偏微分方程数值解
偏微分方程的数值方法
偏微分方程的数值方法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中研究的重要分支，广泛应用于物理学、工程学等领域中。
由于一些复杂的PDEs难以找到解析解，因此需要借助数值方法进行求解。
本文将介绍偏微分方程的数值解法，包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是解偏微分方程最常用的数值方法之一。
它将偏微分方程中的导数用差商来近似，将空间离散成若干个小区间和时间离散成若干个小时间步长。
通过求解离散化后的代数方程，可以得到原偏微分方程的数值解。
以二维的泊松方程为例，偏微分方程可以表示为：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = f(x, y)其中，u(x, y)为未知函数，f(x, y)为已知函数。
我们可以将空间离散成Nx × Ny个小区间，时间离散成Nt个小时间步长。
利用中心差分法可以近似表示导数，我们可以得到离散化的代数方程组。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种重要的数值解PDEs的方法。
它将求解区域离散化成一系列的单元，再通过插值函数将每个单元上的未知函数近似表达。
然后，利用加权残差方法，将PDEs转化成代数方程组。
在有限元法中，采用形函数来近似未知函数。
将偏微分方程转化为弱形式，通过选取适当的形函数和权函数，可以得到离散化后的代数方程组。
有限元法适用于求解各种各样的偏微分方程，包括静态和动态、线性和非线性、自由边界和固定边界等问题。
三、谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于特殊函数（如正交多项式）的数值方法，用于解PDEs。
谱方法在求解偏微分方程时，利用高阶连续函数拟合初始条件和边界条件，通过调整特殊函数的系数来近似求解解析解。
谱方法具有高精度和快速收敛的特点，适用于各种偏微分方程求解。
偏微分方程 解析解与数值解比较
偏微分方程解析解与数值解比较解析解与数值解比较的意义偏微分方程是数学中重要的研究对象，广泛应用于自然科学和工程领域。
解析解和数值解是解决偏微分方程的两种方法，它们在精度、计算复杂度和适用范围等方面存在差异。
比较解析解和数值解的优缺点，可以帮助我们选择合适的方法来解决实际问题。
解析解是通过数学推导得到的精确解。
它可以提供方程的整体特征和行为，具有数学上的完美性。
解析解的优点是精确、简洁、快速。
对于简单的偏微分方程，可以直接通过求解微分方程得到解析解。
例如，对于线性的一阶偏微分方程，可以通过分离变量或者变换等方法求得解析解。
解析解在理论研究和数学证明中具有重要意义。
然而，对于复杂的非线性偏微分方程，往往很难得到解析解。
数值解是通过数值计算得到的近似解。
数值解的优点是适用范围广、计算复杂度低。
对于复杂的偏微分方程，往往无法得到解析解，这时只能通过数值方法来求解。
数值解的核心思想是将偏微分方程离散化为代数方程组，然后通过迭代方法求解。
常用的数值方法有有限差分法、有限元法和谱方法等。
数值解可以通过增加计算精度和网格密度来提高计算结果的精确性。
解析解和数值解之间存在着差异和联系。
首先，解析解是精确解，而数值解是近似解。
在计算结果上，解析解可以提供方程的精确解，而数值解只能提供近似解，其精确度受到计算精度和网格密度的限制。
其次，解析解往往适用于简单的偏微分方程，而数值解适用于复杂的偏微分方程。
对于无法得到解析解的偏微分方程，只能通过数值方法来求解。
最后，解析解和数值解可以互相验证和比较。
通过比较解析解和数值解，可以评估数值方法的准确性和稳定性。
在实际应用中，解析解和数值解的选择取决于问题的复杂性、计算资源和求解精度的要求。
对于简单的偏微分方程和要求高精度的问题，可以选择解析解方法。
对于复杂的非线性偏微分方程和大规模计算问题，数值解是更为合适的选择。
在实际求解中，常常会将解析解作为数值解的参考，用于验证数值方法的正确性。
偏微分方程组数值解法
偏微分方程组数值解法
偏微分方程组是描述自然、科学和工程问题的重要数学工具。
由于解析解通常难以获得，因此需要使用数值方法来解决这些方程组。
本文将介绍偏微分方程组的一些数值解法，包括有限差分法、有限元法、谱方法和边界元法等。
有限差分法是一种基本的数值方法，将偏微分方程转化为差分方程，然后使用迭代算法求解。
该方法易于理解和实现，但对网格的选择和精度的控制要求较高。
有限元法是目前广泛使用的数值方法之一，它将偏微分方程转化为变分问题，并通过对函数空间的逼近来求解。
该方法对复杂几何形状和非线性问题有很好的适应性，但需要对网格进行精细的划分，计算量较大。
