数学北师大版八年级下册因式分解复习课
第四章 因式分解导学案（复习课）
班别：________姓名__________
【学习目标】 1.复习因式分解的的定义及因式分解的基本方法。
2.通过复习，使学生熟练运用因式分解的基本方法。
3.通过复习，培养学生观察、分析和创新能力。
重点：能正确运用因式分解的基本方法。
难点：根据实际情况，灵活运用因式分解的基本方法。
一、知识回顾：
第四章学习了什么内容？
二、训练案1：
1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
(A) 221(2)1x x x x -+=-+
(B) b bx x b +=+)1( (C)b a b a 42822∙=
(D))2)(2(42-+=-x x x
2. 一个多项式分解因式的结果是)123(2+--y x x ,则这个多项式是（ ）
（A ）x xy x 2462+- （B ）x xy x 2462++-
（C ）x xy x 2462-+- (D ）xy x 462+-
三、训练案2：
1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）
(A)b a 22- (B) a a 22+ (C) 22b a + (D) 122+-ab a
2. 分解222246ac c ab bc a +-的因式时，应提取公因式（ ）
（A ）abc （B ）2a （C ）2b （D ）2ac
3. 多项式a a 242+各项的公因式是 ．
4. 多项式23)(6)(3b a b a x ---各项的公因式是______________.
5.把下列各式因式分解：
x x 155)1(2- ab ab ab 3612)2(23-+- 23)(6)(9)3(a b b b a -+-
四、训练案3：
1．下列各式不能用平方差公式因式分解的是（ ）
（A ）22b a -- （B ）22y x +- （C ）1162-x （D ）222)(25b a n m +-
2. 下列各式能用完全平方公式因式分解的是（ ）
（A ）22y xy x +- （B ）122--x x （C ）4
1212+-a a （D ）1442++x x
3. 因式分解： 42-x = ．
4. 因式分解：122+-a a = ．
五、训练案4：
1.把下列多项式进行因式分解：
33)1(2-a x x x 12123)3(23-+-
4)(4))(3(2++-+b a b a 2224)1)(4(x x -+
六、检测案5：（每小题10分，共100分）
1.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） (A) )1(1a
b a ab +=+ (B) )(b a m bm am +=+ (C) xy x y x 3262∙= (D)
1)2(122+-=+-x x x x
2.下列因式分解够完整的一题是（ ）
(A) 4x-2xy=x(4-2y) (B) )2(336322b a x x bx x a -=+-
(C) )14)(14(142-+=-x x x (D) 6(x －2)+x(2－x)=(x －2)(6-x)
3．因式分解：xy x +2= .
4. 因式分解a a 223-= ．
5. 因式分解3632+-x x = ．
6．当1,2017
=-=b a a 时，代数式ab a -2的值是 ．
7.把下列各式因式分解：
22205)1(b a - 322)2(a a a -+- )()()3(x y y y x x -+-
8.已知 2,5==+ab b a ，求 32232
121ab b a b a ++的值.
北师大版八年级数学下册专题复习思维特训(十二) 因式分解——十字相乘法
思维特训(十二)因式分解——十字相乘法 方法点津· 十字相乘法 (1)对于二次三项式ax2＋bx＋c，将a和c分别分解成两个因数的乘积，a＝a1·a2 , c＝c1·c2, 且满足b＝a1c2＋a2c1ax2＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)． (2)二次三项式x2＋px＋q的分解： p＝a＋b，q＝ab x2＋px＋q＝(x＋a)(x＋b)． (3)理解：把x2＋px＋q分解因式时，如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号的因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同；如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同，对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项系数p. 典题精练· 1．分解因式：x2＋3x＋2. 分析：(＋1)×(＋2)＝＋2常数项 (＋1)＋(＋2)＝＋3一次项系数 解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)． 按以上方法分解因式：x2＋14x＋48. 2．在对多项式进行因式分解时，有一种方法叫“十字相乘法”． 如分解二次三项式：2x2＋5x－7，具体步骤： ①首先把二次项的系数2分解为两个因数的积，即2＝2×1，把常数项－7也分解为两个因数的积，即－7＝－1×7； ②按图12－TX－1所示的方式书写，采用交叉相乘再相加的方法，使之结果恰好等于一次项的系数5，即2×(－1)＋1×7＝5.
