第四章 连续系统的频域分析-new

§4.1
信号分解为正交函数
一、矢量正交与正交分解
矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间。
二、信号正交与正交函数集
1. 信号正交： 定义在(t1，t2)区间的 1(t)和 2(t)满足

t2
t1
1 (t ) 2 (t ) d t 0 (两函数的内积为0)
*
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。 2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，· · · ， n(t)构成一个函数集， 这些函数在区间(t1，t2)内满足
4 T an 2 f (t ) cos nt d t T 0 4 T bn 2 f (t )sin nt d t T 0
三．指数函数形式的傅里叶级数
•完备复指数正交函数集 jnt e n 0, 1, 2, •指数形式傅里叶级数
f (t )
n
jnt f ( t ) F e n n T 1 jnt F 2 f ( t ) e dt T n T 2
以t为自变量的时间信号 以n为自变量的频域描述
•两种形式傅里叶系数之间的关系 A0 余弦形式傅里叶级数：f (t ) An cos nt n 2 n 1
狄里赫利(Dirichlet)条件
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积。
•三角形式傅里叶级数的变形
将上式同频率项合并，可写为 A0 f (t ) An cos (nΩ t n ) 2 n 1 bn 2 2 arctan n 式中，A0 = a0 An an bn an 可见：An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancos n， bn = –Ansin n，n=1,2,· · · 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 • A0/2为直流分量 • A1cos (t+1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周 期信号相同 • A2cos (2t+2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍 一般而言，Ancos (nt+n)称为n次谐波。
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
§4.0
引言
时域 频域 (傅里叶变换)
时域分析: 以冲激函数或单位序列为基本信号，任意输入信号 可分解为一系列冲激函数或单位序列之和 傅立叶变换 以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任意输入 信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信 号之和。
用于系统分析的独立变量是频率， 故称为频域分析 。 • 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内 在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密 切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制 等重要概念。

t0 T
t0
e
jmt
(e
jnt *
) dt
t0 T
t0
e
j ( m n ) t
0, dt T ,
mn mn
三、信号的正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，· · · ， n(t)在区间(t1，t2)构 成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函 数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C11+ C22+· · · + Cnn 如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间的误差在 区间(t1，t2)内为最小。 •最优近似 选择适当的组合系数Cj ，使得均方误差
•奇谐函数
波形沿时间轴平移半个周期 并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变化： T f (t ) f t 2
f(t ) 0 T/2 T t
f(t)的傅里叶级数偶次谐波为零，只有奇次谐波分量，即
n 0, 2, 4,6 时，
n 1,3,5 时，
an bn 0
例4.2-1：将图示的对称方波信号展成三角形式傅立叶级数
f t
1
0 T/ 2
1
T
t
解：直接代入公式有
2 an T
T 2

2 T f (t ) cos ntdt T
2 0

2 (1) cos ntdt T (1) cos ntdt T 0
2 T 2
0
T 2
2 1 2 1 ( sin nt ) (sin nt ) 0 T T n T n 0
t
t2
1
* (t ) i (t ) d t 0
( i =1，2，· · · ，n )
则称此函数集为完备正交函数集。
三角函数集
0, t0 T T t0 cos mΩ t cos nΩ t d t 2 , T ,
mn mn0 mn0

t0 T


Fn e jnt
•傅里叶系数
Fn


T 2 T 2 T 2 T 2
f (t ) e jnt dt e jnt e jnt dt
1 T 2T f (t ) e jnt dt T 2
•说明
在复函数正交基底确定的条件下，指数形式傅里叶 级数及其傅里叶系数公式之间构成一种变换对关系： 已知f t ，可唯一确定Fn，反之亦然
E
f (t ) f ( t )

T
O

T t
•奇函数
波形相对于原点对称 f (t ) f (t )
f (t )
2 T an 2T f (t ) cos nt d t 0 T 2
2 bn T
T 2 T － 2 T 2 0

T
O 1
1 T

t
4 f (t )sin nt d t f (t )sin nt d t 0 T
2
bn
2 T
T 2

f (t ) sin ntdt

T 2
2 1 2 1 cos nt ( cos nt ) T T n T n
2
0
T 2
0
0 2 (1 cos n ) 4 n n
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,

§4.2 傅里叶级数
傅里叶级数的三角形式
波形的对称性与谐波特性 傅里叶级数的指数形式 周期信号的功率——Parseval等式
一、傅里叶级数的三角形式
1. 三角函数集 {1，cos (nΩt)，sin (nΩt)，n=1，2 ，· · · } 在一个周期内是一个完备的正交函数集。 由积分可知
T , cos nΩ t cos mΩ t d t 2 0, T T , 2 T2 sin nΩ t sin mΩ t d t 2 0,
T 2 T 2
mn mn
mn mn

T 2 T 2
cos nΩ t sin mΩ t d t 0
2．级数形式
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足 狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级 数—— 称为f(t)的傅里叶级数
a0 f (t ) an cos (nΩ t ) bn sin (nΩ t ) 2 n 1 n 1
即 所以系数
2
t2 t1
f (t ) i (t ) d t 2Ci i2 (t ) d t 0
t1
t2
Ci

t2 t1
f (t ) i (t ) d t
t2 t1
注意教材中的推导过程假设f (t )、i (t )等为实函数。

(t ) d t
2 i
1 Ki

t2 t1
系数an , bn称为傅里叶系数
2 an T
T 2 T 2
f (t ) cos (nΩ t ) d t
2 bn T
T 2 T 2
f (t ) sin (nΩ t ) d t
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
•满足狄里赫利条件的周期信号在任意一个周期内可 以展开为傅里叶级数，即把原信号分解为具有不同频 率和相位的正弦周期信号的线性组合
t0
0, sin mΩ t sin nΩ t d t T , 2
mn mn0ຫໍສະໝຸດ T 2 T 2cos nΩ t sin mΩ t d t 0
正交复指函数集
e
jnt
2 (n 0, 1, 2, )在区间(t0 , t0 T )(其中T ）是完备正交函数集；
e jx e jx 用cos x 代入上式，得 2
A0 An j nt n j nt n f (t） e e 2 n 1 2 0＝0 1 1 1 j0 j 0 t jn jnt jn jnt A0e e An e e An e e 2 2 n 1 2 n 1 1 An e jn e jnt Fn e jnt n 2 n
j 1
小结
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t ) Ci i (t )
i 1

1 Ci Ki
t
t2
1
f (t ) i (t ) d t
Ki
t
t2
1
i2 (t ) d t
帕斯瓦尔能量公式
t
t2
1
f 2 (t ) d t Ci2 K i
i 1
1 2 t 2 t1
为最小