谱方法是一种高精度的数值方法，它将偏微分方程转化为特征值问题，并使用级数逼近来求解。
该方法在高精度求解、解析性质研究和数值计算效率方面具有优势，但需要对函数的光滑性和周期性有较高的要求。
边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，它将偏微分方程转化为边界积分方程，并使用离散化方法求解。
该方法适用于求解边界问题和无穷域问题，但对边界的光滑性和边界积分算子的性质有较高的要求。
总之，在实际问题中选择合适的数值方法需要综合考虑问题的性质、计算资源、精度要求等因素。
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a12 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 q1
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2 q3
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六章 q1
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偏微分方程数值解法(1)
第十章 偏微分方程数值解法一、 典型的偏微分方程介绍 1．椭圆型方程 科学技术中经常遇到一些重要的、典型的偏微分方程。
在研究有热源稳定状态下的热传导，有固定外力作用下薄膜的平衡问题时，都会遇到Poisson 方程D y x y x f yux u ∈=∂∂+∂∂),(),(2222（10.1）其中D 表示平面区域。
特别在没有热源或没有外力时，就得到Laplace 方程02222=∂∂+∂∂y ux u （10.2）此外，当研究不可压缩理想流体无旋流动的速度势以及静电场的电位等，也会遇到（10.1）或（10.2）类型的方程。
2．抛物型方程 在研究热传导过程、气体扩散现象、电磁场的传播等问题中以及在统计物理、概率论和重子力学中，经常遇到抛物型方程。
这类方程中最简单、最典型的是热传导方程。
L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022（10.3）其中a 是常数。
它表示长度为L 的细杆内，物体温度分布的规律。
3．双曲型方程 在研究波的传播、物体的振动时，常遇到双曲型方程。
这类方程中最简单、最典型的是波动方程L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022222（10.4）它表示长度为L 的弦振动的规律。
二、定解问题偏微分方程（10.1）~（10.4）是描述物理过程的普遍规律的。
要使它们刻划某一特定的物理过程，必须给出附加条件。
把决定方程唯一解所必须给定的初始条件和边界条件叫做定解条件。
定解条件由实际问题提出。
对方程（10.3）来说，初始条件的提法应为)()0,(x f x u =，其中f (x )为已知函数，它表示物体在初始状态下温度分布是已知的。
边界条件的提法应为物体在端点的温度分布为已知，即⎩⎨⎧≥==0)(),()(),0(t t t L u t t u ψϕ （10.5）其中ϕ（t ）和ψ（t ）为已知函数。
对（10.4）来说，边界条件的提法和（10.5）形式一样，它表示弦在两端振动规律为已知。
数学建模第八讲：偏微分方程数值解
2 (t )
其中：u
t
0
(
x
),
u t
t0
(x)
为初值条件
u x0 1 (t ), u xt 2 (t ) 为边值条件
当该波动方程只提供初值条件时，称此方程为波动方程的初值问题，二
。 者均提供时称为波动方程的混合问题
5.3.1 波动方程求解
t
t
x 0 a)初值问题
x
0
l
b)混合问题
对于初值问题，是已知t=0时，u与u 依赖于x的函数形式，求解不同位置， t
un1 i , j,k
t 2 t nt , xix , y jy,zkz
( t )2
2u x 2
t nt , xix , y jy,zkz
un i1, j,k
2uin, j,k (x)2
un i1, j ,k
2u y2
t nt , xix , y jy,zkz
un i , j1,k
2uin, j,k (y)2
21
A11 I
A
I
A22 I
I AN 2 ,N 2 I
I
R( N 1)2 ( N 1)2
AN 1,N 1
其中
4 1
f ( x, t)
u
t
0
(
x
),
u t
t0
( x)
u
x0
1(t), u xl
2(t)
uin
un1 i
τn
xi
x
un1 i
方程离散化
un1 i
2uin
un1 i
(t )2
a2
un i1
2uin
第十四章SECTION4偏微分方程的数值解法