图12－TX－1 ③这样，就可以按图12－TX－1中虚线所指，对2x2＋5x－7进行因式分解了， 即2x2＋5x－7＝(2x＋7)(x－1)． 请你仔细体会上述方法，并利用此法对下列二次三项式进行因式分解： (1)x2＋4x＋3；(2)2x2＋3x－20. 3．阅读下面的材料并完成填空： 因为(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2＋px ＋q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b 两数满足ab＝q，a＋b＝p，则有 x2＋px＋q＝(x＋a)(x＋b)． 如分解因式：x2＋5x＋6. 解：因为2×3＝6，2＋3＝5， 所以x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)． 再如分解因式：x2－5x－6. 解：因为－6×1＝－6，－6＋1＝－5， 所以x2－5x－6＝(x－6)(x＋1)． 阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看！ 因式分解： (1)x2＋7x＋12；(2)x2－7x＋12； (3)x2＋4x－12；(4)x2－x－12. 4．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2＋bxy＋cy2的关于x，y的二次三项式，关键是把x2项的系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1·a2，把y2项的系
数学北师大版八年级下册北师大版数学八年级下册第四章第一节《因式分解》
北师大版数学教材八年级下册第四章《因式分解》 1．因式分解 陕西省南郑县濂水镇初级中学杜锐 总体说明 因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系。通过对因式分的学习，不但可以培养学生的逆向思维能力，而且为后面学习分式的化简与运算、解一元二次方程奠定了重要基础。学生已有的因数分解和整式乘法运算的学习经验是本章学习的基础。 这节课是因式分解的第1小节，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，分解的思想，逆向思考的作用，体会数学思维之间的整体联系。 一、教学任务 1.教学目标 （1）经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法。 （2）经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观。 （3）了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系。 （4）感受因式分解在解决相关问题中的作用。 2.教学重点：因式分解的概念 3.教学难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法 二、教学过程 第一环节复习回顾： 问题（1）24能被6整除吗？ 问题（2）24还能被哪些正整数整除？ 设计意图：回顾因数分解的方法，为后面向因式分解过渡做铺垫。 第二环节比较探究：
1、思考交流 问题（1）993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，除了直接计算外，你还有其他 方法吗？把你的想法与同学交流。 993-99 = 99×992-99 = 99(992-1) ∴993-99能被99整除 问题（2）993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。 993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1） = 99（99+1）（99-1） = 99×98×100 所以993-99能被100整除 设计意图：从对数字的因数分解到把一个算式因数分解，问题设置由浅入深，逐步让学生体会分解因数的过程和意义，有助于学生对因式分解概念的理解。 2.想一想 （1）993-99还能被哪些正整数整除？ （2）我们解决这一问题的关键是什么？ 小结：关键是把993-99进行了分解因数变形，即化成了几个因数乘积的形式。 3.议一议 若a 表示一个大于1的整数，那么 （1）a 3-a 是整数吗？ （2）a 3-a 能被哪些数整除？ 类比研究993-99的方法研究a 3-a 所以a 3-a 能被a 、（a+1）或（a-1）整除 设计意图：通过这个过程，让学生思维体验从特殊到一般，从个体到一般事物规律的认知，提升学生的思维能力，从因数分解到因式分解自然过渡。 4、做一做 ) ()())(()(11111223+⨯⨯-=-+⨯=-⨯=-⨯=-a a a a a a a a a a a a a
数学北师大版八年级下册因式分解复习课
第四章 因式分解导学案（复习课） 班别：________姓名__________ 【学习目标】 1.复习因式分解的的定义及因式分解的基本方法。 2.通过复习，使学生熟练运用因式分解的基本方法。 3.通过复习，培养学生观察、分析和创新能力。 重点：能正确运用因式分解的基本方法。 难点：根据实际情况，灵活运用因式分解的基本方法。 一、知识回顾： 第四章学习了什么内容？ 二、训练案1： 1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） (A) 221(2)1x x x x -+=-+ (B) b bx x b +=+)1( (C)b a b a 42822∙= (D))2)(2(42-+=-x x x 2. 一个多项式分解因式的结果是)123(2+--y x x ,则这个多项式是（ ） （A ）x xy x 2462+- （B ）x xy x 2462++- （C ）x xy x 2462-+- (D ）xy x 462+- 三、训练案2： 1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ） (A)b a 22- (B) a a 22+ (C) 22b a + (D) 122+-ab a 2. 分解222246ac c ab bc a +-的因式时，应提取公因式（ ） （A ）abc （B ）2a （C ）2b （D ）2ac 3. 多项式a a 242+各项的公因式是 ． 4. 多项式23)(6)(3b a b a x ---各项的公因式是______________. 5.把下列各式因式分解： x x 155)1(2- ab ab ab 3612)2(23-+- 23)(6)(9)3(a b b b a -+- 四、训练案3：
