高中数学——极坐标专题(教案)

极坐标专题一、解答题1．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数），曲线2C 的方程为()2239x y +-=．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线1C 的极坐标方程； (2)已知射线1π:02l θαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与曲线1C 交于O ，A 两点，将射线1l 绕极点逆时针方向旋转π3得到射线2l ，射线2l 与曲线2C 交于O ，B 两点．当AOB 的面积最大时，求α的值，并求AOB 面积的最大值．2．在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求,A B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离.3．选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<4．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x ty kt=⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）.设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.6．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线24cos C ρθ=：. （Ⅰ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a . 7．已知圆1C：(223x y +=，圆2C ：2cos ρθ=.(1)将圆1C 化成极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知直线θα=与圆1C 、圆1C 分别交于P Q 、两点（P Q 、都不是原点），求PQ 的最大值.8．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(1)求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程； (2)若1π,2A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭是直线l 上一点，2π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线C 上一点，求OAB 的面积.9．已知圆1C：(223x y +=，圆2C ：2cos ρθ=．(1)将圆1C 化成极坐标方程； (2)在极坐标系中，已知直线3πθ=与圆1C 、圆2C 分别交于P Q 、两点（P Q 、都不是原点），求PQ 的值．10．曲线1C 的参数方程为1cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． (1)把1C 的参数方程化为极坐标方程；(2)求曲线1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<．参考答案：1．【答案】(1)4cos ρθ= (2) π12α=，AOB面积的最大值为92+【解析】(1)由22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，得()2224x y -+=，即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入2240x y x +-=，得24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=，故曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．(2)依题意，设()1,A ρα，2π,3B ρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 则14cos ρα=．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入曲线2C 的方程()2239x y +-=，得6sin ρθ=，即曲线2C 的极坐标方程为6sin ρθ=．则2π6sin 3ρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以)2121ππsin sin sin cos 233AOB S ρρααααα⎛⎫==+= ⎪⎝⎭△99π92cos 222232ααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． 由π02α<<，有ππ4π2333a <+<．所以当AOB 的面积最大时，当且仅当ππ232α+=，此时，π12α=，且AOB面积的最大值为92+ 2．【答案】（1（2）2.【解析】 【分析】(1)由题意，在OAB 中，利用余弦定理求解AB 的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离. 【详解】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B 2π），由余弦定理，得AB（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=.【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．3．【答案】（1）28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（2）),(2,)42ππ. 【解析】 【详解】 试题分析：（1） 先根据同角三角函数关系cos 2t ＋sin 2t=1消参数得普通方程：（x －4）2＋（y－5）2＝25 ，再根据cos ,sin x y ρθρθ==将普通方程化为极坐标方程：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=（2）将2sin ρθ=代入28cos 10sin 160ρρθρθ--+=得cos 0tan 1θθ==或得,2,24或ππθρθρ====为极坐标试题解析： （1）∵C 1的参数方程为45cos {55sin x ty t =+=+ ∴（x －4）2＋（y －5）2＝25（cos 2t ＋sin 2t ）＝25， 即C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25， 把cos ,sin x y ρθρθ==代入（x －4）2＋（y －5）2＝25，化简得：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.（2）C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25，∴C 1与C 2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.∴C 1与C 2交点的极坐标为),(2,)42ππ. 考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程4．【答案】（1）()22x 2y 40x -+=≠（）；（2）2【解析】 【详解】 试题分析：（1）设出P 的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB面积的最大值为2试题解析：解：（1）设P 的极坐标为（,ρθ）（ρ＞0），M 的极坐标为()1,ρθ（10ρ＞）由题设知|OP|=ρ，OM =14cos θρ=.由OM ⋅|OP|=16得2C 的极坐标方程4cos 0ρθρ=（＞）因此2C 的直角坐标方程为()22x 2y 40x -+=≠（）.（2）设点B 的极坐标为(),αB ρ （0B ρ＞）.由题设知|OA|=2，4cos αB ρ=，于是△OAB 面积1S AOB 4cos α|sin(α)|2|sin(2α)2233B OA sin ππρ∠=⋅=⋅-=-≤+当α12π=-时， S取得最大值2+所以△OAB面积的最大值为2+点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 5．【答案】（1）()2240x y y -=≠（2【解析】 【详解】（1）消去参数t 得1l的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k =+.设(),P x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠.所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.（2）C 的极坐标方程为()()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠.联立()()222cos sin 4,cos sin 0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.故1tan 3θ=-， 从而2291cos ,sin 1010θθ==.代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.6．【答案】（Ⅰ）圆，222sin 10a ρρθ-+-=（Ⅱ）1 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）把cos {1sin x a ty a t ==+化为普通方程，再化为极坐标方程；（Ⅱ）通过解方程组可以求得.试题解析：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.是以为圆心，为半径的圆.将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为.（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组若，由方程组得，由已知， 可得，从而，解得（舍去），.时，极点也为的公共点，在上.所以.【考点】参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.7．【答案】(1)ρθ= (2)4【解析】 【分析】（1）将圆1C 的方程展开，然后可得答案； （2）当θα=时，可得122cos PQ ρραα=-=-，然后利用三角函数的知识求解即可. (1) 将圆1C：展开得：2233x y +-+=，于是2sin 0ρθ-=， 即圆1C的极坐标方程为0ρθ-=，得ρθ=；(2) 当θα=时，得1ρα=、22cos ρα=，则122cos 4sin 46PQ πρρααα⎛⎫=-=-=-≤ ⎪⎝⎭，即PQ的最大值为4.8．【答案】(1)πcos 43ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2220x y y +-= (2)2【解析】 【分析】（1）先消去参数求出直线线l 的直角坐标方程，进而利用公式求出直线l 的极坐标方程以及曲线C 的直角坐标方程；（2）分别代入直线l 的极坐标方程及曲线C 的极坐标方程，求出12,ρρ，利用三角形面积公式求出△OAB 的面积.(1)直线l的参数方程为1112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t （其中t 为参数）． 消去参数t 得直线l 的直角坐标方程为:8x =，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线l的极坐标方程()cos 8ρθθ=，即πcos 43ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，所以22sin ρρθ=，由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为：2220x y y +-=．(2)因为1π,2A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上，2π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线C 上， 所以1πcos46ρ=，解得：1ρ=，而2π2sin 16ρ==，所以△OAB的面积121ππ1π1sin sin 12262232S OA OB ρρ⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭．9．【答案】(1)ρθ= (2)2【解析】 【分析】（1）由圆1C 2233x y +-+=，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩求解；（2）由3πθ=，分别求得12,ρρ，由12ρρ=-PQ 求解．(1)解：将圆1C：展开得：2233x y +-+=，所以2sin 0ρθ-=，即圆1C的极坐标方程分别为0ρθ-=，得ρθ=； (2) 当3πθ=时，得133πρ==，22cos13πρ==，则122PQ ρρ=-=．10．【答案】(1)22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2),2,42ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭.【解析】 【分析】（1）应用同角三角形函数的平方关系消参，得到直角坐标方程，再由公式法写出极坐标方程即可. （2）写出2C 的直角坐标方程，联立1C 求交点坐标，再转化为极坐标形式即可.(1)曲线1C 的参数方程为12sin x cos y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），则cos 1sin 2x y αα=-⎧⎨=-⎩，所以直角坐标方程为()()22121x y -+-=，由公式法，可得极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.(2) 曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，可得其直角坐标方程为2220,x y y +-= 所以()()222212120x y x y y ⎧-+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，所以交点极坐标为,2,42ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭.。