§4 偏微分方程的数值解法一、 差分法差分法是常用的一种数值解法.它是在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值. 1. 网格与差商在平面 (x ,y )上的一以S 为边界的有界区域D 上考虑定解问题.为了用差分法求解，分别作平行于x 轴和y 轴的直线族.⎩⎨⎧====jhy y ihx x i i (i ,j =0,±1,±2,…,±n ) 作成一个正方形网格，这里h 为事先指定的正数，称为步长；网格的交点称为节点，简记为(i ,j ).取一些与边界S 接近的网格节点，用它们连成折线S h ，S h 所围成的区域记作D h .称D h 内的节点为内节点，位于S h 上的节点称为边界节点（图14.7）.下面都在网格D h + S h 上考虑问题：寻求各个节点上解的近似值.在边界节点上取与它最接近的边界点上的边值作为解的近似值，而在内节点上，用以下的差商代替偏导数：()()[]()()[]()()()[]()()()[]()()()[]y x u h y x u y h x u h y x u hy x u h y x u y x u h y x u hy u y h x u y x u y h x u h x u y x u h y x u hyu y x u y h x u h x u ,),(,,1,,2,1,,2,1,,1,,122222222++-+-+≈∂∂∂-+-+≈∂∂-+-+≈∂∂-+≈∂∂-+≈∂∂注意， 1︒ 式中的差商()()[]y x u y h x u h ,,1-+称为向后差商，而()()[]y h x u y x u h,,1--称为向前差商，()()[]y h x u y h x u h,,21--+称为中心差商.也可用向前差商或中心差商代替一阶偏导数.2︒ x 轴与y 轴也可分别采用不同的步长h ,l ，即用直线族⎩⎨⎧====jhy y ihx x j i (i,j =0, ±1, ±2 , ) 作一个矩形网格.图14.72. 椭圆型方程的差分方法[五点格式] 考虑拉普拉斯方程的第一边值问题()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈=∂∂+∂∂y x u D y x y ux u S ,,02222μ式中μ(x ,y )为定义在D 的边界S 上的已知函数.采用正方形网格，记u (x i ,y j )=u ij ，在节点(i ,j )上分别用差商 u u u h u u u h i j ij i j i j ij i j -+-+-+-+11211222,,,,,代替2222,yux u ∂∂∂∂，对应的差分方程为u u u h u u u hi j ij i j i j ij i j -+-+-++-+=112112220,,,, （1） 或u u u u u ij i j i j i j i j =+++-+-+141111,,,,即任一节点(i ,j )上u ij 的值等于周围相邻节点上解的值的算术平均，这种形式的差分方程称为五点格式，在边界节点上取()()()h j i ij S j i y x u ∈=,,**μ（2） 式中(x i *,y j *)是与节点(i ,j )最接近的S 上的点.于是得到了以所有内节点上的u ij 值为未知量的若干个线性代数方程，由于每一个节点都可列出一个方程，所以未知量的个数与方程的个数都等于节点的总数，于是，可用通常的方法（如高斯消去法）解此线性代数方程组，但当步长不很大时，用高斯消去法将会遇到很大困难，可用下面介绍的其他方法求解. 若h →0时，差分方程的解收敛于微分方程的解，则称差分方程为收敛的.在计算过程中，由于进行四则运算引起舍入误差，每一步计算的舍入误差都会影响以后的计算结果，如果这种影响所产生的计算偏差可以控制，而不至于随着计算次数的增加而无限增大，则称差分方程是稳定的.[迭代法解差分方程] 在五点格式的差分方程中，任意取一组初值{u ij }，只要求它们在边界节点(i ,j )上取以已知值μ(x i *,y j *)，然后用逐次逼近法（也称迭代法）解五点格式：()()()()()[]() ,2,1,0411,1,,1,11=+++=+-+-+n u u u u u n j i n j i n j i n j i n ij 逐次求出{u ij (n )}.当(i+1,j )，(i －1,j )，(i ,j －1)，(i ,j+1)中有一点是边界节点时，每次迭代时，都要在这一点上取最接近的边界点的值.当n →∞时，u ij (n )收敛于差分方程的解，因此n 充分大时，{u ij (n )}可作差分方程的近似解，迭代次数越多，近似解越接近差分方程的解.