y=（x+1）B．f：x→y=x2﹣1 C．f：x→y=D．f：x→y=log2x 【解答】解：f：x→y=（x+1），当2＜x＜8时，1＜y＜3，故A中对应关系f能构成从M到N的映射；f：x→y=x2﹣1，当2＜x＜8时，﹣1＜y＜31，故B中对应关系f不能构成从M 到N的映射；f：x→y=，当2＜x＜8时，＜y＜2，故C中对应关系f能构成从M到N 的映射；f：x→y=log2x，当2＜x＜8时，1＜y＜3，故D中对应关系f能构成从M到N的映射；故选：B．6．（5分）若函数f（2﹣x）=x﹣x2，则f（x）在[0，1]上的最大值与最小值之和为（）A．﹣2 B．﹣ C．0 D．【解答】解：令t=2﹣x，则x=2﹣t，若函数f（2﹣x）=x﹣x2，则f（t）=2﹣t﹣（2﹣t）2=﹣t2+3t﹣2，即f（x）=﹣x2+3x﹣2，函数的对称轴为：x=，则f（x）在[0，1]上的最大值f（1）=0与最小值f（0）=﹣2．函数f（2﹣x）=x﹣x2，则f（x）在[0，1]上的最大值与最小值之和为：﹣2．故选：A．7．（5分）某企业准备投入适当的广告费经甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为，已知生产此批产品的年固定投入为4万元，即生产1万件此产品仍投入30万元，且能全部售完，若每件甲产品售价（元）定为“平均每件甲产品所占成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”即当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为（）A．30.5万元B．31.5万元C．32.5万元D．33.5万元【解答】解：（1）由题意，产品的生产成本为（30y+4）万元，销售单价为×150%+×50%，故年销售收入为z=（×150%+×50%）•y=45y+6+x．∴W=z﹣（30y+4）﹣x=15y+2﹣=17+（万元）．∴当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为17+=31.5（万元）．故选：B．8．（5分）若幂函数y=f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=f（x）+x ﹣4的一个零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：幂函数y=f（x）=xα的图象经过点（3，），可得：，α=，函数g（x）=+x﹣4，g（2）=＜0，g（3）=＞0，g（x）是连续函数，由零点判定定理可知函数的零点在（2，3）内．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=（4x+4﹣x）|x|B．f（x）=（4x﹣4﹣x）log2|x|C．f（x）=（4x+4﹣x）log 2|x|D．f（x）=（4x+4﹣x）log|x|【解答】解：函数f（x）的图象如图所示，函数是偶函数，x=1时，函数值为0．f（x）=（4x+4﹣x）|x|是偶函数，但是f（1）≠0，f（x）=（4x﹣4﹣x）log2|x|是奇函数，不满足题意．f（x）=（4x+4﹣x）log2|x|是偶函数，f（0）=0满足题意；f（x）=（4x+4﹣x）log|x|是偶函数，f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）＞0，不满足题意．则函数f（x）的解析式可能是f（x）=（4x+4﹣x）log2|x|．故选：C．10．（5分）若函数f（2x）的定义域为（2，4），则函数f（lgx）的定义域为（）A．（1，10）B．（10，102）C．（102，104） D．（104，108）【解答】解：若函数f（2x）的定义域为（2，4），则f（x）的定义域是（4，8），故4＜lgx＜8，解得：104＜x＜108，则函数f（lgx）的定义域为：（104，108），故选：D．11．（5分）设a=log38，b=log0.50.2，c=log424，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：a=log38∈（1，2），∵b=log 0.50.2====log25=，c=log424=，∴b＞c＞2．∴a＜c＜b．故选：B．12．（5分）已知a（a+1）≠0，若函数f（x）=log2（ax﹣1）在（﹣3，﹣2）上为减函数，且函数g（x）=在R上有最大值，则a的取值范围为（）A．[﹣，﹣]B．（﹣1，﹣] C．[﹣，﹣）D．[﹣，0）∪（0，]【解答】解：∵f（x）=log2（ax﹣1）在（﹣3，﹣2）上为减函数，∴a＜0，且ax﹣1＞0在（﹣3，﹣2）上恒成立，∴a≤﹣，又g（x）在R上有最大值，且g（x）在（﹣∞，]上单调递增，≤4=2，∴g（x）在（，+∞）上单调递减，且log|a|∴，解得|a|≤，综上，﹣≤a≤﹣．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）函数f（x）=2a x﹣4+3（a＞0且a≠1）恒过一个定点，则该点的坐标为（4，5）．【解答】解：当x﹣4=0，即x=4时，f（3）=2+3=5，故P点坐标为（4，5），故答案为：（4，5）．14．（5分）函数y=的零点的个数为2．【解答】解：由函数解析式y=，画出函数图象如图：由图可知，函数y=f（x）的零点的个数为2个．故答案为：2．15．（5分）函数y=的值域为（0，1] ．【解答】解：y==≤1，故函数的值域是（0，1]，故答案为：（0，1]．16．（5分）已知函数f（x）=alog3x+1﹣2a，若不等式f（x）＞0对a∈[﹣1，1]恒成立，则x的取值范围为3＜x＜27．【解答】解：令g（a）=alog3x+1﹣2a=（log3x﹣2）a+1，∵不等式f（x）＞0对a∈[﹣1，1]恒成立，∴，即，可化为：1＜log3x＜3．解得：3＜x＜27．故答案为：3＜x＜27．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（10分）（1）求值：81+（ln2）0﹣0.001；（2）设lg2=a，lg3=b．试用a，b表示log536．【解答】解：（1）原式=+1﹣=27+1﹣100=﹣72．（2）lg2=a，lg3=b．∴log536==．18．（12分）已知集合A={x|a≤x＜a+2}，B={x|4＜2x＜64}．（1）若A∩B=A，求a的取值范围；（2）若关于x的不等式（）x﹣1﹣m+1＜0的解集包含B，求m的取值范围．【解答】解：A={x|a≤x＜a+2}，B={x|4＜2x＜64}=（2，6）．（1）若A∩B=A，则，解得：2＜a＜4；（2）∵（）x﹣1﹣m+1＜0，∴x＞（m﹣1）+1，若不等式的解集包含B，则（m﹣1）+1≤2，故m﹣1≥，解得：m≥．19．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣x（a＜0），当﹣2＜x1＜x2＜﹣1时，f（x1）＞f（x2）．（1）求a的取值范围；（2）当a取得最小值时，求函数g（x）=f（x）+x+x4（0≤x≤1）的最大值与最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax2﹣x（a＜0）的图象是开口朝下，且以直线x=为对称轴的抛物线，当﹣2＜x1＜x2＜﹣1时，f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在（﹣2，﹣1）上为减函数，故≤﹣2，解得：a∈[﹣，0）；（2）由（1）得：a=﹣，则g（x）=f（x）+x+x4=﹣x2+x4=（）2﹣，当0≤x≤1时，0≤x2≤1，故当x2=时，函数g（x）取最小值﹣，当x2=1时，函数g（x）取最大值．20．（12分）已知函数f（x）=．（1）求方程f（x）=3f（2）的解集；（2）讨论函数g（x）=f（x）﹣a（a∈R）的零点的个数．【解答】解：（1）函数f（x）=的图象如下图所示：f（2）=1，当x=﹣3，或x=26时，f（x）=3，即方程f（x）=3f（2）的解集为{﹣3，26}（2）由（1）中函数图象可得：f（1）=2，=log 32，=+∞，=+∞故当a≤log32，时，函数g（x）=f（x）﹣a有0个零点；故当log32＜a＜2，时，函数g（x）=f（x）﹣a有1个零点；故当a≥2，时，函数g（x）=f（x）﹣a有2个零点；21．（12分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），已知该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在33℃的保鲜时间是24小时（1）求k的值（2）该食品在11℃和22℃的保鲜时间．【解答】解：（1）由题意可得，x=0时，y=192；x=33时，y=24．代入函数y=e kx+b，得：e k×0+b=192①，e k×33+b=24②②÷①，解得：k=﹣；（2）由（1）得：x=11时，e11k+b=x③，∴③÷①得：e11k==，解得：x=96，故该食品在11℃的保鲜时间是96小时；x=22时，e22k+b=y④，∴④÷①得：e22k==，解得：y=48，故该食品在22℃的保鲜时间是48小时．22．（12分）设[x]表示不大于x的最大整数，如[1.2]=1，[﹣]=﹣2，已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）若使函数f（x）=的解析式有意义，则，解得：x∈（0，2）∪（2，2+）∪（2+，4）即函数f（x）的定义域为（0，2）∪（2，2+）∪（2+，4）（2）当x∈（0，2）∪（2，1）时，f（x）==0恒成立；当x∈[1，2）时，lnx+ln（4﹣x）∈[ln3，ln4），f（x）=∈（，]；当x∈[2，3）时，lnx+ln（4﹣x）∈（ln3，ln4]，f（x）=∈[，）；当x∈[3，2+）∪（2+，4）时，lnx+ln（4﹣x）∈（﹣∞，0）∪（0，ln3]，f（x）=∈（﹣∞，0）∪[，+∞）；综上可得：函数f（x）的值域为（﹣∞，0]∪（，]∪[，）∪[，+∞）；赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
河北省邯郸一中2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年河北省邯郸一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．设集合A={y|y=1nx，x≥1}，B={y|y=1﹣2x，x∈R}则A∩B=（）A．[0.1）B．[0，1]C．（﹣∞，1]D．[0，+∞）3．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题4．下列函数中，在[﹣1，0]上单调递减的是（）A．y=cosx B．y=﹣|x﹣1|C．y=log D．y=e x+e﹣x5．已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）A．4 B．C．D．6．两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为（）A．x+y+3=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．3x﹣y﹣9=0 D．4x﹣3y+7=07．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*，其前n项和S n=，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．B．C． D．8．已知函数f（x）=sinx﹣cosx的图象向左平移m（m＞0）个单位，若所得的曲线关于y轴对称，则实数m的最小值是（）A．B．C． D．9．x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A．14 B．7 C．18 D．13=a n+2+1，则a13=（）10．已知数列{a n}满足a1=0，a n+1A．143 B．156 C．168 D．19511．设椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，∠F1MF2=2θ，△MF1F2的内心为I，则|MI|COSθ=（）A．2﹣B．C．D．12．已知椭圆C1： +=1的左右焦点为F1，F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1于点P，线段PF2的垂直平分线与l2的交点的轨迹为曲线C2，若A （1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的点，且AB⊥BC，则y2的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪[10．+∞）B．（﹣∞，6]∪[10．+∞）C．（﹣∞，﹣6）∪（10，+∞）D．以上都不正确二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上.）13．双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=______．14．若直线y=x+b被圆x2+y2=1所截得的弦长不小于1，则b的取值范围是______．15．设抛物线y2=2x的焦点为F，过F的直线交该抛物线于A，B两点，则|AF|+4|BF|的最小值为______．16．已知A（x1，y1）是抛物线y2=4x上的一个动点，B（x2，y2）是椭圆+=1上的一个动点，N（1，0）是一定点，若AB∥x轴，且x1＜x2，且△NAB的周长的取值范围是_______．三、解答题（70分，解答应写出文字说明，证明过程或步骤，写在答题纸的相应位置.）17．过点P（4，1）作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A、B，当△AOB（O 为原点）的面积S最小时，求直线l的方程，并求出S的最小值．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（Ⅰ）若b=7，a+c=13，求△ABC的面积；（Ⅱ）求sinA+sin（C﹣）的最大值及取得最大值时角A的大小．19．已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x﹣2，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n是数列{b n}的前n项和，求使得对所有n∈N*都成立的最小正整数m．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC∥AD，PA=PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO=AD=2BC=2CD．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣O的余弦值．21．已知圆C经（x﹣1）2+（y﹣2）2=5经过椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O的射线l在第一象限与椭圆E的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求•的最大值．22．如图，A为椭圆（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过焦点F1，F2．当AC垂直于x轴时，恰好|AF1|：|AF2|=3：1．（1）求该椭圆的离心率；（2）设=λ1，=λ2，试判断λ1+λ2是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．2015-2016学年河北省邯郸一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）1．已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】交集及其运算．【分析】据观察发现，两集合都表示的是点集，所以求两集合交集即为两函数的交点，则把两集合中的函数关系式联立求出两函数的交点坐标，交点有几个，两集合交集的元素就有几个．【解答】解：联立两集合中的函数解析式得：，把②代入①得：2x2=1，解得x=±，分别把x=±代入②，解得y=±，所以两函数图象的交点有两个，坐标分别为（，）和（﹣，﹣），则A∩B的元素个数为2个．故选C2．设集合A={y|y=1nx，x≥1}，B={y|y=1﹣2x，x∈R}则A∩B=（）A．[0.1）B．[0，1]C．（﹣∞，1]D．[0，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】根据对数函数和指数函数图象化简集合A和B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．【解答】解：∵集合A={y|y=1nx，x≥1}={x|x≥0}，B={y|y=1﹣2x，x∈R}={x|x＜1}∴A∩B={x|0≤x＜1}故选：A．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．