东北大学2013-2014学年度期中高数考试试题
辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案
辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题第Ⅰ卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在ABC ∆中，内角A B 、、C 的对边分别为a b c 、、,︒=135A ,︒=30B ,2=a ,则b 等于( )A.1B.2C. 3D.2 2. 已知a b a <<，则以下不等式中恒成立的是（ ）A. b a <-B. 0ab >C. 0ab <D. a b <3.在ABC D中，若22sin 53,sin 2C b a ac A =-=，则cos B 的值为( ) A. 13 B. 12 C. 15 D. 144. 已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4518a a =-，则8S =（ ） A.72 B. 68C. 54D. 905．若a b 、、c d x y 、、、是正实数，且P Q ==，则( ) A ．P Q = B ．P Q ³ C ．P Q £ D ．P Q >6．已知1230a a a >>>，则使得2(1)1(1,2,3)i a x i -<=都成立的x 的取值范围是( ) A. 11(0,)a B. 12(0,)a C. 31(0,)a D. 32(0,)a 7. 等比数列{}n a 中，若2a 、6a 是方程221180x x ++=的两根，则4a 的值为( ) A.2 B.2±D. 2-8. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（ ）A ．锐角三角形B ． 直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 9. 等差数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2040S S =，则下列结论中正确的是（ ） A ．30S 是n S 中的最大值 B ．30S 是n S 中的最小值C ．300S =D ．600S =11.若数列{}n a 满足*111(,n nd n N d a a +-= 为常数)，则称数列{}n a 为“调和数列”，若正项数列1{}nb 为“调和数列”，且12990b b b +++=，则46b b 的最大值是（ ）A ．10B ．100C ．200D ．40012．已知0,0,x y x a b y >>、、、成等差数列x c d y 、、、、成等比数列，则2()a b cd+的最小的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4第Ⅱ卷二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.在ABC ∆中，角B 所对的边长6b =，面积为15，外接圆的半径为5，则ABC ∆的周长为14．在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且b a c =+2，则B 的取值范围是________．15.数列{}n a 满足*12211131,333n n a a a n n N +++=+∈,则=n a .16.定义在(,0)(0,)-? 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，有(){}n a f 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在(,0)(0,)-? 上的如下函数：①()f x =2x ； ②()f x =x2； ③()x x f =； ④()f x =ln |x |，则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2*1(1)().4n n S a n N =+∈ （1）求1a 、2a ；（2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）令19n n b a =-，问数列{}n b 的前多少项的和最小？最小值是多少？19．解关于x 的不等式22(1)40()ax a x a R -++>∈.20．关于x 的方程220x ax b ++=的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求21b a --的取值范围．21.如图，公园要把一块边长为2a 的等边三角形ABC 的边角地修成草坪，DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上．(1)设()AD x x a = ，DE y =，试用x 表示函数y ；(2)如果DE 是灌溉水管，希望它最短，D E 、的位置应该在哪里？22. 若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，19a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中n 为正整数．（1）证明数列{}1n a +是“平方递推数列”，且数列{}lg(1)n a +为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项积为n T ，即12(1)(1)(1)n n T a a a =+++，求lg n T ； （3）在（2）的条件下，记lg lg(1)nn n T b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求使4026n S >的n 的最小值．答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：高一数学组 校对人：高一数学组 一． 选择题1-5 AADAC 6-10 BDBDD 11-12 BD 二． 填空题13. 14. (0，π3] 15. 112 13 1n n n a n +ì=ï=í>ïî16. ①③三．解答题17. 解：(1)由已知得到2sin sin A B B =,且(0,)sin 0sin 2B B A π∈∴≠∴=,且(0,)23A A ππ∈∴=; ……5分(2)由(1)知1cos 2A =,由已知得到222128362()3366433623b c bc b c bc bc bc =+-⨯⇒+-=⇒-=⇒=所以12823ABCS=⨯⨯=10分 18. 解：（1）由已知条件得：21111(1). 1.4a a a =+∴= 又有22122221(1).-2304a a a a a +=+-=即，解得221()=3a a =-舍或 （2）由21(1)4n n S a =+得2-1-112(1)4n n n S a ≥=+时：所以数列{}n a 是公差为2的等差数列。
