数学(文科)试题参考答案及评分标准

2010 年广州市高三年级调研测试数学（文科）试卷参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试卷主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 11．1-13．①②③14．5015．()1,1- 简答或提示：10．将数列分组：1213214321,,,,,,,,,,...1121231234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设2010a 位于第n 组，由(1)(1)201022n n n n -+<<，解得63n =，所以2010a 位于第63组中的第63622010572⨯-=项，故2010757a =，选B ． 14．由FP BC ⊥，FQ AC ⊥，得C 、Q 、F 、P 四点共圆，所以CQP CFP B ∠=∠=∠()180A C =-∠+∠()180607050=-+=．15．即求直线20x y -+=与抛物线段2y x =（02y ≤≤）的交点，交点的直角坐标为()1,1-．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：依题意得，(cos 3,sin AB OB OA θθ=-=-，………………………2分 所以()(222cos 3sinAB θθ=-+136cos 13θθ=-+=，…………4分3cos θθ=．因为cos 0θ≠，所以tan θ=6分 （2）解：由02πθ≤≤，得6AOB πθ∠=+．……………………………………………8分所以1sin 2AOB S OA OBAOB ∆=∠ 11sin 266ππθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………10分所以当3πθ=时，△AOB 12分17．（本小题满分12分）（1）解：设(),x y 表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），……，（6，5），（6，6），共36个．……2分 用A 表示事件“1=-a b ”，即21x y -=-.…………………………………………………3分 则A 包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3个．……………………………5分 ∴()313612P A ==． 答：事件“1=-a b ”的概率为112．…………………………………………………………6分 （2）解：用B 表示事件“0>a b ”，即20x y ->.…………………………………7分 实验的全部结果所构成的区域为(){},16,16x y x y ≤≤≤≤，…………………………………………8分 构成事件B 的区域为(){},16,16,20x y x y x y ≤≤≤≤->，如图所示．………………………………10分所以所求的概率为()142425525P B ⨯⨯==⨯． 答：事件“0>a b ”的概率为425．………………………………………………………………………………………12分x y Ox =1x =6y =1y =6 x -2y =018．（本小题满分14分）（1）证明：连结1A D ，交1AD 于点F ，连结EF ．…1分 因为四边形11ADD A 是正方形，所以F 是1A D 的中点， 又E 是CD 的中点，所以1EFA C ．…………………3分因为EF ⊂平面1AD E ，1AC ⊄平面1AD E ， 所以1A C平面1AD E ．…………………………………5分（2）解：在对角线1A C 上存在点P，且3CP =，使得DP ⊥平面1AD E ．…………6分 证明如下：因为四边形11ADD A 是正方形，所以11AD A D ⊥．……………………………7分 因为CD ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以1CD AD ⊥．……………………8分 因为1A DCD D =，所以1AD ⊥平面1A CD ．…………………………………………9分因为1AD ⊂平面1AD E ，所以平面1AD E ⊥平面1ACD ．………………………………10分 作DP ⊥1A C 于P ，因为1EFA C ，所以DP ⊥EF ．………………………………11分因为DP ⊂平面1A CD ，平面1ACD平面1AD E EF =，所以DP ⊥平面1AD E ．…12分由Rt △1A CD ∽Rt DCP ∆，得21CD CP AC ===所以当3CP =时，DP ⊥平面1AD E ．…………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（1）解：设(,)P x y ，则(2,0)MN =，(1,)NP x y =-，(1,)MP x y =+．…………2分 由||||MN NP MN MP ⋅=⋅，得2(1)x =+，………………………………………………………………4分 化简得24y x =．所以动点P 的轨迹方程为24y x =．……………………………………………………5分ABC D E1A 1B1C 1D F P（2）解：由(),4A t 在轨迹24y x =上，则244t =，解得4t =，即()4,4A ．…………6分当4m =时，直线AK 的方程为4x =，此时直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．………7分 当4m ≠时，直线AK 的方程为4()4y x m m=--，即4(4)40x m y m +--=．…………8分 圆22(2)4x y +-=的圆心(0,2)到直线AK的距离d =，令2d =<，解得1m <；令2d ==，解得1m =；令2d =>，解得1m >．综上所述，当1m <时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相交；当1m =时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相切；当1m >时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．………………………………14分（1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得11=a ．…………………………1分 当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．………………………………………………2分 即()11n n m a ma -+=． ∵m 为常数，且0m >，∴11n n a ma m-=+()2n ≥．…………………………………………3分 ∴数列}{n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列．………………………………………4分 （2）解：由（1）得，()m f q =1mm=+，1122b a ==．………………………………5分∵()1111n n n n b b f b b ---==+，…………………………………………………………………6分∴1111n n b b -=+，即1111=--n n b b ()2n ≥．………………………………………………7分 ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是首项为12，公差为1的等差数列．………………………………………………8分∴()11211122n n n b -=+-⋅=，即221n b n =-（*n ∈N ）．………………………………9分 （3）解：由（2）知221n b n =-，则()12221n n nn b +=-．………………………………10分所以2341123122222n n n n nT b b b b b +-=+++++， 即n T ()()1231212325223221n n n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ①………11分 则()()23412212325223221n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ②………12分②－①得()13412212222n n n T n ++=⨯------，……………………………………13分故()()()31112122212223612n n n n T n n -++-=⨯---=⨯-+-．……………………………14分（1）解：∵()32f x x ax =-，∴()2'32f x x ax =-.……………………………………1分 ∵函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，∴()2'320f x x ax =-≤在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立．……2分 即32x a ≥在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，…………………………………………………………………3分 3321223x <⨯=，∴1a ≥． 故实数a 的取值范围为[)1,+∞．………………………………………………………………4分 （2）解：∵()2'33f x x x a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()'0f x =得203x a =或．………………………5分 ①若0a ≤，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数， 所以()()11h a f a ==-．………………………………………………………………6分 ②若302a <<，即2013a <<，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是 增函数，所以()()11h a f a ==-．………………………………………………………7分 ③若332a ≤<，即2123a ≤<，则当213x a <<时，()'0f x <；当223a x <<时，()'0f x >． 所以()f x 在区间21,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数． 所以()324327h a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………8分④若3a ≥，即223a ≥，则当12x <<时，()'0f x <，所以()f x 在区间[]1,2上是减函数． 所以()()284h a f a ==-．…………………………………………………………………9分 综上所述，函数()f x 在区间[]1,2的最小值：()331,,243,3,27284, 3.a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩………………………10分（3）解：由题意()12h a m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不相等的实数解，即（2）中函数()h a 的图像与直线12y m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个 不同的交点．……………………………………………11分 而直线12y m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭恒过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由右图知实数m 的取值范围是()4,1--．……………14分。