初中抛物线经典练习题(含详细答案)

初中抛物线经典练习题(含详细答案)初中数学抛物线经典试题集锦，编著者为黄勇权。

以下为题目和解答。

第一组题型】1、已知二次函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$，$C(0,-8)$1）求此二次函数的解析式；2）在抛物线上存在一点$p$使$\triangle ABP$的面积为15，请直接写出$p$点的坐标。

解：第一问】因为函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$，$C(0,-8)$，分别将$x=2$，$y=0$代入$y=x^2+bx+c$，得$0=4+2b+c$-----①。

将$x=0$，$y=-8$代入$y=x^2+bx+c$，得$-8=c$-------------②。

将②代入①，解得：$b=2$--------------------------------------③。

此时，将②③代入$y=x^2+bx+c$，所以二次函数的解析式为$y=x^2+2x-8$。

第二问】因为$A$、$B$两点在$x$轴上，令$x^2+2x-8=0$，解得：$x_1=2$，$x_2=-4$。

所以$|AB|=|x_1-x_2|=|2-(-4)|=6$。

又$\triangle ABP$的面积为15，所以$|y_p|\cdot 6=30$，即$|y_p|=5$。

故$p$点的纵坐标为5或-5，即$p(2,5)$或$p(2,-5)$。

2、在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$，$B(2,-6)$。

1）求抛物线的表达式及对称轴；2）设点$B$关于原点的对称点为$C$，写出过$A$、$C$两点直线的表达式。

解：第一问】因为抛物线$y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$，$B(2,-6)$，分别将$x=5$，$y=B$代入$y=2x^2+mx+n$，得$B=50+5m+n$-----①。

将$x=2$，$y=-6$代入$y=2x^2+mx+n$，得$-6=8+2m+n$-------------②。

将②代入①，解得：$m=-4$，$n=-4$。

此时，抛物线的表达式为$y=2x^2-4x-4$。

对称轴为$x=-\frac{m}{2}=2$。

第二问】因为点$B$关于原点的对称点为$C(-2,6)$，所以直线$AC$的斜率为$\frac{6-B}{-2-5}=-\frac{2}{3}$，即直线$AC$的表达式为$y-B=\frac{2}{3}(x-5)$。

直线$BC$的斜率为$\frac{6-(-6)}{-2-2}=3$，即直线$BC$的表达式为$y+6=3(x-2)$。

3、在平面直角坐标系$xOy$中，已知抛物线的顶点$C(2,4)$，并在$x$轴上截得的长度为6.1）写出抛物线与$x$轴交点$A$、$B$的坐标；2）求该抛物线的表达式；3）写出抛物线与$y$轴交点$P$的坐标。

解：第一问】因为已知抛物线在$x$轴上截得的长度为6，所以抛物线与$x$轴的交点为$A(-1,0)$，$B(5,0)$。

第二问】因为抛物线的顶点为$C(2,4)$，所以抛物线的对称轴为$x=2$。

设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c$，则由$A(-1,0)$，$B(5,0)$，$C(2,4)$可列出方程组：begin{cases}a-b+c=0\\25a+5b+c=0\\4a+2b+c=4\end{cases}$$解得：$a=-1$，$b=2$，$c=1$。

此时，抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+1$。

第三问】抛物线与$y$轴的交点为$(0,c)=(0,1)$。

4、直线的解析式为$y=2x+4$，交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$B$，若以$A$为顶点，且开口向下作抛物线，交直线$AB$于点$D$，交$y$轴负半轴于点$C$。

1）若$\triangle ABC$的面积为20，求此时抛物线的解析式；2）若$\triangle BDO$的面积为8，求此时抛物线的解析式。

解：1）设抛物线的顶点为$V$，则$V$在直线$y=2x+4$上。

设$V$的坐标为$(x_0,y_0)$，则直线$AV$的表达式为$y-0=\frac{y_0-0}{x_0-2}(x-2)$。

将直线$AV$与直线$y=2x+4$相交，解得$x_0=-\frac{4}{3}$，$y_0=\frac{20}{3}$。

此时，抛物线的顶点为$V(-\frac{4}{3},\frac{20}{3})$。

因为以$A$为顶点，且开口向下作抛物线，所以抛物线的解析式为$y=a(x+\frac{4}{3})^2+\frac{20}{3}$。

将$x=0$，$y=-4$代入该式，解得$a=-3$。

此时，抛物线的解析式为$y=-3(x+\frac{4}{3})^2+\frac{20}{3}$。

2）设抛物线的解析式为$y=ax^2+2x+4$，则$D$点坐标为$(x_D,2x_D+4)$。

将$D$点坐标代入抛物线的解析式，解得$x_D=-\frac{2}{3}$。

设抛物线的顶点为$V(x_0,y_0)$，则直线$AV$的表达式为$y-2x-4=\frac{y_0-2x_0-4}{x_0-\frac{2}{3}}(x-\frac{2}{3})$。

