高等数学多元函数的微分学 (8.6.3)--方向导数与梯度-作业答案

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(完整版)多元函数微分学复习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= （提示：令22y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ）（A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是（C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是（A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为（D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为（A ）（A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的（ B ）（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点（B ）点P 0是函数z 的极小值点（C ）点P 0非函数z 的极值点（D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是（ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，∂∂ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy= _______ .答：2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求∂∂∂∂z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明：因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。

8-11 则多元函数微分学习题课(下)

6 arccos 130
例. 讨论函数
是否取得极值.
及
在点(0,0)
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有在(0,0)点邻域内的取值
z
o x
y
正
可能为负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0 因此为极小值.
当 x 2 y 2 0 时, z ( x 2 y 2 ) 2 z (0,0) 0
a3 x0 y0 z0 3 3
例试求曲面 xyz=1上任一点 ( , , ) 处的法线方程和切平面方程。并证明切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积是一个常量。证设 F ( x , y , z ) xyz 1
Fx yz, Fy xz, Fz xy
解: (1)
曲线
在点
M (1,1,1) 处切线的方向向量
l
函数沿 l 的方向导数 f f x cos f y cos f z cos (1,1,1) l M
(2) grad f
M
(2 , 1 , 0)
cos
f l M l grad f M l
V 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大,
故取拉格朗日函数
2 0 2
2 0 2
2 0 2
x y z F x yz ( 2 2 四面体的体积最小Vmin abc . a b c ( ，， )时, 2 3 3 3
2、方向导数与梯度
方向导数定义方向导数的计算公式（注意使用公式的条件）梯度的概念——向量梯度与方向导数的关系
3、多元函数的极值
极值、驻点、必要条件充分条件 ( AC B2 0)

同济六版高数练习册答案第八章多元函数微分法及其应用word资料32页

解：初等函数在其定义域内连续。 = =
（2）
（3）
（4） =
（5）
2．证明下列极限不存在
（1）；
解令则
，不同的路径极限不同，故极限不存在。
（2） .
当时
当时，不同的路径极限不同，故极限不存在
3．用定义证明： .
解：由，故对取，当时，故
§2偏导数
1．求下列函数的偏导数：
（1）；
微.（F）
（5）若函数在一点偏导数存在且连续，则函数在该点一定可微.（T）
2．求下列函数的全微分：
（1）；
法一：，
法二
（2）；
，
（3） .
, ,
=
3．利用微分的形式不变性求函数的偏导数，并求的值.
,
4．讨论函数在点的可微性.
分析用定义去证明函数在可微性，（1）首先考察在的可导性，若不可导，则不可微。（2）若可导求出，，算出全增量，和偏增量，（3）考察全增量与偏增量之差是否是的高阶无穷小，即极限是否为零。若为零则可微，否则不可微。
法二：关于是幂指函数转化为指数函数
则
法三：取对数得，，两边关于求导得
，
（4），求；
（5），求；
（6），求 .
,
2．求下列函数的二阶偏导数：(需要注意的是复合函数在求导以后仍然是复合函数，求高阶导时仍然要用链式法则)
（1），求。
，（注意到为
（2），求；
（注意到分别为）
（3），求；
由得，，
故，
又，得。
证明2：(视为中间变量，为最终变量;不妨设此时）
，

高等数学(下册)第9章第5节方向导数与梯度

x P0
y P0
z P0
f cos f cos f cos o() .
x P0
y P0
z P0
一、方向导数
所以
f lim f (P) f (P0 ) f cos f cos f cos .
l 0 P0
x P0
y P0
z P0
注对于二元函数f (x, y)，由于 π ，所以相应于(1)式的结果是
二、梯度
例 9.30 求函数u x2 2 y2 3z2 3x 2 y在点(1,1, 2)处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？
解由梯度计算公式得
gradu(x, y, z) u i u j u k = (2x 3)i (4 y 2) j 6zk， x y z
故gradu(1,1,
cos 1 ，cos 1 .因为
2
2
z e2 y 1；z 2xe2 y 2，
x (1,0)
(1,0)
y
(1,0)
(1,0)
故所求方向导数为
z 1 l (1,0)
1 221 2Fra bibliotek2. 2
一、方向导数
例 9.28 设n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，求函数
2)
5i
2
j
12k.易知在点P0
(
3 2
,
1 2
,
0)处梯度为零.
高等数学（下册）
学海无涯，祝你成功！
u
1
(6x2
1
8y2)2
在此处沿方向n 的方向导数.
z
解令F (x, y, z) 2x2 3y2 z2 6，因为
Fx P 4x P 4，Fy P 6 y P 6，Fz P 2z P 2，