[用调节余数法求节点上解的近似值] 以差商代替Δu 时，用节点(i+1,j )，(i －1,j )，(i ,j+1)，(i ,j －1)上u 的近似值来表示u 在节点(i ,j )的值将产生的误差，称此误差为余数R ij ，即()()()()()ij j i j i j i j i j i R y x u h y x u h y x u y h x u y h x u =--+++-++,4,,,,设在(i ,j )上给u ij 以改变量δu ij ，从上式可见R ij 将减少4δu ij ，而其余含有u (x i ,y j )的差分方程中的余数将增加δu ij ，多次调整δu ij 的值就可将余数调整到许可的有效数字的范围内，这样可获得各节点上u (x ,y )的近似值.这种方法比较简单，特别在对称区域中计算更简捷.例 求Δu =0在内节点A ,B ,C ,D 上解的近似值.设在边界节点1,2,3,4上分别取值为1,2,3,4（图14.8） 解 记u (A )=u A ，点A ,B ,C ,D 的余数分别为－4u A + u B + u c +5=R A u A －4 u B + u D +7=R Bu A－4 u c + u D +3=R Cu B + u c －4u D +5=R D以边界节点的边值的算术平均值作为初次近似值，即u A (0)=u B (0)=u C (0)=u D (0)=2.5则相应的余数为：R A =0, R B =2, R C = －2, R D =0最大余数为±2.先用δu C =－0.5把R C 缩减为零，u C 相应地变为2，这时R A , R D 也同时缩减(－0.5)，新余数是R A =－0.5,R B =2,0=C R , R D =－0.5.类似地再变更δu B =0.5，从而 u B 变为3，则得新余数为0====D C B A R R R R .这样便可消去各节点的余数，于是u 在各节点的近似值为：u A =2.5, u B =3, u C =2, u D =2.5现将各次近似值及余数列表如下：次数调 整 值第n 次近似值及余数u A R A u B R B u C R C u D R D 0 1 2δu C = －0.5 δu B = 0.5 2.5 2.5 2.5 0 －0.5 0 2.5 2.5 3 2 2 0 2.5 2 2 －2 0 0 2.5 2.5 2.5 0 －0.5 0 结果近似值2.5322.5[解重调和方程的差分方法] 在矩形D (x 0≤x ≤x 0+a ,y 0≤y ≤y 0+a )中考虑重调和方程024*******=∂∂+∂∂∂+∂∂=yuy x u x u u ∆取步长h an=，引直线族图14.8⎩⎨⎧+=+=jh y y ihx x 00 (i , j = 0, 1, 2,, n ) 作成一个正方形网格.用差商代替偏导数()()()()()[]{()()()()[]()()()()[]}h y x u h y x u y h x u y h x u h y h x u h y h x u h y h x u h y h x u h y x u h y x u y h x u y h x u y x u 2,2,,2,2,,,,2,,,,8201,-+++-++---++-+-++++--+++-++=上式表明了以(x ,y )为中心时，u (x ,y )的函数值与周围各点函数值的关系，但对于邻近边界节点的点(x ,y )，如图14.9中的A ，就不能直接使用上式，此时将划分网格的直线族延伸，在延伸线上定出与边界距离为h 的点，称这些点为外邻边界节点，如图14.9以A 为中心时，点E ,C 为边界节点，点J ,K 为E ,C 的外邻边界节点，用下法补充定义外邻边界节点J 处函数的近似值u J ，便可应用上面的公式.1︒ 边界条件为()()()S P P x uP u SS ∈==21,μ∂∂μ 时，定义u J =u A －2μ2(E )h .2︒ 边界条件为()()()S P P xuP u SS ∈=∂∂=2221,μμ时，定义u J =2μ1(E )－u A －h 2μ2(E ). [其他与Δu 有关的网格] 1︒ 三角网格（图14.10(a )）取P 0(x ,y )为中心，它的周围6个邻近节点分别为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++h y h x P h y h x P y h x P h y h x P h y h x P y h x P 23,2,23,2,,23,223,2,,654321则 R u h u u u h i i +∆+∆=⎪⎭⎫⎝⎛-∑=226102161632式中u i =u (P i ), u 0=u (P 0)，R 表示余项. 2︒ 六角网格（图14.10(b )）取P 0(x ,y )为中心，它的三个邻近节点分别为图14.9()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++h y h x P y h x P h y h x P 23,2,,23,2321则 R u u u h i i +∆=⎪⎭⎫⎝⎛-∑=0312334.