数学北师大版八年级下册因式分解复习课教案
第四章、因式分解 回顾与思考 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论. 学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 二、教学任务分析 在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是： 1．知识与技能： （1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法； （2）提高学生因式分解的基本运算技能； （3）能熟练地综合运用几种因式分解方法． 2．过程与方法： （1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力； （2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识． 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：知识回顾——总结归纳——小试牛刀——总结归――课堂小测． 第一环节知识回顾 活动内容：1、举例说明什么是分解因式。 2、分解因式与整式乘法有什么关系？ 3、分解因式常用的方法有哪些？ 4、试着画出本章的知识结构图。 活动目的：学生通过回顾与思考，将本章的主要知识点串联起来． 注意事项：学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互逆关系有了较清楚的认识与理解，但语言叙述严谨性不够，有待加强． 第二环节总结归纳（分五个知识点进行归纳训练） 活动内容：知识点一：对分解因式概念的理解
北师大版八年级数学下册第四章《因式分解》复习 教案
第四章因式分解 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论. 学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 二、教学任务分析 在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是： 1．知识与技能： （1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法； （2）提高学生因式分解的基本运算技能； （3）能熟练地综合运用几种因式分解方法． 2．过程与方法： （1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力； （2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问
题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识． 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：知识回顾——总结归纳——小试牛刀——总结归纳 ——能力提升――活学活用——永攀高峰． 第一环节知识回顾 活动内容：1、举例说明什么是分解因式。 2、分解因式与整式乘法有什么关系？ 3、分解因式常用的方法有哪些？ 4、试着画出本章的知识结构图。 活动目的：学生通过回顾与思考，将本章的主要知识点串联起来． 注意事项：学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互逆关系有了较清楚的认识与理解，但语言叙述严谨性不够，有待加强．
最新北师大版八年级数学下册-第四章单元综合复习-《因式分解》复习教案
第四章因式分解 ●教学目标 （一）教学知识点 1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式. 2.熟悉本章的知识结构图. （二）能力训练要求 通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力. （三）情感与价值观要求 通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识. ●教学重点 复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式. ●教学难点 利用分解因式进行计算及讨论. ●教学方法 引导学生自觉进行归纳总结. ●教具准备 投影片三张 第一张（记作§4.6 A） 第二张（记作§4.6 B） 第三张（记作§4.6 C） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 ［师］前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下. Ⅱ.新课讲解 （一）讨论推导本章知识结构图 ［师］请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些? ［生］（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.