多元函数微分学

多元函数微分学一、本章提要１．基本概念多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度．２．基本方法二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函数求导法则求偏导数．隐函数微分法：拉格朗日乘数法．３．定理混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件．二、要点解析问题１比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同，说明二元函数在一点处极限存在、连续、可导、可微之间的关系．解析 )1(多元函数微分学的内容是与一元函数微分学相互对应的．由于从一元到二元会产生一些新的问题，而从二元到多元往往是形式上的类推，因此我们以二元函数为代表进行讨论．如果我们把自变量看成一点P ，那么对于一元函数，点P 在区间上变化；对于二元函数),(y x f ，点),(y x P 将在一平面区域中变化．这样，无论对一元、二元或多元函数都可以统一写成)(P f u =，它称为点函数．利用点函数，我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成)()(lim ,)(lim 00P f P f A P f P P P P ==→→．（２）二元函数微分学与一元函数微分学相比，其根本区别在于自变量点P 的变化从一维区间发展成二维为区域．在区间上P 的变化只能有左右两个方向；对区域来说，点的变化则可以有无限多个方向．这就是研究二元函数所产生的一切新问题的根源．例如，考察二元函数的极限2200limyx xyy x +→→，容易看出，如果先让0→x 再让0→y ，那么00lim )lim(lim 02200==+→→→y x y yx xy，同样，先让0→y 再让0→x ，也得到0)lim(lim 2200=+→→yx xyy x ，但是如果让),(y x 沿直线)0(≠=k kx y 而趋于)0,0(，则有222202201)1(lim lim k k k x kx y x xy x kxy x +=+=+→→→，它将随k 的不同而具有不同的值，因此极限2200limyx xyy x +→→ 不存在，从这里我们可以体会到，从一维跨入二维后情况会变得多么复杂．又如，在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但是对于二元函数来说，这一结论并不一定成立．考察函数222222,0,(,)0,0,xy x y z f x y x y x y ⎧+≠⎪==+⎨⎪+=⎩000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+='→∆→∆x xf x f f x x x ，同样000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+='→∆→∆yy f y f f y y y ，所以),(y x f 在)0,0(点可导．然而，我们已经看到极限lim →→y x =),(y x f 2200limy x xyy x +→→不存在，当然),(y x f 在)0,0(不连续．多元可导函数与一元可导函数的这一重大差异可能使初学者感到诧异，其实仔细想一想是可以理解的．因为偏导数)0,0(x f '实质上是一元函数)0,(x f 在0=x 处关于x 的导数．它的存在只保证了一元函数)0,(x f 在点0=x 的连续．同理，偏导数)0,0(y f '的存在保证了),0(y f 在0=y 点的连续，从几何意义来看，),(y x f z =是一张曲面，)0,(x f z =，0=y 为它与平面0=y 的交线，),0(y f z =，0=x 为它与平面0=x 的交线．函数),(y x f z =在（0,0）处的可导，仅仅保证了上述两条交线在（0,0）处连续，当然不足以说明二元函数),(y x f z =即曲面本身一定在（0,0）处连续．（３）在一元函数中，可微与可导这两个概念是等价的．但是对于二元函数来说，可微性要比可导性强，我们知道，二元函数的可导不能保证函数的连续，但若),(y x f z =在),(00y x 可微，即全微分存在，那么有全增量的表达式)(),(),(0000ρo y y x f x y x f z y x +∆'+∆'=∆其中当0→ρ时，)(ρo 0→，从而0lim 00=∆=∆=∆z y x ，因此函数在),(00y x 可微，那么它在),(00y x 必连续．函数是否可微从定义本身可以检验，但不太方便．然而我们有一个很简便的充分条件：若),(y x f 在),(00y x 不仅可导而且偏导数都连续，那么),(y x f 必在),(00y x 可微．函数),(y x f 的偏导数是容易求得的，求出两个偏导数后在它们连续的点处，全微分立即可以写出：d (,)d (,)d x y z f x y x f x y y ''=+．（４）二元函数的极限、连续、偏导、可微关系图：极限存在偏导数连续问题２如何求多元函数的偏导数？解析求多元函数的偏导数的方法，实质上就是一元函数求导法．例如，对x 求偏导，就是把其余自变量都暂时看成常量，从而函数就变成是x 的一元函数．这时一元函数的所有求导公式和法则统统可以使用．对于多元复合函数求导，在一些简单的情况，当然可以把它们先复合再求偏导数，但是当复合关系比较复杂时，先复合再求导往往繁杂易错．如果复合关系中含有抽象函数，先复合的方法有时就行不通．这时，复合函数的求导公式便显示了其优越性．由于函数复合关系可以多种多样，在使用求导公式时应仔细分析，灵活运用．例1 设e sin ,xyz y =求yz x z ∂∂∂∂,．