2013-2014南昌大学大一第一学期高数考试试卷及答案
一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设对任意x ，总有ϕ(x )≤f (x )≤g (x )，且0)]()([lim =-∞→x x g x ϕ，则)(lim x f x ∞→ ( )A.存在且等于零B.存在但不一定等于零C.一定不存在D.不一定存在 2. x =0是函数xx x f 1sin )(=的( )A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点 3.下列函数的弹性函数不为常数的为( )，其中a , b , α为常数 A. y =ax +b B. y =ax C.xa y = D. y =x α 4.若函数f (x )在点x 可微，则当∆x →0时，∆y -dy 较之dy 为( )无穷小A.同阶B.等价C.低阶D.高阶 5.设f (x )在区间[a , b ]上连续，则dt t f x F xa ⎰=)()(在区间[a ,b ]上( ) A.不一定有界 B.不一定连续 C.不一定可积 D.一定可导 二、填空题（每空3分，共15分）1.若函数f (x )的定义域为D =]4,0[π，则f (arcsin x )的定义域为__________2.=-+∞→}ln )2[ln({limn n n n __________ 3.若⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x bx a x e x f x 在x =0处可导，则b =_________4.设函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，则])([dx x f d ⎰=__________5.dx x x ⎰--+1122)1(=__________三、求下列极限（每题6分，共12分）1.求极限1cos 1)1(lim3120--+→x x x 2.求极限)tan (sec lim 2x x x -→π 四、求下列各题（每题6分，共12分） 1.设y =(ln x )x ，求y '2.求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 1212所确定的函数的二阶导数22dx y d五、求下列不定积分（每题6分，共12分） 1.dx x⎰+11 2.dx xx⎰2ln 六、求下列定积分（每题6分，共12分） 1.dx x x ⎰-π03sin sin 2.dx x ⎰51ln 七、应用题（每题8分，共16分）1.某产品的总成本C （万元）的边际成本为生产量x （百台）的函数C '(x )=1，总收益R （万元）的边际收益为生产量x （百台）的函数R '(x )=6-x ，（1）求生产量等于多少时，总利润最大？（2）从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了多少？2.求由抛物线y +1=x 2与直线y =1+x 所围图形的面积。
黑龙江省双鸭山市一中2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科) 有答案
黑龙江省双鸭山市一中2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）（时间：120分钟 总分：150分）一、选择题（包括1--12小题，每小题5分，共60分） 1、物体运动方程为4134s t =-，则t=2时的瞬时速度为（ ）. A ．2 B ．4 C ．6 D ．82、从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选5枚导弹的编号可能是( )．A ．5,10,15,20,25B ．3,13,23,33,43C ．1,2,3,4,5D ．2,4,6,16,32 3、曲线cos21y x =-在点(,1)4π-处的切线的斜率为（ ）. A ．-1 B. -2 C ． 1 D.2 4、设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )．A ．n ＝8，p ＝0.2B ．n ＝4，p ＝0.4C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.45 5、已知x 与y 之间的一组数据如下：则y 与x 的线性回归方程y bx a =+对应的图象必过点（ ）.A ．（2,2） B.（1,2） C ．（1.5，0） D.（1.5， 5） 6、从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )． A.18 B.14 C.25 D.127、设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c 等于( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8、1(2)x e x dx +⎰等于（ ）．A. 1B. e-1C. eD. e+19、已知函数32211()(21)()32f x x a x a a x =-+++，若对任意m R ∈，直线y kx m =+都不是曲线()y f x =的切线，则实数k 的取值范围是（ ）.A ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ． 1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭10、全国第三届绿色运动会的主题是“绿色、低碳、环保”，为大力宣传这一主题，主办方将这6个字做成灯笼悬挂在主会场（如图所示），大会结束后，要将这6个灯笼全部撤下来，每次撤其中一列最下面的一个，则不同的撤法的种数为（ ）. A ．