（2）分解因式与整式乘法的关系. （3）分解因式的方法. ［师］很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助） ［生］ （二）重点知识讲解 ［师］下面请大家把重点知识回顾一下. 1.举例说明什么是分解因式. ［生］如15x3y2+5x2y－20x2y3=5x2y（3xy+1－4y2） 把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+1－4y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解因式. ［师］学习因式分解的概念应注意以下几点: （1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等. （2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止. 2.分解因式与整式乘法有什么关系? ［生］分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形. 如:ma+mb+mc=m（a+b+c） 从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法. 3.分解因式常用的方法有哪些? ［生］提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为: ma+mb+mc=m（a+b+c） a2－b2=（a+b）（a－b） a2±2ab+b2=（a±b）2 4.例题讲解 投影片（§4.6 A） ［例1］下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由.
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案
4.1 因式分解 一、教课目的 1、经历从分解因数到分解因式的类比过程． 2、认识因式分解的意义，以及它与整式乘法的互相关系． 3、感觉因式分解在解决有关问题中的作用． 二、教课重难点 要点：理解因式分解的意义，辨别分解因式与整式乘法的关系. 难点：经过察看，概括分解因式与整式乘法的关系. 三、教课过程 1、复习引入：单项式和多项式统称为整式， 整式乘法有：单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式。 2、议一议：993–99 能被 100 整除吗？还可以被哪些数整除？ 小明是这样做的：∵993–99 = 99 ×（ 992-1 ） =99×（99-1 ）（99+1） =99×98×100 ∴993–99 能被 100 整除。 你赞同小明的做法吗？ 你能把 a3–a 化成几个整式的乘积的形式吗？ a3–a= a(a+1)(a-1)。 做一做：察看下边拼图过程，写出相应的关系式
m m → m m a b C a+b+c ma+mb+mc = m(a+b+c) 总结概括：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这类变形叫做把这个多项式因式分解也可称为分解因式。 定义分析：（1）等式左侧一定是一个多项式 （2）分解因式的结果一定是以几个整式的积的形式表示； （3）分解因式一定分解到每个因式都不可以分解为止。 3、做一做：计算以下式子： （1）3x( x-1)= ；（2）m(a+b+1)= ；（3）（m+4）( m-4)= ；（4）（y-3 ）2= ； 依据上边的算式填空： （1）3x2-3 x= ；（2）ma+mb+m= ； 2 ； 2 。（3）m-16= （4）y -6 y+9= 总结概括：分解因式与整式乘法的关系是：互逆关系。 练一练： ●1、以下各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ （1）4a(a ＋2b) ＝4a2＋8ab；（2）6ax－ 3ax2＝3ax(2 －x) ； （3）a2－4＝(a ＋2)(a －2) ；（4）x2－3x＋2＝x(x －3) ＋2． （5）a2 4ab b2 (a 2b)2 （6）( x 3)(x 3) x2 9 2、以下从左侧到右侧的变形，是因式分解的是（） A 、(3 x)(3 x) 9 x 2 B 、 m3 n3 (m n)(m2 mn n2 ) C 、( y 1)( y 3) (3 y)( y 1) D 、 4 yz 2 y 2 z z 2 y(2 z yz) z 3．把以下各式分解因式正确的选项是（） 2222 2 A．x y －x y＝x（y －xy）； B ．9xyz－6 x y ＝3xyz（3－2xy） 22 2 4. 连一连： a2－1 ( a+1)( a－1) a2+6a+9 (3 a+1)(3 a－1)
白银区七中八年级数学下册 第四章 因式分解章末复习教案北师大版
第四章因式分解 章末复习 【知识与技能】 掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，及在实数范围内分解因式的运用，培养学生简便运算和应用因式分解解决数学问题的能力. 【过程与方法】 通过寻求乘法公式与因式分解的关系，理解因式分解的含义. 【情感态度】 通过因式分解的学习，体会整体数学思想和转化的数学思想. 【教学重点】 熟练运用各种方法来进行因式分解. 【教学难点】 因式分解各种方法的综合运用，利用因式分解解决数学问题. 一.知识结构 【教学说明】 引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系 二、释疑解惑，加深理解 1.因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 2.提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 3.公式法
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积. （2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式. 【教学说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算; (2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验. 三、典例精析，复习新知 1.下列变形是否是因式分解？为什么， (1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)； (2)x2-2x+3=(x-1)2+2； (3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+x n. 【解析】 (1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其正确性. (2)不是因式分解，不满足因式分解的含义; (3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等; (4)不是因式分解，是整式乘法. 2.下列变形是否正确？为什么？ (1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)； (2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2； (3)x2-2x-1=(x-1)2. 【解析】 (1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解. (2)不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解. (3)不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解. 3.用提公因式法将下列各式因式分解. (1)ax-ay； (2)6xyz-3xz2； (3)-x3z+x4y； (4)36aby-12abx+6ab； (5)3x(a-b)+2y(b-a)； (6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).