解直接求偏导数e sin xy zy y x∂=∂， e sin e cos xy xy zx y y y∂=+∂ ，利用全微分求偏导数d sin de e d sin xy xy z y y =+e sin (d d )e cos d xy xy y y x x y y y =++ e sin d (e sin e cos )d xy xy xy y y x x y y y =++，所以e sin ,e sin e cos xy xy xy z zy y x y y x y∂∂==+∂∂．例2 设(e ,sin ),xyz f y =求yzx z ∂∂∂∂,．解由复合函数求导法则，得1(e ,sin )e xy xy zf y y x∂=⋅∂， 12(e ,sin )e (e ,sin )cos xy xy xy zf y x f y y y∂=⋅+∂，其中21,f f 分别表示(e ,sin )xyf y 对e ,sin xyy 的偏导数．问题3 二元函数的极值是否一定在驻点取得？解析不一定．二元函数的极值还可能在偏导数不存在的点取得．2y 例3 说明函数221),(y x y x f +-=在原点的偏导数不存在，但在原点取得极大值．解 xx x x x f x f x x x ∆∆-=∆-∆-=∆-∆+→∆→∆→∆0200lim1)(1lim )0,0()0,0(lim ，此极限不存在，所以在)0,0(处x f ')0,0(不存在．同理y y yf y f y y ∆∆-=∆-∆+→∆→∆00lim)0,0()0,0(lim ，此极限不存在，所以，在点)0,0(处，y f ')0,0(不存在．但函数221),(y x y x f +-=≤f )0,0(1=，即),(y x f 在点)0,0(取得极大值1．问题4 在解决实际问题时，最值与极值的关系如何？无条件极值问题与有条件极值问题有何区别？如何用拉格朗日乘数法求极值？解析在实际问题中，需要我们解决的往往是求给定函数在特定区域中的最大值或最小值．最大、最小值是全局性概念，而极值却是局部性概念，它们有区别也有联系．如果连续函数的最大、最小值在区域内部取得，那么它一定就是此函数的极大、极小值．又若函数在区域内可导，那么它一定在驻点处取得．由于从实际问题建立的函数往往都是连续可导函数，而且最大（最小）值的存在性是显然的．因此，求最大、最小值的步骤通常可简化为三步：（1）根据实际问题建立函数关系，确定定义域；（2）求驻点；（3）结合实际意义判定最大、最小值．从实际问题所归纳的极值问题通常是条件极值．条件极值和无条件极值是两个不同的概念．例如，二元函数22y x z +=的极小值（无条件极值）显然在)0,0(点取得，其值为零．但是)0,0(显然不是此函数的约束条件01=-+y x 下的条件极小值点．事实上0,0==y x 根本不满足约束条件．容易算出，这个条件极小值在点11(,)22处取得，其值为12，从几何上来看，它们的差异是十分明显的．无条件极小值是曲面22y x z +=所有竖坐标中的最小者，如图所示；而条件极小值是曲面对应于平面01=-+y x 上，即空间曲面⎩⎨⎧=-++=01,22y x y x z 上各点的竖坐标中最小者．我们所说的把条件极值化成无条件极值来处理，并不是化成原来函数的无条件极值，而是代入条件后化成减少了自变量的新函数的无条件极值．例如把条件x y -=1代入函数22y x z +=，便将原来的条件极值化成了一元函数122)1(222+-=-+=x x x x z的无条件极值．用拉格朗日乘数法求出的点可能是极值点，到底是否为极值点还是要用极值存在的充分条件或其他方法判别．但是，若讨论的目标函数是从实际问题中得来，且实际问题确有其值，通过拉格朗日乘数法求得的可能极值点只有一个，则此点就是极值点，无需再判断．例4 求522++=y x z 在约束条件x y -=1下的极值．解作辅助函数)1(5),,(22y x y x y x F --+++=λλ，则有λλ-='-='y F x F y x 2,2，解方程组20,20,10,x y x y λλ-=⎧⎪-=⎨--=⎪⎩ 得1,12x y λ===．现在判断11(,)22P 是否为条件极值点：由于问题的实质是求旋转抛物面522++=y x z 与平面x y -=1的交线，即开口向上的抛物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点11(,)22P 处取得极小值112z =．问题5 方向导数和梯度对于研究函数有何意义？解析二元函数(,)z f x y =在点),(y x 处的方向导数lf∂∂刻画了函数在这点当自变量沿着射线l 变化时的变化率，梯度 z grad 的方向则是函数在点),(y x 处方向导数最大的射线方向．因此沿梯度方向也是函数值增加最快的方向，所以梯度对寻找函数的最大值很有帮助．例5 求函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处函数值下降最快的方向．解负梯度方向是函数值下降最快的方向，因u u x ∂=∂grad i u y ∂+∂j zu ∂∂+k z y 2=i xyz 2+j 2xy +k ， (1,-1,2)24u=-+grad i j k ，故所求方向为(1,-1,2)24u =-=-+-grad a i j k ．三、例题精选例6 求函数)1ln(2222y x y x z ---=的定义域，并作出定义域图形．解要使函数有意义，需满足条件22220,10,11,x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨--≠⎪⎩ 即⎪⎩⎪⎨⎧≠<+≤),0,0(),(,1,2222y x y x x y定义域如图阴影部分所示．