36 B ．54 C ． 72 D ．9011、若多项式x 3＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝( )． A ．9 B ．10 C ．－9 D ．－1012、在平面直角坐标系xoy 中，已知P 是函数()ln f x x x x =-的图象上的动点，该曲线在点P 处的切线l 交y 轴于点(0,)M M y ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点(0,)N N y ,则NMy y 的范围是（ ）. A ．(][),13,-∞-+∞ B ．(][),31,-∞-+∞ C ．[)3,+∞ D ．(],3-∞-二.填空题（包括13--16小题，每小题5分，共20分） 13、某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ14、由0,1,2,3,4,5能组成 个没有重复数字四位偶数. 15、设0(cos sin )ax x dx π=-⎰，则二项式26()ax x+展开式中不含6x 项的系数和是 .16、定义在02π（，）上的函数()f x 与其导函数'()f x 满足'()()tan f x f x x <恒成立，下列命题中所有成立的是 .()()43ππ< (2)(1)2()sin16f f π<()()64f ππ< ()()63f ππ<三.解答题（包括17—22题，共80分）17、（本题10分）已知曲线3y x =，求过（1,1）的曲线的切线方程.18、（本题12分）已知*22)()nn N x∈的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是10:1，求展开式中含32x 的系数.19、（本题12分）某产品研发所承接一项产品研发任务.若能在规定期限内完成，则研究所获利300万元；若不能在规定期限完成，研究所将损失100万元.研究所组织了A 、B 、C 三个研发小组，同时独立的研发该产品.假设A 小组研发成功的概率是34，A 、C 两组同时研发失败的概率是112，B 、C 两组同时研发成功的概率是14.（1）求B 、C 两组各自独立研发成功的概率；（2）设随机变量ξ表示三个小组研发成功的组数，求ξ的分布列； （3）求该研究所获利的期望.20、（本题12分）现对某市工薪阶层关于“城市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“城市限购令”赞成人数如下表所示：元为分界点对‘城市限购令’的态度有差异？（2）若对在[)[)15,25,25,35的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“城市限购令”人数为ξ，求随机变量ξ的分步列及数学期望. 下面的临界值表供参考：（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）21、（本题12分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，设切点为(,)P m n ，求实数m 的值；（3）设定义在区间D 上的函数()y g x =在点00(,)P x y 处的切线方程为:()l y h x =，当0x x ≠时，若()()0g x h x x x ->-在区间D 内恒成立，则称点P 为函数()y g x =的“转点”.当8a =时，试问：函数()y f x =是否存在“转点”？若存在；请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由.双鸭山市第一中学2013-2014下学期期中考试高二数学答案(理科一学区)一、选择题：(每题5分，共60分)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DBBADBBCDDDA二、填空题：（每题5分，共20分）13、0.4 14、 156 15、-59 16、(1)(3)(4) 三、解答题：（共70分）17、（10分）320,3410x y x y --=-+= 18、（12分）8521(2)r rr r nT C x -+=-,4422(2)10(2)n n C C -=-,解得8n =,令85322r -=,得1r =.所以展开式中含32x 的系数是118(2)16C -=-.————（12分）19、（12分）(1)B 、C 各自独立研发成功的概率分别是32,83———4分 （2）————9分（3）该研究所获利为随机变量η，则η的分布列为则1675=6E η（万元）——12分20、（12分）（1）月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数 合计 赞成 a =3c =2932 不赞成 b =7d =1118 合计10405022() 6.272 6.635()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈<++++（小数点后应保留3位）所以没有99%的把握认为月收入以5500元为分界点对“城市限购令”的态度有差异. ————6分 ξ0 1 23P596 724 1532 316η-100 300P596 9196（2）由题意可知0,1,2,3ξ=22482251016828(0)45075C C P C C ξ==== 11221114848222510208104(1)450225C C C C C C P C C ξ+==== 11112214824222510707(2)45045C C C C C C P C C ξ+==== 1124122251042(3)450225C C C P C C ξ==== ξ0 1 2 3P2875 104225 745 222545E ξ=————12分21、（12分）（1）'(2)(1)()x a x f x x--=，当0a ≤时，()f x 在（0,1）是减函数，在()1,+∞是增函数； 当02a <<时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞是增函数，在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数； 当2a =时，()f x 在()0,+∞是增函数； 当2a >时，()f x 在(0,1)和,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭是增函数，在(1,)2a 是减函数.