数学北师大版八年级下册因式分解复习教案
课题：因式分解 复习案 复习目标： 1.牢固理解因式分解的概念并能辨别； 2.熟练掌握因式分解的几种常用方法； 3.灵活运用因式分解的解题思维顺序； 4.基本了解因式分解的实际运用情景。 教学过程： 一、学习回顾： 本章知识归纳： 一、定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。（反复强调化成乘积的形式，而且要进行到每个因式都不能再分解为止） 二、常用的方法 （1）提公因式法 注意点：①公因式要提尽，先系数（最大公约数），再字母（指数最低次数） ②多项式的第一项系数为负数时，把“—”作为公式写在括号外，使第一项系数为正。 （2）运用公式法（平方差、完全平方公式） （3）十字相乘 （4）分组分解法：把各项适当分组，使分组分解能分组进行 分组时要用到添括号：括号前面是“+”，括号里面各项都不变号；括号前面是“—”，括号里面各项都变号。 三、步骤 应先提公因式，注意要提尽，再应用公式。如果多项式为二项式考虑用平方差；如果是三项式可以考虑用完全平方公式，如果不能用完全平方公式，考虑能否用十字相乘；如果是四项及以上的，可以先考虑分组，再分解。 二、学习过程： 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式叫因式分解（或分解因式）. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. xy x y x x 62)3(22-=- B. 4)4(442++=++x x x x C. )2)(3()2)(3(--=--m m m m D.)2)(2(422y x y x y x -+=- 2.常用方法： 提公因式法：=++mc mb ma . 确定公因式：1)取系数的公约数 ；2)取相同字母（或整体）的最低指数幂。 A.abc ab 422+= ; B.32323m n n m --= ; C. )(6)(22y x m y x m +++= . 公式法---平方差公式 =-22b a 。 1．42-a = ； 2．2 16x -= ； 3.221b a -= ； 4.229)(m y x -+= 。 公式法---完全平方公式 =++222b ab a ； =+-222b ab a 。 A. 442 +-x x
数学北师大版八年级下册“因式分解”复习课
“因式分解”复习课教案 一、学情分析： 本节课是第四章“因式分解”的复习课，学生通过本章的学习，已初步掌握了因式分解的常用方法，能运用因式分解解决一些问题的简便计算，但学生在因式分解时经常会出现错误，如分解不彻底、不能熟练、灵活运用各种因式分解的各种方法解决问题。所以，本节课进行一下系统的复习，让学生能灵活掌握因式分解的方法，从而有效地进行简便计算，解决相关问题。 二、教学目标： 1. 经历梳理知识与技能、形成知识体系的过程，进一步培养归纳、总结的能力。 2. 进一步巩固因式分解的概念和方法，熟练地对多项式进行因式分解，加深理解因式分解 与整式乘法的互逆关系。 3. 进一步运用因式分解解决一些数学问题，发展分析问题、解决问题的能力。 4. 进一步加强几何直观和推理能力的培养。 三、教学重点与难点： 教学重点：能准确、熟练、灵活地运用因式分解的各种方法对多项式进行因式分解。 教学难点：灵活运用因式分解解决各种数学问题和简便计算相关数学问题。 四、教学过程： （一）知识回顾 1. 什么是因式分解？因式分解与什么互为逆运算？ 答：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也称分解因式。因式分解与整式的乘法互为逆运算。 2. 常用的因式分解的方法有哪些？ 答：（1）提公因式法 （2）公式法：平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b) 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 3. 我们在学习过程中还遇到了哪些特殊方法？ 答：分组分解法、十字相乘法、配方法。 （二）典型例题，提升能力 例1、下列各式的因式分解是否正确？如果不正确，应怎样改正？你能从中得到什么启示？（1）2x3－4x2＋2x＝2x(x2－2x) (2 ) －a2＋ab－ac＝－a(a－b－c) (3 ) mn (m－n) －m (n－m)2＝mn (m－n) ＋m (m－n)2 ＝m(m－n) (n＋m－n) ＝m2(m－n) (4) a2－4b2 ＝(a＋4b)(a－4b) （5）p4－1＝(p2＋1)(p2－1) (6) 4xy2－4x2y－y3＝y(4xy－4x2－y2) (7) a2－2a－8＝a(a－2)－8 (8) x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)
北师大版八年级下册 因式分解、分式和分式方程 知识点
因式分解 一、基本概念 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这 个多项式分解因式． 因式分解与整式乘法互为逆变形： () m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解 式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式． 因式分解的常用方法： 提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法． 分解因式的一般步骤： 如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或十字相乘法，如还不能，就试用分组分解法或其它方法． 注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止； ②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式； ④相同的因式的积要写成幂的形式． 在分解因式时，结果的形式要求： ①没有大括号和中括号； ②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式． 二、提公因式法 提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面． 确定公因式的方法： 系数——取多项式各项系数的最大公约数； 字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂． 三、公式法 平方差公式：22()()a b a b a b -=+- ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+