4．下列函数中，在[﹣1，0]上单调递减的是（）A．y=cosx B．y=﹣|x﹣1|C．y=log D．y=e x+e﹣x【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】根据函数的单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．函数y=cosx在[﹣1，0]上是增函数，故A不满足条件．B．当﹣1≤x≤0，y=﹣|x﹣1|=x﹣1为增函数，不满足条件．C.==﹣1，当﹣1≤x≤0时，﹣1为减函数，∵y=log t为减函数，∴此时y=log为增函数，故C不满足条件．D．函数的导数f′（x）=e x﹣e﹣x，由f′（x）=e x﹣e﹣x＜0得e x＜e﹣x，即x＜﹣x，即x＜0，即函数的单调递减区间为（﹣∞，0]，即当﹣1≤x≤0时，函数y=e x+e﹣x为减函数，故D满足条件．故选：D5．已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）A．4 B．C．D．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】根据两条直线平行，一次项的系数对应成比例，求得m的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离．【解答】解：直线3x+2y﹣3=0即6x+4y﹣6=0，根据它和6x+my+1=0互相平行，可得，故m=4．可得它们间的距离为d==，故选：D．6．两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为（）A．x+y+3=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．3x﹣y﹣9=0 D．4x﹣3y+7=0【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】将两圆化成标准方程，得到它们的圆心分别为C1（2，﹣3）、C2（3，0），求出C1C2的斜率k=3，再利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到两圆的连心线方程．【解答】解：将圆x2+y2﹣4x+6y=0化成标准方程，得（x﹣2）2+（y+3）2=13，∴圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心为C1（2，﹣3）．同理可得圆x2+y2﹣6x=0的圆心为C2（3，0），∴C1C2的斜率k==3，可得C1C2的直线方程为y+3=3（x﹣2），化简得3x﹣y﹣9=0，即为两圆的连心线方程．故选：C7．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*，其前n项和S n=，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据数列{a n}的通项利用裂项求和算出S n，代入题中解出n=9，可得双曲线的方程为，再用双曲线的渐近线方程的公式即可算出该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵数列{a n}的通项公式为，∴，可得即1﹣=，解之得n=9．∴双曲线的方程为，得a=，b=3因此该双曲线的渐近方程为y=，即．故选：C8．已知函数f（x）=sinx﹣cosx的图象向左平移m（m＞0）个单位，若所得的曲线关于y轴对称，则实数m的最小值是（）A．B．C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】求得y=sinx﹣cosx的图象向左平移m（m＞0）个单位后的解析式，利用正弦函数的对称性可得m的最小值．【解答】解：∵y=f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后得：g（x）=f（x+m）=2sin（x+m﹣），∵g（x）=2sin（x+m﹣）的图象关于y轴对称，∴g（x）=2sin（x+m﹣）为偶函数，∴m﹣=kπ+，k∈Z，∴m=kπ+，k∈Z．∵m＞0，∴m min=．故选D．9．x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A．14 B．7 C．18 D．13【考点】基本不等式；简单线性规划．【分析】作出可行域，得到目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最优解，从而得到3a+4b=7，利用基本不等式即可．【解答】解：∵x、y满足约束条件，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0），作出可行域：由图可得，可行域为△ABC区域，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过可行域内的点C 时，取得最大值（最优解）．由解得x=3，y=4，即C（3，4），∵目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，∴3a+4b=7（a＞0，b＞0），∴=（3a+4b）•（）=（9++16+）≥（25+2）=×49=7（当且仅当a=b=1时取“=”）．故选B．10．已知数列{a n}满足a1=0，a n=a n+2+1，则a13=（）+1A．143 B．156 C．168 D．195【考点】数列递推式．【分析】把已知的数列递推式变形，得到{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式后得到a n，则a13可求．=a n+2+1，得【解答】解：由a n+1，∴，又a1=0，∴{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，则，∴．则a13=169﹣1=168．故选：C．11．设椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，∠F1MF2=2θ，△MF1F2的内心为I，则|MI|COSθ=（）A．2﹣B．C．D．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】设圆与MF1、MF2，分别切于点A，B，根据切线长定理就有|F1F2|=|F1A|+|F2B|=2，所以|MI|cosθ=|MA|=|MB|，由此可得结论．【解答】解：由题意，|MF1|+|MF2|=4，而|F1F2|=2，设圆与MF1、MF2，分别切于点A，B，根据切线长定理就有|F1F2|=|F1A|+|F2B|=2，所以|MI|cosθ=|MA|=|MB|==2﹣，故选A．12．已知椭圆C1： +=1的左右焦点为F1，F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1于点P，线段PF2的垂直平分线与l2的交点的轨迹为曲线C2，若A （1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的点，且AB⊥BC，则y2的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪[10．+∞）B．（﹣∞，6]∪[10．+∞）C．（﹣∞，﹣6）∪（10，+∞）D．以上都不正确【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知条件推导出曲线C2：y2=4x．，，由AB⊥BC，推导出，由此能求出y的取值范围．【解答】解：∵椭圆C1： +=1的左右焦点为F1，F2，∴F1（﹣1，0），F2（1，0），直线l1：x=﹣1，设l2：y=t，设P（﹣1，t），（t∈R），M（x，y），则y=t，且由|MP|=|MF2|，∴（x+1）2=（x﹣1）2+y2，∴曲线C2：y2=4x．∵A（1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的点，∴，，∵AB⊥BC，∴=（x1﹣1）（x2﹣x1）+（y1﹣2）（y2﹣y1）=0，∵，，∴（﹣4）（﹣）+=0，∵y1≠2，y1≠y2，∴，整理，得，关于y1的方程有不为2的解，∴，且y2≠﹣6，∴0，且y2≠﹣6，解得y2＜﹣6，或y≥10．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上.）13．双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】把双曲线的方程化为标准方程，根据标准方程求出虚轴长和实轴长，再利用虚轴长是实轴长的2倍求出m值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的标准方程为y2﹣=1，虚轴的长是2，实轴长2．由题意知，2=4，∴m=﹣，故答案为﹣．14．若直线y=x+b被圆x2+y2=1所截得的弦长不小于1，则b的取值范围是﹣≤b≤．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由条件求得弦心距d，利用弦长公式，结合直线y=x+b被圆x2+y2=1所截得的弦长不小于1，即可求出b的取值范围．【解答】解：根据点到直线的距离公式可得弦心距d=，∵直线y=x+b被圆x2+y2=1所截得的弦长不小于1，圆x2+y2=1的半径为r=1，∴2≥1故﹣≤b≤．故答案为：﹣≤b≤．15．设抛物线y2=2x的焦点为F，过F的直线交该抛物线于A，B两点，则|AF|+4|BF|的最小值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=，（k≠0）．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用|AF|+4|BF|=及其基本不等式的性质即可得出，当直线AB的斜率不存在时，直接求出即可．【解答】解：F，设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=，（k≠0）．联立，化为，x1x2=．∴|AF|+4|BF|==x1+4x2++=，当且仅当x1=4x2=1时取等号．当直线AB的斜率不存在时，|AF|+4|BF|=5p=5．综上可得：|AF|+4|BF|的最小值为．故答案为：．16．已知A（x1，y1）是抛物线y2=4x上的一个动点，B（x2，y2）是椭圆+=1上的一个动点，N（1，0）是一定点，若AB∥x轴，且x1＜x2，且△NAB的周长的取值范围是_（，4）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出A，B点的横坐标范围，再利用焦半径公式转换为以B点的横坐标为参数的式子，再根据前面求出的B点横坐标范围计算即可．【解答】解：如图A，B分别在如图所示的实线运动，由得，抛物线y2=4x与椭圆+=1在第一象限的交点横坐标为，设A（x1，y1），B（x2，y2），则0＜x1＜，＜x2＜2，由可得，三角形ABN的周长l=|AN|+|AB|+|BN|=x1++x2﹣x1+a﹣ex2=+a+x2=3+x2，∵＜x2＜2，∴＜3+x2＜4，故答案为：（，4）．三、解答题（70分，解答应写出文字说明，证明过程或步骤，写在答题纸的相应位置.）17．过点P（4，1）作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A、B，当△AOB（O 为原点）的面积S最小时，求直线l的方程，并求出S的最小值．【考点】直线的截距式方程．【分析】首先，设直线的方程，然后，将P坐标代入，然后，结合基本不等式进行求解．【解答】解：设A（a，0），B（0，b），（a，b＞0），则直线l的方程为，又∵P（4，1）在直线l上，∴，…又∵，∴ab≥16，∴，等号当且仅当，即a=8，b=2时成立，∴直线l的方程为：x+4y﹣8=0，S min=8．…18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（Ⅰ）若b=7，a+c=13，求△ABC的面积；（Ⅱ）求sinA+sin（C﹣）的最大值及取得最大值时角A的大小．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由条件求得B的值，利用余弦定理求得ac的值，从而求得△ABC的面积的值．（Ⅱ）利用三角恒等变换，化简sinA+sin（C﹣）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得sinA+sin（C﹣）的最大值及取得最大值时角A的大小．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，因为A，B，C成等差数列，所以B=．由b2=a2+c2﹣2accos60°=（a+c）2﹣3ac，即72=132﹣3ac，求得ac=40．所以△ABC的面积．（Ⅱ）==．又A∈（0，），∴，从而当A+=，即A=时，2sin（A+）取最大值2．综上所述，的最大值为2，此时A=．19．已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x﹣2，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n是数列{b n}的前n项和，求使得对所有n∈N*都成立的最小正整数m．【考点】数列的求和；导数的运算．【分析】（Ⅰ）设这二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），根据导函数求得f（x）的表达式，再根据点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，求出a n的递推关系式，（Ⅱ）把（1）题中a n的递推关系式代入b n，根据裂项相消法求得T n，最后解得使得对所有n∈N*都成立的最小正整数m．【解答】解：（Ⅰ）设这二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），则f′（x）=2ax+b，由于f′（x）=6x﹣2，得a=3，b=﹣2，所以f（x）=3x2﹣2x．又因为点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，所以S n=3n2﹣2n．=（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=6n﹣5．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，a1=S1=3×12﹣2=6×1﹣5，所以，a n=6n﹣5（n∈N*）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知==，故T n===（1﹣）．因此，要使（1﹣）＜（n∈N*）成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC∥AD，PA=PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO=AD=2BC=2CD．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣O的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）设BD∩OC=F，连接EF，由已知条件推导出EF∥PO，平面ABCD⊥平面PAD，PO⊥平面ABCD，从而得到EF⊥平面ABCD，进而得到AB⊥EF，再由AB⊥BD，能证明AB⊥平面BED，由此得到AB⊥DE．（Ⅱ）在平面ABCD内过点A作AH⊥CO交CO的延长线于H，连接HE，AE，由已知条件推导出∠AEH是二面角A﹣PC﹣O的平面角．由此能求出二面角A﹣PC﹣O的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：设BD∩OC=F，连接EF，∵E、F分别是PC、OC的中点，则EF∥PO，…∵CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，又PA=PD，O为AD的中点，则PO⊥AD，∵平面ABCD∩平面PAFD=AD，∴PO⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，∴AB⊥EF，…在△ABD中，AB2+BD2=AD2，AB⊥BD，又EF∩BD=F，∴AB⊥平面BED，又DE⊂平面BED，∴AB⊥DE．…（Ⅱ）解：在平面ABCD内过点A作AH⊥CO交CO的延长线于H，连接HE，AE，∵PO⊥平面ABCD，∴POC⊥平面ABCD，平面POC∩平面ABCD=AH，∴AH⊥平面POC，PC⊂平面POC，∴AH⊥PC．在△APC中，AP=AC，E是PC中点，∴AE⊥PC，∴PC⊥平面AHE，则PC⊥HE．∴∠AEH是二面角A﹣PC﹣O的平面角．…设PO=AD=2BC=2CD=2，而AE2=AC2﹣EC2，AE=，AH=，则sin∠AEH=，∴二面角A﹣PC﹣O的余弦值为．…21．