例7 设(,)e sin ,uf u v v =求 d (,)f xy x y +．解一因为 (,)e sin ,uf u v v = 所以 (,)e sin()xy f xy x y x y +=+，e sin()e cos()xy xy fy x y x y x∂=+++∂， e sin()e cos()xy xy fx x y x y y∂=+++∂，所[]d (,)sin()cos()e d xyf xy x y y x y x y x +=++++[]sin()cos()e d xyx x y x y y +++．解二由复合函数求导法则得e sin()e cos()xy xyf f u f v x y y x y x u x v x∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂， e sin()e cos()xy xy f f u f v x y x x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂，所以[]d (,)esin()cos()d xyf xy x y y x y x y x +=++++[]e sin()cos()d xy x x y x y y +++．例8 设)(),,(u xF xy u y x f z +==，其中F 为可微函数，且xyu =，验证zxxyyuxy z yz y x z x+=∂∂+∂∂．证这是带有抽象符号的函数，其复合关系如图所示．[]u F x y u F y x u u F x u F y x u u f x f x z d d )(d d )(-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++=∂∂∂∂+∂∂=∂∂，同理有u F x y u u F x x y u u f y f y z d d d d +=∂∂+=∂∂∂∂+∂∂=∂∂， uFy xy u F y u xF xy y z y x z xd d d d )(++-+=∂∂+∂∂xy z u xF xy +=+=)(2．例９设2(,,)e xf x y z yz =，其中),(y x z z =由方程0=-++xyz z y x 所确定，求(0,1,1)x f '-．解 2(,,)e xf x y z yz =对x 求偏导，并注意到z 是由方程所确定的y x ,的函数，得[]2,,(,)e 2e x x x z f x y z x y yz yz x∂'=+⋅∂①下面求xz∂∂，由0),,(=-++=xyz z y x z y x F 得11x z F z zy x F yx '∂-=-=-'∂-，代入①得 []21,,(,)e 2e 1x x x zyf x y z x y yz yz yx-'=-⋅-，于是02011(1)(0,1,1)e 1(1)2e 1(1)5101x f -⋅-'-=⋅⋅--⋅⋅-⋅=-⋅．例10 求曲面2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的切平面方程．解析此题的关键是找出切点．如果平面上的切点为),,(000z y x ，则曲面过该点的法向量可由000,,z y x 表示．要使所求的切平面与已知平面平行，一定有切平面的法向量与已知平面的法向量对应坐标成比例．于是切点的坐标可找出．解设曲面02132),,(222=-++=z y x z y x F平行于已知平面的切平面与曲面相切于),,(000z y x ，故该切平面的法向量n {}000000000(,,),(,,),(,,)x y z F x y z F x y z F x y z '''=过),,(000z y x 的切平面方程为0)(6)(4)(2000000=-+-+-z z z y y y x x x ，①该切平面与已知平面064=++z y x 平行，所以664412000z y x ==， ②又由于),,(000z y x 在曲面上，所以2132202020=++z y x ，③联立②与③式，解得⎪⎩⎪⎨⎧===.2,2,1010101z y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.2,2,1020202z y x将这两组值分别代入①，最后得到切平面方程为及46210,46210.x y z x y z ++-=+++=例11 求函数22324y xy x x z -+-=的极值．解第一步：由极值的必要条件，求出所有的驻点23820,220,z x x y x z x y y∂⎧=-+=⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ 解出{110,0,x y == {222,2.x y ==第二步：由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为极值点，为了简明列表如下：因此，函数的极大值为0)0,0(=z ．例12 求曲线x y ln =与直线01=+-y x 之间的最短距离．解一切线法．若曲线上一点到已知直线的距离最短，则过该点平行与已知直线的直线必与曲线相切；反之曲线上在该点处的切线必平行与已知直线．据此，我们先求x y ln =的导数1,y x'=令1='y （已知直线上的斜率为1），得 1=x ，这时0=y ，故曲线x y ln =上点)0,1(到直线01=+-y x 的距离最短，其值为2)1(110122=-++-=d ．解二代入条件法（利用无条件极值求解）．设),(y x 为曲线x y ln =上任意一点，则点),(y x 到已知直线的距离为121+-=y x d ，将x y ln =代入上式得1ln 21+-=x x d ，易知)0(01ln >>-=x x x ，故()1ln 21+-=x x d ．