图14.103︒ 极坐标系中的网格（图14.10(c )）取P 0(r ,θ)为中心，它的四个邻近节点分别为()()()()l r P h r P l r P h r P ++--θθθθ,,,,,,4321而拉普拉斯方程01122222=∂∂+∂∂+∂∂=θ∆u r r u r ru u的相应的差分方程为()()()011221110222134222312=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++++u l r h u u rh u u l r u u h 3. 抛物型方程的差分方法 考虑热传导方程的边值问题()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥==<<=><<=∂∂-∂∂0,,,,00,0,0,0,021222t t t b u t t u bx x x u t b x x u a t u μμϕ 将[0,b ]分为n 等份，每段长为∆x bn=.引两族平行线（图14.11）图14.11x =x i =i ∆x (i =0,1,2,, n )y =y j =j ∆t (j =0,1,2,, ∆t 取值见后)作成一个长方形的网格，记u (x i ,t j )为u ij ，节点(x i ,t j )为(i ,j )，在节点(i ,j )上分别用(),2,1,1,,2,1Δ2,Δ2,1,11,=-=+---++j n i x u u u t u u ji ij j i ij j i 代替22,xut u ∂∂∂∂，于是边值问题化为差分方程()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===-===-==+----++ ,2,1,0,Δ,Δ1,,2,1,Δ,2,1,0,1,,2,10Δ2Δ21002,1,121,j t j u t j u n i x i u j n i x u u u a tu u nj j i j i ij j i ijj i μμϕ 记()22x ta ∆∆=λ，差分方程可写成 () ,2,1,1,,2,121,1,11,=-=+-+=-++j n i u u u u ji ij j i j i λλλ （1）由此可按t 增加的方向逐排求解.在第0排上u i 0的值由初值ϕ(i ∆x )确定，j +1排u i ,j +1的值可由第j 排的三点(i +1,j ),(i ,j ),(i －1,j )上的值u i +1,j , u ij ,u i -1,j 确定，而u 0,j +1,u n ,j +1已由边界条件μ1((j +1)∆t )及μ2((j +1)∆t )给定，于是可逐排计算一切节点上的u ij 值.当ϕ(x ), μ1(x )和μ2(x )充分光滑，且λ≤12时，差分方程收敛而且稳定.所以利用差分方程（1）计算时，必须使λ≤12，即()22Δ21Δx at ≤.热传导方程还可用差分方程()0Δ2Δ21,11,1,121,=+---+-++++x u u u a t u u j i j i j i ij j i 代替，此时如已知前j 排u ij 的值，为求第j +1排的u i ,j +1 必须解包含n －1个未知量u u j n j 1111,,,,+-+ 的线性代数方程组，这种差分方程称为隐式格式的差分方程，前面所提的差分方程称为显式格式差分方程.隐式格式差分方程对任意的λ都是稳定的.4. 双曲型方程的差分方法 考虑弦振动方程的第一边值问题()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥==<<=∂∂=><<=∂∂-∂∂0,,,,00),()0,(,0,0,0,02122222t t t b u t t u b x x t x u x x u t b x x u a tu μμψϕ 用矩形网格，列出对应的差分方程：()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===-=∆=∆-==-==+--+--+-+ ,2,1,0,Δ,Δ1,,2,1),(,Δ,2,1,1,,2,1,0Δ2)(Δ22100102,1,1221,1,j t j u t j u n i x i t u u x i u j n i x u u u a t u u u nj j i i i j i ij j i j i ij j i μμψϕ 记ω=a tx∆∆与上段一样，利用u u n 022,和在第0排及第1排的已知数值（初始条件）u i 0 , u i 1可计算u i 2，然后用已知的u i 1 , u i 2及u u n 033,可计算u i 3,类似地可确定一切节点上的u ij 值.