已知圆C经（x﹣1）2+（y﹣2）2=5经过椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O的射线l在第一象限与椭圆E的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求•的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）在圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=5中，令y=0，得F（2，0），令x=0，得B（0，4），由此能求出椭圆方程；（2）设点Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，由于M为OP的中点，则CM⊥OQ，则=（+）==（1，2）•（x0，y0）=x0+2y0，设t=x0+2y0，与+=1联立，消去x0，再由判别式为0，即可得到最大值．【解答】解：（1）在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5中，令y=0，得F（2，0），即c=2，令x=0，得B（0，4），即b=4，∴a2=b2+c2=20，∴椭圆E的方程为： +=1．（2）设点Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，由于M为OP的中点，则CM⊥OQ，则=（+）==（1，2）•（x0，y0）=x0+2y0，又+=1，设t=x0+2y0，与+=1联立，得：21y02﹣16ty0+4t2﹣80=0，令△=0，得256t2﹣84（4t2﹣80）=0，解得t=±2．又点Q（x0，y0）在第一象限，∴当y0=时，取最大值2．22．如图，A为椭圆（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过焦点F1，F2．当AC垂直于x轴时，恰好|AF1|：|AF2|=3：1．（1）求该椭圆的离心率；（2）设=λ1，=λ2，试判断λ1+λ2是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由|AF1|：|AF2|=3：1，及椭圆定义|AF1|+|AF2|=2a，可求AF1，AF2，在Rt△AF1F2中，利用勾股定理可求（2）由（1）可得b=c．椭圆方程为，设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），①若直线AC⊥x轴容易求解②若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为代入椭圆方程，结合韦达定理可求，从而可求，同理可得，代入可求【解答】解：（1）当AC垂直于x轴时，|AF1|：|AF2|=3：1，由|AF1|+|AF2|=2a，得，在Rt△AF1F2中，|AF1|2=|AF2|2+（2c）2解得e=．…（2）由e=，则，b=c．焦点坐标为F1（﹣b，0），F2（b，0），则椭圆方程为，化简有x2+2y2=2b2．设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），①若直线AC⊥x轴，x0=b，λ2=1，∴λ1+λ2=6．…②若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为代入椭圆方程有（3b2﹣2bx0）y2+2by0（x0﹣b）y﹣b2y02=0．由韦达定理得：，∴…所以，同理可得…故λ1+λ2=．综上所述：λ1+λ2是定值6．…2016年9月30日。
2017-2018学年河北省定州中学高一下学期期中考试数学试题
2017-2018学年河北省定州中学高一下学期期中考试数学试题时间：120分钟总分：120分一、单选题1．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且；则下列结论错误的是（）A. B. 平面C. 三棱锥的体积为定值D. 的面积与的面积相等2．四棱锥的底面是边长为6的正方形,且PA PB PC PD===，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是( )A. 6B. 94C.92D. 53．如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是( )A. ①③B. ①②C. ②④D. ②③4．如图是棱长为4的正方体，点B 为棱的中点，若三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 表面上，则球O 的表面积是（ ）A. 36πB. 48πC. 56πD. 64π5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 12π+ B. 32π+ C. 312π+ D. 332π+6．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 365cm πB. 33cm πC. 332cm πD. 373cm π 7．如图，已知四边形ABCD 是正方形， ABP ， BCQ ， CDR ， DAS 都是等边三角形， E 、F 、G 、H 分别是线段AP 、DS 、CQ 、BQ 的中点，分别以AB 、BC 、CD 、DA 为折痕将四个等边三角形折起，使得P 、Q 、R 、S 四点重合于一点P ，得到一个四棱锥．对于下面四个结论：①EF 与GH 为异面直线； ②直线EF 与直线PB 所成的角为60︒③EF 平面PBC ； ④平面EFGH 平面ABCD ；其中正确结论的个数有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8．设是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线和的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线和的两个平行平面；③经过直线有且只有一个平面垂直于直线；④经过直线有且只有一个平面平行于直线，其中正确的个数有（ ）A. B. C. D.9．如图，将边长为2的正方体ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，则下列命题中，错误的为（ ）A. 直线BD ⊥平面1A OCB. 三棱锥1A BCD -C. 1A B CD ⊥D. 若E 为CD 的中点，则//BC 平面1A OE10．在正方体1111ABCD A B C D -中， ,M N 分别是1,AB BB 的中点，则直线MN 与平面11A BC 所成角的余弦值为（ ）A. 2B. 2C. 3D. 1311．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知A ED ∆'是AED ∆绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是A. 恒有DE ⊥A F 'B. 异面直线A E '与BD 不可能垂直C. 恒有平面A GF '⊥平面BCDED. 动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上12．已知直线1:3l y ax =+与2l 关于直线y x =对称， 2l 与3:210l x y +-=垂直，则a =（ ）A. 12-B. 12C. -2D. 2二、填空题,m l ,αβl αl α⊥//l αl α,m l αβ⊂⊂l m ⊥αβ⊥,l l βα⊂⊥αβ⊥,m l αβ⊂⊂//αβ//m l14．如图15， 在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ， M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成的角的余弦值______________.15．正方体1111ABCD A B C D -中， ,,M N Q 分别是棱1111,,C D A D BC 的中点，点P 在对角线1BD 上，给出以下命题：①当P 在线段1BD 上运动时，恒有//MN 平面APC ；②当P 在线段1BD 上运动时，恒有1AB ⊥平面BPC ；③过点P 且与直线1AB 和11A C 所成的角都为060的直线有且只有3条.其中正确命题为__________．16．在正方体1111ABCD A B C D -中（如图），已知点P 在直线1BC 上运动，则下列四个命题：①d 三棱锥1A D PC -的体积不变；②直线AP 与平面1ACD 所成的角的大小不变；③二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是直线11A D 其中真命题的编号是__________．（写出所有真命题的编号）三、解答题17．如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面PAB ；(2)求四面体N －BCM 的体积．18．如图，在四棱锥P ABCD -中， PA ⊥底面ABCD ， ,,1AD AB DC AB PA ⊥=，2,AB PD BC ===（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（Ⅱ）试在棱PB 上确定一点E ，使截面AEC 把该几何体分成的两部分PDCEA 与EACB 的体积比为2:1；--的余弦值（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角E AC P参考答案DBACA DDCCC11．B12．B13．①④14．315．②③16．①③④ （多选或错选或不选不给分，少选均给一半，）17．（1）见解析；（2 (1)证明：由已知得AM ＝AD ＝2，如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN//AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形， 于是MN ∥AT.因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB.(2)因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为PA.如图，取BC 的中点E ，连接AE ，由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝＝. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为，故S △BCM ＝×4×＝2， 所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝×S △BCM ×＝.18.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） E 为PB 的中点；（Ⅲ）3 （Ⅰ）证明：∵,AD AB DCAB ⊥，∴DC AD ⊥．∵PA ⊥平面ABCD ， DC ⊂平面ABCD ，∴DC PA ⊥．∵AD PA A ⋂=，∴DC ⊥平面PAD ．∵DC ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD ．（Ⅱ）解：作EF AB ⊥于F 点，∵在ABP ∆中， PA AB ⊥，∴EF PA ．∴EF ⊥平面ABCD ．设1,1,12ABC EF h AD S AB AD ∆====⋅=， 则1133E ABC ABC V S h h -∆=⋅=． ()12111113322P ABCD ABCD V S PA -+⨯=⋅=⨯⨯=． 由:2:1PDCEA EACB V V =，得111:2:1233h h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得12h =． 12EF PA =，故E 为PB 的中点． （Ⅲ）解：连接FC 、FD ， FD 与AC 交于点O ，连接OE ，由（Ⅱ）可知EF ⊥平面ABCD ，所以EF AC ⊥．∵ADCF 为正方形，∴FO AC ⊥．∵FO EF F ⋂=，∴AC ⊥平面EFO ，故EO AC ⊥．∴EOF ∠是二面角E AC B --的平面角．由PA ⊥平面ABCD ，可知平面PAC ⊥平面ABCD ．∴二面角E AC B --与平面角E AC P --互余．设二面角E AC P --的平面角为θ，则cos sin EOF θ=∠，在Rt EOF ∆中， 1,2EF FO EO ===，cos sin 3EOF θ=∠=，所以二面角E AC P --。
数学---河北省邯郸市鸡泽一中2017-2018学年高一(上)期中试卷(解析版)
河北省邯郸市鸡泽一中2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一．选择题1．（5分）已知A={1，3，4}，B={0，1，2，4，}，则A∩B子集个数为（）A．2 B．4 C．8 D．162．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（4））的值为（）A．B．﹣9 C．D．93．（5分）下列函数是偶函数且在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（）A．y=2x B．y=C．y=|x| D．y=﹣x24．（5分）室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线（）A．异面 B．相交 C．垂直 D．平行5．（5分）斜二测画法中，边长为a的正方形的直观图的面积为（）A．a2B．C．D．6．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．πB．4πC．4πD．6π7．（5分）函数f（x）=e x+x﹣12的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）8．（5分）三个数a=0.42，b=log20.4，c=20.4之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a9．（5分）已知四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB=4，CD=2，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为（）A．90°B．45°C．60°D．30°10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣π C．8﹣D．8﹣11．（5分）正方体的截面不可能是：①钝角三角形；②直角三角形；③菱形；④正五边形；⑤正六边形．下述选项正确的是（）A．①②⑤B．①②④C．②③④D．③④⑤12．（5分）已知函数f（x）=，若f（x1）=f（x2）=f（x3）（x1，x2，x3互不相等）则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（0，8）B．（1，3）C．（3，4] D．（1，8]二、填空题13．（5分）若幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），则f（25）的值是．14．（5分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是．15．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集是．16．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长都为．则该三棱锥的外接球的表面积为．三.解答题17．（10分）计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）log3+lg25+lg4+．18．（12分）已知全集为R，集合，B={x|2x﹣1＞1}（I）求A∩B，A∪（∁U B）；（II）若C={x|1＜x＜a}，且C⊆A，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=，x∈[3，5]（1）判断函数f（x）的单调性，并利用函数单调性定义进行证明；（2）求函数f（x）的最大值和最小值．20．（12分）已知正四棱锥V﹣ABCD中，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC=6，VC=5，求正四棱锥V﹣ABCD的体积．21．（12分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x．（Ⅰ）求出函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）在下图中画出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=2a+1有三个不同的解，求a的取值范围．22．（12分）设函数y=f（x）的定义域为R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），f（）=1，当x＞0时，f（x）＞0．