①令1ln +-=x x u ，则xu 11-='，由0='u ，得1=x ，这是函数1ln +-=x x u 在),0(+∞内唯一驻点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在．于是由①式得所求的最短距离为()211ln 121=+-=d ．解三拉格朗日乘数法．设),(y x 为曲线x y ln =上任意一点，则该点到直线的距离为121)1(1122+-=-++-=y x y x d ，令2d z =，则21212122+-+-+=y x xy y x z ，显然，在上式中x y ln =，即0ln =-x y ．引入辅导函数 )ln (212121),(22x y y x xy y x y x F -++-+-+=λ，解方程组(,)10,(,)10,ln 0,x y F x y x y x F x y y x y x λλ'⎧=-+-=⎪'=--+=⎨⎪-=⎩①②③①②+，得0)11(=-xλ．因为0≠λ，故1=x ，代入③，得0=y ，于是)0,1(是唯一可能的极值点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在，故曲线x y ln =上点)0,1(到已知直线的距离最短，其值为()210121=+-=d ．四、练习题 1．判断正误)1( ()()()000000,,,x x x y y x x x x y x f y x f y x f =====表达式成立；（ √ ）解析 ()00,y x f x 表示),(y x f 在),(00y x 对x 的偏导数；()00,y y x x x y x f ==表示),(y x f 对x 的偏导数在),(00y x 处的值；()00,x x x y x f =表示),(y x f 先固定0y y =后，函数),(0y x f 在0x x =处的导数．由偏导数定义及偏导数意义可知，三个表达式是相等的．)2( 若),(y x f z =在()00,y x 处偏导数存在，则),(y x f z =在()00,y x 处一定可微；（ ⨯ ）解析由可微的充分条件知，只有),(y x f z =在点()00,y x 处的两个偏导数存在且连续时，函数),(y x f z =在该点一定可微．例如=),(y x f 222,(,)(0,0)0,(,)(0,0)xy x y x y x y ⎧⎪≠⎨+⎪=⎩在（0，0）处偏导数存在，但不可微．)3( 若()00,y x 为),(y x f z =的极值点，则()00,y x 一定为驻点；（ ⨯ ）解析偏导数不存在的点也可能是极值点．例如 22y x z +=在（0，0）处取得极小值，但zx z y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩在（0，0）处偏导数不存在，不是驻点．)4(00==∂∂y x xf 就是函数),(y x f 在)0,0(处沿x 轴方向的方向导数．（ √ ）解析沿x 轴方向的方向导数 πcos 0cos 2f f f f l x y x∂∂∂∂=+=∂∂∂∂． 2．选择题)1( 设22),(y x xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-．解析 22),(yx xyy x f +=是关于x ，y 的对称函数，故),(),(y x f x y f =． )2(设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）； )A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos x y -； )D ( e sin x y -．解析 e cos xz y x∂=∂，=∂∂∂y x z 2e sin x y -． )3(已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f∂∂=∂∂+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．解析设 u y x =+，v y x =-，则 22),(y x y x y x f -=-+=))((y x y x -+变换为 uv v u f =),(．u v xvv f x u u f x f +=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，u v y v v f y u u f y f -=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，所以yfx f ∂∂+∂∂=y x v u v u v 222)()(-==-++． )4(函数xy y x z 333-+=的驻点为（ B ）； )A ()0,0(和)0,1(-； )B ()0,0(和)1,1(；)C ()0,0(和)2,2(；)D ()1,0(和)1,1(．解析求两个偏导数22330,330,z x y x z y x y∂⎧=-=⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ ⇒{0,0,x y ==与{1,1,x y ==所以驻点为)0,0(和)1,1(．)5(函数122+-=y x z 的极值点为（ D ）． )A ()0,0(； )B ()1,0(； )C ()0,1(；)D (不存在．