（2）'1()21(0)f x x x x=-->，曲线在点P处切线的斜率为21ln 21m m mk m m m--=--=整理可得，2ln 10m m +-=，显然1m =是方程的根，又因为2()ln 1f x x x =+-在()0,+∞单调递增，所以方程有唯一根1m =.（3）当8a =时，2()108ln f x x x x =-+，'8()210f x x x=-+， ()y f x =在00(,())P x f x 处切线方程为：20000008()(210)()(108ln )h x x x x x x x x =+--+-+，设0()()(),()0F x f x h x F x =-='''00008824()()()(210)(210)()()F x f x h x x x x x x x x x x =-=+--+-=--当0(0,2)x ∈时，()F x 在004,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以当004,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()()0F x F x <=，此时()0F x x x <-; 当0(2,)x ∈+∞时，()F x 在004,x x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当x ∈004,x x ⎛⎫⎪⎝⎭时0()()0F x F x >= 此时()0F x x x <-， 当02x =时，'22()(2)F x x x=-，即()F x 在()0,+∞单调递增；当0x x >时，0()()0F x F x >=；当0x x <时，0()()0F x F x <=，所以00(,())P x f x 为转点，此时02x =。
2013级工科数分(下)期中考试卷(附解答)
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《工科数学分析》2013—2014学年第二学期期中考试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：开（闭）卷；本试卷共 4个 大题，满分100分， 考试时间90分钟。
10分，共40分） 求微分方程20yy y '''+=的通解.()11212:0,2,,610y y y y C ydy C dx y C x C ''⋅='''⋅===+解原方程化为分则即分两边积分有原方程的通解为 分设()f x 二阶可导,且满足方程0()sin ()()d ,x f x x x t f t t =--⎰求()f x .:1()sin cos 22xf x x x =+ 10分设函数f 有二阶连续偏导数,求函数,x u f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的二阶混合偏导数.2221222222341,10u xf y yz x xf f f x y y y y∂'=∂∂'''''=---∂∂解:分分设[)()0,,f x C ∈+∞且满足方程222244(),tx y t f t ef dxdy π+≤=+⎰⎰求().f t:22222442240()132t x y t t t f t ef dxdy e d f r rdr πππθ+≤=+⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰分两边对t求导,得到24()8()8t f t tf t te πππ'-=, 5分又()01f = 解得()224()14t f t t e ππ=+ 10分二、计算下列积分（每小题10分，共30分） 5. 计算sin Dydxdy y ⎰⎰，其中D是由曲线y =y x =围成。
解： 求交点作图知2:01,D y y x y ≤≤≤≤ 2分()()21011200sin sin 6sin sin sin yD y y ydxdy dy dx y y yy y dy y y y dy y ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰分()()1111000cos cos cos1cos0cos cos y y y dy y y ydy '=-+=--+-⎰⎰101cos1cos1sin 1sin1y =-+-=- 10分6. 计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω.由222222x y z z x y ⎧++≤⎪⎨≥+⎪⎩所确定 解：由交线22221222220,1,2x y z z z z z z x y⎧++=⎪⇒+-===-⎨=+⎪⎩（舍去） 于是投影区域为22:1D x y +≤，Ω柱坐标下为202,01,r r z θπ≤≤≤≤≤≤2分()2212124046271221171104612r zdv d rdr zdz d rr r dr ππθθππΩ==--⎛⎫=--=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分7. 计算三重积分()222222,:2I xy z dv x y z z Ω=++Ω++≤⎰⎰⎰.解 利用球面坐标,边界面的方程为: 2cos r ϕ= 2分则,()22cos 2222220sin 7321015I x y z dv d d r r dr ππϕθϕϕπΩ=++=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分.三、证明题（每小题10分，共20分）8. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,222222y x y x yx xy y x f证明：1）(),f x y 在点()0,0处偏导数存在 2）(),f x y 在点()0,0处不可微证明：1）因为()()()00,00,0000,0limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→∆--===∆∆ ()()()000,0,0000,0lim lim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆--===∆∆所以(),f x y 在点()0,0处偏导数存在 4分 2）因为()()22000,00,0limlimx x y y z f x f yx yx y ∆→∆→∆→∆→∆-∆-∆∆∆=∆+∆当取y k x ∆=∆时()()222222000limlim 11x x y x yk k k k x y ∆→∆→∆→∆∆==++∆+∆ 随k 之不同极限值也不同，即0,00,0lim0x y z f x f y∆→∆→∆-∆-∆≠所以此函数在()0,0处不可微。