（1）求f（0）的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x的取值范围．【参考答案】一．选择题1．B【解析】∵A={1，3，4}，B={0，1，2，4，}，∴A∩B={1，4}．∴A∩B子集个数为：22=4．故选：B．2．C【解析】因为，∴f（4）==﹣2，∴．故选：C．3．D【解析】y=2x不是偶函数；不是偶函数；，∴该函数在（﹣∞，0）上是减函数；y=﹣x2是二次函数，是偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，所以该项正确．故选D．4．C【解析】由题意得可以分两种情况讨论：①当直尺所在直线与地面垂直时，则地面上的所有直线都与直尺垂直，则底面上存在直线与直尺所在直线垂直；②当直尺所在直线若与地面不垂直时，则直尺所在的直线必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直，则得到地面上总有直线与直尺所在的直线垂直．∴教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线与直尺所在直线垂直．故选C．5．D【解析】平面正方形的面积为a2，因为平面图形的面积与直观图的面积的比是2，所以斜二测画法中，边长为a的正方形的直观图的面积为=．故选D．6．B【解析】因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选B．7．C【解析】函数f（x）=e x+x﹣12是连续单调增函数，∵f（2）=e2+2﹣12＜0，f（3）=e3+3﹣12＞0，f（2）f（3）＜0．∴f（x）在零点在（2，3）内，故选：C．8．B【解析】∵a=0.42∈（0，1），b=log20.4＜0，c=20.4＞1，∴b＜a＜c．故选：B．9．D【解析】设G为AD的中点，连接GF，GE，则GE，GF分别为△ACD，△ABD的中位线．由此可得GF∥AB，且GF=AB=1．GE∥CD，且GE=CD=2．∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成角．又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF．因此，Rt△EFG中，可得sin∠GEF==，可得∠GEF=30°．∴EF与CD所成的角的度数为30°．故选：D．10．B【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，底面面积S=2×2﹣2×=4﹣，高h=2，故该几何体的体积V=Sh=8﹣π，故选：B11．B【解析】如图所示截面为三角形ABC，OA=a，OB=b，OC=c，AC2=a2+c2，AB2=a2+b2，BC2=b2+c2∴cos∠CAB=＞0，∴∠CAB为锐角，同理∠ACB与∠ABC也为锐角，即△ABC为锐角三角形；如图，取相对棱的中点，得到的四边形是菱形；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图为正六边形；经过正方体的一个顶点去切就可得到5边形．但此时不可能是正五边形．故不可能是①②④．故选：B.12．C【解析】作出函数f（x）=|2x﹣1|的图象，如图所示：x=1时，f（1）=1，令t=f（x1）=f（x2）=f（x3），设x1＜x2＜x3，则有x1+x2=1，作出y=log2（x﹣1）（x＞1）的图象，若f（x1）=f（x2）=f（x3），则0＜f（x3）≤3．由y=1，即有log2（x﹣1）=1，x=3，即x3≤3y=0时，有log2（x﹣1）=0，解得x=2，即x3＞2，可得x1+x2+x3的取值范围为（3，4]，故选：C．二、填空题13．【解析】∵幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），设幂函数f（x）=xα，α为常数，∴9α=，∴α=﹣，故f（x）=，∴f（25）==，故答案为：．14．③④【解析】展开图复原的正方体如图，不难看出：①BM与ED平行；错误的，是异面直线；②CN与BE是异面直线，错误；是平行线；③CN与BM成60°；正确；④DM与BN是异面直线．正确判断正确的答案为③④故答案为：③④15．（﹣1，0）∪（0，1）【解析】∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∴不等式可转化为：f（x）x＜0根据条件可作函数图象：∴不等式的解集是（﹣1，0）∪（0，1），故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）.16．3π【解析】如图所示，设球心为O点，底面△ABC的中心为O1，球的半径为R．∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长都为．∴CO1==，∴PO1===．在△OAO1中，，解得R=．∴该三棱锥的外接球的表面积S=4πR2==3π．故答案为：3π．三.解答题17．解：（Ⅰ）原式=﹣1﹣+16=16．（Ⅱ）原式=+2+2=．18．解：（I）∵全集为R，集合={x|1≤x＜3}，B={x|2x﹣1＞1}={x|x＞1}．∴A∩B={x|1＜x＜3}，C U B={x|x≤1}，A∪（C U B）={x|x＜3}．（II）∵集合={x|1≤x＜3}，C={x|1＜x＜a}，且C⊆A，∴，解得1＜a≤3．∴实数a的取值范围是（1，3]．19．解：（1）函数f（x）=，在[3，5]上是单调递增函数．证明如下：任取x1，x2∈[3，5]，且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）==，∵3≤x1＜x2≤5，∴x1﹣x2＜0，（x1+2）（x2+2）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[3，5]上为增函数．…（6分）．（2）由（1）知在[3，5]上单调递增，∴函数f（x）的最大值f（x）max=f（5）==，函数f（x）的最小值f（x）min=f（3）==．20．解：由已知有MC=3，VC=5，则VM=4，AB=BC=3，所以正四棱锥V﹣ABCD的体积为V==24．21．解：（Ⅰ）①由于函数f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）=0；②当x＜0时，﹣x＞0，因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）．所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）2﹣2（﹣x）]=﹣x2﹣2x．综上：f（x）=．（Ⅱ）图象如图所示：单调增区间：（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）单调减区间：（﹣1，1）．（Ⅲ）∵方程f（x）=2a+1有三个不同的解∴﹣1＜2a+1＜1．∴﹣1＜a＜0．22．解：（1）∵函数y=f（x）的定义域为R，令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0；（2）令y=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）是R上的奇函数；（3）f（x）是R上的增函数，证明如下：任取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2﹣x1＞0∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）＞0 ∴f（x1）＜f（x2）故f（x）是R上的增函数．由f（）=1，∴f（）=f（）=f（）+f（）=2那么f（x）+f（2+x）＜2，可得f（2+2x）＜f（）∵f（x）是R上的增函数．∴2+2x解得：x故得x的取值范围是（﹣∞，）。
河北省衡水中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学(理)试题含答案
河北省衡水中学2017-2018学年高一下学期期中考试理数试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．2.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中， ,E F 分别为棱BC ，1BB 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）A ．1AAB ．11A BC ． 11AD D ．11B C3.在空间中，设,m n 为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//m α，且//αβ，则//m βB ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，且//αβ，则m β⊥D ．若m 不垂直与α，且n α⊂，则m 不必垂直于n4.如图， O A B '''∆是水平放置的OAB ∆的直观图，则OAB ∆的周长为（ ）A．10+．10+．125.若正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心）的侧棱长为45︒，则该正四棱锥的体积是（ ） A ．23 B ．43C. 3 D．36.已知正ABC ∆的三个顶点都在球心为O ，半径为3的球面上，且三棱锥O ABC -的高为2，点D 是线段BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值为（ ） A ．154π B ．4π C. 72πD ．3π 7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．48π+B ．48π- C. 482π+ D ．482π-8.已知棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -;中， ,,E F M 分别是棱1,,AB AD AA 的中点，又,P Q 分别在线段11A B ，11A D 上，且11A P AQ x ==，01x << ，设平面1MPQ =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．l //平面ABCDB ．l AC ⊥C.平面MEF 与平面MPQ 不垂直 D ．当x 变化时， l 不是定直线9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（ ）A ．23πB ．43π C. 3π D ．4π10.如图，等边ABC ∆的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知A ED '∆是AED ∆绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面A GF '⊥平面BCED C.三棱锥A EFD '-的体积有最大值 D ．异面直线A E '与BD 不可能垂直11.已知边长为2的正方形ABCD 的四个顶点在球O 的球面上，球O的体积为3V =球，则OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为（ ） A．10 B．5C. 5．512.在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）111ABC A B C -中，2AB = ，13AA =，点D 为棱BD 的中点，点E 为,A C 上的点，且满足1=mECA E （m R ∈），当二面角E AD C --的余弦值为10时，实数m 的值为（ ）A ．1B ．2 C.12D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点A 到平面1A BD 的距离为 ．14.在三棱锥A BCD -中，侧棱,,AB AC AD 两两垂直， ABC ACD ABD ∆∆∆、、的面积分别为A BCD -的外接球的体积为 ． 15.如图所示，三棱锥A BCD -的顶点,,BCD 在平面α内，4,CA AB BC CD DB AD ======若将该三棱锥以BC 为轴转动，直到点A 落到平面α内为止，则,A D 两点所经过的路程之和是 ．16.在正方体1111ABCD A BC D -中（如图），已知点P 在直线1BC 上运动. 则下列四个命题：①三棱锥1A D PC -的体积不变；②直线AP 与平面1ACD 所成的角的大小不变； ③二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 内到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是直线11A D . 其中正确命题的编号是 ．（写出所有正确命题的编号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，O 是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形， C 为底面圆周上一点.（Ⅰ）若弧BC 的中点为D ，求证：//AC 平面POD ； （Ⅱ）如果PAB ∆面积是9，求此圆锥的表面积与体积.18. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM DCP -与刍童的组合体中1111,AB AD A B A D ==.棱台体积公式：)(13V S S h ='，其中,S S '分别为棱台上、下底面面积，h 为棱台高.（Ⅰ）证明：直线BD ⊥平面MAC ；（Ⅱ）若111,2,AB A D MA ==111A A B D -的体积3V =，求该组合体的体积．19. 如图1，在Rt ABC ∆中， 60ABC ∠=︒，AD 是斜边BC 上的高，沿AD 将ABC∆折成60︒的二面角B AD C --，如图2.（Ⅰ）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）在图2中，设E 为BC 的中点，求异面直线AE 与BD 所成的角. 20. 在长方体1111ABCD A BC D -中,,,E F G 分别是1,,AD DD CD 的中点，2AB BC == ，过11,,A C B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体1111ABCD A BC D -，且这个几何体的体积为403．（Ⅰ）求证：//EF 平面111A B C ； （Ⅱ）求1A A 的长；（Ⅲ）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由．21. 如图，四棱锥S ABCD -中， //,AB CD BC CD ⊥ ，侧面SAB 为等边三角形，2AB BC ==，1CD SD ==.（Ⅰ）证明：SD ⊥平面SAB ；（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小.22. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；（Ⅱ）若P 是线段AC上一点，2AD AB BC ==，三棱锥1A PBC -的体积为3，求APPC的值.试卷答案一、选择题1-5: BDCAB 6-10: AADBD 11、12：AA 二、填空题14.15. 16.①③④ 三、解答题17.解：（Ⅰ）∵AB 是底面圆的直径， ∴AC BC ⊥. ∵弧BC 的中点为D ， ∴OD BC ⊥. 又,AC OD 共面， ∴//AC OD .又AC ⊄平面,POD OD ⊂平面POD ， ∴//AC 平面POD .（Ⅱ）设圆锥底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ， ∵圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形，∴1,h l =由21=292ABP S r h r ∆⨯⨯==，得3r =，∴229(1S mrl r r r ππππ=+=+=表，2193V r h ππ==.18.解：（Ⅰ）由题可知ABM DCP -是底面为直角三角形的直棱柱，AD ∴⊥平面MAB又MA ⊂平面MAB ，AD M A ∴⊥ ，又M A AB ⊥， , AD AB A AD =，AB ⊂平面ABCD ，MA ∴⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，M A BD ∴⊥ .又AB AD =，∴四边形ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥，又 , MA AC A MA =，AC ⊂平面MAC ，BD ∴⊥平面MAC . …………………6分（Ⅱ）设刍童1111ABCD A B C D -的高为h ， 则三棱锥111A A B D -体积1122323V h =⨯⨯=⨯⨯，∴h =故该组合体的体积为221111(1223236V =⨯++=+=.19.解：（Ⅰ）因为折起前AD 是BC 边上的高， 则当ABD ∆折起后，,AD CD AD BD ⊥⊥，又CD BD D =，则AD ⊥平面BCD ， 因为AD ⊂平面ABD ， 所以平面ABD ⊥平面BCD .