解析求两个偏导数20,20,zx x z y y∂⎧==⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ 得驻点为（0，0），又因为222=∂∂=xz A ，02=∂∂∂=y x z B ，222-=∂∂=y z C ，则042>=-AC B ，所以，驻点不是极值点，极值点不存在． 3．填空题)1( 12+-=x y z 的定义域为 }1),{(2-≥x y y x ；解要使函数有意义，应满足12+-x y ≥0，即y ≥12-x)2( 已知xy x y x x f +=+2),(，则=∂∂xfy x +2 ；解设 u y x =+，则xu y x x xy x y x x f =+=+=+)(),(2，关于x 的偏导数xuu f x f x f ∂∂∂∂+∂∂=∂∂)(=x u +=y x +2． )3( 设)ln(22y x z +=，则11d x y z===d d x y +；解设 u y x =+22，则 u z ln =，所以d 12d z z u x x u x u∂∂==⋅∂∂， d 12d z z u y y u y u ∂∂==⋅∂∂，从而 11d x y z===1111d d x x y y z z x y xy====∂∂+∂∂=d d x y +．)4( 曲面arctan()y z x =在点π(1,1,)4M 处的切平面方程为 π202x y z -+-= ；解令 )arctan(),,(x yz z y x F -=，则 2222)(1y x y xy x y F x +=+--=，π(1,1,)412x F =， 222)(11y x x xy x F y +-=+-=，π(1,1,)412y F =-，曲面的切平面方程为 11π(1)(1)()0224x y z ---+-= ，即 π202x y z -+-=．)5( 设e z z xy +=，则=∂∂y z 1ez x + ；解一令(,,)e zF x y z z xy =+-，则 1e zz F =+， x F y -=，所以=∂∂y z z y F F - =1ez x +．解二设),(y x z z =，两边对y 求偏导数，有y z ∂∂+e z y z ∂∂=x ，即 y z ∂∂=1ez x+． 4．解答题)1(设可微函数,sin ),,(),,(x t t x u u x f z ===ϕ求xzd d ；解偏导数为d d z x =x z ∂∂+x u u z ∂∂⋅∂∂+d d z u t u t x∂∂⋅⋅∂∂ =x f ∂∂+x u f ∂∂⋅∂∂ϕ+t tu f cos ⋅∂∂⋅∂∂ϕ． )2(设)(22y x f z +=，且)(u f 可微，证明 0=∂∂-∂∂yz x x z y．解设 u y x =+22，则)(u f z =，从而x z ∂∂=d ()2d z uf u x u x∂'⋅=⋅∂， y z ∂∂=d ()2d z u f u y u y ∂'⋅=⋅∂，则 yzx x z y ∂∂-∂∂=x u f y 2)(⋅'()2xf u y '-⋅=0，所以，原结论成立．)3( 设)(22y z yf z x =+，其中f 为可微函数，求yz∂∂．解令),,(z y x F =)(22yzyf z x -+，设yz u =，则 ),,(z y x F =)(22u yf z x -+，从而 y uu F y F F y ∂∂⋅∂∂+∂∂=)(=)()()(2yz u f y u f -⋅'--=)()(u f u f y z -'， z uu F z F F z ∂∂⋅∂∂+∂∂=)(=yu f y z 1)(2⋅'-=)(2u f z '-，所以 y z ∂∂zy F F -=)(2)()(u f z u f u f yz'--'-=)(2)()(yz f z y z f y z y z f '-'-=． )4( 在曲线⎪⎩⎪⎨⎧===32,,t z t y t x 上求一点，使其在该点的切线平行与平面42=++z y x ，并写出切线方程；解设所求点为（0t ，20t ，30t ），d d t t xt==1，d d t t y t==20t ，d d t t z t==320t ，故切线方程为 230200321t t z t t y t x -=-=-，由于切线与平面平行，切线的方向向量s ={1，20t ，320t }与平面的法向量n ={1，2，1}垂直，有n s ⋅ ={1，20t ，320t }·{1，2，1}=1+40t +320t =0，解方程，得 0t =1-或31-，当0t =1-时，切点为（1-，1，1-），切线方程为 31211+=--=+z y x ；当0t =31-时，切点为（31-，91，127-），切线方程为31271239131+=--=+z y x ，即 271291331+=--=+z y x ． )5(用a 元钱购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的2.1倍，求水池的长与宽为多少米，才能使容积最大．解设水池底面的长为x ，宽和高为y （如图），底面单位面积材料费为b ，则侧面单位面积材料费为b 2.1，有a y xyb bxy =++)22(2.12，即 a by bxy =+24.24.3，长方体体积 2xy V =，应用条件极值，设 A =2xy +)4.24.3(2a by bxy -+λ，得偏导方程，有223.40,2(3.4 4.8)0,3.4 2.40,A y by x Axy bx by y A bxy by a λλλ⎧∂=+⋅=⎪∂⎪∂⎪=++=⎨∂⎪∂⎪=+-=⎪∂⎩ 整理，得 b a x 5174=，ba y 561=，由于驻点（b a 5174，b a 561）唯一，而使容积最大的情况存在，所以当长方体长为ba5174，宽和高为ba561时，长方体水池容积最大．。