新课标湛江2013—2014学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷附答案[编辑8页]
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新课标湛江2013—2014学年度第一学期 期中考试高一年级数学试卷附答案考试时间：120分钟，满分：150分一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.请把答案填写在答题卷中）. 1．已知全集U R =，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()UA B ð等于（ ） A ．{}|24x x -<≤B ．{}|34x x x ≤≥或C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤2．设函数2211()21x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩，，，，则()(1)f f 的值为（ ）A ．1B ．0C ．1516D ．183．函数21()1f x x=+ (x R ∈)的值域是( ) A ．(0,1) B ．(]0,1 C ．[0,1) D ．[]0,14．若函数()()f x x x R =∈，则函数()y f x =-在其定义域上是（ ）A ．单调递减的奇函数B ．单调递减的偶函数C ．单调递增的偶函数D ．单调递增的奇函数5．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则()f -1=（ ） A ．3- B ． -1 C ．1 D ．36．函数()412x xf x +=的图象是（ ）A ．关于原点对称B ．关于直线y x =对称C ． 关于x 轴对称D ．关于y 轴对称7．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ） A . 60.70.70.7log 66<< B . 60.70.70.76log 6<<C ．60.70.7log 60.76<<D . 0.760.7log 660.7<<8．幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，则幂函数()y f x =的图象是（ ）9．若0x 是方程1lg 0x x-=的根，则0x 属于区间（ ） A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10 D ．),100(+∞10．设25a bm ==，且112a b+=，则m =（ ）Ｂ．Ｃ．10 Ｄ．100 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）. 11．函数lg y x =的定义域为 12．设全集U R =，{}03<<-=x x A }{}R,(3)0,1U A x x x B x x ==+<=<-, 则右图中阴影部分表示的集合具体为13．若函数()y f x =是函数(01)xy a a a =>≠且的反函数，且(4)2f =，则()f x =14．已知3()25f x x x =--，(2.5)0f >，用“二分法”求方程0523=--x x 在区间(2,3)内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分）若函数()y f x =既是一次函数，又是奇函数，在(,)-∞+∞上又是增函数， 且有[()]4f f x x =，求函数()y f x =的解析式.16．（本小题满分12分）二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f 。
13-14高等数学试题(A)
广州大学2013-2014学年第一学期考试卷课 程：高等数学Ⅰ（80学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一．填空题（每小题3分，本大题满分30分）1．设1()21,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则(())f f e = . 2．曲线221x x y x +=-有铅直渐近线 . 3．已知当0x →时，sin x x -与3ax 是等价无穷小，则常数a = .4．设ln(1),0()2sin 1,0ax x f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则当常数a = 时，()f x 在0x =处连续. 5．设1cos ,0()0,0x x f x x x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则(0)f '= . 6．曲线2x y e =上点(0,1)处的切线方程为 .7．曲线3(1)y x x =-的凸区间为 .8．函数cos x 在[,]22ππ-上的平均值为 . 9．设31()sin d x f x t t -=⎰，则(1)f = . 10．22222111lim ()12n n n n n n→∞+++=+++ .二．解答下列各题（每小题6分，本大题满分18分）1．已知2(1)(1)x y x x =+-，求2|x y ='.2．设sin sin cos x t y t t t =⎧⎨=+⎩，计算224d d t y x π=.3．设()y x 是由21y x y e -+=所确定的隐函数，求()y x 在0x =处的导数.三．（本题满分6分）证明：方程11n n x x x -+++=（整数1n >）在1(,1)2内有且只有一个根.四．计算下列极限（每小题6分，本大题满分12分）1．011lim()sin x x x x→+-.2．12ln lim (1)x x x →+∞+.五．计算下列积分（每小题5分，本大题满分15分） 1．21d 1x x x ++⎰.2．20x ⎰.3．21ln d x x x+∞⎰.六．（本题满分9分）在(1,)e 内求一点0x ，使右图中阴影部分的面积之和为最小.七．（本题满分10分）（1）已知()f x 是连续函数，证明：00(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰； （2）利用（1）的结论，计算30sin d x x x π⎰.。