（Ⅱ）如图，取CD 的中点F ，连接EF ，则//EF BD ，所以AEF ∠为异面直线AE 与BD 所成的角（或补角）.连接1,6,3EF AD CD DF ====，在Rt ADF ∆中，21AF ==， 在BCD ∆中，因为,AD CD AD BD ⊥⊥， 所以BDC ∠为二面角B AD C --的平面角， 故60BDC ∠=︒，则222228BC BD CD BD CDcos BDC =+-⋅∠=，即BC =从而12BE BC ==2222BD BC CD cos CBD BD BC +-∠==⋅， 在BDE ∆中，222213DE BD BE BD BE BDC =+-⋅∠=，在Rt ADE ∆中，5AE == ，在AEF ∆中， 222122AE EF AF cos AEF AE EF +-∠==⋅ ， 所以异面直线AE 与BD 所成的角为60︒. 20.解：（Ⅰ）连接1AD ，在长方体1111ABCD A BC D -中，1111//,AB DC AB DC =，∴四边形11ABC D 是平行四边形，∴11//AD BC . ∵,E F 分别是1,AD DD 的中点， ∴1//AD EF ，则1//EF BC ，又EF ⊄平面111,A BC BC ⊂平面11A BC A ，则//EF 平面11A BC . 同理//FG 平面11A BC . 又EFFG F =，∴平面//EFG 平面11A BC . （Ⅱ）∵111111111111111104022223233ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V AA AA AA ---=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯==，∴14AA =．（Ⅲ）在平面11CC D D 中作11DQ C D ⊥交1CC 于Q ， 过Q 作//QP CB 交1BC 于点P ， 点P 即为所求的点. 证明如下：∵11A D ⊥平面111,CC D D C D ⊂平面11CC D D ， ∴111C D A D ⊥， 又11//,//QP CB CB A D ，∴11//QP A D ， 又∵1111A D DQ D =， ∴1C D ⊥平面11A PQD ， 又1A P ⊂平面11A PQD ， ∴11A P C D ⊥．∵111Rt DC Q Rt C CD ∆∆∽， ∴1111C Q D C CD C C=， ∴11C Q =.又∵//PQ BC ，∴1142PQ BC ==． ∵四边形11A PQD为直角梯形，且高1DQ =∴12A P ==.21.解：（Ⅰ）取AB 的中点E ，连接,DE SE ， 则四边形BCDE 为矩形， 所以2DE CB ==，所以AD =，因为侧面SAB 为等边三角形， 2AB = ，所以2SA SB AB ===，且SE = 又因为1SD =，所以222222,SA SD AD SE SD ED +=+=， 所以,SD SA SD SE ⊥⊥.又SA SE S =， 所以SD ⊥平面SAB . （Ⅱ）过点S 作SG ⊥DE 于点G ， 因为,,AB SE AB DE SE DE E ⊥⊥=，所以AB ⊥平面SDE .又AB ⊂平面ABCD ， 由平面与平面垂直的性质， 知SG ⊥平面ABCD ，在Rt DSE ∆中，由··SD SE DE SG =，得12SG =，所以SG =. 过点A 作AH ⊥平面SBC 于H ，连接BH ， 则ABH ∠即为AB 与平面SBC 所成的角， 因为//,CD AB AB ⊥平面SDE ， 所以CD ⊥平面SDE ，又SD ⊂平面SDE ， 所以CD SD ⊥.在Rt CDS ∆中，由1CD SD ==，求得SC =在SBC ∆中，2,SB BC SC ===所以122SBCS ∆==， 由A SBC S ABC V V --=，得11··33SBC ABC S AH S SG ∆∆=，即11122332AH =⨯⨯⨯，解得AH =所以7AH sin ABH AB ∠==故AB 与平面SBC所成角的正弦值为7. 22. 解：（Ⅰ）∵AD ⊥平面1,A BC BC ⊂平面1A BC ， ∴AD BC ⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ， ∴1A A BC ⊥， ∵1A AAD A =，∴BC ⊥平面11AA B B ， ∵1A B ⊂平面11AA B B ， ∴1BC A B ⊥．（Ⅱ）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥交AC 于点E ， 由（Ⅰ）知，BC ⊥平面11AA B B ，∴BC AB ⊥，∵2AB BC ==，∴AC =BE=∴PBC S ∆=12·BE PC=x . ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上， ∴1AD A B ⊥，∴1BD =. 又∵1A A AB ⊥．∴1Rt ABD Rt A BA ∆∆∽， ∴1BD ADAB AA =，∴12AA=∴1113A PBC PBC V S AA x -∆=⋅=.又三棱锥1A PBC -∴33x =，解得2x =，即2PC =，∴2AP =3AP PC =.。
河北省唐山一中2017-2018学年高一下学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年河北省唐山一中高一（下）期中数学试卷（文科）一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是（）A．小于B．大于0 C．大于D．小于02．集合A={x|﹣x2+2x+3＞0}，B={x|≥0}，则A∩B=（）A．{x|﹣x＜x＜3}B．{x|x＜0或x≥2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x＜0或2≤x≤3}3．在△ABC中，a=2，b=，∠A=，则∠B=（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°4．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知a2cosAsinB=b2sinAcosB，则△ABC 为（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形5．若实数x，y满足，则S=2x+y﹣1的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．26．等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项的和为（）A．32 B．64 C．108 D．1287．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±648．一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63 B．108 C．75 D．839．执行如图的程序框图，则输出的n=（）A．6 B．5 C．8 D．7=22n（n≥3），则当n≥1时，10．已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=（）log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1A．n（2n﹣1）B．（n+1）2C．n2D．（n﹣1）211．若数列{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2015•a2018＜0，a2015+a2018＞0，使前n项和S n＞0成立最大自然数n是（）A．4 029 B．4 030 C．4 031 D．4 03212．已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分．）13．在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则AC的取值范围为______．14．在数列{a n}中，a1=﹣2，a n+1=，则a2018=______．15．若数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1，则数列{a n2}的前n项和T n为______．16．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是______．三．解答题（共6小题，17题10分，18-22题，每题12分，计70分）17．如图，B、A是某海面上位于东西方向相距海里的两个观测点．现位于B点正北方向、A点北偏东45°方向的C点有一艘轮船发出求救信号，位于B点北偏西60°、A点北偏西15°的D点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时．问该救援船到达C点需要多少时间？18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=3．已知向量=（cos2，sinB），=（，2），且∥．（1）若A=，求边c的值；（2）求AC边上高h的最大值．19．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣bx+1（1）若f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣或x＞1}，求实数a、b的值．（2）若实数a、b满足b=a+1，求关于x的不等式f（x）＜0的解集．20．已知=ad﹣bc，设f（x）=（1）若不等式f（x）＜1的解集为R，求m的取值范围．（2）若任意的x∈[1，3]，不等式f（x）＜6﹣m恒成立，求m的取值范围．21．已知函数f（x）=4x，点（a n，b n）在函数y=f（x）的图象上，S n是数列{b n}的前n项之积，且S n=2n（n+1）（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式．（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和．22．等差数列{a n}满足a5=5，S7=28，数列{b n}的前n项和为T n，其中b1=1，b n+1﹣T n=1，（1）求数列{a n}及数列{b n}的通项公式（2）若不等式（﹣1）nλ＜++…++对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．2017-2018学年河北省唐山一中高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是（ ）A ．小于B ．大于0 C ．大于D ．小于0【考点】不等式的基本性质．【分析】先根据c ＜a 且ac ＜0，得出a ，c 的符号，再结合a ，b ，c 的关系利用不等式的基本性质对选择项一一验证即得． 【解答】解：∵c ＜a 且ac ＜0， ∴a ＞0．c ＜0．∵c ＜b ，∴小于，故A 对；∵b ＜a ．∴大于0，故B 对；∵c ＜a ，∴a ﹣c ＞0．∴小于0，故D 对；取a=3．b=﹣4，c=﹣5，验证知C 不成立，从而只有C 不一定成立． 故选C ．2．集合A={x |﹣x 2+2x +3＞0}，B={x |≥0}，则A ∩B=（ ）A ．{x |﹣x ＜x ＜3}B ．{x |x ＜0或x ≥2}C ．{x |﹣1＜x ＜0}D ．{x |﹣1＜x ＜0或2≤x ≤3}【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A 与B 中不等式的解集确定出A 与B ，求出两集合的交集即可． 【解答】解：由A 中不等式变形得：（x ﹣3）（x +1）＜0， 解得：﹣1＜x ＜3，即A={x |﹣1＜x ＜3}， 由B 中不等式变形得：x （x ﹣2）≥0，x ≠0， 解得：x ＜0或x ≥2，即B={x |x ＜0或x ≥2}， 则A ∩B={x |﹣1＜x ＜0或2≤x ≤3}， 故选：D ．3．在△ABC 中，a=2，b=，∠A=，则∠B=（ ）A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求sinB 的值，结合大边对大角可得B 为锐角，从而得解．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，b=，∠A=，∴由正弦定理可得：sinB===，又∵a＞b，B为锐角，∴B=，即B=30°．故选：A．4．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知a2cosAsinB=b2sinAcosB，则△ABC 为（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理和二倍角的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和正弦函数的性质得到A、B的关系，即可判断出△ABC的形状．【解答】解：∵a2cosAsinB=b2sinAcosB，∴由正弦定理得，sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB，又sinB≠0且sinA≠0，∴sinAcosA=sinBcosB，则sin2A=sin2B，即2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选：D．5．若实数x，y满足，则S=2x+y﹣1的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由S=2x+y﹣1得y=﹣2x+S+1，平移直线y=﹣2x+S+1，由图象可知当直线y=﹣2x+S+1经过点A时，直线y=﹣2x+S+1的截距最大，此时z最大．由，即A（2，2），代入目标函数S=2x+y﹣1得z=2×2+2﹣1=5．即目标函数S=2x+y﹣1的最大值为5．故选：A．6．等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项的和为（）A．32 B．64 C．108 D．128【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差中项求出a6，然后利用等差数列求和求解即可．【解答】解：a4+a8=2a6=22⇒a6=11，a3=5，∴，故选：B．7．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±64【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式及其性质即可得出．【解答】解：设此等比数列为{a n}，公比为q，a1=1，a5=16，∴a3==4．则a2a3a4==64．故选：C．8．一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63 B．108 C．75 D．83【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n项的和和第二个n项的和，求得第三个n项的和，进而把前2n项的和加上第三个n项的和，即可求得答案．【解答】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列．则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60﹣48=12，∴第三个n项的和为：=3，∴前3n项的和为60+3=63．故选：A．9．执行如图的程序框图，则输出的n=（）A ．6B ．5C ．8D ．7【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=°+1+2+…+6的值，并输出．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加S=°+1+2+…+6的值∵S=°+1+2+…+6的值所以n=6． 故 选 D ．10．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n=1，2，…，且a 5•a 2n ﹣5=22n （n ≥3），则当n ≥1时，log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n ﹣1=（ ）A ．n （2n ﹣1）B ．（n +1）2C ．n 2D ．（n ﹣1）2 【考点】等比数列的性质．【分析】先根据a 5•a 2n ﹣5=22n ，求得数列{a n }的通项公式，再利用对数的性质求得答案． 【解答】解：∵a 5•a 2n ﹣5=22n =a n 2，a n ＞0， ∴a n =2n ，∴log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n ﹣1=log 2（a 1a 3…a 2n ﹣1）=log 221+3+…+（2n ﹣1）=log 2=n 2．故选：C ．11．