八年级数学下册《分解因式》知识点归纳北师大版
八年级数学下册《分解因式》知识点归 纳北师大版 第二章分解因式 一、分解因式 1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. 2.因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系: 整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; 因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二、提公共因式法 1、如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: 2、概念内涵: 因式分解的最后结果应当是"积"; 公因式可能是单项式,也可能是多项式; 提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: 3、易错点点评: 注意项的符号与幂指数是否搞错; 公因式是否提"干净";
多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 三、运用公式法 1.如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法. 2.主要公式: 平方差公式: 完全平方公式: 3.易错点点评: 因式分解要分解到底.如就没有分解到底. 4、运用公式法: 平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式; ②二项式的每项都是一个单项式的平方; ③二项是异号. 完全平方公式: ①应是三项式; ②其中两项同号,且各为一整式的平方; ③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍. 5、因式分解的思路与解题步骤: 先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; 再看能否使用公式法;
用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; 因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; 因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 四、分组分解法: 1、分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 如: 2、概念内涵: 分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式. 3、注意:分组时要注意符号的变化. 五、十字相乘法: 1、对于二次三项式,将a和c分别分解成两个因数的乘积,,,且满足,往往写成的形式,将二次三项式进行分解. 如: 2、二次三项式的分解: 3、规律内涵: 理解:把分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分
数学北师大版八年级下册因式分解教案
因式分解教案 八（8）班杨万生 【教学目标】 知识与技能目标： 1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。 2、会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。过程与方法目标： 通过了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体事物之间可以相互转化的辩证思想。 情感与态度目标： 培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。【重点难点】 重点：因式分解的概念与提公因式法。 难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法分解因式。 关键点：对公式的结构特征应做出具体分析，掌握公式的特点，加深理解，并培养学生在多变的情况运用公式。 【注意事项】 1．因式分解与整式运算是不同的整式变形，概念的引人应着重引导学生观察变形的特点，理解变形的意义，还应随时回忆这一概念、运用这一概念、巩固这个概念，而不要希望一蹴而就。 2．在运用各种方法因式分解时应重视培养学生的观察能力，在教学中应给学生以足够的时间观察，并充分交流观察的结果，汇报观察结果后而采取对策，而不应让学车模仿例题，只有在这种观察的实践活动中，才能培养学生的观察能力，才能训练学生选择正确的解题策略。 3．在因式分解中换元思想起着重要的作用，公因式m既可以是单项式，又可以是多项式，公式法中的a，b……也可以表示任何一个代数式。本章运用换元法这一重要的数学思想方法也是为今后的代数学习打下良好的基础。 4．提取公因式法是因式分解的最基本的方法，也是最常用的方法，它的理论依据是乘法分配律。在讲解时可以先讲单项式乘以多项式，再把它逆过来运算就是提取公因式，用这个方法，首先对要分解的多项式认真观察，确定公因式是至关重要的。 【教学过程】 一、回顾： 1、整式乘法有几种形式？ （1）单项式乘以单项式 （2）单项式乘以多项式：a（m＋n）=am＋an （3）多项式乘以多项式：（a＋b）（m＋n）=am＋an＋bm＋bn 2、乘法公式有哪些？ （1）两数和乘以它们的差公式： （2）两数和的平方公式： 3、试计算 （1）3a（a－2b＋c）（2）（a＋3）（a－3） 二、探索新知，找出规律 1、根据上面得到的结果，你会做下面的填空吗？
2021年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》期末复习知识点分类训练(附答案)