第六节方向导数与梯度

第七章多元函数微分学第六节方向导数与梯度
理学院数学系主讲教师：付一平
一、方向导数
在一点P 讨论函数 z = f ( x , y ) 在一点 0沿某一方向的变化率问题．向的变化率问题．
设函数 z = f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域 U ( P0 ) 内有定义，自点 P0 引射线 l．内有定义， v 记 e l = {cos α , cos β }为与 l同方
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x , y , z )，它在空间一点 P ( x , y , z ) 沿着方向 e l = {cos α , cos β , cos γ } 的方向导数，可定义为
f l =
P0
f ( x 0 + t cos α , y 0 + t cos β , z 0 + t cos γ ) f ( x 0 , y 0 , z 0 ) lim+ , t→ 0 t
定义设函数 z = f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，一阶连续偏导数，则对于每一点 P ( x , y ) ∈ D ，
f r f r j ，这向量称为函数都可定出一个向量 i + x y z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y )的梯度，记为的梯度， f r f r gradf ( x , y ) = i + j. x y
x = t cos α , y = t cos β ,
所以
( x ) 2 + ( y ) 2 = t
f ( x0 + t cos α , y0 + t cos β ) f ( x0 , y0 ) lim t →0+ t

高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)

f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0，y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ，P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数，总存在 0 ，当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点，如图9.2所示.
②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边
界，如图9.3所示．
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集.
④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
高等数学（下册）（慕课版）
第九章多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括：
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导