将直线$AV$与直线$y=ax^2+2x+4$相交，解得$x_0=-\frac{7}{3}$，$y_0=-\frac{61}{3}$。

此时，抛物线的顶点为$V(-\frac{7}{3},-\frac{61}{3})$。

因为以$A$为顶点，且开口向下作抛物线，所以抛物线的解析式为$y=a(x+\frac{7}{3})^2-\frac{61}{3}$。

将$x=0$，$y=-4$代入该式，解得$a=-1$。

此时，抛物线的解析式为$y=-(x+\frac{7}{3})^2-\frac{61}{3}$。

所以，A、B两点的坐标分别为（-2，0）和（6，0）第二问】因为抛物线的顶点C为（2，4），对称轴是x=2。

所以，抛物线的表达式为：y=a(x-2)²+4又因为抛物线与x轴交点A、B的坐标为（-2，0）和（6，0）。

所以，a=-116第三问】因为抛物线与y轴交点P的横坐标为0。

所以，将x=0代入抛物线的表达式，得：y=4-2a所以，抛物线与y轴交点P的坐标为（0，4-2a）D点坐标为(-4,-4)。

以点A(-2,0)为顶点，可以设抛物线表达式为y=a(x+2)²。

将点D代入得到-4=a(-4+2)²，解得a=-1.因此，抛物线表达式为y=-(x+2)²。

5、已知方程x²+2mx+m²+3m-2=0有两个实数根x1和x2，求x1(x2+x1)+x2²的最小值。

解：方程有两个实数根，因此判别式Δ=(2m)²-4(m²+3m-2)≥0，化简得m≤3/2.根据韦达定理，x1+x2=-2m，x1x2=m²+3m-2.将其代入x1(x2+x1)+x2²得到3m²-3m+2，化简后得到3[(m-1/2)²+7/12]，因此最小值为7/4.6、在平面直角坐标系中，已知两定点A(-5,0)和B(3,0)，抛物线过A、B，顶点为C，解析式为y=ax²+bx-30（a≠0）。

点P(m,n)在抛物线上。

1) 求抛物线的解析式和顶点C的坐标。

2) 若四边形APBC为梯形，求点P的坐标。

解：(1) 由于抛物线过A(-5,0)和B(3,0)，因此抛物线的对称轴为x=-1.顶点C在对称轴上，因此C的横坐标为-1.将A代入抛物线方程得到-30=a(-5+1)²-4b，将B代入得到-30=a(3+1)²+4b，解得a=2，b=-5.因此，抛物线的解析式为y=2x²-5x-30，顶点C的坐标为(-1,-32)。

2) 四边形APBC为梯形，因此AP平行于BC。

由于抛物线对称轴为x=-1，因此AP的方程为x=m-1.将P代入抛物线方程得到n=2(m-1)²-5(m-1)-30.由于AP平行于BC，因此AP 的斜率等于BC的斜率，即2(m-1)=2，解得m=2.将m代入n 的方程得到n=-28.因此，P的坐标为(1,-28)。

7、已知抛物线y=4x²+bx+c与x轴相交于点A和B(2,0)，与y轴相交于点C(0,-6)。

1) 求出抛物线的解析式和点A的坐标。

2) 设D为抛物线的顶点，点P(t,y)在抛物线上，且t>2.若△BDP与△CDP的面积相等，求点P的坐标。

解：(1) 抛物线与x轴相交于点A和B(2,0)，因此抛物线的对称轴为x=1.由对称性可知，点C的纵坐标为抛物线的顶点的纵坐标，因此c=-6.将B代入抛物线方程得到4(2)²+2b-6=0，解得b=-8.因此，抛物线的解析式为y=4x²-8x-6，点A的坐标为(1,2)。

2) 设顶点D的横坐标为k，则k=1.由于△BDP与△CDP 的面积相等，因此BP/PC=BD/DC，即BP/(t-k)=2/(6-y)，解得y=5t/2-20.因此，点P的坐标为(t,5t/2-20)。

8、在xoy直角坐标系中，点C(2,-3)关于x轴对称的点为A，关于原点对称的点为B，抛物线过A、B两点，且点D(3,19)在抛物线上。

求抛物线的解析式。

解：点C关于x轴对称的点为A，因此A的纵坐标为-(-3)=3.点C关于原点对称的点为B，因此B的坐标为(-2,3)。

由于抛物线过A、B两点，因此抛物线的对称轴为直线y=0.设抛物线的解析式为y=ax²+bx，将A、B、D代入抛物线方程得到以下三个方程：a(2)²+b(2)=3a(-2)²+b(-2)=3a(3)²+b(3)=19解得a=2，b=-1.因此，抛物线的解析式为y=2x²-x。

由K3=k4，得8=n=8m+40，即m=-5或m=7.将m=-5或m=7代入n=8m+40中，得n=0或n=106.因为P（m，n）在抛物线y=2x²+4x-30上，所以将x=m，y=n代入y=2x²+4x-30中，得n=2m²+4m-30.将n=8m+40和n=2m²+4m-30相等，解得m=7或m=-5.将m=7代入n=8m+40中，得n=106；将m=-5代入n=8m+40中，得n=0.因此，当AP∥CB时，P的坐标为（7，106）。

已知抛物线y=x²+x-6与x轴相交于A（-4，0），与y轴相交于C（0，-6）和B（2，0）。

1）将y=x²+x-6变形为y=(x-2)(x+3)，得到抛物线的解析式和A点的坐标。