2021年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》期末复习知识点分类训练（附答案）1．已知x2+2x﹣1＝0，则x4﹣5x2+2x的值为（） A．0B．﹣1C．2D．1 2．下列因式分解正确的是（） A．3p2﹣3q2＝（3p+3q）（p﹣q）B．m4﹣1＝（m2+1）（m2﹣1） C．2p+2q+1＝2（p+q）+1D．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2 3．已知a﹣b＝﹣2，ab＝1，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（） A．﹣2B．2C．﹣4D．4 4．若4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（）A．±6B．±12C．﹣13或11D．13或﹣11 5．已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（） A．2019B．2020C．2021D．2022 6．若＝8×10×12，则k＝（） A．12B．10C．8D．6 7．若代数式x2﹣mx+4因式分解的结果是（x+2）2，则m的值是（）A．﹣4B．4C．﹣2D．±4 8．若多项式x2+mx﹣8因式分解的结果为（x+4）（x﹣2），则常数m的值为（）A．﹣2B．2C．﹣6D．6 9．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（）A．﹣1B．1C．﹣7D．7 10．已知a＝2022x+2023，b＝2022x+2024，c＝2022x+2025，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（） A．0B．1C．2D．3 11．计算248﹣26的结果更接近（） A．248B．247C．242D．240 12．把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（）A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c）B．（y﹣x）（a﹣b﹣c） C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c）D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）
八年级数学下册《分解因式》知识点归纳北师大版
八年级数学下册《分解因式》知识点归纳北 师大版 第二章分解因式 一、分解因式 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. 因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系: 整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; 因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二、提公共因式法 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: 概念内涵: 因式分解的最后结果应当是"积"; 公因式可能是单项式,也可能是多项式; 提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: 易错点点评: 注意项的符号与幂指数是否搞错;
公因式是否提"干净"; 多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 三、运用公式法 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法. 主要公式: 平方差公式: 完全平方公式: 易错点点评: 因式分解要分解到底.如就没有分解到底. 运用公式法: 平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式; ②二项式的每项都是一个单项式的平方; ③二项是异号. 完全平方公式: ①应是三项式; ②其中两项同号,且各为一整式的平方; ③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍. 因式分解的思路与解题步骤: 先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
再看能否使用公式法; 用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; 因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; 因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 四、分组分解法: 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 如: 概念内涵: 分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式. 注意:分组时要注意符号的变化. 五、十字相乘法: 对于二次三项式,将a和c分别分解成两个因数的乘积,,,且满足,往往写成的形式,将二次三项式进行分解. 如: 二次三项式的分解: 规律内涵:
北师大版八年级下册数学[《因式分解》全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]