当ϕ(x ),ψ(x ),μ1(x )和μ2(x )充分光滑，且ω≤1时，差分方程收敛且稳定，所以要取∆∆t ax ≤1.二、 变分方法1. 自共轭边值问题将§3定义的共轭微分算子的概念推广到一般方程.设D 是n E 中的有界区域，S 为其边界，在D 上考虑2k 阶线性微分方程()x f x x uaLu km mi i i ni m m i i n n n=∂∂≡∑∑==++201111 ∂ 的齐次边值问题()r j u l Sj ,,2,10==式中f (x )是D 内的已知函数，l j u 是线性微分算子. 将 ⎰DvLud Ω分部积分k 次得()⎰∑⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Ω=S j j j D S v R u R v u vLu d ~,Λd k 1 式中Λ(u ,v )是一个D 上的积分，其被积函数包含u ,v 的k 阶导数；R j 和 R j 是定义在边界S 上的两个线性微分算子.再将Λ(u ,v )分部积分k 次得()()⎰∑⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Ω=Λ=S k j j j D S u R v R v uL v u d ~d ,1***式中L*是一个2k 阶的微分算子，称为L 的共轭微分算子.若L=L*，则称L 为自共轭微分算子.从上面可推出格林公式()()⎰∑⎰=-=Ω-Skj jjjjDS u R v R v R u R v uL vLu 1***d ~~d 如从l j u |S =l j v |S =0可推出在边界S 上()∑==-kj jjjju R v R v R u R 1**0~~ 则称l j u |S =0为自共轭边界条件.如果微分算子及边界条件都是自共轭的，则称相应的边值问题为自共轭边值问题，此时有()0d ][=Ω-⎰DuLv vLu每个边值问题对应于某希尔伯特空间H （例如L 2(D )，见第九章§7）中的一个算子A ，其定义域M A 是H 中一线性稠密集合，它由足够次连续可微且满足边界条件的函数组成，在M A 上，Au 的数值与Lu 的数值相同，从而求解边值问题化为解算子方程Au f = 的问题.设A 为定义在实的希尔伯特空间H 中的某线性稠密集合M A 上的线性算子.若对于M A 的任意非零元素,,v u 成立(Au ,v )=(u ,Av )则称A 为对称算子.若对任意非零元素u 成立()0,>u Au 则称A 为正算子.如成立更强的不等式(Au ,u )≥r ||u ||2 (r>0)则称A 为正定算子.此处(u ,v )表示希尔伯特空间的内积，||u ||2=(u ,u ). 2. 变分原理与广义解定理 设A 是正定算子，u 是方程Au =f 在M A 上的解的充分必要条件是： u 使泛函F (u )=(Au ,u )－2(f ,u )取极小值.上述将边值问题化为等价的求泛函极值问题的方法称为能量法.在算子的定义域不够大时，泛函F (u )的极值问题可能无解.不过对于正定算子，可以开拓集合M A ，使在开拓了的集合上，泛函的极值问题有解.为开拓M A ，在M A 上引进新的内积[u ,v ]=(Au ,v )，定义模||u ||2=[u ,u ]=(Au ,u )，在模||u ||的意义下，补充极限元素，得到一个新的完备希尔伯特空间H 0，在H 0上，泛函F (u )仍然有意义，而泛函的极值问题有解.但必须注意，此时使泛函F (u )取极小的元素u 0不一定属于M A ，因此它不一定在原来的意义下满足方程Au=f 及边界条件.称u 0为广义解. 3. 极小化序列与里兹方法在处理变分问题中，极小化序列起着重要的作用.考虑泛函F (u )=(Au ,u )－2(f ,u )以d 表示泛函的极小值.设在希尔伯特空间中存在一列元素{u n } (n =1,2 ,)，使()d u F n n =∞→lim则称{u n }为极小化序列.定理 若算子A 是正定的，则F (u )的每一个极小化序列既按H 空间的模也按H 0的模收敛于使泛函F (u )取极小的元素.这个定理不但指出利用极小化序列可求问题的解，而且提供一种近似解的求法，即把极小化序列中的每一个元素当作问题的近似解.设算子A 是正定的，构造极小化序列的里兹方法的主要步骤是：(1) 在线性集合M A 中选取H 0中完备的元素序列{ϕi } ， (i =1,2 ,) 并要求对任意的n ,ϕ1,ϕ2,…,ϕn 线性无关.称这样的元素为坐标元素.(2) 令u a n k k k n==∑ϕ1 ，其中a k 为待定系数.