北工大2013-2014年第二学期高数期末试卷
北⼯⼤2013-2014年第⼆学期⾼数期末试卷2013-2014年第⼆学期⾼数期末试卷1.函数Z =y x 在点（1,2）处的梯度gradz=.2.曲⾯xy +e z =3在点（1,2,0）处的切平⾯⽅程3.幂级数（x+1）2n 2∞n =1的收敛域为4.函数f （x ）=e 2x 的麦克劳林级数为5.设函数f （x ）= 0，?π是以2π为周期的周期函数，其傅⾥叶级数的和函数记为S （x ），则S （6π）=6.设D ：x 2+y 2≤1.则⼆重积分 e x 2+y 2D dxdy =7.设曲线L 为y=— 2 x 2+y 2Lds= 8.设∑为球⾯x 2+y 2+z 2=a 2。
则曲⾯积分（sinZ 3+1）dS= 9.由曲⾯Z= x 2+y 2与Z=1+ 1?x 2?y 2所围⽴体体积为10.微分⽅程y‘=xy 满⾜y （0）=1的特解为11.求函数f （x ，y ）=3xy —x 3—y 3的极值。
12.求幂级数 X n +1n ∞n =1的收敛域及和函数13，计算曲线积分I = 2xe y +1 dx +(x 2e y +2x )dy L，其中L 是（x ?1）2+y 2=9的上半圆周逆时针⽅向。
14.计算曲⾯积分I = z ?1 dxdy +xy 2dydz +(x 2?1)ydzdx ,其中∑是曲⾯Z=1?x 2?y 2 0≤Z ≤1 的上侧。
15.求微分⽅程y’’—2y+y=（x 2+2）e x ）的通解16.设⽅程F （x-2z,y-3z ）=0确定了函数Z=Z （x ，y ）。
证明17.设a n +1a n ≤b n +1b n ，（n=1,2,3，…a n >0,b n >0).）证明若级数 b n ∞n =1收敛则级数 a n ∞n =1也收敛。
东北大学高等数学期末考试试卷(含答案)
东北大学高等数学期末考试试卷(含答案) 一、高等数学选择题
1．．
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
3．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
4．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
5．不定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
6．不定积分 ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
7．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
8．函数的单调减少区间是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
9．函数的图形如图示，则是函数的
( )．
A、最大值点
B、极大值点
C、极小值点也是最小值点
D、极小值点但非最小值点
【答案】C
10．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
11．微分方程的通解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
一、一选择题
12．函数的定义域为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
13．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
14．不定积分.
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题
15．微分方程的通解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C。
高等数学期中考试卷
说明：本学期的期中考试内容为第五章、第六章，在题目中题目标号是红色的是第七章的内容，本次不考！高等数学（A ）05-06-3期中试卷一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．设),(y x z z =由方程cos cos cos 2x y y z z x ++=所确定，则d z = ； 2．设1iz i-=，则Im z = ；3．设()f x 为连续函数，1()d ()d t t yF t y f x x =⎰⎰，则(2)F '= ；4．()21cos d d x y y x y x y +≤+=⎰⎰；5．设S 为平面1432=++z y x 在第一卦限部分的下侧，则42d d 3S x y z x y ⎛⎫++∧ ⎪⎝⎭⎰⎰= 。