北师大版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 《因式分解》全章复习与巩固（提高） 【学习目标】 1.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算； 2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： ()() 22 -=+- a b a b a b 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边 是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减） 这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 要点四、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨ +=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 要点五、因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、提公因式法分解因式 1、 分解因式： (1)222 284a bc ac abc +-； (2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-． 【答案与解析】 解：(1)2222842(42)a bc ac acb ac abc c b +-=+-． (2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-
最新北师大版八年级数学下册-第四章单元综合复习-例谈因式分解的方法与技巧
例谈因式分解的方法与技巧 因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养同学们的探索求新的学习习惯，提高同学们的数学思维能力。现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧例举如下,供同学们参考: 一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。 例1、因式分解 32422+++-b a b a 解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1）， 则32422+++-b a b a =)12()44(14242222+--++=-+++-b b a a b a b a =)3)(1()1()2(22+-++=--+b a b a b a 例2、因式分解 611623+++x x x 解析：根据多项式的特点,把26x 拆成2242x x +；把x 11拆成x x 38+ 则611623+++x x x =)63()84()2(223+++++x x x x x =)3)(2)(1()34)(2()2(3)2(4)2(22+++=+++=+++++x x x x x x x x x x x 二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。 例3、因式分解444y x + 解析：根据多项式的特点,在444y x +中添上22224,4y x y x -两项， 则444y x +=2222224224)2()2(4)44(xy y x y x y y x x -+=-++ =)22)(22(2222y xy x y xy x +-++ 例4、因式分解 4323+-x x 解析：根据多项式的特点，将23x -拆成224x x +-，再添上x x 4,4-两项，则 4323+-x x =4444223+-++-x x x x x
专题14 因式分解(2)八年级数学下册强化巩固专题知识(北师大版)
专题14 因式分解（2） 教师讲义
64x6-1=(8x3)2-1 =(8x3+1)(8x3-1) =[(2x)3+1][(2x)3-1] =(2x+1)(4x2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1) 方法二 64x6-1=(4x2)3-1 =(4x2-1)(16x4+4x2+1) =(2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2) =(2x+1)(2x-1)[(4x2+1)2-(2x)2] =(2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)(4x2-2x+1) 例5 解 (x+y)2-6(x+y)+9 =(x+y)2-2×3×(x+y)+32 =(x+y-3)2． 例6 解方法一 x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3)2-16 =(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1) 方法二 x2+6x-7=(x+7)(x-1) 例7 解方法一 方法二 3x2-7x-6=(3x+2)(x-3)．
例8 解 2ax-10ay+5by-bx =2ax-10ay-bx+5by =(2ax-10ay)-(bx-5by) =2a(x-5y)-b(x-5y) =(x-5y)(2a-b)． 例9 解（1）x2-2xy+y2-1 =(x2-2xy+y2)-1 =(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1) （2）x2-2y-y2-1=x2-y2-2y-1 =x2-(y2+2y+1) =x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1) 例10 解 x2+4xy+3y2+x+3y =(x2+4xy+3y2)+(x+3y) =(x+y)(x+3y)+(x+3y) =(x+3y)(x+y+1)． 例11 解（1）a2+2ab+b2+2a+2b+1 =(a2+2ab+b2)+(2a+2b)+1 =(a+b)2+2(a+b)+1=(a+b+1)2． （2）a2+2ab+b2+2a+2b-3 =(a2+2ab+b2)+(2a+2b)-3 =(a+b)2+2(a+b)-3 =(a+b+3)(a+b-1)． （3）a2+3ab+2b2+2a+b-3 =(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3 =(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3 =(a+b-1)(a+2b+3)． 例12 证明因为4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，所以