第三章向量空间熊维玲版

第三章 向量空间

§3.1 n 维向量及其运算

一、N 维向量的概念 1．定义1

定义1 n 个有次序的数12,,

,n a a a 所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量的n 个分

量，第i 个数i a 称为第i 个分量.记为 ()12,,,n a a a a =，出可以写成一列的形式12

n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，前者称为行

向量，而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵，故又称行矩阵；而列向量可看作一个1n ⨯矩阵，

故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算，从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便，我们约定：用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量，用

,,,T T T T a b αβ表示行向量.也可用T n a a a ),,(21 来表示一个列向量。即T n a a a ),,(21 =α

是一种很

觉的表述。在不特别声明时我们说到的向量均为列向量，行向量视为列向量的转置.

例如：二维向量可以表示平面上一个点的坐标。三维向量可以表示空间里的一个点的坐标。四维以上的向量，四维以上的向量，没有具体的几何意义。但在研究中是常见的向量。

2．几个特殊的向量及与向量相关的概念

（1）分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. （2）分量全为零的向量，称为零向量。记为O 。

（3）相等向量：二个向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b b 21当且仅当i i b a =的时候，b a = （4）方程组的矩阵表示式中的向量：b x A =，方程组的解通常也直接表示成：βα

,=x 等。

（5）向量的加法： ⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛+++=+n n b a b a b a b a 2211

（6）向量的数乘：⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=n kb kb kb kb 21

（7）负向量a a

)1(-=-。

（8）向量的减法。b a b a

)1(-+=-

二、n 维向量的线性运算 1、定义2

设有向量12(,,,)n a a a α=,12(,,,)n b b b β=,则向量α与向量β的线性运算定义如下:

Δ

1122(,,,)n n a b a b a b αβ±=±±±

Δ

12(,,

,)n k ka ka ka α=

2、运算律

(1) αββα+=+ (5) 1αα= (2) ()()αβγαβγ++=++ (6) ()()k l kl αα=

(3) o αα+= (7) ()k k k αβαβ+=+ (4) ()0αα+-= (8) ()k l k l ααα+=+

例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-. 解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-

12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-

(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-

(0,1,2)T

=

三、n 维向量空间：数域P 上的n 维向量的全体以及定义在它们上面的线性运算，构成数域P

上的一个n 维向量空间。记为：n

p

§3.2 n 维向量组及其线性组合

1、向量组的定义

定义1 由若干个同维数的列(行)向量构成的集合是一个向量组.

例1 m n ⨯矩阵A 的m 个n 维行向量可构成一个行向量组——矩阵A 的行向量组T

m

T T

ααα ,,21

，反过来，任给一组n 维行向量T

m T T ααα ,,21，可以构成一得矩阵1T T m A αα⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，因此它们构成一一对应.

——称为A 的行向量组。

类似地，m n ⨯矩阵A 的n 个m 维列向量构成的列向量组),,(21n a a a 也与A 构成一一对应，故我们也用大写字母表示向量组为A ：n a a a ,,21.——称为A 的列向量组。

例2 n 维向量12100010,,

,001n e e e ⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

组成的一个向量组，称之为n 维基本单位坐标向量组.

（默认是列向量组，也可以根据需要用行向量组）

2、向量组的线性组合

定义2 给定向量组A ：12,,,m a a a ，对于任何一组实数12,,,m k k k ，称向量

1122m m a a a k k k +++

为向量组A 的一个线性组合，12,,

,m k k k 称为这个线性组合的系数.

定义3 给定向量组A ：12,,

,m a a a 和向量b ，若存在一组实数12,,

,m λλλ，使得

1122m m a a a b λλλ=++

+

则称向量b 是向量组A 的一个线性组合，或称向量b 可由向量组A 线性表示.

注❶任一个n 维向量12

n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

都可由n 维单位向量组12,,

,n e e e 线性表示:

1122n n a a a a e e e =+++ .

❷向量b 可由向量组A :12,,

,n a a a 线性表示

⇔方程组1122n n a a a x x x b ++

+=有解

m n A x b ⨯⇔=有解

()(,)R A R A b ⇔=（二个矩阵中阶梯形中非零行的行数一样,概念以后再说明）

③零向量都可以由任何一个向量组线性表示。