高等数学第八章教材答案

高等数学第八章教材答案[注意：本文适用于自主学习及交流，而非代表课堂考试答案。

在学习过程中，应先自行尝试解答问题，再对比与本文答案的异同，以强化掌握知识的能力。

]第一节：导数与微分1. (1)导数定义为函数在某一点的瞬时变化率，可用以下公式计算:f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h(2)若函数f(x)在区间[a,b]上连续且在(a,b)内可导，则在(a,b)内，存在一点c使得f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)2. 利用导数的四则运算法则、链式法则等，可以求解各种类型的题目，如函数的导数、隐函数求导、参数方程求导等。

3. 微分是导数的几何解释，微分形式为df = f'(x)dx。

微分可用于近似计算函数值的变化，例如：f(x+Δx) ≈ f(x) + f'(x)Δx第二节：不定积分与定积分1. 不定积分用符号∫表示，表示求一个函数的原函数。

常用的不定积分公式有：① ∫1/x dx = ln|x| + C② ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n≠-1)2. 定积分表示曲线与x轴之间的面积，用符号∫[a,b]表示。

计算定积分可采用以下方法：①几何法：根据几何图形的面积计算原则，求出曲线与x轴之间的面积。

②换元法：根据换元积分法则，将被积函数的自变量进行适当的变量代换。

③分部积分法：根据积分的乘积法则，将被积函数进行适当的乘法分解。

3. 牛顿-莱布尼茨公式是计算定积分的重要工具，公式表达为：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)其中，F(x)为f(x)的一个原函数。

第三节：定积分的应用1. 定积分可用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线的弧长、旋转体的体积、质量等物理量。

2. 面积计算：利用定积分求得曲线与x轴之间的面积，可以通过以下公式求解：S = ∫[a,b] |f(x)| dx3. 弧长计算：弧长公式为：L = ∫[a,b] √[1 + (dy/dx)^2] dx4. 旋转体体积计算：将曲线绕x轴或y轴旋转一周形成的空间曲面，其体积可通过以下公式求解：V = ∫[a,b] πy^2 dx 或V = ∫[a,b] πx^2 dy第四节：多元函数微积分基础1. 多元函数的偏导数可以理解为函数关于某个自变量的导数。

多元函数微分法和应用习题与答案

第八章多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x y z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z ∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂。

12．设x y e e xy =+，求dxdy 。

13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。

D8习题课2

即
x y z 0 0 x+ 2 y+ 0 z= 1 2 2 a b c
2 x y2 z2 0 + 0+ 0 = 1 2 2 2 a b c
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2 2 2 a b c , , 切平面在三坐标轴上的截距为 x y z 0 0 0
a 2 b 2 c 2 问题归结为求 s=( ) +( ) +( ) x y z 2 x y2 z2 在条件 2 + 2 + 2 = 下的条件极值问题 . 1 a b c 设拉格朗日函数
例4 目录上页下页返回结束
1 1 x− z= 1 在平面x+y-z=5上的投影，求函数u 3 2 −2 +4=0 y z
y 设函数 u=c s2(x )+ 2 ，直线l是直线L o y 例2、 z
在点(0,0,1)沿直线l的方向导数。
二、多元函数微分法的应用
在几何中的应用 1.在几何中的应用在几何中的求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题 • 极值的必要条件与充分条件 • 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) • 求解最值问题
7 = 46
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练习题：练习题： 1. 在曲面平面上求一点 , 使该点处的法线垂直于并写出该法线方程 . 则法线方程为
提示: 提示设所求点为
y 0
x 0
− 1
法线垂直于平面点在曲面上
利用
y x − 1 0 0 = = 1 3 1 z =x y 0 0 0
得
2 2 2 2 a 2 b 2 c 2 x y2 z2 ) +( ) +( ) +λ 2 + 2 + 2 − F=( 1 x y z a b c (x>0 y>0 z>0 , , )

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1
习题8.6答案与提示
1.
(1) 123.

(2) 22.
(3) π43.
(4) 6813.
2.
(1) 34224233234xyzxyzxyzijk.

(2) 646xyzijk.

(3) 2222ijk.
3.
(1) 112,,666, 26.

(2) 112,,666, 26.
4. 略.