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2015•a 2018＜0，a 2015+a 2018＞0，使前n 项和S n ＞0成立最大自然数n 是（ ） A ．4 029 B ．4 030 C ．4 031 D ．4 032 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由已知推导出数列{a n }中前2015项都为正，从第2018项起为负，由等差数列前n 项和的对称性性知：S 4030=0，由此能求出使前n 项和S n ＞0成立最大自然数n ．【解答】解：∵数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2015•a 2018＜0，a 2015+a 2018＞0，∴a2015＞0，a2018＜0，∴数列{a n}中前2015项都为正，从第2018项起为负，由等差数列前n项和的对称性性知：S4030=0，∴S4029＞0，∴使前n项和S n＞0成立最大自然数n是4029．故选：A．12．已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）【考点】基本不等式；函数恒成立问题．【分析】x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：﹣4＜m＜2．故选D．二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分．）13．在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则AC的取值范围为（，）．【考点】正弦定理的应用．【分析】由条件可得＜3 A＜π，且0＜2A＜，故＜A＜，＜cosA＜，由正弦定理可得b=2cosA，从而得到b 的取值范围．【解答】解：在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，∴＜3 A＜π，且0＜2A＜，故＜A＜，故＜cosA＜．由正弦定理可得，∴b=2cosA，∴＜b＜，故答案为：（，）．14．在数列{a n}中，a1=﹣2，a n+1=，则a2018=3．【考点】数列递推式．【分析】通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论．【解答】解：依题意，a2===﹣，a3===，a4===3，a5===﹣2，∴数列{a n}是以4为周期的周期数列，又∵2018=504×4，∴a2018=a4=3，故答案为：3．15．若数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1，则数列{a n2}的前n项和T n为．【考点】数列的求和．=2n﹣1﹣1，两式相减可知a n=2n﹣1，【分析】由S n=2n﹣1，当n=1时，a1=1，当n≥2时，S n﹣1根据等差数列的性质，利用等比数列前n项和公式，即可求得数列{a n2}的前n项和T n．【解答】解：由S n=2n﹣1，当n=1时，a1=1，=2n﹣1﹣1，当n≥2时，S n﹣1两式相减得：a n=2n﹣1，当n=1时成立，∴数列{a n}通项公式：a n=2n﹣1，∴数列{a n}为首项为1，2为公比的等比数列，∴数列{a n2}为首项为1，4为公比的等比数列，数列{a n2}的前n项和T n==，故答案为：．16．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是4．【考点】基本不等式；简单线性规划的应用．【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2代入已知条件，化简为函数求最值．【解答】解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号）则x+2y的最小值是4故答案为：4．三．解答题（共6小题，17题10分，18-22题，每题12分，计70分）17．如图，B、A是某海面上位于东西方向相距海里的两个观测点．现位于B点正北方向、A点北偏东45°方向的C点有一艘轮船发出求救信号，位于B点北偏西60°、A点北偏西15°的D点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时．问该救援船到达C点需要多少时间？【考点】解三角形的实际应用．【分析】先根据内角和求得求得∠BAC，在△ABC中利用正弦定理求得AC的长，在△ABD 中利用正弦定理求得AD的长，在△ACD中利用余弦定理求得DC的长，进而利用里程除以速度即可求得时间．【解答】解：在△ABC中，∴…在△ABD中，∠DAB=15°+90°=105°，∠ABD=90°﹣60°=30°，∴∠ADB=45°由正弦定理，得∴…在△ACD中，由余弦定理得DC2=AC2+AD2﹣2AC•AD•cos∠DAC=602+302﹣2×60×30×cos60°=2700∴…则需要的时间（小时）…答：该救援船到达点C需要1.5小时…14分）18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=3．已知向量=（cos2，sinB），=（，2），且∥．（1）若A=，求边c的值；（2）求AC边上高h的最大值．【考点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）若A=，根据向量平行的坐标公式，建立方程关系即可求边c的值；（2）利用三角形的面积公式结合余弦定理，结合基本不等式的性质即可，求AC边上高h的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由∥，得2cos2=sinB，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即1+cosB=sinB，得sin（B﹣）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又0＜B＜π，所以﹣＜B﹣＜，故B﹣=，即B=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣结合A=，得C=，由正弦定理得，c=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设AC边上的高为h，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即h=，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14（等号成立当且仅当a=c）所以ac≤9，因此h=≤，所以AC边上的高h的最大值为h=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣bx+1（1）若f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣或x＞1}，求实数a、b的值．（2）若实数a、b满足b=a+1，求关于x的不等式f（x）＜0的解集．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）由f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣或x＞1}，可得a＜0，与1是一元二次方程ax2﹣bx+1=0的两个实数根，利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出．（2）由b=a+1，关于x的不等式f（x）＜0化为：ax2﹣（a+1）x+1＜0，因式分解为：（ax﹣1）（x﹣1）＜0，对a分类讨论即可得出．【解答】解：（1）∵f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣或x＞1}，∴a＜0，与1是一元二次方程ax2﹣bx+1=0的两个实数根，∴，解得a=﹣2，b=﹣1．（2）∵b=a +1，关于x 的不等式f （x ）＜0化为：ax 2﹣（a +1）x +1＜0，因式分解为：（ax ﹣1）（x ﹣1）＜0，当a=1时，化为（x ﹣1）2＜0，则x ∈∅；当a ＞1时，＜1，解得，不等式的解集为{x |＜x ＜1}；0＜a ＜1时，＞1，解得＞x ＞1，∴不等式的解集为{x |＞x ＞1}；a ＜0时，＜1，不等式（ax ﹣1）（x ﹣1）＜0化为：（x ﹣）（x ﹣1）＞0，解得x ＞1或x ，不等式的解集为{x |x ＜，或x ＞1}．20．已知=ad ﹣bc ，设f （x ）= （1）若不等式f （x ）＜1的解集为R ，求m 的取值范围．（2）若任意的x ∈[1，3]，不等式f （x ）＜6﹣m 恒成立，求m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；其他不等式的解法．【分析】（1）由新定义可得f （x ），由题意可得mx 2﹣mx ﹣1＜0恒成立，对m 讨论，分m=0，m ＜0，判别式小于0，解不等式即可得到所求m 的范围；（2）由题意可得mx 2﹣mx ＜6﹣m 在[1，3]恒成立，即为m ＜的最小值．由g （x ）=x 2﹣x +1在[1，3]的单调性可得最大值，即可得到m 的范围．【解答】解：（1）f （x ）==mx （x +1）﹣2mx=mx 2﹣mx ， 由题意可得mx 2﹣mx ﹣1＜0恒成立．当m=0时，﹣1＜0，恒成立；当m ＜0时，△＜0即m 2+4m ＜0，即为﹣4＜m ＜0；当m ＞0时，不等式不恒成立．综上可得，m 的范围是（﹣4，0]；（2）任意的x ∈[1，3]，不等式f （x ）＜6﹣m 恒成立．即有mx 2﹣mx ＜6﹣m 在[1，3]恒成立，即为m ＜的最小值．由g （x ）=x 2﹣x +1在[1，3]递增，即有g （x ）的值域为[1，7]．则的最小值为．即有m的取值范围为（﹣∞，）．21．已知函数f（x）=4x，点（a n，b n）在函数y=f（x）的图象上，S n是数列{b n}的前n项之积，且S n=2n（n+1）（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式．（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由b1=S1；n＞1时，b n=，可得数列{b n}的通项公式；再由点在函数图象上，可得数列{a n}的通项公式；（2）求得c n===﹣，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（1）点（a n，b n）在函数y=f（x）的图象上，可得b n=4an，由S n是数列{b n}的前n项之积，可得S n=b1b2…b n=2n（n+1），即有b1=S1=4；n＞1时，b n===22n=4n．上式对n=1也成立，故数列{b n}的通项公式为b n=4n；即有b n=4n=4an，可得a n=n；（2）c n====﹣，则数列{c n}的前n项和为1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．22．等差数列{a n}满足a5=5，S7=28，数列{b n}的前n项和为T n，其中b1=1，b n+1﹣T n=1，（1）求数列{a n}及数列{b n}的通项公式（2）若不等式（﹣1）nλ＜++…++对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的前n项和．【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质和定义，以及数列的递推公式即可求出数列{a n}及数列{b n}的通项公式；（2）M n=++…+=1•（）0+2•（）1+…+n•（）n﹣1，根据错位相减法求出其和，则可转化为++…++=4﹣（）n﹣1，根据数列的单调性，可以求出数列的最小值，即可求出λ的取值范围．【解答】解：（1）设公差为d，首项为a1，∵a5=5，S7=28，∴，解得a1=1，d=1，∴a n=1+1×（n﹣1）=n，∵b n+1﹣T n=1，即T n=b n+1﹣1，∴T n﹣1=b n﹣1，∴b n=T n﹣T n﹣1=b n+1﹣1﹣b n+1，∴2b n=b n+1，∴=2，∴数列{b n}为公比为2的等比数列，∵b1=1，∴b n=2n﹣1；（2）∵=n•（）n﹣1，设M n=++…+=1•（）0+2•（）1+…+n•（）n﹣1，∴M n=1•（）1+2•（）2+…+（n﹣1）•（）n﹣1+n•（）n，∴M n=1+（）1+（）2+…+（）n﹣1﹣n•（）n=1+=2﹣（）n﹣1﹣n•（）n=2﹣（n+2）•（）n，∴M n=4﹣（n+2）（）n﹣1，∴++…++=4﹣（n+2）（）n﹣1+n•（）n﹣1=4﹣（）n﹣1，设c n=4﹣（）n﹣1，则数列{c n}为递增数列，∴{c n}的最小值为c1=4﹣1=3，∵（﹣1）nλ＜++…++对一切n∈N*恒成立，∴λ＜3，故λ的取值范围为（﹣∞，3）2018年9月22日。
河北省邯郸市成安县第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
成安一中高一期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 (考试时间120分钟；满分150分) 第Ⅰ卷[KS5UKS5U]一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合(){}21,0,|lg 22xP y y x Q x y x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则Q P C R = ( )A ．[)1,2 B ．(1,)+∞ C ．[)2,+∞ D ． [)1,+∞2.12lg 2lg25-的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．使得函数2x 21x ln )x (f -+=有零点的一个区间是 ( )A . (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D .(3，4)4．如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度： cm ），则此几何体的表面积是（ ）．A.(224cm + B. 21cm C.(220cm + D. 24cm[KS5UKS5U]如图，用一平面去截球所得截面的面积为，已知球心到该截面的距离为1 ，则该球的体积是（ ）A.6．若函数()21f x ax bx =++是定义在[]1,2a a --上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5第5题图第4题图7．函数()()2log +1f x x =与()2+1x g x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）8．函数y = ）A. 3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B. 3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 3,14⎛⎤⎥⎝⎦ D. 3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭9．函数()()2ln 23f x x x =--的单调递减区间为( )A.(),1-∞ B.()1,+∞ C. (),1-∞- D.()3,+∞10．设函数246, 0()6, 0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是 ( ) A ．(),3()1,3--∞U B ．()()3,12,-+∞UC ．()()1,13,-+∞UD ．()()3,13,-+∞U11．．已知是上的偶函数，且在上是减函数，若，则不等式的解集是( )A ．B ．C ．D ．12.奇函数()f x ，偶函数()g x 的图象分别如图1，2所示，方程()()()()0,0f g x g f x ==的实根个数分别为,a b ，则a b += ( )A ．14B ．10C ．7D ．3 第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知全集U =R ，函数y =的定义域为集合A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合B ，则集合BA C U )(为_____________14．已知圆锥的母线长是2，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为__________．15．函数2()23x f x x -=+-的零点个数是________． 16．设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为2'1s s ，体积为1v ，2v 若它们的侧面积相等且4921=s s ，则21v v 的值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）设集合121{|log ,2},{|8A y y x x B x y ==≤≤==（1）若2a =，求A B ;（2）若A B B =，求实数a 的取值范围。
