解圆锥曲线问题常用的八种方法及七种常规题型

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法〔点参数、K 参数、角参数〕7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型〔1〕中点弦问题 〔2〕焦点三角形问题〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题 〔4〕圆锥曲线的有关最值〔围〕问题 〔5〕求曲线的方程问题1．曲线的形状--------这类问题一般可用待定系数法解决。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程〔6〕存在两点关于直线对称问题 〔7〕两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法〔1〕椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

〔2〕双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离〞互相转化。

〔3〕抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要无视判别式的作用。

3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法〞。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法〞，即设弦的两个端点A(*1,y 1),B(*2,y 2),弦AB 中点为M(*0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求〞法，具体有：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有02020=+k by a x 。

(其中K 是直线AB 的斜率) 〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x (其中K 是直线AB 的斜率) 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率)4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 20++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·||12a k △·+，假设直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将*些代数式子利用其构造特征，想象为*些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。

如“2*+y 〞，令2*+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“*2+y 2〞,令d y x =+22，则d 表示点P 〔*，y 〕到原点的距离；又如“23+-x y 〞，令23+-x y =k ，则k 表示点P 〔*、y 〕与点A 〔-2，3〕这两点连线的斜率……6、参数法〔1〕点参数利用点在*曲线上设点〔常设“主动点〞〕，以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。

如*轴上一动点P ，常设P 〔t ，0〕；直线*-2y+1=0上一动点P 。

除设P 〔*1,y 1〕外，也可直接设P 〔2y 1-1,y 1〕 〔2〕斜率为参数当直线过*一定点P(*0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(*-*0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。

〔3〕角参数当研究有关转动的问题时，常设*一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。

7、代入法这里所讲的“代入法〞，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“条件P 1,P 2求〔或求证〕目标Q 〞，方法1是将条件P 1代入条件P 2，方法2可将条件P 2代入条件P 1，方法3可将目标Q 以待定的形式进展假设，代入P 1,P 2,这就是待定法。

不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。

八、充分利用曲线系方程法 一、定义法【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4*上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________(2)抛物线C: y 2=4*上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：〔1〕A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

〔2〕B 在抛物线，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 距离和最小。

解：〔1〕〔2，2〕连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+)1(13024---=x y 即 y=22(*-1),代入y 2=4*得P(2,22)，〔注：另一交点为(2,21-)，它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去〕 〔2〕〔1,41〕过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y 2=4*得*=41，∴Q(1,41) 点评：这是利用定义将“点点距离〞与“点线距离〞互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

例2、F 是椭圆13422=+y x 的右焦点，A(1,1)为椭圆一定点，P 上一动点。

〔1〕PF PA +的最小值为 〔2〕PF PA 2+的最小值为分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径F P '解：〔1〕4-5设另一焦点为F '，则F '(-1,0)连A F ',P F '当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时,PF PA +取得最小值为4-5。

〔2〕作出右准线l ，作PH ⊥l 交于H ，因a 2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e=21， ∴PH PF PH PF ==2,21即 ∴PH PA PF PA +=+2当A 、P 、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142=-=-A x ca 例3、动圆M 与圆C 1:(*+1)2+y 2=36切,与圆C 2:(*-1)2+y 2=4外切,的轨迹方程。

分析：作图时，要注意相切时的“图形特征〞：图中的A 、M 、C 共线，B 、D 、M 共线〕径〞〔如图中的MD MC =〕。

解：如图，MD MC =，∴26-=--=-MB MA DB MB MA AC 即 ∴8=+MB MA 〔*〕∴点M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b 2=15轨迹方程为1151622=+y x 点评：得到方程〔*〕后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出4)1()1(2222=+-+++y x y x ，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程。

分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R 〔R 为外接圆半径〕，可转化为边长的关系。

解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=-即6=-AC AB 〔*〕∴点A 的轨迹为双曲线的右支〔去掉顶点〕 ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x 〔*>3〕 点评：要注意利用定义直接解题，这里由〔*〕式直接用定义说明了轨迹〔双曲线右支〕 例5、定长为3的线段AB 的两个端点在y=*2上移动，AB 中点为M ，求点M 到*轴的最短距离。

分析：〔1〕可直接利用抛物线设点，如设A(*1,*12)，B(*2，*22)，又设AB 中点为M(*0y 0)用弦长公式及中点公式得出y 0关于*0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

〔2〕M 到*轴的距离是一种“点线距离〞，可先考虑M 到准线的距离，想到用定义法。

解法一：设A(*1，*12)，B(*2，*22)，AB 中点M(*0，y 0)则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-+-0222102122221221229)()(y x x x x x x x x x 由①得(*1-*2)2[1+(*1+*2)2]=9即[(*1+*2)2-4*1*2]·[1+(*1+*2)2]=9 ④ 由②、③得2*1*2=(2*0)2-2y 0=4*02-2y 0 代入④得 [(2*0)2-(8*02-4y 0)]·[1+(2*0)2]=9∴220041944x x y +=-， ≥,5192=-450≥y 当4*02+1=3 即 220±=x 时，45)(min 0=y 此时)45,22(±M 法二：如图，222+=AA MM ∴232≥MM ， 即411≥+MM ∴451≥MM ， 当AB ∴M 到*轴的最短距离为45 点评：① ② ③定义与三角形中两边之和大于第三边〔当三角形“压扁〞时，两边之和等于第三边〕的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB 是否能经过焦点F ，而且点M 的坐标也不能直接得出。

二、韦达定理法【典型例题】例6、椭圆)52(1122≤≤=-+m m y m x 过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次交于A 、B 、C 、D 、设f(m)=CD AB -,〔1〕求f(m),〔2〕求f(m)的最值。

分析：此题初看很复杂，对f(m)的构造不知如何运算，因A 、B 来源于“不同系统〞，A 在准线上，B 在椭圆上，同样C 在椭圆上，D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影〞到*轴上，立即可得防此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。

解：〔1〕椭圆1122=-+m y m x 中，a 2=m ，b 2=m-1，c 2=1，左焦点F 1(-1,0) 则BC:y=*+1,代入椭圆方程即(m-1)*2+my 2-m(m-1)=0 得(m-1)*2+m(*+1)2-m 2+m=0 ∴(2m-1)*2+2m*+2m-m 2=0 设B(*1,y 1),C(*2,y 2),则*1+*2=-)52(122≤≤-m m m〔2〕)1211(2121122)(-+=-+-=m m m m f∴当m=5时，9210)(min =m f 当m=2时，324)(max =m f点评：此题因最终需求C B x x +，而BC 斜率为1，故可也用“点差法〞设BC 中点为M(*0,y 0),通过将B 、C 坐标代入作差，得0100=⋅-+k m ym x ，将y 0=*0+1，k=1代入得01100=-++m x m x ，∴120--=m m x ，可见122--=+m mx x C B 当然，解此题的关键在于对CD AB m f -=)(的认识，通过线段在*轴的“投影〞发现C B x x m f +=)(是解此题的要点。