代入泛函F (u )，得自变量a 1,a 2,…,a n 的函数()()()∑∑==-=nj jjn k j kjkj n f a A a a u F 11,,2,ϕϕϕ(3) 为使函数F (u n )取极小，必须()()n j a u F jn ,,2,10 ==∂∂，从而求出a k (k =1,2,…,n ).序列{u n }即为极小化序列，u n 可作为问题的近似解. 4. 里兹方法在特征值问题上的应用 算子方程Au －λu =0的非零解λ称为算子A 的特征值，对应的非零解u 称为λ所对应的特征函数. 对线性算子A ，若存在常数K ，使对任何M A 的元素ϕ成立(A ϕ,ϕ)≥K ||ϕ||2则称A 为下有界算子，正定算子是下有界的（此时K =0）.记(A ϕ,ϕ)/||ϕ||2的下确界为d . 定理1 设A 为下有界对称算子，若存在不为零的元素ϕ0∈M A ，使()d A =200,ϕϕϕ则d 就是A 的最小特征值，ϕ0为对应的特征函数.于是求下有界对称算子的最小特征值问题化为变分问题，即在希尔伯特空间中求使泛函(A ϕ,ϕ)/||ϕ||2取极小的元素，或在||ϕ||=1的条件下求使泛函(A ϕ,ϕ)取极小的元素.定理2 设A 是下有界对称算子，λ1≤λ2≤…≤λn 是它的前n 个特征值，ϕ1,ϕ2,…,ϕn 是对应的标准正交特征函数，如果存在不为零的元素1+n ϕ，在附加条件(ϕ,ϕ)=1, (ϕ,ϕ1)=0, (ϕ,ϕ2)=0, …, (ϕ,ϕn )=0下使泛函(A ϕ,ϕ)取极小，则ϕn +1是算子A 的特征函数，对应的特征值()11,++=n n A ϕϕλ就是除λ1 ,，λn 外的最小的一个特征值.于是求第n +1个特征值就化为变分问题，即在附加条件(ϕ,ϕ)=1, (ϕ,ϕ1)=0, (ϕ,ϕ2)=0 ,, (ϕ,ϕn )=0 下求使泛函(A ϕ,ϕ)取极小的元素.为了利用里兹方法求特征值，在M A 中选取一列在H 0中完备的坐标元素序列{ϕi },(i =1,2 ,)， 令u a n k k k n==∑ϕ1，确定a k ，使在条件 (u n ,u n )=1下，(Au n ,u n )取极小，这个问题化为求n个变元a 1,a 2,…,a n 的函数()()∑==nm k m k k m n n a a A u Au 1,,,ϕϕ在条件()()∑===nm k m k m k n n a a u u 1,1,,ϕϕ下的极值问题，一般可用拉格朗日乘数法解（见第九章§3，t ），此时()()()()()()()()()()()()0,,,,,,,,,,,,11222121111111=------n n n n n n n n n n A A A A A A ϕϕλϕϕϕϕλϕϕϕϕλϕϕϕϕλϕϕϕϕλϕϕϕϕλϕϕ的最小的根即为特征值的近似值，如果将上式的根按大小排列，就依次得后面的特征值的近似值，但精确度较差. 对一般算子方程Au －λBu=0如果A 为下有界对称算子，B 为正定算子，则()()()()()()()()()()()()0,,,,,,,,,,,,11222121111111=------n n n n n n n n n n B A B A B A B A B A B A ϕϕλϕϕϕϕλϕϕϕϕλϕϕϕϕλϕϕϕϕλϕϕϕϕλϕϕ的根就是特征值的近似值. 5. 迦辽金方法用里兹方法解数学物理问题有很多限制，最主要的限制是要求算子正定，但很多问题不一定满足这个条件，迦辽金方法弥补了这个缺陷. 迦辽金方法的主要步骤是：(1) 在M A 中选取在空间H 中完备的元素序列{ϕi } (i =1,2 ,)，其中任意n 个元素线性无关，称{ϕi } (i =1,2,…)为坐标元素序列. (2) 把方程的近似解表示为u a n k k k n==∑ϕ1式中a k 是待定常数，把u n 代入方程Au=f 中的u ，两端与ϕj (j =1,2,…,n )求内积，得 a k 的n 个代数方程()()()n j f A a j n k j k k,,2,1,,1 ==∑=ϕϕϕ(3) 求出a k ，代回u n 的表达式，便得方程的近似解u n .在自共轭边值问题中，当算子是正定时，由迦辽金方法和里兹方法得到的关于a k 的代数方程组是相同的.。
偏微分方程数值解
偏微分方程:《偏微分方程》共分八章：第一章为绪论；第二、三章分别介绍了一阶方程、具有两个自变量的二阶方程的基本知识；第四、五、六章分别介绍了三类基本方程：波动方程、热传导方程和Laplace方程的定解问题的适定性、求解方法及解的性质；第七章主要介绍了一阶拟线性双曲守恒律方程组的一些基本知识；第八章介绍了Cauehy-Kovalevskaya定理。
另有两个附录：Fourier反演公式；Li-Yau估计。
《偏微分方程》不仅把注意力集中在传统的偏微分方程基础知识上，而且还有目的地介绍一些当代数学知识，譬如在几何分析中具有重要作用的Li-Yau估计和Hamack不等式等。