河北省唐山一中2017-2018学年高一下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
唐山一中2017～2018学年度第二学期高一年级期中考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（1~2页，选择题）和第Ⅱ卷（3~8页，非选择题）两部分．共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案，每题5分，共60分。
请把答案涂在答题卡上）1. 如果，那么下列不等式成立的是 ( )A. B． C． D．2.在等比数列中，，则 ( )A．18 B．24 C．32 D．343．若的三个内角满足，则的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定4.在数列中，，则的值为 ( )A． B．5 C． D．以上都不对5.数列为等差数列，满足，则数列的前项的和等于( ) A． B．21 C．42 D．846.已知数列为递增等比数列，其前项和为．若，，则 ( )A． B． C． D．7.若满足不等式，则的最大值为 ( )A．11 B．-11 C．13 D．-138.在等比数列中，若，则( )A． B． C． D．9.若实数满足约束条件，则的最大值为 ( )A． B．1 C． D．10.在△ABC中,两直角边和斜边分别为且满足条件,试确定实数的取值范围 ( )A． B． C． D．11.已知不等式，若对任意及，该不等式恒成立，则实数的范围是 ( )A． B． C． D．12.设是数列的前项和，且，则使取得最大值时的值为 ( )A．2 B．3 C．4 D．5试卷Ⅱ（共 90 分）二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13.不等式的解集为________.14.若集合，则实数的取值范围是________.15.设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 …an的最大值为________.16.如图，在中，，分别是上一点，满足，．若，则的面积为________．三、解答题（本题共6个小题，其中第17题10分，其余各题12分共计70分。
2017-2018学年陕西省重点高中高一下学期期中考试数学试题word版含答案
2017-2018学年陕西省重点高中高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．底面半径为，母线长为的圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意首先求得圆锥的高度，然后求解圆锥的体积即可.详解：由题意可得圆锥的高，则圆锥的体积为：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查圆锥的空间结构，圆锥的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是，则它的侧面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先确定圆柱的底面半径和高，然后求解其侧面积即可.详解：由题意可得，圆柱的高为，底面半径为，则底面周长为：，圆柱的侧面积为：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查圆柱的侧面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．若是异面直线，直线，则与的位置关系是（）A. 相交B. 异面C. 平行D. 异面或相交【答案】D【解析】分析：由题意结合空间几何体的性质确定直线的位置关系即可.详解：很明显与的位置关系不可能为平行，否则由平行公理可得，如图所示，在正方体中，取直线分别为，若取为，则与的位置关系是异面，若取为，则与的位置关系是相交，综上可得：与的位置关系是异面或相交.本题选择D选项.点睛：本题主要考查空间中直线的位置关系及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．已知是平面，是直线．下列命题中不正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】分析：由题意找到反例即可确定错误的选项.详解：如图所示，在正方体中，取直线为，平面为，满足，取平面为平面，则的交线为，很明显与为异面直线，不满足，选项B说法错误；由面面垂直的性质推理可得A选项正确；由线面垂直的性质推理可得C选项正确；由线面垂直的定义可得D选项正确.本题选择B选项.点睛：本题主要考查线面关系有关命题的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先还原平面图形，然后求解其面积即可.详解：由直观图可知该平面图形对应的几何体为一个直角三角形，其两条直角边的长度分别为，，则其面积为.本题选择B选项.点睛：本题主要考查直观图的画法及其还原，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为，由题意可得：,据此可得：，外接球的表面积为：.本题选择D选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.7．以为圆心且与直线相切的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圆心到切线距离为，所以，又因为圆心，圆方程为，故选A.8．已知正方形的对角线与相交于点，将沿对角线折起，使得平面平面（如图），则下列命题中正确的是（）A. 直线直线，且直线直线B. 直线平面，且直线平面C. 平面平面，且平面平面D. 平面平面，且平面平面【答案】C【解析】分析：由题意结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果.详解：若，则AB在平面ACD内的射影AC⊥CD，该结论明显不成立，则直线AB⊥直线CD不成立，故A错误；∵AB与CD不垂直，所以直线AB⊥平面BCD不成立，故B错误；∵AC⊥DE，BE⊥AC，∴AC⊥平面BDE，∴平面ABC上平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE，故C正确；很明显平面ABD⊥平面BCD不成立，故D错误.本题选择C选项.点睛：本题主要考查线面关系的命题及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．直线和直线，若，则的值为（）A. B. C. 或 D. 或或【答案】C【解析】分析：由题意结合直线平行的充分必要条件得到关于实数a的方程，求解方程组然后进行验证即可求得最终结果.详解：由两条直线平行的充分必要条件可得，满足题意时有：，解得：.当时，直线，直线，此时直线重合，不满足；当时，直线，直线，满足；当时，直线，直线，满足；综上所述，的值为或.本题选择C选项.点睛：本题主要考查直线平行的充分必要条件及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个组合体，下面是圆柱，上面是三棱锥，如图三棱锥中是圆柱底面直径，在底面圆周上，平面，是圆心，尺寸见三视图，则．故选A．【考点】三视图，组合体的体积．11．在中，，，若使该三角形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先确定空间几何体的结构特征，然后结合体积公式整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，△ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分.由于，，，则，，结合三棱锥的体积公式可得：以ACD为轴截面的圆锥的体积：，以ABD为轴截面的小圆锥的体积：，则所形成的几何体的体积是.本题选择A选项.点睛：本题主要考查椎体的体积公式，学生的空间想象能力，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．已知，，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示：根据题意得，所求直线的斜率满足或，即，或，∴，或，直线的斜率的取值范围是，故选．二、填空题13．若直线与互相垂直，则点到轴的距离为__________．【答案】或【解析】分析：由题意首先求得实数m的值，然后求解距离即可.详解：由直线垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：，，当时点到轴的距离为0，当时点到轴的距离为5，综上可得：点到轴的距离为或.点睛：本题主要考查直线垂直的充分必要条件，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．已知过点的直线被圆所截得的弦长为，那么直线的方程为____________________．【答案】或【解析】分析：首先求得圆心到直线的距离，然后求解直线方程即可.详解：设圆心到直线的距离为，由题意可知：，解得：，即点到经过点直线的距离为，很明显直线的斜率不存在时满足题意，直线方程为，当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由点到直线距离公式可得：，解得：，此时，直线方程为，整理为一般式即：.综上可得：直线的方程为或.点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，直线方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．圆与圆相内切，则的值为__________．【答案】【解析】分析：首先将圆的方程写成标准型，然后利用圆内切的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.详解：圆的标准方程即：，圆的圆心在圆之外，则，结合两圆内切的充分必要条件可得：，解得：.点睛：(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．16．如图，在正方体中，过对角线的一个平面交于点，交于.①四边形一定是平行四边形；②四边形有可能是正方形；③四边形在底面内的投影一定是正方形；④四边形有可能垂直于平面．以上结论正确的为_______________．（写出所有正确结论的编号）【答案】①③④【解析】分析：由题意结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果.详解：如图所示：①由于平面BCB1C1∥平面ADA1D1，并且B、E、F、D1，四点共面，故ED1∥BF，同理可证，FD1∥EB，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故①正确；②若BFD1E是正方形，有ED1⊥BE，结合A1D1⊥BE可得BE⊥平面ADD1A1，明显矛盾，故②错误；③由图得，BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，故③正确；④当点E和F分别是对应边的中点时，EF⊥平面BB1D，则平面BFD1E⊥平面BB1D，故④正确.综上可得：题中所给的结论正确的为①③④.点睛：本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.三、解答题17．三角形的三个顶点是．（1）求边所在的直线的方程；（2）求的面积．【答案】（1）（2）17【解析】分析：（1）由斜率公式可得，由点斜式整理为一般式可得直线方程为.（2）结合点到直线距离公式可得到的距离，由两点之间距离公式可得，则三角形的面积为．详解：（1），，即.（2）到的距离，，故．点睛：本题主要考查直线方程的求解，点到直线距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．求符合下列条件的直线方程：（1）过点，且与直线平行；（2）过点，且与直线垂直；（3）过点，且在两坐标轴上的截距相等．【答案】（1）（2）（3）或【解析】分析：（1）设直线方程为，由直线系方程可得满足题意的直线方程为．（2）设直线方程为，由直线系方程可得满足题意的直线方程为．（3）分类讨论截距为0和截距不为0两种情况可得直线方程为或．详解：（1）设直线方程为，把代入上式得：，解得：，直线方程为．（2）设直线方程为，把代入上式得：，解得：，直线方程为．（3）若截距为，则直线方程为，把代入上式得：，解得：，故直线方程为，即；若截距不为，设截距为，则方程为，把代入上式得：，解得：，故直线方程为，综上：直线方程为或．点睛：本题主要考查直线方程的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】分析：（1）由题意可得CD过AB的中点，结合点斜式方程可得其直线方程为；（2）设圆心，由圆心在直线上，结合圆的半径整理计算即可求得最终结果可得或，则圆的方程为或．详解：（1）直线的斜率，中点坐标为，直线方程为，即；（2）设圆心，则由点在直线上得：①，又直径，，②由①②解得：或圆心或圆的方程为或．点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．20．如图，已知菱形的边长为，，，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）由题意知，为的中点，为的中点，．又平面，平面，平面．（2）由题意结合勾股定理可得．由菱形的性质可得；结合线面垂直的判断定理可得平面，则平面平面．详解：（1）由题意知，为的中点，为的中点，．又平面，平面，平面．（2）由题意知，，，，，即．又四边形是菱形，；，平面，平面，平面，平面平面．点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．21．在棱长为的正方体中，分别为的中点．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）由题意结合几何关系可证得平面，结合线面垂直的定义可得；（2）结合三棱锥的性质转化顶点可得．详解：（1）在棱长为的正方体中，连结．平面，平面，是正方形，；又，平面；又平面，；（2）到平面的距离，，三棱锥的体积．点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．22．如图，三棱柱111ABC A B C -， 1AA ⊥底面ABC ，且ABC ∆为正三角形， 16AA AB ==，D 为AC 中点．（1）求三棱锥1C BCD -的体积； （2）求证：平面1BC D ⊥平面11ACC A ； （3）求证：直线1//AB 平面1BC D【答案】（1）2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：（1）先根据ABC ∆为正三角形， D 为AC 中点,∴BD AC ⊥，求出BCD ∆的面积；再根据1C C ⊥底面ABC ，即可求解三棱锥的体积；（2）先根据1A A ⊥底面ABC ，∴1A A BD ⊥，再结合BD AC ⊥，即可得到BD ⊥平面11ACC A ，从而证明平面1BC D ⊥平面11ACC A ；（3）连结1B C 交1BC 于O ，连结OD ，根据D 为AC 中点， O 为1B C 中点，所以1//OD AB ，即可证明直线1//AB 平面1BC D ．试题解析（1）∵ABC ∆为正三角形， D 为AC 中点,∴BD AC ⊥,由6AB =可知， 3,CD BD ==12BCD S CD BD ∆=⋅⋅=又∵1A A ⊥底面ABC ，且16A A AB ==， ∴1C C ⊥底面ABC ，且16C C =，∴1113C BCD BCD V S C C -∆=⋅⋅= （2） ∵1A A ⊥底面ABC ,∴1A A BD ⊥． 又BD AC ⊥，∴BD ⊥平面11ACC A ．又BD ⊂平面1BC D ，∴平面1BC D ⊥平面11ACC A ． （3）连结1B C 交1BC 于O ，连结OD ，在1B AC ∆中， D 为AC 中点， O 为1B C 中点，所以1//OD AB ， 又OD ⊂平面1BC D ∴直线1//AB 平面1BC D ．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【方法点晴】本题主要考查了平面与平面垂直的判定以及直线与平面平行的判定和棱锥的体积的计算，属于中档试题，解答时证明直线与平面平行时，一般常用的做法是证明平面与平面平行或证明直线与直线平行，分别利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理证明线面平行，而证明平面与平面垂直时，可转化为先证明线面垂直，在利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，此类问题的解答关键是牢记线面位置的关系的判定定理，构造判定定理的条件，利用判定定理证明．。
河北省石家庄市第一中学2017-2018学年学年高一下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