二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）6．设()122211d d I x xy f x y y -⎤=++⎣⎦⎰⎰，122200d ()d I f πϕρρρ=⎰⎰，其中()f t 是连续函数，则有 [ ] (A)21I I < (B)21I I > (C) 212I I = (D)21I I =7．曲线2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)-处的切线必定平行于平面 [ ](A)0y = (B)0x = (C)0z = (D)0x y z +-=8．设L 是摆线sin 1cos x t t y tπ=--⎧⎨=-⎩上从0t =到π2=t 的弧段，则曲线积分22()d ()d Lx y x x y yx y -++=+⎰ [ ] (A)π (B)π- (C)0 (D)π29． 设二元函数(,)z f x y =在点(),x y 处可微，下列结论不正确的是 [ ] （A ）(),f x y 在点(),x y 连续； （B ）(),f x y 在点(),x y 的某邻域内有界；（C ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都存在； （D ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都连续. 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题7分，满分35分)10．设sin ,,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2。
13-14 高等数学1试题(B卷)及解答
广州大学2013-2014学年第一学期考试卷课 程：高等数学Ⅰ1（80学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一．填空题（每小题3分，本大题满分30分）1．设ln ,1()21,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，则((1))f f = .2．曲线221x xy x +=-有水平渐近线 .3．已知当0x →时，1cos x -与2ax 是等价无穷小，则常数a = .4．设1(1),0()sin ,0x x x f x x a x ⎧⎪+>=⎨⎪+≤⎩，则当常数a = 时，()f x 在0x =处连续.5．设2sin ,0()0,0x xx f x xx -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则(0)f '= . 6．函数xy xe =的单调增加区间为 . 7．曲线2(1)y x x =-的凹区间为 .8．函数sin x 在[0,]π上的平均值为 . 9．131(sin 1)d x x -+=⎰.10．111lim()12n n n n n→∞+++=+++ .1．已知ln(y x x =+-0|x y ='.2．求曲线231x t ty t ⎧=-⎨=+⎩在点(2,9)处的切线方程.3．设()y x 是由21yx y e -+=所确定的隐函数，求二阶导数()y x ''. 三．（本题满分6分） 证明：方程331x x -=在(1,2)内有且只有一个根.1．011lim()1x x x e →--.2．13ln lim (1)xx x →+∞+.五．计算下列积分（每小题5分，本大题满分15分）1．21d 2x x x +-⎰.2．40x ⎰.3．1d x x+∞⎰.六．（本题满分8分）求母线为定长a 的圆锥体的最大体积. 七．（本题满分8分）用积分方法证明右图中球缺的体积为2()3H V H R π=-.广州大学2013-2014学年第一学期考试卷解答课 程：高等数学Ⅰ1（80学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一．填空题（每小题3分，本大题满分30分） 1．设ln ,1()21,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，则((1))f f =1-.2．曲线221x xy x +=-有水平渐近线1y =.3．已知当0x →时，1cos x -与2ax 是等价无穷小，则常数a =1/2.4．设1(1),0()sin ,0x x x f x x a x ⎧⎪+>=⎨⎪+≤⎩，则当常数a =e 时，()f x 在0x =处连续.5．设2sin ,0()0,x xx f x xx -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则(0)f '=1/6.6．函数xy xe =的单调增加区间为[1,)-+∞. 7．曲线2(1)y x x =-的凹区间为[1/3,)+∞.8．函数sin x 在[0,]π上的平均值为2/π.9．131(sin 1)d x x -+=⎰2.10．111lim()12n n n n n→∞+++=+++ln 2.二．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）1．已知ln(y x x =+-0|x y ='.解：ln(2)2y x x x x '=+++⋅-⋅ln(x =+，------6分 0|0x y ='=.------7分2．求曲线231x t ty t ⎧=-⎨=+⎩在点(2,9)处的切线方程. 解：点(2,9)对应的参数2t =，------1分d ()d ()y y t x x t '='2321t t =-，------4分 切线斜率2d |4d t yk x===，------5分切线方程为94(2)y x -=-，即410x y -+=.------7分3．设()y x 是由21yx y e -+=所确定的隐函数，求二阶导数()y x ''. 解：原方程两边对x 求导，得2y x y e y ''-=，------3分 解得21y x y e '=+，------4分 22(1)2(1)y y y e xe y y e '+-''=+2232(1)4(1)y yy e x e e +-=+.------7分三．（本题满分6分）证明：方程331x x -=在(1,2)内有且只有一个根.证明：令3()31f x x x =--，则()f x 在[1,2]上连续，且(1)30f =-<，(2)10f =>，由零点定理知在(1,2)内存在0x ，使0()0f x =.------3分2()33f x x '=-，在(1,2)内，因()0f x '>，所以()f x 单调增加，从而()f x 在(1,2)内只有一个零点0x ，即原方程在(1,2)内有且只有一个根0x .------6分四．计算下列极限（每小题6分，本大题满分12分）1．011lim()1x x x e →--. 解：011lim()1x x x e →--01lim (1)x x x e x x e →--=-01lim 1x x x x e e xe →-=-+------4分 01lim 2x x x x x e e e xe →==++.