《偏微分方程》的另一特点是，除在每节后面为读者准备了一些习题之外，还在一些章节后面为读者准备了一些思考题和“开放问题（open problem）”。
这些问题具有一定的启发性，对提高学生对本门课程的学习兴趣有很大帮助。
偏微分方程数值解：通过数值计算方法，在计算机上对偏微分方程的近似求解。
科学和工程中的大多数实际问题都归结为偏微分方程的定解问题，由于很难求得这些定解问题的解析解（在经典意义下甚至没有解），人们转向求解它们的数值近似解。
简介：通过数值计算方法，在计算机上对偏微分方程的近似求解。
科学和工程中的大多数实际问题都归结为偏微分方程的定解问题，由于很难求得这些定解问题的解析解（在经典意义下甚至没有解），人们转向求解它们的数值近似解。
通常先对问题的求解区域进行网格剖分，然后基于有限元法、有限差分法和有限体积法等数值方法，对原定解问题或其等价形式离散，并归结为一个线性代数方程组，最终在计算机上求得精确解在离散网格点上的近似值。
求解涉及数值方法及其理论分析（稳定性、收敛性、误差估计）、计算机上的实现等一系列问题。
求解效率：求解的效率，一方面依赖计算机运行的速度，另一方面也依赖数值方法或算法，而且这方而更为重要。
自从1946年第一台电子计算问世（运行速度每秒500次乘法），到目前的千万亿次的超级计算机，计算速度得到了飞速发展。
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偏微分方程数值解
偏微分方程（PDEs）是描述自然界中的许多现象的语言工具，从流体力学和电动力学到化学反应和生物学都有应用。
虽然有些
偏微分方程可以通过解析方法精确解决，但是常常需要用数值方
法来近似求解。
本文将讨论偏微分方程数值解。
PDE问题的分类
偏微分方程可以分为两大类：椭圆型和非椭圆型。
椭圆型PDE
描述从一个状态到另一个状态的变化是稳定且平稳的，如流体稳
定流动。
椭圆型问题通常需要解决边界值问题（boundary value problems，BVP），即在指定的区域内求解PDE，并且在该区域
的边界上指定边界条件。
非椭圆型PDE描述状态如何变化，例如
热传导，它们需要解决初始值问题（initial value problems，IVP），即找到状态的初始条件，即在某一时刻给定PDE，并找到它随着
时间的演化。
无论是BVP还是IVP，它们都可以通过数值方法进
行近似计算。
有限差分法简介
最常见的数值方法是有限差分法（finite difference method，FDM）。
FDM从PDE中的原始方程中获得其差分形式，然后通
过将其离散化到有限差分点上，并在离散的网格点上近似解决它。
例如，考虑1D热传导方程：
$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial
x^2}$$
其中$u$是温度分布，$\alpha$是热扩散系数。
对$x$的离散化
得到：
$$\frac{u^{n+1}_i - u^n_i}{\Delta t} = \alpha\frac{u^n_{i+1} -
2u^n_i + u^n_{i-1}}{\Delta x^2}$$
其中$n$和$n+1$代表时间步，$u^n_{i}$是在时间$n$时刻位置
$i$的温度。
这个方程的具体形式取决于左右边界条件的选择，例如，Dirichlet条件：
$$u(0, t) = u(L, t) = 0, t>0$$
其中$L$是域的长度。
通过求解这个差分方程可以得到$u$关于
时间的任意数值解。
有限体积法简介
与有限差分法类似，有限体积法（finite volume method，FVM）从PDE中的原始方程中获得其所有积分形式，然后通过将其离散
化到有限体积单元上并在这些单元上近似来解决它。
尽管有限差
分法在确定小的时间和空间步长时较为灵活，但有限体积法在建
模物理过程时具有更好的灵活性。
有限体积法对物理变量的建模
更为自然且流程和控制方程的形式更为一致。
有限元法简介
与有限差分法和有限体积法不同，有限元法（finite element method，FEM）通过在全局区域上进行分段的逼近来估计解。
为
了特别描述目标域中的不规则性或元素缺失，FEM使用有限维空
间上的插值函数，以便以上述分段方式构建解。
通过对泊松方程
的应用，FEM可以更简单地进行函数逼近，而且可以轻松应用任
意几何形状的计算域。
例如，在2D情况下，目标域被分成许多小
三角形，每个三角形用一个二次函数逼近。
因此，通过将问题转换为求解一组线性方程可以在每个元素上得到近似解。
总结
无论是有限差分法、有限体积法和有限元法，它们都是常用的几种偏微分方程数值解方法。
这个领域的研究和发展广泛应用于多个领域，如工程学，计算流体动力学，天文学和材料科学等。
因此，它们在科学、工业和学术界都具有重要意义。