石家庄市第一中学2017—2018学年度第二学期期中考试高一年级文科数学试题第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求解指数和对数不等式得集合A和B，利用交集定义求交集即可..所以.故选A.点睛：本题主要考查了指数和对数函数的单调性和交集的运算，属于基础题.2. 已知向量，，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由向量平行得，从而得，进而可得数量积.详解：向量，，若，则.解得.所以，有.故选A.点睛：本题主要考查了向量的平行的坐标关系，及数量积的坐标运算，属于基础题.3. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，，则（）A. 4B. 5C. 8D. 10【解析】分析：设等差数列的公差为d，且d≠0，可得，而代入可得解.详解：设等差数列的公差为d，且.由，可得：则.故.故选A.点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和的通项公式，属于基础题.4. 已知则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由可得，由，可得.详解：由且，所以，即.又，即.综上：.故选A.点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．5. 函数的图象可由函数的图象（）A. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位B. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位【解析】分析：由函数，再由伸缩平移变换可得解.详解：由函数.只需将函数的图象各点的横坐标缩短到原来的倍，得到；再向右平移个单位得到：.故选B.点睛：1．利用变换作图法作y＝A sin(ωx＋φ)的图象时，若“先伸缩，再平移”，容易误认为平移单位仍是|φ|，就会得到错误答案．这是因为两种变换次序不同，相位变换是有区别的．例如，不少同学认为函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到的是y＝sin的图象，这是初学者容易犯的错误．事实上，将y＝sin 2x的图象向左平移个单位应得到y＝sin 2(x＋)，即y＝sin(2x＋)的图象．2．平移变换和周期变换都只对自变量“x”发生变化，而不是对“角”，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而言；周期变换也是只涉及自变量x的系数改变，而不涉及φ.要通过错例辨析，杜绝错误发生．6. 已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据对数的运算性质可得，从而得解.详解：由，可知恒成立，所以函数的定义域为R..所以.故选D.点睛：本题主要考查了函数的中心对称性，及对数的运算法则，属于基础题.7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】A【解析】分析：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，PB为四棱锥的高等于2．再由棱锥体积公式求解．详解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，PB为四棱锥的高等于2.∴该几何体的体积.故选：A.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8. 函数的递增区间为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：令=>0，求得函数的定义域为，且函数y=，本题即求二次函数t （x）在上的增区间．再利用二次函数的性质可得t（x）在上的增区间．详解：令=>0，求得 x≤1，或x≥2，故函数的定义域为，且函数y=，点睛：复合函数单调性判断的口诀：同增异减，即内外层单调性一致为增函数，内外层单调性相反为减函数.9. 已知函数（其中且），若，则在同一坐标系内的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：当时，与的单调性一致，这样A与D排除，根据条件，故C排除，因为显然，故选B.考点：1.指数函数；2.对数函数.【方法点睛】本题主要考察了指数函数与对数函数的图像，属于基础题型，对于给出函数的解析式，选函数图像的题型，首先要熟悉函数的一些性质，然后观察函数的定义域，以及函数的性质（单调性，奇偶性等），最值，有无渐近线，还包括特殊点，特殊值等，如果是这样选两个函数图像，那么就先看两个函数的共同性质，以及不同性质，合理选用排除法.10. 若正数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由，可得，进而展开用基本不等式可得最小值.详解：由，可得.当且仅当，即时有最小值9.故选C.点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.【解析】分析：求不等式的解集，先转化为求不等式的解集，根据奇函数的单调性作出函数的图象，分类讨论即可解决．详解：∵奇函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2)=0，作函数f(x)的草图，如图所示：先求不等式的解，当x>0时(y轴右侧),f(x)<0(x轴下方)，∴x>2当x<0时(y轴左侧),f(x)>0(x轴下方)，∴x<−2可见不等式xf(x)>0的解为：−2<x<0或0<x<2再将x换成x−1，得：−2<x−1<0或0<x−1<2即：−1<x<1或1<x<3故选D.点睛：本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系及数形结合进行求解是解决本题的关键．解这种题型往往是根据函数所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性（偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同），然后再根据单调性列不等式求解.12. 已知函数，函数，则函数的零点的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：求出函数的解析式，推出的表达式，然后求解函数的零点．详解：函数,可得，则,令，可得，画出与y=的图象如图所示：由图可得：与y=有4个交点故有4个零点。
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2017-2018学年河北省邯郸市荀子中学高一（下）期中数学试卷
一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分，题中只有一个答案正确，请将答案填在答案卷的对应答题栏上） 1．与610°角终边相同的角表示为（ ） A．k360°+270° B．k360°+230° C．k360°+70° D．k360°+250° 2．若2弧度的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所在的扇形的面积为（ ）
A．4 B．2 C．4π D．2π 3．的值为（ ） A． B．﹣ C． D．﹣ 4．函数的最小正周期是（ ） A． B．π C．2π D．4π 5．在[0，2π]上满足sinx≥的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．若cos（π+α）=﹣π＜α＜2π，则sin（2π﹣α）等于（ ） A．﹣ B． C． D．± 7．斜率为1，与圆x2+y2=1相切的直线的方程为（ ） A． B． C．或 D．x﹣y﹣2=0或x﹣y+2=0 8．若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于（ ） A．﹣3 B． C．3 D． 9．要得到y=3sin（2x+）的图象只需将y=3sin2x的图象（ ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 10．设a=sin17°cos45°+cos17°sin45°，b=2cos213°﹣1，c=，则有（ ） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 11．函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（ ）
A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（﹣） D．y=2sin（2x﹣） 12．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于x=对称，③在上是
增函数”的一个函数是（ ） A． B． C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题纸的对应答题栏上） 13．sin15°+sin75°的值是 ． 14．函数y=sinx﹣cosx的最大值为 ． 15．函数y=sin2xcos2x的最小值是 ． 16．把函数y=cosx的图象向左平移个单位，所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标
扩大到原来的两倍，所得图形表示的函数的解析式为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知，求下列各式的值． （1） （2）sinαcosα （3）． 18．求直线x﹣y+2=0被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4截得的弦长． 19．设α，β均为锐角，，求cosβ的值． 20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜），在同一周期内的最高
点是（2，2），最低点是（8，﹣4），求f（x）的解析式． 21．已知函数y=sin（+4x）+cos（4x﹣） （1）求它的最小正周期 （2）求它的最大最小值及对应的x的取值集合． 22．已知函数f（x）=3sin（+）+3 （1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间； （2）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； （3）函数f（x）图象可由y=sinx的图象经怎样的变换得到？
2017-2018学年河北省邯郸市荀子中学高一（下）期中数
学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分，题中只有一个答案正确，请将答案填在答案卷的对应答题栏上） 1．与610°角终边相同的角表示为（ ） A．k360°+270° B．k360°+230° C．k360°+70° D．k360°+250° 【考点】终边相同的角． 【分析】根据 610°=1×360°+250°，故在[0°，360°）内，与610°角终边相同的角是250°，由此可得结论． 【解答】解：由于 610°=1×360°+250°，故与610°角终边相同的角是k360°+250°，
故选D． 【点评】本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，属于基础题．
2．若2弧度的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所在的扇形的面积为（ ） A．4 B．2 C．4π D．2π 【考点】扇形面积公式． 【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积． 【解答】解：弧度是2的圆心角所对的弧长为4，所以圆的半径为：2， 所以扇形的面积为： =4； 故选A 【点评】本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．
3．的值为（ ） A． B．﹣ C． D．﹣ 【考点】诱导公式的作用． 【分析】直接根据诱导公式转化求解计算即可． 【解答】解：∵tan=tan（3π﹣）=﹣tan=﹣． 故选：D． 【点评】本题考查诱导公式的应用：求值．此类题一般依照“负角化正角，大角化小角”的顺序进行角的转化．
4．函数的最小正周期是（ ） A． B．π C．2π D．4π 【考点】三角函数的周期性及其求法． 【分析】先求出y=sin的周期，再由函数是函数y=sinx轴上方的图象不动将x轴下方的图象向上对折得到，故其周期是原来的一半，得到答案．
【解答】解：对于y=sin，T=， 函数是函数y=sinx轴上方的图象不动将x轴下方的图象向上对折得到的，如图示，故T'=T=2π， 故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的最小正周期的求法和加绝对值后周期的变化．对于三角函数不仅要会画简单三角函数的图象还要会画加上绝对值后的图象．
5．在[0，2π]上满足sinx≥的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【考点】正弦函数的单调性． 【分析】利用三角函数线，直接得到sinx≥的x的取值范围，得到正确选项． 【解答】解：在[0，2π]上满足sinx≥，由三角函数线可知，满足sinx≥，的解，在图中阴影部分， 故选B
【点评】本题是基础题，考查三角函数的求值，利用单位圆三角函数线，或三角函数曲线，都可以解好本题，由于是特殊角的三角函数值，可以直接求解．
6．若cos（π+α）=﹣π＜α＜2π，则sin（2π﹣α）等于（ ） A．﹣ B． C． D．± 【考点】运用诱导公式化简求值． 【分析】通过诱导公式，求出cosα的值，进而求出sin（2π﹣α）=sinα的值． 【解答】解：∵ ∴ sin（2π﹣α）=﹣sinα== 故选B． 【点评】本题考查了诱导函数的应用，注意角的范围的应用，属于基础题型．
7．斜率为1，与圆x2+y2=1相切的直线的方程为（ ） A． B． C．或 D．x﹣y﹣2=0或x﹣y+2=0 【考点】圆的切线方程． 【分析】设出直线方程，根据直线相切的等价条件建立方程关系即可． 【解答】解：设直线方程为x﹣y+c=0， 当直线和圆相切时，满足圆心到直线的距离d==1， 即|c|=，解得c=±， 故所求的直线方程为x﹣y+=0或x﹣y﹣=0 故选：C． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据相切的等价条件是解决本题的关键．
8．若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于（ ） A．﹣3 B． C．3 D． 【考点】两角和与差的正切函数． 【分析】根据两角和与差的正切公式，代入即可得到答案． 【解答】解：∵tanα=3，
∴ 故选D 【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．
9．要得到y=3sin（2x+）的图象只需将y=3sin2x的图象（ ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】根据左加右减的原则进行左右平移即可． 【解答】解：∵， ∴只需将y=3sin2x的图象向左平移个单位 故选C． 【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数进行平移时的原则是左加右减上加下减．
10．设a=sin17°cos45°+cos17°sin45°，b=2cos213°﹣1，c=，则有（ ） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数． 【分析】利用两角和与差的正弦函数公式化简已知的a，利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简b，再利用特殊角的三角函数值化简c，根据正弦函数在[0，90°]为增函数，由角度的大小，得到正弦值的大小，进而得到a，b及c的大小关系． 【解答】解：化简得：a=sin17°cos45°+cos17°sin45°=sin（17°+45°）=sin62°， b=2cos213°﹣1=cos26°=cos（90°﹣64°）=sin64°， c==sin60°， ∵正弦函数在[0，90°]为增函数， ∴sin60°＜sin62°＜sin64°，即c＜a＜b． 故选C 【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
11．函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（ ）
A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（﹣） D．y=2sin（2x﹣） 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．