------6分2．13ln lim (1)xx x →+∞+.解：13ln ln lim (1)xx x →+∞+3ln(1)lim ln x x x→+∞+=2331lim 1x x x x →+∞=+------4分 333lim1x x x →+∞=+3=，------5分 所以133ln lim (1)xx x e →+∞+=.------6分五．计算下列积分（每小题5分，本大题满分15分）1．21d 2x x x +-⎰.解：21d 2x x x +-⎰1d (1)(2)x x x =-+⎰111()d 312x x x =--+⎰------2分1(ln |1|ln |2|)3x x C =--++.------5分 2．40x ⎰.解：注意2244(2)x x x -=--，令22sin x t -=，2arcsin2x t -=，则40x ⎰/2/2(2sin 2)2cos 2cos d t t t t ππ-=+⋅⎰------3分 /22016cos d t t π=⎰------4分116422ππ=⋅⋅=.------5分3．1d x x +∞⎰. 解：1d x x +∞⎰1lim d b b x x→+∞=⎰------1分1lim ln d(2)bb x x →+∞=⎰11lim (2ln |d )b bb x x x x→+∞=-⎰---3分 1lim[2ln 4]bb x x x →+∞=-=+∞， 原积分发散.------5分六．（本题满分8分）求母线为定长a 的圆锥体的最大体积.解：设圆锥体的底圆半径为r ，高为h ，则222r h a +=，------2分 圆锥体的体积为213V r h π=221()3a h h π=-，（0h a <<）------4分 221()(3)3V h a h π'=-，------6分令()0V h '=，得唯一驻点33h a =，此时圆锥体的体积最大，其值为32327a π.------8分七．（本题满分8分）用积分方法证明右图中球缺的体积为2()3H V H R π=-. 证明：球缺的体积为22()d R R HV R y y π-=-⎰------4分231[()]3R R H R y y π-=-------6分332311()[()()]33R R R R H R H ππ=-----2()3HH R π=-.------8分。
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2. 当 x 1 时，函数 (A)等于 2
x 2 1 x1 e 1 的极限【 】 x 1
(B)等于 0 (C)为∞ (D)不存在但不为∞
x2 3. 若 f x ax b, 当 x 时为无穷小，则【 】 x 1
(A) a =1， b =1 4. 使函数 f x (A)[0,1]
… … … … … ○ … … … … …
密
六、 应用题（本题 8 分） 长度为 39m 的绳子通过一定滑轮 P 将货车 A 和 B 连接在一起（如图） 。滑轮到地面的垂 足点是点 Q ， PQ 的长度等于 12m .在某个时刻 t 0 ,货车 A 在距离 Q 点 5m 处以 2 m s 的速 度远离 Q 点，此时货车 B 的运动速度等于多少？
八、 证明题（本题 8 分） 设函数 f x 在 [a, ) 上连续，在 a, 内可导，且 f x k （ k 为正常数）.若
f a 0, 试证 f x 0 在 a, 内有唯一的实根.
… … … … … ○ … … … … …
二、 填空题（每题 4 分，共 20 分） 1.已知 lim
x 2a 8 ，则 a x x 2a
.
2.设 y sin 2 x 4 ，则 dy
d x2 .
.
1 sin 2 arctan , x 0 2. 设 f x ，求 f x . x 0, x 0
x
3. 设
x acos 3t y asin t
3
,求
d2y . dx 2
三、 讨论题（6 分）
高数试卷 第 1 页（共 4 页）
高数试卷 第 2 页（共 4 页）
五、 求不定积分（每题 6 分，共 12 分） 1. ln x 1 x 2 dx
2. x 2 a 2 x 2 dx, a 0
封
… … … … … ○ … … … …
线
七、 证明题（本题 8 分） 设 a b 0, a1
ab , b1 ab , 2
, an
an1 bn1 , bn an1bn1 , 2
, 证明 lim an 与
n
lim bn 均存在且相等.
n
高
1 x 1 x
1 cos x ,x 0 x 设 f x , 其中 g x 是定义在 (, 0]上的有界函数，讨论 f x 在 2 x g x , x 0
(C) 1 x 1
x 0 处的连续性与可导性.
学 号
… … … … … ○ … … … … …
3
(B) a =1， b =-1
(C) a =-1， b =-1 (D) a =-1， b =1
x 2 1 x 2 满足 Rolle 定理的条件的区间是【 】
(B)[-1,1] (C)[-2,2] (D)[ ,
… … … … … ○ … … … …
线
3 4 ] 5 5
四、 求导数（每题 6 分，共 18 分） 1. 设 y x
sin x
5. 若
f ax sin x 是函数 f x 的一个原函数，则当 a 0 时， dx 【 】 x a
sin ax C a2 x
x
x 0 ，求
dy . dx
(A)
(B)
sin ax C a3 x
(C)
sin ax C ax
(D)
sin ax C x
学 院
班 级
… … … … … ○ … … … … …
密
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
高数①（一）期中试题
时间：120 分钟，满分：100 分
得分
一、 单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 当 x 0 时，与 x 等价的无穷小是【 (A) 1 e
x
】 (D) 1 cos x
(B) ln
高数试卷 第 4 页（共 4 页）
… … … … … … … … … … … …
… … … … … … … … … … … …
3 2 n 3.设 f x 3x x x , 则 f 0 存在的最大 n 为
4.由方程 e xy e 0 所确定的隐函数的导数
y
dy dx
x 0
. .
5. f x xe 的带有 Peano 余项的 3 阶 Maclaurin 公式为